2-1-4指數與對數-對數函數及其圖形

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(1)第二冊 1-4 指數與對數-對數函數及其圖形 【定義】 對數函數: 設 a > 0, a ≠ 1, x > 0, f ( x ) = log a x 稱為一個以 a 為底數的對數函數。 【問題】 1. 試畫出 y = log 2 x 的圖形。 2. 試畫出 y = log 3 x 的圖形。 3. 試畫出 y = log 1 x 的圖形。 2. 4. 試畫出 y = log 1 x 的圖形。 3. 5. 觀察上述幾個圖形中,哪幾個為互相對稱的圖形? 註: 底數互為倒數的兩對數函數,其圖形對稱於 x 軸。. 1.8. 1.6. 1.4. 1.2. 1. 0.8. 0.6. 0.4. 0.2. -1.5. -1. -0.5. 0.5 -0.2. -0.4. -0.6. -0.8. -1. -1.2. -1.4. -1.6. -1.8. 1. 1.5. 2. 2.5. 3. 3.5. 4. 4.5. 5.

(2) 【問題】 試利用平移、旋轉、伸縮、對稱等幾何方法畫出下列圖形: 1. 試畫出 y = log x 的圖形。 2. 試畫出 y = log( − x ) 的圖形。 3. 試畫出 y = − log x 的圖形。 4. 試畫出 y = − log( − x ) 的圖形。 5. 試畫出 y = (log x ) + 1 的圖形。 6. 試畫出 y = log( x + 1) 的圖形。 7. 試畫出 y = log | x | 的圖形。 8. 試畫出 y = − log | x | 的圖形。 9. 試畫出 y =| log x | 的圖形。 10.試畫出 y =| log( − x ) | 的圖形。 11.試畫出 y = log( x 2 ) 的圖形。(註: y = log( x 2 ) = 2 log | x |) 12.試畫出 y = log( 2 x ) 的圖形。. 1.6. 1.4. 1.2. 1. 0.8. 0.6. 0.4. 0.2. -3. -2.5. -2. -1.5. -1. -0.5. 0.5 -0.2. -0.4. -0.6. -0.8. -1. -1.2. -1.4. -1.6. 1. 1.5. 2. 2.5. 3.

(3) 【性質】 對數函數 y = log a x, a > 0, a ≠ 1, x > 0 圖形的特性: 1. 圖形恆在 y 軸右方,即真數 x 恆正。 2. 圖形恆過定點 (1,0) 。 3. y = log a x 的圖形是連續的(沒有斷點)。 4. (對數律)對於任意實數 x, y ,恆有 (1) f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) 。 x (2) f ( ) = f ( x) − f ( y ) 。 y 5. f ( x) = log a x , a > 0, a ≠ 1, x 為正實數,對於任意實數 x1 , x2 ,恆有 (1)當 a > 1 時, x1 < x2 ⇔ f ( x1 ) < f ( x 2 ) (嚴格遞增)。 (2)當 0 < a < 1 時, x1 < x2 ⇔ f ( x1 ) > f ( x 2 ) (嚴格遞減)。 6. 一對一函數: 平行於 x 軸的每一條直線都至多與 y = log a x 的圖形交於一點。 7. 當 a > 1 時,圖形由左往右上升,且底數 a 越大,上升的速度越慢,當 x → 0 時, 圖形趨近 y 軸,稱 y 軸是 y = log a x 圖形的漸近線。 即當 a > 1 時,若 x1 > x2 ,則 log a x1 > log a x 2 ⇔ f ( x) = log a x 為遞增函數⇔ f ( x) = log a x 的圖形向右上升 y. 較小的 a. a >1. 較大的 a. y = log a x. (1,0). x. O. 8. 當 0 < a < 1 時,圖形由左往右下降,且底數 a 越小,下降的速度越慢,當 x → 0 時,圖形趨近 y 軸,稱 y 軸是 y = log a x 圖形的漸近線。 即當 0 < a < 1 時,若 x1 > x2 ,則 log a x1 < log a x 2 ⇔ f ( x) = log a x 為遞減函數⇔ f ( x) = log a x 的圖形向右下降 y 0 < a <1. (1,0). x. O y = log a x. 較小的 a 較大的 a.

(4) 9. y = log a x 與 y = log 1 x 的圖形對稱於 x 軸。 a. y y = log a x. (1,0). x. O. y = log 1 x a. 10.對數函數圖形的凹凸性: (1)當 a > 1 時, f ( x) = log a x 的圖形為凹向下, 即圖形上任兩點 A, B 的連線段在 A, B 兩點間 f ( x) = log a x 的圖形下方,. x + x2 1 因此 (log a x1 + log a x 2 ) ≤ log a 1 ,其中 x1 , x2 為任意的正實數。 2 2 x + x2 ≥ x1 x 2 ,再兩邊取對數即得證) (利用 1 2 y. y = log a x. y 2 = log a x 2 x + x2 log a ( 1 ) 2 log a x1 + log a x 2 2 y1 = log a x1. O. B x. A x1. x1 + x 2 2. x2. (2)當 0 < a < 1 時, f ( x) = log a x 的圖形為凹向上, 即圖形上任兩點 A, B 的連線段在 A, B 兩點間 f ( x) = log a x 的圖形上方,. x + x2 1 因此 (log a x1 + log a x 2 ) ≥ log a 1 ,其中 x1 , x2 為任意的正實數。 2 2 x + x2 ≥ x1 x 2 ,再兩邊取對數即得證) (利用 1 2 y x1 y1 = log a x1 log a x1 + log a x 2 2 x + x2 log a ( 1 ) 2 y 2 = log a x 2. O. x1 + x 2 2. x2. x. A B. y = log a x.

(5) 【方法】 對數形式的問題中,比較大小的常用方法有如下幾種: 1. 化成同底數。 2. 化成同真數。 3. 與 0,1 比較大小。 4. 兩兩相比。 5. 取指數。 【性質】 對數比較大小時所使用的性質: 1. 當 a > 1 (嚴格遞增): (1) x > 1 ⇒ log a x > 0 。(2) x < 1 ⇒ log a x < 0 。 2. 當 0 < a < 1 (嚴格遞減): (1) x > 1 ⇒ log a x < 0 。(2) x < 1 ⇒ log a x > 0 。 y. y = log a x a >1. (1,0). x. O 0 < a <1.

(6) 【比較】 同底的指數函數 f ( x) = a x 的圖形與對數函數 g ( x) = log a x 的圖形比較如下: 1. f ( x) = a x 與 g ( x) = log a x 的圖形對稱於直線 L : y = x 。 證明: (1)點 P ( r , s ) 在 y = a x 的圖形上 ⇔ s = ar ⇔ r = log a s ⇔ 點 Q ( s, r ) 在 y = log a x 的圖形上 (2)而點 P( r, s ) 與 Q ( s, r ) 對稱於直線 y = x , 因此 y = a x 的圖形與 y = log a x 的圖形對稱於直線 L : y = x 。 y. y=x y=a. a >1. x. y = log a x. (0,1) (1,0). x. O. y. y=x. y = ax. 0 < a <1. (0,1) O. (1,0). x y = log a x. 2. 圖形都為連續,兩者對稱於直線 y = x , 且 y = a x 圖形恆過點 (0,1) , y = log a x 圖形恆過點 (1,0) 。 3. (1)當 a > 1 時,都是嚴格遞增, 也就是若 x1 > x2 時,則 a x1 > a x 2 ; 若 x1 > x2 > 0 時,則 log a x1 > log a x 2 。 (2)當 0 < a < 1 時,都是嚴格遞減, 也就是若 x1 > x2 時,則 a x1 < a x 2 ; 若 x1 > x2 > 0 時,則 log a x1 < log a x2 。.

(7) 【定義】 1. 點對稱: 給與平面上兩點 P, Q ,如果直線 L 是線段 PQ 的垂直平分線時, 稱 P 與 Q 對稱於 L , Q 稱為 P 對於 L 的對稱點。. Q. P L. 2. 圖形對稱: 給與平面上兩圖形 G , G ' ,直線 L 是同一平面上的一條直線,如果 (1) G 上的每一點 P 對於 L 的對稱點 P ' 都在圖形 G ' 上。 (2) G ' 上的每一點 P ' 對於 L 的對稱點 P 都在圖形 G 上。. G. G' P'. P L. 那麼就稱圖形 G 與 G ' 對稱於直線 L , G 與 G ' 稱為對於 L 互相對稱的圖形, L 稱為圖形 G 與 G ' 的對稱軸。 註:以上兩條件皆須成立,才稱圖形對稱。 【問題】 x. ⎛1⎞ 函數 y = 2 x 的圖形與函數 y = ⎜ ⎟ 的圖形對稱於那一條直線? ⎝2⎠ x 2. 函數 y = 2 的圖形與函數 y = 2 − x 的圖形對稱於那一條直線? 3. 函數 y = log 2 x 的圖形與函數 y = log 1 x 的圖形對稱於那一條直線?. 1.. 2. 4.. 函數 y = log 2 x 的圖形與函數 y = − log2 x 的圖形對稱於那一條直線?.

(8) 【定義】 反函數: 給定函數 f ( x ), g ( y ) ,其中 x, y 分別是 f ( x ), g ( y ) 定義域內的任意元素, 如果 g ( f ( x )) = x 且 f ( g ( y )) = y , 則稱 f (x ) 與 g ( y ) 互為反函數。 f (x ) 的反函數記為 f. −1. ( x) ,. −1. 即 g ( x) = f ( x) 。 此時 f ( x ), g ( y ) 的定義域與值域互換,. A. B. f. y. x. g. 即 f (x ) 的定義域為 f −1 ( x) 的值域, 而 f (x ) 的值域為 f −1 ( x) 的定義域。.

(9) 【例題】 函數 f ( x) = a x 與 g ( x) = log a x : f g x⎯ ⎯→ ax ⎯ ⎯→ log a a x = x g f y⎯ ⎯→ log a y ⎯ ⎯→ a log a y = y. 即 f 把 x 對應 y , g 把 y 對應回 x , 同理 g 把 y 對應到 x , f 把 x 對應回 y , 且 g ( f ( x )) = x , f ( g ( y )) = y , 我們稱 f ( x) = a x 與 g ( x) = log a x 互為反函數。 y y = ax. a >1. y = log a x. (0,1) O. y=x. x (1,0). 即:同底的指數函數與對數函數互為反函數。 【定理】 若 y = f ( x ) 和 y = g (x ) 互為反函數, 則 y = f ( x ) 和 y = g (x ) 的圖形對稱於直線 y = x 。 (pf)若 ( a , b) ∈ y = f ( x ) ⇔ f (a ) = b ⇔ g ( f ( a )) = g (b) ⇔ a = g (b) ⇔ (b, a ) ∈ y = g ( x ) 故 y = f ( x ) 和 y = g (x ) 的圖形對稱於直線 y = x 。.

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