反比例函数全章复习与巩固（提高）
【学习目标】 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解 析式y
k
k
0
x
，能判断一个给定函数是否为反比例函数； 2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式； 3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数y
k
k
0
x
的性质，能利用这些性质 分析和解决一些简单的实际问题. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、反比例函数的概念 一般地，形如y
k
x
(k
为常数，k
0
)的函数称为反比例函数，其中x
是自变量，y
是函数，自变量x
的取值范围是不等于 0 的一切实数. 要点诠释：在y
k
x
中，自变量x
的取值范围是 ，k
y
x
( )可以写成 ( )的形式，也可以写成 的形式. 要点二、反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数y
k
x
中，只有一个待定 系数k
，因此只需要知道一对x y
、
的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k
的值， 从而确定其解析式. 要点三、反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象 反比例函数y
k
k
0
x
的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、 三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x
轴、y
轴都没有交点， 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 要点诠释：观察反比例函数 的图象可得：
x
和y
的值都不 能为 0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐 标原点． ① (k 0) x k y 的图象是轴对称图形，对称轴为y 和x yx两条直线； ② (k 0) x k y 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）； ③ x k y x k y 和 (k≠0)在同一坐标系中的图象关于x
轴对称，也关于y
轴对称. 注：正比例函数y k1x与反比例函数x
k
y
2 ， 当k1 k2 0时，两图象没有交点；当k1 k2 0时，两图象必有两个交点，且这 两个交点关于原点成中心对称. 2.反比例函数的性质 （1）图象位置与反比例函数性质 当k
0
时，x y
、
同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y
随x
的增大而减 小；当k
0
时，x y
、
异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y
随x
的增大而增 大. （2）若点(a b
，
)在反比例函数y
k
x
的图象上，则点（
a b
，
）也在此图象上，故反比 例函数的图象关于原点对称.解析式 图 像 直线 有两个分支组成的曲线（双曲线） 位 置
0
k
，一、三象限；0
k
，二、四象限0
k
，一、三象限0
k
，二、四象限 增减性0
k
，y
随x
的增大而增大0
k
，y
随x
的增大而减小0
k
，在每个象限，y
随x
的增大而减小0
k
，在每个象限，y
随x
的增大而增大 （4）反比例函数 y＝ 中k
的意义 ①过双曲线ykx (k
≠0) 上任意一点作x
轴、y
轴的垂线，所得矩形的面积为k . ②过双曲线y xk (k
≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的 面积为 2 k . 要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点 1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要 注意将实际问题转化为数学问题. 2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围. 【典型例题】 类型一、确定反比例函数的解析式1、（2015•上城区一模）在平面直角坐标系中，反比例函数 y= （x＞0，k＞0）的图 象经过点 A（m，n），B（2，1），且 n＞1，过点 B 作 y 轴的垂线，垂足为 C，若△ABC 的面积为 2，求点 A 的坐标． 【思路点拨】根据图象和△ABC 的面积求出 n 的值，根据 B（2，1），求出反比例函数的 解析式，把 n 代入解析式求出 m 即可． 【答案与解析】 解：∵B（2，1）， BC=2 ∴ ， ABC ∵△ 的面积为 2， ∴ ×2×（n 1﹣ ）=2， 解得：n=3， B ∵ （2，1），∴k=2， 反比例函数解析式为：y= ， n=3 ∴ 时，m= ， ∴点 A 的坐标为（ ，3）． 【总结升华】本题考查的是反比例函数系数 k 的几何意义，用待定系数法求出 k、根据三 角形的面积求出 n 的值是解题的关键，解答时，注意数形结合思想的准确运用． 举一反三： 【变式】已知反比例函数
y
k
x
与一次函数y ax b
的图象都经过点 P(2，－1)，且当1
x
时，这两个函数值互为相反数，求这两个函数的关系式. 【答案】因为双曲线y
k
x
经过点 P(2，－1)，所以k
xy
2 ( 1)
2
． 所以反比例函数的关系式为y
2
x
，所以当x
1
时，y
2
． 当x
1
时 ， 由 题 意 知y ax b
2
， 所 以 直 线y ax b
经 过 点 (2 ， － 1) 和所以一次函数解析式为
y
3
x
5
． 类型二、反比例函数的图象及性质 2、 已 知 反 比 例 函 数y
k
x
(k
＜ 0) 的 图 象 上 有 两 点 A(x
1，
y
1)， B(x
2，
y
2)， 且 1 2x
x
，则y
1
y
2的值是( )． A．正数 B．负数 C．非负数 D．不能确定 【思路点拨】一定要确定了 A 点和 B 点所在的象限，才能够判定y
1
y
2的值. 【答案】D； 【解析】分三种情形作图求解． (1)若x
1
x
2
0
，如图①，有y
1
y
2，y
1
y
2＜0，即y
1
y
2是负数； (2)若x
1
0
x
2，如图②，有y
1
y
2，y
1
y
2＞0，即y
1
y
2是正数； (3)若0 x
1
x
2，如图③，有y
1
y
2，y
1
y
2＜0，即y
1
y
2是负数． 所以y
1
y
2的值不确定，故选 D 项． 【总结升华】根据反比例函数的性质，比较函数值的大小时，要注意相应点所在的象限， 不能一概而论. 举一反三： 【变式】已知a b
0
，点 P（a b
，
）在反比例函数 x a y 的图象上，则直线yaxb 不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C； 提示：由a b
0
，点 P（a b
，
）在反比例函数 x a y 的图象上，知反比例函数经过二、 四象限，所以a
0
，
b
0
，直线yaxb经过一、二、四象限.3、（2016•淄博）反比例函数 y= （a＞0，a 为常数）和 y= 在第一象限内的图象如 图所示，点 M 在 y= 的图象上，MC⊥x 轴于点 C，交 y= 的图象于点 A；MD⊥y 轴于点 D，交 y= 的图象于点 B，当点 M 在 y= 的图象上运动时，以下结论： S ① △ODB=S△OCA； ② 四边形 OAMB 的面积不变； ③ 当点 A 是 MC 的中点时，则点 B 是 MD 的中点． 其中正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】①由反比例系数的几何意义可得答案；
② 由四边形 OAMB 的面积=矩形 OCMD 面积﹣（三角形 ODB 面积+面积三角形 OCA）， 解答可知；
③ 连接 OM，点 A 是 MC 的中点可得△OAM 和△OAC 的面积相等，根据△ODM 的面积= △OCM的面积、△ODB 与△OCA 的面积相等解答可得．
【答案】D．
【解析】解：①由于 A、B 在同一反比例函数 y= 图象上，则△ODB 与△OCA 的面积相 等，都为 ×2=1，正确；
② 由于矩形 OCMD、三角形 ODB、三角形 OCA 为定值，则四边形 MAOB 的面积不会发生 变化，正确；
③ 连接 OM，点 A 是 MC 的中点，
∴点 B 一定是 MD 的中点．正确； 故选：D． 【总结升华】本题考查了反比例函数 y= （k≠0）中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一 点引 x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结 合的思想，做此类题一定要正确理解 k 的几何意义． 4、反比例函数
x
m
y
与一次函数y
mx
m
(
m
0
)
在同一平面直角坐标系中的图 象可能是（ ） 【答案】C； 【解析】一次函数y mx m m x
1
是经过定点（1，0）,排除掉 B、D 答案；选项 A中m
的符号自相矛盾，选项 C 符合要求. 【总结升华】还可以按照m
＞0，m
＜0 分别画出函数图象，看哪一个选项符合要求. 举一反三： 【变式】已知a＞b,且a0,b0,ab0,则函数 yaxb与 x b a y 在同一坐标 系中的图象不可能是( ) . 【答案】B ； 提示：因为从 B 的图像上分析，对于直线来说是a
<0,
b
0
，则a b
0
，对于反比例函 数来说，a b
0
，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图形. 类型三、反比例函数与一次函数综合 5、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b
(k
≠0)的图象与反比例函 数y
m
x
(m
≠0)的图象相交于 A、B 两点．求：(1)根据图象写出 A、B 两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出：当
x
为何值时，一次函数值大于反比例函数值． 【答案与解析】 解：(1)由图象可知：点 A 的坐标为(2，1
2
)，点 B 的坐标为(－1，－1)． ∵ 反比例函数y
m
(
m
0)
x
的图象经过点 A(2，1
2
)，∴m
＝1． ∴ 反比例函数的解析式为：y
1
x
． ∵ 一次函数y kx b
的图象经过点 A2,
1
2
，点 B(－1，－1)， ∴1
2
,
2
1,
k b
k b
解得：1
,
2
1
.
2
k
b
∴ 一次函数的解析式为1
1
2
2
y
x
． (2)由图象可知：当x
＞2 或－l＜x
＜0 时一次函数值大于反比例函数值． 【总结升华】一次函数值大于反比例函数值从图象上看就是一次函数的图象在反比例函数 的图象上方的部分，这部分图象的横坐标的范围为所求. 举一反三： 【变式】如图所示，一次函数y kx
3
的图象与反比例函数y
m
(
x
0)
x
的图象交于点 P，PA⊥x
轴于点 A，PB⊥y
轴于点 B，一次函数的图象分别交x
轴、y
轴于点 C、点 D， 且S
△DBP
27
，1
2
OC
CA
．【答案】 解：(1)由一次函数
y kx
3
可知：D(0，3) (2)设 P(a
，b
)，则 OA＝a
，1
3
OC
a
，得1
,0
3
C
a
． 由点 C 在直线y kx
3
上，得1
3 0
3
ka
，ka
＝－9， DB＝3－b＝3－(ka
＋3)＝－ka
＝9，BP＝a
． 由1
1
9
27
2
2
DBPS
△
DB BP
a
， ∴a
＝6，∴3
2
k
，b
＝－6，m
＝－36． ∴ 一次函数的表达式为3
3
2
y
x
，反比例函数的表达式为y
36
x
． (3)根据图象可知：当x
＞6 时，一次函数的值小于反比例函数的值． 类型四、反比例函数的实际应用 6、制作一种产品，需先将材料加热达到 60℃后，再进行操作，设该材料温度为y
(℃)，从加热开始计算的时间为x
min
．据了解，设该材料加热时，温度y
与时间x
成 一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y
与时间x
成反比例关系(如图)．已知该材料 在操作加工前的温度为 15℃，加热 5min 后温度达到 60℃． (1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y
与x
的函数关系式； (2)根据工艺要求，当材料的温度低于 15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操 作，共经历了多少时间？ 【思路点拨】（1）首先根据题意，材料加热时，温度y
与时间x
成一次函数关系；停止 加热进行操作时，温度y
与时间x
成反比例关系；将题中数据代入用待定系数法可得两个 函数的关系式；（2）把y
＝15 代入y
300
x
中，进一步求解可得答案． 【答案与解析】 解：依题意知两函数图象的交点为(5，60) (1)设材料加热时，函数解析式为y kx b
． 有15
9
5
60
15
b
k
k b
b
∴
