國小學童統計初步概念結構分析之研究

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(1)第一章. 緒論. 國民中小學九年一貫課程強調活潑及生活化的教學，培養學童知識能帶著走的能力，然而在經過教學活動之後，學童是否已具備這些知識，現今的評量應有效測出學生的能力，以瞭解學童的知識結構。因此，本研究將設計統計初步概念單元的自編試題，並將施測結果以試題關聯結構分析法進行分析，以達成瞭解學童知識結構的目的。為了達到這樣的目的，本章節先說明統計的意義及重要性，然後說明本研究的構思及研究目的，最後為本研究所需的名詞加以釋義，並闡述研究範圍與限制。. 第一節. 研究動機. 統計（Statistics）是數學的一門分支，是用來研究現象所產生的數據，將這些收集的數據，整理成資料(data)加以分析與研究，以獲得現象上的結果及推論(Townsend & Burke，1963)。這些現象是社會所發生現象，其中當然也包括自然現象在內，都存在於日常生活當中，亦是經常遭遇到的問題，例如一年之中每一日的平均氣溫，或全台去年每一個國民的平均所得等等，這些問題都與日常生活息息相關。其實這可能會面對兩個問題：第一個是這堆數據從那裡來的？第二個是這堆數據在說什麼？這無疑是統計所面對的問題，而研究數據也是為了要解決這類的問題(Johnson & Glenn，1965)。所以，統計必須要同時顧及這兩方面的困難：一是本質問題，統計能使人知曉那是什麼社會現象？另一是技巧問題，怎樣才能把社會現象的本質弄清楚、整理好，使人容易明白？統計是透過描述現象的數據，說明現象的本質，將資料加以整理分析，以了解現象本質的意義，故描述現象形成統計的條件，透過整理，分析以解釋現象為學習統計的目的。故統計學的過程應包含四個重點，即 1.蒐集資料。2.整理資料。3.呈現資料。4.解釋資料。（譚寧君，民 83）統計是現今國小數學課程中的必要內容，在民國八十二年教育部頒訂之國民小學課程標準中，數學領域有六大主題，其中一大主題為統計圖表。民國九十二年教育部頒布之國民中小 1.

(2) 學九年一貫課程綱要，其數學學習領域有五大主題，統計與機率也是其中一大主題。美國國家數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM，2000）則將學齡前至高中三年級共分四個階段，在每個階段所必須達成的數學教育標準列出十項（Principles and Standards for School Mathematics），其中第五項就是資料分析、統計與機率（Data Analysis and Probability）。而美國國家評量督導委員會（National Assessment Governing Board，NAGB）在 2001 年更新版本的 Mathematics Framework for the 2005 National Assessment of Educational Progress（NAGB，2001）中則表示，日後美國國家數學測驗的架構將致力於五個數學內容方面，其中之一也是資料分析與機率（Data Analysis-including probability, graphs, and statistics）。由上可知，統計無論在理論上或是實用上，在數學領域中都是一個相當重要的課題。國民中小學九年一貫課程(教育部，民 92) 中，數學課程的發展是以學生生活經驗為主，期望能從學生感興趣的主題出發，培養每位國民應具備的基本素養。而統計素養在現代的社會中已是一項不可或缺的工具，因此統計的基本精神是希望能培養學生具備基本的統計素養，學會敘述統計所呈現出來的數字和圖表的意義（蘇國樑，民 84）；並能以統計圖表進行表達與溝通，使學生能正確地運用各種統計資料於實際生活之中（張少同，民 92）。現階段國小數學課程中，低年級至高年級均包含統計的教材，然而對學童的統計概念的形成與發展卻少有描述與研究，即使有研究亦僅由問卷調查的數字資料做成的資料分析，這是對群體現象表現結果的描述，少有、甚至沒有對統計概念的形成與發展做交待（蘇國樑、許天維，民 83）。因此本研究冀以研究學童統計初步概念的形成情形為探討內容。不是以成人對統計概念的形成方式直接平移至學童身上，因為成人有太多的背景經驗是學童所沒有的（蘇國樑、許天維，民 83），無法對學童所產生的問題做有效的解決，而日本學者 Takeya（1979）所提出的試題關聯結構分析法（Item relational structure analysis），可幫助教師瞭解學童統計認知學習概念形成的過程，進而幫助改善教學方法與指導教材設計（許天維，民 84）。. 第二節. 研究目的. 基於上述的研究動機，本研究的目的主要在於透過一有關九年一貫課程數學學習領域統計初步概念的測驗工具，藉由試題關聯結構分析法（IRS）分析受試學生的群體學習結構圖，進而瞭解學童統計初步概念的內涵。根據以上之研究目的，建立一套具有良好信、效度的測驗 2.

(3) 工具，應用試題關聯結構分析法，探討國小學童根據統計初步概念的試題關聯結構圖所呈現出來的訊息。. 第三節. 名詞定義. 本研究相關之名詞，界定如下：一、統計：以數學方法與數學知識來處理、分析、闡釋數量化或非數量化資料的動作或方法，動作和方法描述了主體與環境的交互關係。其內容包含「敘述統計」（descriptive statistics）、「統計推論」（inferential statistics）和「實驗設計」（design of experiment）三類。「敘述統計」即是使用測量、畫記、計算、分析與描述等方法，將一群資料加以整理、摘要和濃縮，使人容易瞭解其中所含的意義與傳遞的訊息。「統計推論」是由龐雜（或未知）的群體，而抽取部分群體內容（又稱樣本），來推測原群體的性質。至於「實驗設計」則是在安排實驗參數，變異數分析及自變數與因變數的關係。. 二、統計初步概念：九年一貫數學學習領域課程中，統計的內容僅限於「敘述統計」的範疇，此乃學習統計學的入門，國小學童學習統計概念也是由此開始，所以「敘述統計」的相關數學概念為統計的初步概念。「敘述統計」其中包括四大部分（1）蒐集資料；（2）整理與分類資料；（3）表徵資料；（4）解釋資料。. 三、已學習過統計初步概念的國小六年級學童：是指實行九年一貫課程，學校業已教授完國民中小學九年一貫課程綱要之第一、二階段有關統計主題單元的國小六年級學童。. 四、蒐集資料：學童在進行資料的蒐集整理與分析前，需先感覺其所分析的資料是有意義的，哪些才是資料蒐集的範圍。如何感覺群體的存在，可透過視覺的觀察，群體的調查或直接測量等方式，經由描述、溝通、檢驗及確認等過程以經驗群體的範圍及經驗部分與群體的內在關係。. 五、整理與分類資料：直接透過觀察、調查、實驗或紀錄而得的資料稱之為原始資料，此時資料往往只能代表事實存在的現象，不易描述又缺乏效率，應將原始資料分類、歸納、 3.

(4) 整理或重組以形成更經濟且有效的資訊（李克明，民 84）。由實際觀察可以看出某些學童對目標具體事物所做的分類其實只是對事物集合做出分割，分割是把一個集合化分為若干個子集合，只考慮子集合的互斥性，而不考慮子集合內元素彼此間的等價關係。分類是除了考慮分割外，還考慮子集合或子類內元素彼此間之類等價關係，再加上函數對應之關係等的邏輯運思。. 六、表徵資料：資料的呈現方式只是一種溝通的工具，呈現方式的適切與否直接關係到訊息是否暢通，經過處理後，資訊的呈現方式就是一般所謂的統計圖表，俾使更有效掌握數量，如統計表、長條圖。. 七、解釋資料：原始資料經統計分析處理後，其所代表的訊息即透過資料的分析，予以適當傳遞，將所得的結果以統計圖表呈現，可以使閱讀者快速瞭解圖表的含義，獲得所要傳遞的正確訊息。. 八、現行數學課程：係依據中華民國九十二年十一月教育部頒佈的國民中小學九年一貫課程綱要之數學學習領域。. 第四節. 研究範圍及限制. 本研究採自編統計初步概念試題來施測，所採行的研究範圍及研究限制，茲說明如下：一、研究範圍本研究為達成前述之研究目的，藉由試題關聯結構分析法（IRS），分析受試學童的學習結構圖，進而瞭解國小學童的統計初步概念內涵。茲將研究範圍說明如下：（一）研究對象本研究的對象以台中縣某智類國民小學六年級一個班的學童為研究對象。（二）研究內容本研究旨在瞭解國小學童對統計初步概念學習的內涵。在研究的內容上，首先分析國小統計課程的教材地位，並對過去有關統計的研究作一整理，能從具體解題活動中瞭解學生統計初步概念（朱建正民85），編製一份統計初步概念試題，施測後再分析國 4.

(5) 小學童統計初步概念學習的內涵。. 二、研究限制本研究在研究方法、歷程及研究體系上雖然力求完整嚴謹，惟因主客觀條件影響，仍有未盡周延之處，茲將本研究可能之限制陳述如下：（一）研究對象本研究旨在透過試題關聯結構分析法（IRS）之分析，研究國小學童的統計初步概念內涵，且本研究受限於研究經費、時間及人力，係以台中縣某智類國民小學六年級一個班學童為研究對象，未包括其他縣市之學校的學童。因此，在研究結果之解釋與推論時，會受限於地域因素。（二）研究方法本研究係以自編「國小學童統計初步概念測驗試題」為研究工具。受試者在受測時，可能受到主觀因素，如個人情緒、態度等影響，是研究者所無法控制的。. 5.

(6) 第二章. 文獻探討. 本研究的主要目的在使用自編試題，運用試題關聯結構分析法，探討國小學童的統計初步的概念。首先探討兒童統計初步概念的認知發展；再來是對國民中小學九年一貫課程綱要之數學學領域有關統計初步概念的研究；最後則對試題關聯結構分析法加以探究。. 第一節. 兒童統計初步概念認知發展. 一、皮亞傑認知發展理論（一）兒童認知之發展皮亞傑（1976）認為人的認知發展歷程中，認知結構總維持動態性與變化性，隨時會發生改變。認知的兩種基本功能－適應（adaptation）與組織（organization），並不隨著年齡的增加而改變，稱為功能不變性（functional invariants）。組織與適應二者不容分割，同屬於一種機械作用的兩項互補歷程，前者代表該作用的內在部分，後者則構成此一作用的外界部分。即任何有機體的發展都包括組織的功能在內，組織的動態面，即構成所謂的適應。組織乃是結合兩種（含）以上非連續性的心理結構－基模，成為較高層次獲較穩定功能之基模的一種心理歷程。組織係就人本身經驗的組合而言，其形態不外有兩類，其一是將數種基模統合，成為一種經驗；其二是分類或歸組的傾向。適應係指有機體對外界環境的行動與環境對有機體的行動二者之間有機體為求其平衡，而採取的一種調適歷程，包括同化與調整的兩種互補活動在內，以求得有進展的平衡（引自王文科，民 80）。（二）兒童思考的種類皮亞傑另在描述思考有兩個部分，它們彼此不同，但在功能上彼此有關聯：即「形象」部分（figurative aspect）與「操作」部分（operative aspect），或稱形象與操作思考。形象思考包括知覺（perception）、模仿（imitation）與心理意象（mental imagery），係以處理感覺的外在物體或事件之外形或狀態。操作思考是知覺（形象）與智力（基模）的產物，亦即將得自兒童行動的狀態予以轉變，形成認知的對象，並賦予結構而成為行動知識。操作認知與形象認知功能有關。形象知識「孕育」操作知識的發展，且為其來源。 6.

(7) 從另一方面觀之，操作認知改變的結果，會使以後的形象認知發生改變。亦即導源於知覺的「概念」或基模一旦發生變化，也會使得接著的知覺發生改變。循此而論，皮亞傑將認知發展畫分成四個階段－感覺動作期（ sensory-motor period ）、運思前期（preoperational period）、具體運思期（period of concrete operations）與形式運思期（period of formal operations）（三）兒童統計初步概念之認知兒童開始具有有關統計的概念為具體運思期，具體運思期（7－11 歲）的兒童運用的推理歷程，皮亞傑所稱之邏輯運思（logical operations），即兒童能將邏輯思考的歷程，應用於解決具體的問題。運思前期兒童的思考，由於受到知覺的支配，無法解決可逆性、保留、自我中心、依序等問題；具體運思期兒童則可突破此限制，就其特徵而言，約有如次三項：其一由籠統而至分化的思考、其二由絕對而至相對的思考、其三由靜態而至動態的思考。 1.邏輯－算術運思的結構邏輯－算術運思採取之結構形式，即皮亞傑所稱的「組合」（grouping），為一種結合組（group）與格（lattice）二者之特性，而形成的運思系統。（1）組的要件：組為一種系統，含有兩個要素：A.須含有一群元素；B.可運用下列諸元素，運算諸性質。 a.封閉性在系統中的任意兩元素結合而產生的新元素，應仍屬於系統中的元素。 b.可逆性每種運思的變化為可逆，即兩個種類或兩項關係結合後，可再度分隔。 c.結合性即思考疆界有其自由，由兩種不同的運算，獲得相同的結果。 d.同一性在系統中的運算，存有一個且唯有一個元素與該系統中的其它元素結合，使其結果不變，此一元素即是一般的單位元素。（2）格的要件：格的結構與組的結構頗為類似，仍含有兩種以上元素間的關係結構，惟格 7.

(8) 尚須符合兩個要件：A.於該一關係結構中的任何兩項元素，須有一個最小上限，與 B.一個最大下限。前者係指包括大於或等於二項元素之集合的最小者，後者係指包括小於或等於二者中的最大者。 2.邏輯－算術運思內容的發展邏輯－算術運思的特徵有以下四點（1）保留：兒童瞭解某一系統的內部，無論如何變化該系統的若干特性，此系統維持不變。（2）系列：亦稱排列次序，係指具體運思期的兒童處理物體差異時，能按照由大而小或從小而大的次序排列，建立其間不同關係之能力。（3）種類與分類：當兒童確能分類（classification）時，便能協調並區分「種類」（class）的集中性與外延性兩種重要性質。種類概念係由分類而來，惟有經由分類的操作，方有特定種類的產生。（4）數目：兒童於獲致數目概念前，須先建構以物體的值為基礎的一對一對應的概念。系列中使用的運思，是為一與一對應之質的運思，而非單位的對應。. 二、統計概念的發展統計是用來了解已存在的現象，透過描述現象的數據，說明現象的本質，將資料加以整理分析，以了解現象本質的意義，故描述現象形成統計的條件，透過整理，分析以解釋現象為學習統計的目的。譚寧君（民 83）將統計學習的過程分為四個重點，即 1.蒐集資料。2. 整理資料。3.呈現資料。4.解釋資料。（一）蒐集資料統計是對群體資料的再組織，兒童在進行資料的蒐集整理與分析前需先感覺其所分析的資料有意義，何為資料蒐集的範圍，至於如何感覺群體的存在，可透過視覺的觀察，群體的調查或直接測量等方式，經由描述、溝通、檢驗及確認等過程以經驗群體的範圍及經驗部分與群體的內在關係，而群體的蒐集則從小群體到大群體，從單純群體到複雜 8.

(9) 群體。（二）整理資料直接透過觀察、調查、實驗或紀錄而得的資料稱之為原始資料，此時資料往往只能代表事實存在的現象，不易描述又缺乏效率，應將原始資料分類、歸納、整理或重組以形成更經濟且有效的資訊。（三）呈現資料資料的呈現方式只是一種溝通的工具，呈現方式的適切與否直接關係到訊息是否暢通，呈現型態也會因學習者的認知差異而有明顯的不同，心理學家研究學習者的認知發展過程，亦提出從具體至抽象符號的認知發展層次；社會學家亦將知識有效的推展或建構，俾使更有效掌握數量。（四）解釋資料群體被掌握或確認後，其所代表的訊息即透過資料的分析，予以適當傳遞，群體的內容物，透過數數、比較、找出資料類型或計算等瞭解資料的分佈情形。再與統計圖表連結，以達到迅速傳遞訊息的目的。. 三、兒童統計概念的發展模式（一）兒童資料分佈概念兒童面對一組資料或群資料如何掌握、描述，甚至預測該資料結構的可能類型。皮亞傑（1964）在兒童的早期邏輯發展（The Early Growth of Logic in the Child）一書中，說明分類是指同一類別中各個成份的相似關係以及不同類別中各個成份之間之不相似關係的整體。因此，透過對學童分類活動的觀察，蘇國樑、許天維（民 83）詮釋兒童的資料分佈概念形成與發展如下： 1.資料範圍的界定資料是一群可觀察與可測量的對象，在這些對象中可由各單位所擁有的性質觀察出單位間彼此的異同，這些可觀察的性質便是概括化來描述或代表該群資料。 2.整理、分類產生分類的活動與運思是為達成經驗中資料的複雜性及所佔空間的減少有關，這種減少可以協助經驗的組織活動負荷的減低。由實際觀察可以看出某些兒童對目標具體事物所做的分類其實只是對事物集合做出分割，分割是把一個集合化分為若干個子集合，只考慮子集合的互斥性，而不考慮子集合內元素彼此間的等價關係。分類是除了考慮分割外，還考慮子集合或子類內元素彼此間之等價關係，再加上函 9.

(10) 數對應之關係等的邏輯運思。 3.點計兒童可以由時間及空間概念意識到資料散佈的範圍，且資料的一種分類亦是資料的各種不同組合方式的其中一種可能，欲使分類活動與結果可以讓兒童同時掌握到全體資料的量的結構，則需要數數活動，即需要點計各個子類內所包含的元素個數，所謂的各組或類的次數或頻次，因為這可簡化描述資料結構的過程。若兒童能以點計來掌握資料的內涵且重製資料群，表示兒童已發展出利用單位化的測量活動組織，進而重製資料，而不必再依賴資料元素的具體逐一再表現出組織或重製資料。 4.分佈資料分佈概念的產生是來自為掌握或欲重造資料的屬性結構，包括元素間、資料群體與子群體間以及元素與群體或子群間的關係。. 統計活動的目的再於掌握及複製一群體，由瞭解兒童掌握及複製群體的活動來瞭解兒童的資料分佈概念，蘇國樑、許天維（民 83）將此種複製或再表現的活動分成四個階段： 1.逐元素序列複製運思資料的重造或重述是所謂的依樣畫葫蘆，具體資料排列或放置，兒童不但需要一對一的方式一個一個照排出來，排列時也需要照顧到事物間的空間或時間關係。 2.逐元素對應複製運思資料所包含的元素與元素之間的空間關係並不會改變資料的組成結構，資料的重造與資料排列之次序無關。 3.逐類重製運思資料分佈包含群體和子群體間的關係，將資料先做好分類後，再進行複製，也就是以子群體為製造單位的方式來進行資料重製活動。 4.群組重製運思資料的重製不須先將資料分組，再進行分類，操作的過程可能會有次序，也可能毫無次序，但最後達到重製的目的。（二）兒童統計初步概念 Hand（1988）指出數學是統計的基礎，透過數學才能將統計概念或其他科學的概念形式化。統計概念強調保留統計對象的質的內容和數值的關係，因為統計概念是認識資料集活動的結果。因此，若統計概念中缺乏統計對象之質的內容，則無法對整個資料及 10.

(11) 做出正確的認識。資料集可以分成若干個不互屬的子類，而統計概念中的聚集活動亦是考慮以各子類為基礎，然後在各子類內再進行數概念的聚集活動。也可以說，在掌握認識對象後，數概念的活動是由內往外，而統計概念活動則是由外往內的。蘇國樑（民 88）歸納出兒童之資料的統計概念發展模式依序為 1.輪廓運思期資料集所佔的空間輪廓為一個聚集單位，元素的外在特徵和數量都是內嵌於資料內的，在這個時期中兒童雖然已經有量的保留概念，卻仍然受到有形的保留概念的影響，進而影響到對資料集的認知，此時兒童尚未產生資料量化的概念，因此暫定兒童尚處於輪廓運思期的統計前置概念階段。 2.排序運思期資料集內每一個元素和其空間位置為一個聚集單位，此時整個資料內及每個元素是獨立的。兒童並未注意到元素的外在特徵，只注意元素的對應位置。因此，兒童視資料集為一個元素和其對應之空間位置為一聚集單位所組成的一個群。故資料集的呈現、說明或重製，是以空間位置為序，做出一個接一個的方式進行重現。 3.造類運思期以資料集內構成元素的外在特徵（如顏色、形狀等）為一個聚集單位，進行分類活動，元素的特徵脫嵌出資料集而成為一個獨立的單位，各別元素尚內嵌於資料集內。 4.子類內造數運思期以資料集內的每一個子類為一個新的群或新的測量對象，在各子類內進行重造表徵物活動或是數的概念活動。例如一組積木的呈現是可以以符號表示的，如依序抓取說明 X 色的有 x 個、Y 色的有 y 個、Z 色的有 z 個、W 色的有 w 個等，量脫嵌於子類但尚內嵌於資料集內，子類和量亦同時內嵌於資料集的輪廓內。 5.子類和量合併運思期子類和子類對應之量兩者的關係為一聚集單位，而此關係尚內嵌於具體資料內。對資料的說明、重製或比較的方式是注意類和量的對應關係的呈現，且需要具體物和相關活動來確認此一關係。 6.子類和量序對運思期子類和子類的量或數合成一個聚集單位，形成一個已脫嵌出資料集的序對關係，因此，將整組資料的說明、呈現或重製是根據類和其量的序對關係為基礎的。. 11.

(12) 第二節. 國民中小學九年一貫課程數學學習領域. 國民中小學九年一貫課程綱要，強調以學習者為主體，以知識的完整面為教育的主軸，以終身學習為教育的目標。二十一世紀是處於高度文明化的世界，數學知識及數學能力，已成為日常生活及職場裡應具備的基本能力。基於以上的認知，制定國民教育的數學課程須反應出數學能力是國民素質的一個重要指標；培養學生正向的數學態度，了解數學是推進人類文明的要素；數學教學（含教材、課本及教學法）應配合學童不同階段的需求，協助學童數學智能的發展；數學作為基礎科學的工具特質。基於上述理念，國民中小學九年一貫課程數學學領域課程目標的規劃，不僅反應數學學習的特性，亦應考量環境條件的限制。因此，國民中小學九年一貫數學學習領域的課程綱要，須由以下原則來界定，參考施行有年且有穩定基礎的傳統教材；採用國際間數學課程必備的核心題材（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM，2000）；考慮數學作為科學工具性的特質；現有學生能夠有效學習數學的一般能力。. 一、九年一貫數學學習領域的教學總體目標：（一）培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。（二）學習應用問題的解題方法。（三）奠定下一階段的數學基礎。（四）培養欣賞數學的態度及能力。. 其中，國民小學階段的目標為：（五）在第一階段（一至三年級）能掌握數、量、形的概念。（六）在第二階段（四至五年級）能熟練非負整數的四則與混合計算，培養流暢的數字感。（七）在小學畢業前，能熟練小數與分數的四則計算；能利用常用數量關係，解決日常生活的問題；能認識簡單幾何形體的幾何性質、並理解其面積與體積公式；能報讀簡單統計圖形並理解其概念。. 國民中學階段的目標為：（八）能理解座標的表示，並熟練代數的運算及數的四則運算。（九）能理解三角形及圓的基本幾何性質，並學習簡單的幾何推理。 12.

(13) （十）能理解統計、機率的意義，並認識各種簡易統計方法。. 二、九年一貫數學學習領域能力指標：數學學習領域將九年國民教育區分為四個階段：階段一為一至三年級，階段二為四、五年級，階段三為六、七年級，階段四為八、九年級。另將數學內容分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題。前四項主題的能力指標以三碼編排，其中第一碼表示主題，分別以字母 N、S、A、D 表示「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」四個主題；第二碼表示階段，分別以 1, 2, 3, 4 表示第一、二、三和四階段；第三碼則是能力指標的流水號，表示該細項下指標的序號。除了上述四個主題外，數學學習領域還有連結這一主題。數學內部的連結可貫穿前述四個主題，來強調解題能力的培養；數學外部的連結則強調生活及其他領域中數學問題的察覺、轉化、解題、溝通、評析諸能力的培養。具備這些能力，一方面增進學生的數學素養，能適切地應用數學，來提高生活品質，另一方面也能加強其數學的思維，有助於個人在生涯中求進一步的發展。因此，各階段四個主題的能力要與連結的能力相配合培養，而連結的能力經過各階段後會愈來愈強。連結的能力指標用三碼表示，第一碼表連結(C)，第二碼表察覺(R)、轉化(T)、解題(S)、溝通(C)、評析(E)，而第三碼則是流水號。以下是五大主題之有關「統計與機率」主題及「連結」主題的能力指標：（一）統計與機率 D-1-01 能將資料做分類與整理，並說明其理由。 D-1-02 能報讀生活中常見的直接對應（一維）表格。 D-1-03 能報讀生活中常見的交叉對應（二維）表格。 D-2-01 能認識生活中資料的統計圖 D-2-02 能報讀較複雜的長條圖。 D-2-03 能整理生活中的資料，並製成長條圖。 D-2-04 能整理有序資料，並繪製成折線圖。 D-3-01 能整理生活中的資料，並製成圓形圖。 D-4-01 能報讀百分位數，並認識個體在群體中相對地位的情形。 D-4-02 能利用統計量，例如：平均數、中位數及眾數等，來認識資料集中的位置。 D-4-03 能利用統計量，例如：全距、四分位距等，來認識資料分散的情形。 D-4-04 能在具體情境中認識機率的概念。 13.

(14) （二）連結 1.察覺 C-R-01 能察覺生活中與數學相關的情境。 C-R-02 能察覺數學與其他領域之間有所連結。 C-R-03 能瞭解其他領域中所用到的數學知識與方法。 C-R-04 能察覺數學與人類文化活動相關。 2.轉化 C-T-01 能把情境中與問題相關的數、量、形析出。 C-T-02 能把情境中數、量、形之關係以數學語言表出。 C-T-03 能把情境中與數學相關的資料資訊化。 C-T-04 能把待解的問題轉化成數學的問題。 3.解題 C-S-01 能分解複雜的問題為一系列的子題。 C-S-02 能選擇使用合適的數學表徵。 C-S-03 能熟悉解題的各種歷程：蒐集、觀察、臆測、檢驗、推演、驗證、論證等。 C-S-04 能運用解題的各種方法：分類、歸納、演繹、推理、推論、類比、分析、變形、一般化、特殊化、模型化、系統化、監控等。 C-S-05 能了解一數學問題可有不同的解法，並嘗試不同的解法。 C-S-06 能用電算器或電腦處理大數目或大量數字的計算。 4.溝通 C-C-01 能了解數學語言（符號、用語、圖表、非形式化演繹等）的內涵。 C-C-02 能了解數學語言與一般語言的異同。 C-C-03 能用一般語言與數學語言說明情境與問題。 C-C-04 能用數學的觀點推測及說明解答的屬性。 C-C-05 能用數學語言呈現解題的過程。 C-C-06 能用一般語言及數學語言說明解題的過程。 C-C-07 能用回應情境、設想特例、估計或不同角度等方式說明或反駁解答的合理性。 C-C-08 能尊重他人解決數學問題的多元想法。 C-C-09 能回應情境共同決定數學模型中的一些待定參數。 14.

(15) 5.評析 C-E-01 能用解題的結果闡釋原來的情境問題。 C-E-02 能由解題的結果重新審視情境，提出新的觀點或問題。 C-E-03 能經闡釋及審視情境，重新評估原來的轉化是否得宜，並做必要的調整。 C-E-04 能評析解法的優缺點。 C-E-05 能將問題與解題一般化。. 三、九年一貫數學課程統計與機率之主題在科技發達的新世紀，人們須經常面對多元的資訊。如何擷取有意義的資訊，並加以解讀和分析，進而轉變成有用的資訊，更是追求知識經濟的時代裡應具備的重要能力。數字是資訊表現的主要媒介，統計方法則是解讀和分析數字資訊的重要工具。因此，培養國民應具備的基本統計素養，應是國民教育階段數學學習領域的重點之一。統計和機率的知識背景來自生活環境，以學生的生活經驗為主，從學生感興趣的主題出發，使其學會敘述統計所呈現出數字和圖表的意義，強調圖表的表達和溝通，並了解抽樣、機率的初步概念，能正確地運用各項統計資料於實際生活中，是「統計與機率」教學的藍本。統計與機率知識的成長確實與學生對「數與量」、「代數」、「幾何」主題能力的掌握有關，其教學應與相關主題的教學相互配合。因此，依各階段的能力成長分五個層次來實施「統計與機率」的教學。（一）三年級之前：先藉由簡易表格的製作，協助學生建立資料的整理與分組的概念，進而練習報讀與說明資料，並建立個別資料出現頻率概念的認識。再藉著直接和交插對應表格的介紹，並配合「數與量」的教學，希望學生能掌握對表格的認識，並能加以運用。（二）四年級：經由簡易幾何圖形的前置經驗，引進長條圖、折線圖與圓形圖作為認識統計圖表教學的開始。藉由報讀生活中的資料統計圖，進而引進若干較簡易的變形長條圖，培養學生對長條圖的認識。這階段的教學尚不宜引進百分率、小數或分數來表現資料的量。（三）五年級：統計圖形的製作是由長條圖的製作開始，再經由有序資料的引進，來進行折線圖的報讀與製作。（四）六年級：配合「數與量」對比值和扇形面積的教學，再經由生活中資料的整理，來製作圓形圖。（五）九年級：配合國中階段「先代數、後幾何」的主題式教學方式，由次數逐漸進階 15.

(16) 至累計次數、累計相對次數、百分位數、中位數、全距、四分位距等統計量及直方圖、盒狀圖等統計圖形，來了解資料表現的特質。機率的介紹，仍以引進實驗或遊戲來了解機會並建立相關概念為主，尚不宜做嚴格的定義或過分繁雜的統計量計算。此階段可視資料量或其特性，適度引進電算器、電腦軟體來協助計算統計量，或製作統計圖形. 由於「統計與機率」主題在國民教育階段仍屬概念性的教學，較嚴謹的介紹將在高中、職階段的數學課程中實施。. 第三節. 試題關聯結構分析法. 欲知一個班級的學生在經過教學後，學童的概念能力在結構上的變化，是教學上非常重要的課題，但考驗的方法，在測驗理論中卻一直付諸闕如。美國學者 P.W. Airasian 與 W.M. Bart 於 1973 年首先揭開「次序理論」（Ordering theory）在教育工學的功用（Airasian & Bart, 1973）。 1977 年日本學者 Takeya 參加美國威斯康辛大學的研討會得知了「次序理論」，在返回日本後便致力於改良「次序理論」的缺點，於 1979 年發明「試題關聯結構分析法」，又於 1980 年完成試題關聯結構分析法的理論，Takeya 以測驗試題結果的方法，按題目彼此間反應所得的順序關係，製成有方向性的圖形結構，來分析試題的特性，此種方法稱之為試題關聯結構分析法（Item relational structure analysis），簡稱 IRS 分析法；有了此種方法，才能使班級學習情況的分析獲得解決，因此有效幫助學習情況與教學成果的分析（引自許天維，民 84）。. 一、試題關聯結構法理論直觀的意義假設 A、B 兩組學生各有十位，均參加試題共為六題的同一種測驗，答對者得一分，答錯者得零分，其得分情況如下表所示：. 16.

(17) 表 2-1. A、B 組學生得分情形表. A組. 試題 1. 試題 2. 試題 3. 試題 4. 試題 5. 試題 6. B組. 試題 1. 試題 2. 試題 3. 試題 4. 試題 5. 試題 6. 學生 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 學生 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 學生 2. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 學生 2. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 學生 3. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 學生 3. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 學生 4. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 學生 4. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 學生 5. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 學生 5. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 學生 6. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 學生 6. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 學生 7. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 學生 7. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 學生 8. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 學生 8. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 學生 9. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 學生 9. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 學生 10. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 學生 10. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 答對者數. 2. 5. 7. 4. 6. 6. 答對者數. 2. 5. 7. 4. 6. 6. 由表可知兩組測驗後，各組各試題之答對者人數均相同，為方便起見，可以改成下表：. 表 2-2. A組. 5 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 6. B組. 6 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答對者數生. 生. 2. 2 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 5. 題 4 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 4. 學. 學. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答對者數. 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0. 試 3 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 7. A、B 組學生得分情形簡表. 17. 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2. 2 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 5. 試 3 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 7. 題 4 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 4. 5 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 6. 6 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 6.

(18) 其次，依照每位學生試題所得的總分高低，由上而下排序可得下表：. 表 2-3 A組. 學生. 2. B組. 6 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 6. 高分. 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0. 1 2 5 7 6 8 3 4 9 10 答對者數生. 1 2 5 7 6 8 3 4 9 10 答對者數. 題 4 5 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 6. 學. 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0. 試 2 3 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 5 7. A、B 組學生試題得分排序表. 低分. 2. 試 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 5 7. 題 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 6. 6 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 6. 接著，以學生在各試題答對人數的多寡順序，由左而右排列，可得佐藤 S-P 表（佐藤隆博， 1982）。表 2-4. A組. B組. 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2. 1 2 5 7 6 8 3 4 9 10 答對者數生. 生. 多. 題 2 4 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 5 4. 學. 學. 1 2 5 7 6 8 3 4 9 10 答對者數. 3 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 7. 試 5 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 6 6. A、B 組學生試題得分、人數排序表. 少. 多. 18. 3 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 7. 試 5 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 6 6. 題 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 4. 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 少.

(19) 由上表可知兩組學生的總分順序及答對者人數的試題次序都相同；亦即二組之試題難易分配與試題號碼之對應完全一致，但如果焦點是考慮順序結構圖，依下列方法來細加分析，就會有顯著的不同。 A 組中，答對試題 1 的學生是 1 號及 2 號，他們同時也答對了試題 4，也就是答對試題 1 的學生也答對了試題 4，此時就有試題 4 到試題 1 的箭頭，記作 4→1；同理，答對試題 4 的學生是 1 號、2 號、7 號及 8 號，他們也同時答對了試題 5、6，所以分別有 5→4、6→4；另一方面，答對試題 1 的學生是 1 號及 2 號，他們也同時答對了試題 2，答對試題 2 的學生是 1 號、2 號、3 號、4 號及 5 號，他們也同時答對了試題 3，所以分別有 2→1、3→2；此外，答對試題 4 的學生是 7 號，但他沒有答對試題 2，故沒有試題 2 到試題 4 的箭頭，其餘均依此類推。同法，在 B 組中，答對試題 1 的學生是 1 號及 2 號，他們同時答對了試題 4，也就是答對試題 1 的學生也答對了試題 4，此時就有試題 4 到試題 1 的箭頭，記作 4→1；答對試題 4 的學生是 1 號、2 號、5 號及 7 號，他們同時答對了試題 2，所以就有 2→4；答對試題 2 的學生是 1 號、2 號、5 號、6 號及 7 號分別答對了試題 5、6，所以分別有 5→2、6→2；答對試題 5、 6 的學生有 1 號、2 號、5 號、6 號、7 號及 8 號，他們同時答對了試題 3，故有 3→5、3→6；其餘均依此類推。從以上分析，如果定義答對率為受試學生答對人數試題答對率＝受試全體學生的人數則以答對率為縱座標，可將所有相關的指向箭頭標示出來，成為完整的試題關聯結構圖，如下圖所示：. 19.

(20) 答對率. A 組試題關聯結構圖. 1. 1. 0.2. 0.4. 4. 4. 0.5. 2. 2. 0.6 0.7. B 組試題關聯結構圖. 5. 6. 5. 3. 6 3. 圖 2-1. A、B 組學生試題關聯結構圖. 上面兩個試題關聯結構圖截然不同，僅管兩個表的試題的答對率雖然相同，但兩組學生的理解結構卻不相同。左圖顯示 A 組有兩個系列存在，即試題 1、2、3 的系列以及試題 1、4、 5、6 系列，而右圖顯示 B 組的試題形成一個單純的一元化系列。由此可知，試題關聯結構圖可看出在 S-P 表所觀察不到的各試題間的順序關係，可作有方向性的圖性判讀。. 二、試題關聯結構的順序性係數以上所述只是為試題關聯結構分析法而設計的特殊實例，現在以數理推導理論來製造指向，為達到此目的，考慮先令：Ｘ＝（ｘij）N×n. i＝1,2,…,N;. j＝ 1,2,…,N.. 其中ｘij＝1 表第ｉ個學生答對試題 Ij，ｘij＝0 表第ｉ個學生答錯試題 Ij。又設： P（Ij）表試題 Ij 答對人數的機率。 P（Ik）表試題 Ik 答對人數的機率。 P（ I j）表試題 Ij 答錯人數的機率。 P（ I k）表試題 Ik 答錯人數的機率。 P（Ij，Ik）表試題 Ij 與試題 Ik 均答對的同時機率。 P（ I j，Ik）表試題 Ij 答錯且試題 Ik 答對的同時機率。 P（Ij， I k）表試題 Ij 答對且試題 Ik 答對的同時機率。 20.

(21) P（ I j， I k）表試題 Ij 與試題 Ik 均答錯的同時機率。則可知下面機率的四分割表：表 2-5. 試題 Ik、Ij 答對與答錯人數機率表. 試題 Ik 對(1). 試. 錯(0). 合計. 對(1) P（Ij，Ik） P（Ij， I k） P（Ij）題錯(0) P（ I j，Ik） P（ I j， I k） P（ I j） Ij. 合計. P（Ik）. P（ I k）. 1. 從試題 Ij 到試題 Ik 的試題關聯順序係數，竹谷誠（1979）以下式來定義： r*jk＝1－P（ I j，Ik）/ P（ I j）P（Ik）其中 P（ I j）表試題 Ij 答錯人數的機率。 P（Ik）表試題 Ik 答對人數的機率。 P（ I j，Ik）表試題 Ij 答錯且試題 Ik 答對的同時機率。. 三、試題關聯結構分析建立試題間的順序關係，依據試題間的順序性係數，整理試題之間是否有順序關聯。以下就試題關聯結構的順序來做分析：（一）試題關聯結構順序性的閥值由受試者的答題原始資料，可以藉由IRSP軟體（郭伯臣、田聖才，民84）算出兩兩測驗題目之間的順序性係數，藉此順序性係數來建立試題關聯結構圖。假設A、B、C、D分別表示意義如下：. A：試題i與試題j均答對的人數 B：試題i答對但試題j答錯的人數 C：試題i答錯但試題j答對的人數 D：試題i與試題j均答錯的人數設N=A+B+C+D，試題i與試題j的關係如下：. 21.

(22) 表2-6 試試. 題. 試題i、j答對與答錯人數統計表. 答對. 答錯. 總計. 答對. A. B. A+ B. 答錯. C. D. C+ D. 總計. A+ C. B+ D. N. 題. j. i. 其中試題i到試題j的試題關聯順序性係數經化簡可得： CN (C + D)( A + C ) * 此順序性係數 r ij 表試題 i 指向試題 j 的順序性程度，即試題 i 為下位概念，試題 j 為上 *. r ij＝1－. 位概念。順序性係數是一個數值，若此數值超過閥值（threshold），表示試題 i 至試題 j 有順序性存在，記作試題 i→試題 j，反之表示試題 i 至試題 j 沒有順序性存在，記作試題 I ↛試題 j。Ｈp 為所有試題之等質性係數（Homogeneity index），又設順序性係數的閥值為μ*，則依照 Takeya（1991）的研究，全部試題間順序指向的煩雜程度是以Ｈp 值為尺度，而且當全部試題間均具全順序指向構造，即上下位關聯弱推移性時，表示Ｈp 接近μ*；當全部試題間均呈現彼此獨立而無任何順序指向時，表示Ｈp＜2μ*－1；當全部試題間有半數具順序指向現象時，表示Ｈp 接近μ*。因此當選擇順序性係數閥值為μ*＝0.5 時，則可整理出以下結果（引自許天維，民 84）：. 1.若全部試題間無順序指向，即全部試題間呈現彼此獨立，則表示Ｈp 接近 0。 2.若全部試題間有半數具順序指向，則表示Ｈp 接近μ*＝0.5。 3.若全部試題間均具順序指向，則表示Ｈp 接近 1。. 另一方面，因全部試題間具順序指向的個數佔總試題間兩兩成對的個數比值是閥值μ* 的線函數，所以本研究為使試題間具有順序指向個數不過半，以免造成順序指向過於煩雜，而先選擇最常用的順序性係數閥值以進行分析，亦即將其閥值設為μ*＝0.5。值得注意的是若順序指向過少，可以減小閥值；若順序指向過多，可以加大閥值；一般所取閥值是介於0.4與0.6之間。當r*ij≧μ*＝0.5時，就會有第i試題到第j試題的順序存在，在此情況 22.

(23) 下，以1來表示此種順序的指向存在；反之，則以0來表示無第i試題到第j試題的順序性指向存在。據此，由例子介紹從順序性係數轉換成試題順序關係0-1矩陣，下表是試題順序性係數的舉例：表 2-7. 試題順序性係數舉例一覽表. 試題. 試. 1. j. 題. 2. 3. 4. 5. 6. 0.04. 0.34. 0.17. 0.22. 0.09. 0.18. 0.36. 0.15. 0.14. 0.12. 0.35. 0.36. 0.07. 0.44. i. 1 2. 0.52*. 3. 0.78*. 0.64*. 4. 0.65*. 0.17. 0.37. 5. 0.88*. 0.26. 0.06. 0.83*. 6. 0.56*. 0.23. 0.14. 0.68*. 0.58* 0.87*. 註：*表順序性係數大於等於0.5 若以閥值為0.5作標準，將試題順序性係數舉例一覽表中大於等於0.5的係數改為1，小於0.5的係數改為0，則可把試題順序性係數舉例一覽表改成較為簡便，如下表之試題順序性關係0-1矩陣之舉例：表2-8. 試題順序性關係0-1矩陣舉例一覽表. 試題. 試. j. 題. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. i. 1 2. 1. 3. 1. 1. 4. 1. 0. 0. 5. 1. 0. 0. 1. 6. 1. 0. 0. 1. 23. 1 1.

(24) （二）試題關聯結構圖的繪製經整理出試題順序關係0-1矩陣後，則可開始繪製試題關聯結構圖，其繪製方式如下所述（引自許天維，民84）：. 1.以縱座標表示通過率，上方座標表示通過率低，下方座標表示通過率高，將試題依通過率高低加以標示試題題號於座標上。. 2.在順序性係數0-1表中，若有1則繪出從「縱座標的試題題號」至「橫座標的試題題號」的指向箭頭。. 3.為避免指向箭頭過多，影響分析工作進行，故需簡化圖形，例如儘量將通過率相差懸殊的指向或遞移性指向加以簡略，或依圖形理論將順序性0-1表，經由矩陣運算化為最簡，再行標示。. 答對率為縱座標，可將所有相關的指向箭頭標示出來，並依下列程序形成完整的試題關聯結構圖（Takeya，1999），如下圖2-2所示：. 24.

(25) 答對率. 試題關聯結構圖. 答對率. 試題關聯結構圖將遞移指向消除. 1. 0.2. 0.4. 4. 0.6. 1. 4. 0.4. 2. 0.5. 0.7. 0.2. 0.5 5. 6. 2. 0.6. 3. 0.7. 5. 6. 3. 答對率. 試題關聯結構圖將等價合併. 0.2. 1. 0.4. 4. 0.5. 2 5. 0.6 0.7 圖 2-2. 6. 3. 關聯結構簡化程序圖. 四、試題關聯結構法的功能試題關聯結構分析法有下列五種功能（引自許天維，民 84）：（一）教學設計：在單元教學活動前，教師可以將欲進行的課程內容的先前經驗概念，作一知識結構分析後，再依結構所對應的知識概念分別出題，並加以施測，所得的結果以「試題關聯結構分析法」進行分析，可以考驗出先前經驗概念不足之處，從而想像出未來指導時的困難所在，以為進行設計教學歷程的參考。（二）形成性評量（formative evaluation）： 25.

(26) 在單元教學活動後，欲知班上學習結果，可以利用知識結構分析出題，編製形成性評量，再加以施測，所得的結果以「試題關聯結構分析法」進行分析，就可以知道學童學習後的知識結構，以便對學童不清楚之處，加強補救教學。（三）認知學習構造：形成性評量的反應結果，亦可利用佐藤 S-P 表獲得注意係數，從而偵測出異質性的學童，此類學童所畫出結構圖與班上的結構圖可以互為比較，即可知道此類學童異質的原因，從而加強輔導教學。（四）概念形成過程：對縱貫研究（longitudinal study）而言，學童概念的形成過程有層次之分，教師進行評定學童設有四層次，即操作經驗層次、知覺內化層次、言語抽象層次、因果論理層次，如果以此四層次來評定各年級班上學生的形成過程，並建立各年級的結構圖，即可知學生的概念形成過程的發展。對橫斷研究而言，亦可知班上學生的概念形成過程的分布。（五）課程教材構造：由母群體隨機抽出樣本進行考驗後，透過「試題關聯結構分析法」進行構圖，可得一般學童的學習構造，對教科書編者而言，是貴重的資料，而且對於分析典範教師的學習指導構造圖的特質，都有很大的作用。. 綜上所述，本研究所編之統計初步概念試題主要是為了得知一個班級學童的知識結構，因此是為形成性評量，透過評量結果所建立的結構圖，可以用來瞭解學童知識結構不穩固的地方，而據以實施補救教學或改進教學設計，以更符合學童知識結構的發展。. 26.

(27) 第三章. 研究方法. 本研究以試題關聯結構分析法的理論為基礎，希望能編製一份可以測出國小學童統計初步概念的試題，進行研究設計與實施。茲依序就研究架構、研究對象、研究工具、研究流程、資料處理與統計分析方法加以說明。. 第一節. 研究架構. 本研究根據研究目的與文獻探討資料，提出研究架構如圖 3-1 所示，以利描述整個研究過程：學童統計初步概念. 試題檢核表. IRS 分析. 國小統計教材架構. 統計初步概念圖. 抽樣班級. 試題關聯結構圖 1. 各子概念結構圖 2. 系列試題結構圖. 概念結構圖分析圖 3-1 研究架構圖 27. 雙向細目表. 國小統計初步概念試題測驗.

(28) 第二節. 研究對象. 本研究的目的在於透過一有關九年一貫課程數學領域統計初步概念的測驗工具，藉由試題關聯結構分析法（IRS）分析受試學生的群體學習結構圖，進而瞭解學童統計初步概念的內涵，因此，考慮國小統計課程的完整性，便決定以六年級學童為施測對象。一、樣本描述本研究對象是以台中縣某智類國民小學為主，因地緣、時間及各項學校行政溝通之故，故選取研究者任教學校中的六年級學童一班共 29 人。現行的學童所使用的教材內容為國民中小學九年一貫之新課程。. 二、樣本施測（一）預試：以台中市上安國民小學，從五、六年級中隨機各取二班共四班，133位學童來進行試題的預試，實際有效樣本133份。（二）正式施測：從研究者學校，隨機抽出一班六年級的學童，共29人進行施測。. 第三節. 研究工具. 本研究的主要研究工具為「國小學童統計初步概念測驗試卷」，同時運用相關的統計軟體，茲將研究工具說明如下：一、編製測驗試卷（一）試題內容的概念架構本研究使用的試卷是研究者自編的「國小學童統計初步概念測驗試卷」，試題的編擬由研究者依據現行國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域（教育部，民 92），以及各出版社所出版經教育部審核通過之數學科教科書及教師手冊，符合本研究的目的，所以測驗的編擬，充分掌握原則如下：1.符合現行課程綱要。2.配合教材內容的教學單元。3.測驗內容符合研究目的。編製如圖 3-2 之統計教材架構圖，再參酌統計初步概念的相關文獻，顧及已正式接受過統計教學的學童對於統計初步概念的認知發展，架構出如圖 3-3 之統計初步概念圖，再據以編製如圖 3-4 之統計初步概念試題架構圖，最後形成統計初步概念自編試題，試題共有 26 題，題型皆為選擇題。（試題內容請參閱附錄一） 28.

(29) 描繪與做出圖形. 認識基數與序數. 解決數的合成與分解. 比較量的多寡. 認識日曆與月曆. 分類及紀錄. 活動結果紀錄於表格中. 報讀一維表格. 認識長條圖. 解讀一維表格. 解釋長條圖報讀二維表格. 整理資料繪成長條圖. 解讀二維表格. 整理資料製成統計表. 應用於生活中. 圖 3-2. 統計教材架構圖. 29.

(30) 九年一貫數學學習領域課程中，統計的內容僅限於敘述統計的範疇，此乃學習統計學的入門，國小學童學習統計也是由此開始，所以敘述統計的相關數學概念為統計的初步概念，故本研究以「敘述統計」來測驗學童的統計初步概念，期能測出學童真正的統計初步概念。. 資料的範圍界定能力. 資料的點計能力資料的對應能力. 資料的序列能力. 資料的分割能力. 資料的類等價能力. 資料的重製能力. 資料的表格化能力. 資料的圖形化能力. 資料的報讀能力. 資料的推論能力. 圖 3-3. 統計初步概念圖. 30.

(31) 蒐集資料. 資料的範圍界定. 資料的點計. 資料的序列. 資料的對應整理與分類資料統計初步概念. 資料的分割. 資料的類等價. 資料的重製表徵資料資料的表格化. 資料的圖形化. 資料的報讀解釋資料資料的推論. 圖 3-4. 統計初步概念試題架構圖. 31.

(32) （二）測驗試題的編制與預試 1.雙向細目表本研究以數學五個層次「知識」、「理解」、「應用」、「分析」、「綜合」為橫軸，統計初步概念之教材內容為縱軸來設計雙向細目表，所得之統計初步概念測驗試題雙向細目表如下表3-1所示：表 3-1 統計初步概念測驗試題雙向細目表（數字為對應題號）知識. 教. 理解. 應用. 分析. 綜合. 合計. 學目. 教. 標. 材內容. 收集資料. 3、22. 整理與分析資料. 11、19. 2題. 1、4. 6、10. 2、18. 15、21. 23. 20. 12 題. 8、9 12、13. 表徵資料. 8題. 16、17 24、26. 5、7. 解釋資料. 合計. 14. 4題. 4題. 8題. 32. 6題. 25. 4題. 4題. 26 題.

(33) 根據試題內容的概念架構所得之試題，其包含統計初步概念子概念與其子項分配之於下表 3-2 所示：表 3-2 統計初步概念試題命題雙向細目表（數字為對應題號）收集資料整理與分析資料. 教. 表徵資料. 解釋資料. 合計. 材內. 教. 容. 學單元. 資料的範圍界定. 3、22. 2題. 資料的點計. 11、19. 2題. 資料的序列. 6、10. 2題. 資料的對應. 15、21. 2題. 資料的分割. 2、18、20. 3題. 資料的類等價. 1、4、23. 3題. 資料的重製. 9、13. 2題. 資料的表格化. 12、16、17. 3題. 資料的圖形化. 8、24、26. 3題. 資料的報讀. 5、7、14. 2題. 資料的推論. 25. 1題. 4題. 26 題. 合計. 2題. 12 題. 8題. 33.

(34) 2.選擇題命題指導原則（1）內容檢核： a. 試題內容是否符合該評量之目標？ b. 試題內容是否以評一個概念為主？ c. 試題所提供的訊息是否完整？ d. 試題是否能清楚表達題意？ e. 試題是否只提問一個問題？ f. 同一份測驗中每個試題是否各自獨立？ g. 試題之標準答案是否為公認正確且無爭議？ h. 試題是否避免過於抽象？ i. 試題的文字是否簡明扼要？ j. 避免佈設陷阱於試題之中，包括刻意的陷阱與無心的陷阱？ k. 標準答案之分布是否均勻？ l. 作答時間是否合理？（2）題幹檢核： a. 題幹是否保持完整，沒有中斷？ b. 附圖是否置於題幹之後？ c. 題幹是否完整敘述主要概念？ d. 題幹是否避免雙重否定？ e. 是否使用正確的語文語法？ f. 標點符號的使用是否正確？ g. 試題的中心概念是否出現在題幹，而不是在選項？ h. 是否使用肯定句，避免否定用語或除此以外的用語？（3）選項檢核： a. 試題之標準答案是否正確且無爭議？ b. 是否採用四選一的單選題，即題所列答案數目為四個？ c. 選項中是否只有一個是正確的答案？ d. 是否根據選項數目，變化正確所在的位置？ e. 是否保持選項內容的同質性？ f. 是否避免「以上皆非」、「以上皆是」、「不知道」的答案？ g. 選項是否採用正面陳述，避免負面陳述？ 34.

(35) h. 選項是否具誘答力？ i. 是否應用考生典型的錯誤作為選項？ j. 是否避免使用幽默選項？根據以上選擇題命題指導原則（郭生玉，民 76），編製「試題檢核表」，提供命題者逐一檢查其所命試題，以期提升命題品質。（試題檢核表如附錄二）（三）測驗試題的信度信度（reliability）又稱可靠性，係指測驗結果的穩定性。本研究以 Cronbach’s α 係數來求試題的內部一致性，其中 α 以下式來定義（陳英豪、吳裕益，民 87）：. n α＝ n −1.  ∑ Si 2 1 −  Sx 2 .    . 其中 n 表測驗之題數. Si 2 表每一題的分數之變異數 Sx 2 表測驗總分之變異數試題編製完成後，以台中市上安國民小學為預試施測學校，從五、六年級中的四班學生，共 133 人來進行試題的預試對象，施測結果以 Cronbach’s α 係數來求試題的一致性，預試所得之 α 值為.8730，其信度是可接受之預試試題，如此將試題的內容措辭加以修飾及試題的順序加以調整，即可作為正式施測之試題。（四）測驗試題的效度效度（validity）亦稱正確性，係指一個測驗能夠正確地測量到它所要測量之能力或潛在特質的程度。本研究採內容效度及專家效度。 1. 內容效度內容效度旨在有系統的檢查測驗內容的適切性，考量測驗內容是否包括足夠的行為樣本或取樣的適切性，若測驗試題能包含教學目標與教學內容，並利用雙向細目表來命題。本測驗工具根據圖 3-4 統計初步概念試題架構，發展出表 3-1 統計初步概念測驗的試題雙向細目表和表 3-2 統計初步概念測驗的命題雙向細目表，再根據檢核表要項逐一檢核所編製之試題，作為考驗內容效度之依據。 2.專家效度本研究完成試題初稿後，諮詢過國立台中師範學院專精於測驗的教授，三位正在就讀國立台中師範學院數學教育研究所且教學經驗豐富的現職國小教師，以及三位教學 35.

(36) 年資分別為五年、十年及十三年的國小現職五、六年級教師，審視試題是否恰當，並提供意見修改使之。. 本研究的測驗試題經上述之原則與重點加以編製而成初稿，將試題初稿請學有專長之測驗專家及教學經驗豐富之學科專家提供意見，加以修改改進，使試題更具內容效度與專家效度。. （五）試卷內容本測驗工具依據四個統計初步概念發展及其十一個子項共計二十六題（如表 3-2 所示），在經過專家的審查後，進行修改、預試及信度考驗，正式完成國小學童統計初步概念測驗試卷，本試卷的統計初步概念子項之認知分析如下：. 1.資料的範圍界定 3.孟加、昱瑋、呈瑞和歡文四人測得身高體重分別為孟加 142 公分、昱瑋 138 公分、呈瑞 144 公分、歡文 40 公斤、請問何人不是身高的資料？（1）孟加（2）歡文（3）呈瑞（4）昱瑋正確選項：2 分析：在長度與重量單位的資料中，依組成各個份子的性質，分辨資料範圍的能力。. 22.下列何者不是時間所使用的單位（1）秒（2）時（3）分（4）米正確選項：4 分析：在時間與長度單位的資料中，依組成各個份子的性質，分辨資料範圍的能力。 36.

(37) 2.資料的點計 11.數一數，下圖有幾個蘋果？（1）25 （2）26 （3）27 （4）28. 正確選項：4 分析：透過數數，得知資料中蘋果個數的能力。. 19.數一數，下圖的魚缸共有多少隻魚？（1）14 （2）15 （3）16 （4）17. 正確選項：1 分析：透過數數，得知資料中魚個數的能力。. 37.

(38) 3.資料的序列 6.孟加、昱瑋、呈瑞、伯霖和英傑五人的體重分別為孟加 43 公斤、昱瑋 45 公斤、呈瑞 34 公斤、伯霖 50 公斤英傑 37 公斤，則何人體重最輕？（1）呈瑞（2）英傑（3）昱瑋（4）伯霖正確選項：1 分析：在資料中，能按照由大而小或從小而大的重量次序排列，建立其大小次序關係的能力。. 10.若有一根 25 公分的棍子，欲擺在下圖中按長短位置排列，則應擺在哪一個位置？（1）一（2）二（3）三（4）四. 正確選項：3 分析：在資料中，能按照由大而小的長度次序排列，建立其大小次序關係的能力。. 4.資料的分割 2.若將下圖依照圖形顏色的黑白將它分開，則下列選項何者正確？. 正確選項：3 分析：依照資料中某一性質（顏色黑白），劃分成不同子集的能力。 38.

(39) 18.若將下圖依照圖形突出角的個數將它分開，則下列選項何者正確？. 正確選項：3 分析：依照資料中某一性質（突出角個數），劃分成不同子集的能力。. 20.若將下圖依照圖形邊的個數將它分開，則下列選項何者正確？. 正確選項：3 分析：依照資料中某一性質（邊個數），劃分成不同子集的能力。. 39.

(40) 5.資料的對應 15.依照下圖，圖中的動物以. 表示，請選出正確選項：. （1）. （2）. （3）. （4）. 正確選項：2 分析：在單一資料中，能做一與一質的對應，而非單位的對應的能力。. 21.依照以下圖畫，若花的數量以. 來表示，請選出正確選項：. 正確選項：2 分析：在一群資料中，能做一與一質的對應，而非單位的對應的能力。. 40.

(41) 6.資料的類等價 1.根據下面左圖，若把兔子、蝴蝶分為一類，樹、草和花分為另一類（下面右圖），是依下列何者屬性分類？（1）形狀大小（2）動植物（3）生活環境（4）腳的數目. 正確選項：2 分析：依照資料的某一性質（花、樹、草）做出分割與叢聚後，可再依另一性質（植物）做另一種不同形式分割與叢聚的能力。. 4.根據左圖之鈕扣，若分完類如右圖，是依下列何者屬性？（1）孔的數目（2）大小（3）角的個數（4）邊的個數. 正確選項：1 分析：依照資料的某一性質（鈕扣）做出分割與叢聚後，可再依另一性質（孔的數目）做另一種不同形式分割與叢聚的能力。. 23.一群動物中，有鯨魚、大象、獅子、老虎、章魚和海馬，若將鯨魚、章魚和海馬分為一類；另一類是大象、獅子和老虎，請問是依何者屬性分類？（1）腳的數目（2）形狀大小（3）生活環境（4）動植物正確選項：3 分析：依照資料的某一性質（鯨魚、章魚、海馬）做出分割與叢聚後，可再依另一性質（海中生物）做另一種不同形式分割與叢聚的能力。 41.

(42) 7.資料的重製 9.根據下圖各種類的數量，選出與圖相同數量的選項：. （1）. （2）. （3）. （4）. 正確選項：2 分析：能在一群資料中，整理成二維有序資料的能力。 13.根據下圖各動物的數量，選出與圖相同數量的選項：. 正確選項：1 分析：能在一群資料中，整理成一維有序資料的能力。 42.

(43) 8.資料的表格化 12.小明班上認養動物園的無尾熊，特別為他舉辦命名大賽，結果如下圖，則按照票數，選出名字. 正確選項：乖乖. 健健. 康康. 樂樂. 美美. 票數（1）. （3）. （2）名字乖乖健健康康樂樂美美. 名字乖乖健健康康樂樂美美. 票數. 票數. 9. 12. 16. 13. 22. 名字乖乖健健康康樂樂美美票數. 9. 11. 17. 13. （4）. 22. 9. 11. 16. 13. 22. 名字乖乖健健康康樂樂美美票數. 9. 11. 16. 13. 21. 正確選項：2 分析：能將一維的資料（畫記符號），製成一維表格（數字）的能力。 16.下表是小健的功課表，請選出課表上每一科目一週要上多少節課？用符號「. 」表示，. 選出正確選項。 1 2 3 4 5 6 7 （1）. （3）. 星期一語文語文生活數學健體健體生活. 星期二數學語文語文綜合. 科目語文數學生活綜合健體. 星期三語文語文數學生活. 星期四數學語文健體健體. 星期五語文數學綜合綜合. （2）科目語文數學生活綜合健體. 節數. 節數. （4）（4）科目語文數學生活綜合健體. 科目語文數學生活綜合健體. 節數. 節數. 正確選項：4 分析：能將二維的資料，製成一維表格（畫記符號）的能力。 43.

(44) 17.下圖是某日四年忠班小朋友的中餐紀錄，請選出表中每一種食物出現的次數？用符號「正」表示，選出正確選項。. （1）. （3）. 1號. 2號. 3號. 4號. 5號. 6號. 7號. 8號. 9號. 10 號. 11 號. 12 號. 13 號. 14 號. 15 號. 16 號. 17 號. 18 號. 19 號. 20 號. 21 號. 22 號. 23 號. 24 號. 25 號. 26 號. 27 號. 28 號. 29 號. 30 號. 31 號. 32 號. 33 號. 34 號. （2）. （4）. 正確選項：2 分析：能將一維資料，製成一維表格（畫記符號）的能力。. 44.

(45) 9.資料的圖形化 8.根據表格的數據，選出正確的長條圖：類型數量. （1）. （3）. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1. 7. 5. （2）. （4）. 6. 3. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1. 正確選項：3 分析：能將一維統計結果的資料，繪製成長條圖（直向）的能力。 24.四年忠班要做果汁，同學帶來水果的情形如下，把下面統計做成長條圖，選出正確選項：. 正確選項：3 分析：能將一維未整理的資料，繪製成長條圖（直向）的能力。 45.

(46) 26.孟加的存摺裡今年上半年存入錢如下：一月存入 200 元；二月存入 300 元；三月存入 400 元；四月存入 500 元；五月存入 600 元；六月存入 700 元，根據資料完成長條圖，何者選項正確？. 正確選項：4 分析：能將一維的資料，繪製成長條圖（橫向）的能力。 10.資料的報讀 5.下圖是孟加、昱瑋、呈瑞、歡文、伯霖和英傑六人之身高長條圖，則呈瑞的身高比伯霖的身高高多少公分？（1）10 （2）15 （3）20 （4）25. 公分. 150 140 130 120 110 0 公分. 孟加. 昱瑋. 呈瑞. 正確選項：3 分析：能從長條圖中，讀出所要資訊並應用的能力。 46. 歡文. 伯霖英傑.

(47) 7.下圖是四年級學期末園遊會的收入統計表，收入在 300 元到 400 元之間的是哪一班？（1）信班（2）莊班（3）敬班（4）和班 600 500 400 300 200 100 0 元. 信班. 義班. 和班. 平班. 莊班. 敬班. 正確選項：2 分析：能從長條圖中，讀出所要資訊的能力。 14.下面 A、B 兩張圖表各是去年和前年聖誕節，元記餅乾屋的餅乾銷售數量圖表，下列選項何者正確？（1）薑餅屋前年銷售比去年好（2）乳糖前年銷售比去年好（3）葡萄乾前年銷售比去年好（4）巧克力前年銷售比去年好. 正確選項：3 分析：能從長條圖中，讀出所要資訊並比較的能力。 47.

(48) 11.資料的推論 25.下面是去年雨量的統計圖，若每年雨量情形大致相同，今年哪一個季節水庫的進水量最多？（1）春（2）夏（3）秋（4）冬. 正確選項：1 分析：能從已知的長條圖資訊中，推斷未知結果的能力。. 二、統計軟體本研究所使用的電腦軟體有（一）EXCEL 套裝軟體：進行試題各項基本分析。（二）SPSS（10.0 for Windows）套裝軟體：進行測驗所得資料之相關分析、T 檢定分析、信度分析（張紹勳、張紹評、林秀娟，民 92）。（三）IRSP（郭伯臣、田聖才，民 84）：求出各試題間的關聯順序性係數，以便繪出試題關聯結構圖。. 48.

(49) 第四節. 研究流程. 本研究之目的為藉由統計初步概念的測驗工具，藉由試題關聯結構分析受試學生的群體學習結構圖，進而瞭解學童統計初步概念的內涵，實施的流程如下：蒐集探討相關文獻. 試題檢核表. 分析國小統計教材. 統計初步概念圖. 統計教材架構圖. 統計初步概念試題架構圖. 編擬試題. 測驗及學科專家檢核修訂試題. 選擇對象進行施測. 資料分析. 形成 IRS 結構圖. 結果分析. 撰寫研究報告圖 3-5. 研究流程圖 49. 雙向細目表.

(50) 第五節. 資料處理. 本研究主要分析方式是採取量化的研究，進而探討國小學童在統計初步概念的知識結構，此次在筆試試題測驗的資料處理如下：一、使用 EXCEL 套裝軟體進行試題難易度分析、鑑別度之高低分組差分析及資料整理。. 二、使用 SPSS 套裝軟體進行試題鑑別度之相關分析、T 檢定分析及信度分析。. 三、使用 IRSP 軟體求出各試題間的關聯順序性係數，據以繪出試題關聯結構圖。. 50.

(51) 第四章. 研究結果與分析. 本研究結果的分析與討論，共分三部分。第一部分為試題性質的分析，包括測驗之信度、效度、難易度及鑑別度的分析；第二部分是試題關聯順序性係數的分析；第三部分是藉由試題關聯結構分析法（IRS）來分析受測兒童統計初步的概念。. 第一節. 試題性質分析. 一、信度分析信度（Reliability）係指測驗結果的穩定性。本研究是採用 Cronbach’s α 係數來代表其測驗之內部一致性，經 SPSS/PC 分析得測驗整體之α係數為.8392，表示此測驗之信度有相當的信度，其信度分析情形如表 4-1 所示：表 4-1. 測驗試題信度之 Cronbach’s α 係數表. 題號. 刪除此題後之 Cronbach’s α 值. 題號. 刪除此題後之 Cronbach’s α 值. 1. .8241. 14. .8349. 2. .8236. 15. .8405. 3. .8271. 16. .8349. 4. .8295. 17. .8262. 5. .8410. 18. .8186. 6. .8403. 19. .8405. 7. .8221. 20. .8216. 8. .8405. 21. .8439. 9. .8422. 22. .8271. 10. .8218. 23. .8321. 11. .8403. 24. .8469. 12. .8405. 25. .8409. 13. .8405. 26. .8271. 此測驗整體之 Cronbach’s α 值＝.8392 51.

(52) 二、效度分析一份測驗工具先要具有信度，再來就要具有效度。信度需要測驗結果的一致性，但效度則需要測驗結果的一致性和正確性。本研究於編製試題時，依據統計初步概念相關文獻及國小現行統計初步概念教材所歸納出之子概念，先編製統計初步概念測驗試題之雙向細目表（如表 3-1）來進行命題，施測對象為國小六年級的學童，以內容效度及專家效度的方式來進行分析。（一）內容效度本研究之測驗試題利用雙向細目表（如表 3-1）與命題雙向細目表（如表 3-2），期能符合國小統計初步概念課程教學目標與教材內容，再根據試題檢核表（如附錄二）逐一檢視，修正不合適之試題，藉以提升試題的內容效度。本研究之測驗試題均符合國小統計初步概念課程教學目標與教材內容，且合乎試題檢核表之試題編製要點，具備一定程度的內容效度。（二）專家效度至於專家效度，在學科專家的部分，則在本測驗編製之初請三位擔任國小五、六年級分別為五年、十年、十三年的級任老師先行校閱，修改試題中不適合學童的詞句（審查表格見附錄三）；在測驗專家部分，與台中師範學院專精於測驗的教授進行討論與修正，作為專家效度之依據。. 三、難易度與鑑別度分析（一）難易度分析難易度是代表每試題難易程度的指標，其表示方法有兩種，一是計算全體受試者，答對每一試題的人數佔全體受試者的百分比值，又稱答對百分比，此百分比值即做為該試題之「難易度指數」P（item difficulty index）。 P＝. X S. X：答對該試題之人數 S：全體受試者之人數另一是根據受試者得分高低排序，由最高分數向下取全體受試人數的 27%為高分組，再從最低分數向上取全體受試人數的 27%為低分組，再分別求出高分組及低分組在每個試題的答對率；最後將高分組之答對率 PH 和低分組之答對率 PL，求其平均即可得該試題之「難易度指數」D（item difficulty index）。 52.

(53) D＝. PH + PL 2. PH：最高分數向下取全體受試人數的 27%之答對率 PL：最低分數向上取全體受試人數的 27%之答對率表 4-2. 測驗試題之難易度指數表. 分析項目. 難易度指數. 難易度指數. 題號. P. D. 1. 0.79. 0.75. 2. 0.86. 0.75. 3. 0.97. 0.94. 4. 0.86. 0.88. 5. 0.93. 0.88. 6. 0.97. 0.94. 7. 0.90. 0.81. 8. 1.00. 1.00. 9. 0.93. 0.88. 10. 0.93. 0.88. 11. 0.97. 0.94. 12. 1.00. 1.00. 13. 1.00. 1.00. 14. 0.83. 0.88. 15. 1.00. 1.00. 16. 0.83. 0.81. 17. 0.93. 0.88. 18. 0.69. 0.50. 19. 1.00. 1.00. 20. 0.76. 0.63. 21. 1.00. 1.00. 22. 0.97. 0.94. 23. 0.83. 0.81. 24. 0.76. 0.81. 25. 0.59. 0.69. 26. 0.97. 0.94. 53.

(54) （二）鑑別度分析鑑別度指標是明瞭該試題具有區別學生能力高低的功能，若某一試題的鑑別度指標很高，即表示該題能分辨答對與答錯學生的功能很強。則以高分組之答對率PH減掉低分組之答對率PL，即得該試題之鑑別指數d（item discrimination index）。. d＝PH－PL. PH：高分組之答對率 PL：低分組之答對率. 此外，試題鑑別力的分析，亦可用每個試題得分反應與測驗總分的關聯性來表示（簡茂發，民 76）。若試題得分與總分的相關程度愈高，表示試題的得分高低與總分高低愈一致，亦即該試題鑑別度就愈高。因此本研究求出試題與總分的點值二系列相關係數（point. biserial correlation） rXYi 來表示試題的鑑別力（林清山，民 81）。. rXYi =. ∑ (X − X )(Y. i. − Yi. ). NS X S Yi. X ：全體學生在全部試題答對之情形 X ：全體學生在全部試題答對之平均 Y ：全體學生在第 i 題答對之情形 Y ：全體學生在第 i 題答對之平均 S X ：全部試題之標準差. SYi ：第 i 題之標準差 N ：全體受測人數. 54.

(55) 經 SPSS/PC 套裝軟體進行分析，其結果如下表 4-3 所示。. 表 4-3. 測驗試題之之鑑別度指數表. 分析項目. 鑑別度指數. 點二系列相關係數. 題號. d. rXYi. 1. 0.50. 0.66**. 2. 0.50. 0.68**. 3. 0.13. 0.74**. 4. 0.25. 0.56**. 5. 0.25. 0.22. 6. 0.13. 0.18. 7. 0.38. 0.72**. 8. 0.00. a. 9. 0.25. 0.18. 10. 0.25. 0.78**. 11. 0.13. 0.18. 12. 0.00. a. 13. 0.00. a. 14. 0.25. 0.46*. 15. 0.00. a. 16. 0.38. 0.46*. 17. 0.25. 0.66**. 18. 1.00. 0.75**. 19. 0.00. a. 20. 0.75. 0.70**. 21. 0.00. 0.01. 22. 0.13. 0.74**. 23. 0.38. 0.51**. 24. 0.38. 0.27. 25. 0.63. 0.45*. 26 0.13 註：**在顯著水準為 0.01 時 (雙尾)，相關顯著。 *在顯著水準為 0.05 時 (雙尾)，相關顯著。 a 由於至少有一個變數是常數，因此無法計算。 55. 0.74**.