《二次根式》全章复习与巩固（基础）知识讲解

《二次根式》全章复习与巩固（基础）知识讲解

【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二次根式的相关概念和性质 1.二次根式 形如

a a

(



0)

的式子叫做二次根式，如

3,

1

, 0.02, 0

2

等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式

a

有意义的条件是

a



0

，即只有被开方数

a



0

时，式子

a

才是二 次根式，

a

才有意义. 2.二次根式的性质 （1） ； （2） ； （3） . 要点诠释：（1） 一个非负数

a

可以写成它的算术平方根的平方的形式，即

a

2

(

a

)



（

0

a



），如

_{2 ( 2) ;}

2

1

₍

1

_{) ;}

2

₍

₎

2

3

3

x

x







（

x



0

）.

（2）

_a

2 _中

a

_{的取值范围可以是任意实数，即不论}

a

_取何值，

_a

2 _{一定有意义.} （3）化简

_a

2 _{时，先将它化成}

a

_{，再根据绝对值的意义来进行化简.} （4）

_a

2 _与

₍

_a

₎

2_的异同 不同点： 2

a

中

a

可以取任何实数，而

(

a

)

2中的

a

必须取非负数； 2

a

=

a

，

₍

_a

₎

2₌

_a

_（

_a

_

₀

_）. 相同点：被开方数都是非负数，当

a

取非负数时，

_a

2 ₌

₍

_a

₎

2_. 3.最简二次根式 （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含有分母； （3）分母中不含有根号. 满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.如

_2,

_ab

_,3

_x

_,

_a

2

_

_b

2 _{等都是最简二次根} 式. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式 的指数都小于根指数 2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同 ， 再判断.如

2

与

8

，由于

8

=

_{2 2}

，

2

与

8

显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1.乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法

a



b



ab a

(



0,

b



0)

积的算术平方根化简公式：

(

0,

0)

ab



a



b a



b



二次根式的除法

a

=

a

(

a

0,

b

0)

b

b





商的算术平方根化简公式：

(

0,

0)

a

a

a

b

b



b





要点诠释： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如

a b c d





ac bd

. （ 2 ） 被 开 方 数 a 、 b 一 定 是 非 负 数 （ 在 分 母 上 时 只 能 为 正 数 ） . 如 ( 4) ( 9)      4 9 .

2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不 变，即合并同类二次根式. 要点诠释： 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最 后合并同类二次根式.如

2 3 2 5 2 (1 3 5) 2





  

 

2

. 【典型例题】 类型一、二次根式的概念与性质 1． 当________时，二次根式

_x

_

₃

在实数范围内有意义. 【答案】

x

≥3. 【解析】根据二次根式的性质，必须

x



3

≥0 才有意义. 【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有

a



0

时

a

才是二次根式. 　举一反三 【变式】①

₄

_x

2

_{ }

₂

_x

_{成立的条件是 .} ②

2

2

3

3

x

x

x

x



_







成立的条件是 . 【答案】①

x

≤0；(



4

x

2



2

x

  

2

x x

≤0.) ② 2≤

x



3

.(



x



2 0,3

≥

  

x

0,

2≤

x



3

) 2．当 0≤

_x

＜1 时，化简

_x

2

_{ }

_x

₁

的结果是__________. 【思路点拨】由范围判断 x、x－1 的符号，再根据利用二次根式的性质化简二次根式，即 2

a

=

a

，同时联系绝对值的意义正确解答. 【答案】 1. 【解析】因为

x

≥0，所以

x

2 =

x

；又因为

x

<1,即

x

-1<0,所以

x

     

1

(

x

1) 1

x

， 所以

x

2

 

x

1

=

x

+1-

x

=1. 【总结升华】本题考查绝对值与二次根式的化简． 举一反三 【变式】 （x＞0，y＞0）

【答案】 解：原式=﹣ =﹣ ， ∵x＞0，y＞0， ∴原式=﹣ = 3xy﹣ ． 3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）. A.

₁₄

B.

₄₈

C.

a

b

D.

4

a



4

【答案】A. 【解析】选项 B：

48

=

4 3

；选项 C：有分母；选项 D：

4

a



4

=

2

a



1

，所以选 A. 【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义. 类型二、二次根式的运算 　 4．（2016 秋 普宁市期末）计算：（• 2﹣ ）（2+ ）+（2﹣ ）2_{﹣ ．} 【思路点拨】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，计算即可得到结果． 【答案与解析】解：原式=4 5﹣ +4 4﹣ +2﹣ =5﹣ ． 【总结升华】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 举一反三 【变式】计算：

(

4

₃

54



45 3



8

₃

)



8

. 【答案】

24 3 6 10



. 5.化简： 2010 2011

( 3



2)



( 3



2)

. 【思路点拨】由于（ 3 2）与( 3 2)互为有理化因子，所以利用幂的运算法则使其 尽可能地结合在一些进行乘法运算. 【答案与解析】 解：

2010 2010 2010

=( 3

2)

( 3

2)

( 3

2)

( 3

2) ( 3

2)

( 3

2)

1 ( 3

2)

3

2.

















_







_





 







原式

【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质， 是一道综合运算题型. 6 已知 2 2

3 1,

1 2

x

x

x x









求

_的值. 【答案与解析】 解： 2 2

3 1,

1= 3 0,

=

(

1)

1

3 1 3

3

3 1

=

3

3

x

x

x

x

x

x

x



  























原式

当时，原式

【总结升华】化简求值时要注意 x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三 【变式】已知

a b



=-3,

ab

=1,求

a

b

b

a 

的值. 【答案】 解：∵

a b



=-3,

ab

=1，∴

a

<0

,

b

<0

，

1 1

+

=

=-( + )=-

=3

-

-ab

ab

a b

b

a

b a

ab



原式



_.