用函数观点看一元二次方程—巩固练习（提高）

(1)

用函数观点看一元二次方程—巩固练习（提高）

【巩固练习】一、选择题 1. 若二次函数

y ax



2



4 x a

 

1

的最大值为 2，则 a 的值是（） A.4 B.-1 C.3 D.4 或-1 2．已知函数

y



(

k



3)

x

2



2 x



1

的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（） A．k＜0 B．k≤4 C．k＜4 且 k≠3 D．k≤4 且 k≠3 3．方程

x

2

2 x

3

1 x



 

的实数根的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．如图所示的二次函数

y ax bx c



2



(a≠0)的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)

b

2



4 ac



0

；(2)

c 

1

；(3)

2 a b

 

0

；(4)

a b c

  

0

．你认为其中错误的有( ) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．1 个 5．方程

x

2

5 x

2

2 x

 

 

的正根的个数为( ) A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 6．（2014•济宁）“如果二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个公共点，那么一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若 m、n（m＜n）是关于 x 的方程 1

﹣（_{x﹣a）（x﹣b）=0 的两根，且 a＜b，则 a、b、m、n 的大小关系是（} ）

A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b

二、填空题 7．已知二次函数

y x



2



(2

m



1)

x m



2



4 m



4

的图象的顶点在 x 轴上，则 m 的值为． 8．如图所示，函数 y＝(k-8)x2 -6x+k 的图象与 x 轴只有一个公共点，则该公共点的坐标为．第 8 题第 9 题 9．已知二次函数

y ax bx c



2



(a≠0)的顶点坐标为(-1，-3.2)及部分图象(如图所示)，由图象可知关于 x 的一元二次方程

ax bx c

2



 

0

的两个根分别为

x 

₁

1.3

和

x 

₂ ________． 10．已知二次函数

y

  

x

2

2(

m



1)

x



2 m m



2的图象关于 y 轴对称，则此图象的顶点 A 和图象与 x 轴

(2)

的两个交点 B、C 构成的△ABC 的面积是________． 11．抛物线_{y ax}_ 2__{bx c}_ _（_a _{≠ 0）满足条件：（1）}₄_{a b}_{ }₀_；（2）_{a b c}_{  }₀_{；（3）与}_x_{轴有两个交} 点，且两交点间的距离小于 2．以下有四个结论：①a 0；②c 0；③a b c  0；④ 4 3 c _{ }_a c_，其中所有正确结论的序号是． 12．（_{2015•大庆校级三模）如图是二次函数} 和一次函数_y₂_{=kx+t 的图象，当 y}₁≥_y₂时，_x 的取值范围是．三、解答题 13．已知抛物线

1

2

2 y



x

 

x k

与 x 轴有两个不同的交点． (1)求 k 的取值范围； (2)设抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，且点 A 在点 B 的左侧，点 D 是抛物线的顶点，如果△ABC 是等腰直角三角形，求抛物线的解析式． 14．如图所示，已知直线

1

2 y

 

x

与抛物线

1

2

6

4 y

 

x



交于 A、B 两点． (1)求 A、B 两点的坐标； (2)如图所示，取一根橡皮筋，端点分别固定在 A、B 两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线 AB 上方的抛物线上移动，动点 P 将与 A、B 两点构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，指出此时 P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由． 15．（_{2014•南京）已知二次函数 y=x}2﹣_2mx+m2_{+3（m 是常数）．} （_{1）求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点；} （_{2）把该函数的图象沿 y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与 x 轴只有一个公共点？}

(3)

【答案与解析】一、选择题 1.【答案】B；【解析】∵

y ax



2



4 x a

 

1

的最大值为 2， ∴

a 

0

且 2

4 (

1) 4

₂

4 a a

y

a

 



，解得

a  

1

（

a 

4

舍去）．故选 B． 2.【答案】B；【解析】当

k  

3 0

时是一次函数，即 k=3 函数图象与 x 轴有一个交点；当 k-3≠0 时此函数为二次函数，当△＝

2 4(

2



k



3)

≥0，即 k≤4 且 k≠3 时，函数图象与 x 轴有交点．综上所述，当 k≤4 时，函数图象与 x 轴有交点，故选 B． 3.【答案】A；【解析】将判断这个方程的根的情况转化为判断函数

y x



2



2 x



3

与

y

1 x



的图象（如图）的公共点的情况. 4.【答案】D；【解析】由图象可知，抛物线与 x 轴有两个交点， ∴

b

2



4 ac



0

，故(1)正确；又抛物线与 y 轴的交点在(0，1)下方， ∴ c＜1，故(2)不正确；抛物线的对称轴在-1 与 0 之间，即

1

2 b

a



 

，又

a 

0

，∴

b



2 a

，即

2 a b

 

0

，故(3)正确；当

x 

1

，函数值小于 0，∴ a+b+c＜0，故(4)正确． 5.【答案】B；【解析】不妨把方程化为抛物线

y

₁

  

x

2

5 x



2

与双曲线

y

₂

2 x



，分别画出函数图象草图如图所示．根据题意知，两函数图象交点的横坐标即是方程

x

2

5 x

2

2 x

 

 

的解，方程有正根，即交点横坐标为正数．因在 x＞0 的范围内，两函数的图象有两个交点，即方程正根有两个，故应选 B． 6.【答案】A；【解析】依题意，画出函数_{y=（x﹣a）（x﹣b）的图象，如图所示．} 函数图象为抛物线，开口向上，与x 轴两个交点的横坐标分别为 a，b（a＜b）．方程_{1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0} 转化为（_{x﹣a）（x﹣b）=1，} 方程的两根是抛物线_{y=（x﹣a）（x﹣b）与直线 y=1 的两个交点．}

(4)

由_{m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为 m，右侧为 n．} 由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y 随 x 增大而减少，则有 m＜a；在对称轴右侧，y 随 x 增大而增大，则有_b＜n．综上所述，可知_{m＜a＜b＜n．故选：A．} 二、填空题 7．【答案】

3

4 m  

；【解析】即抛物线与 x 轴有唯一公共点，由△＝0 可求

3

4 m  

. 8．【答案】

1 ,0

3 

_











；【解析】∵ 函数

y



(

k



8)

x

2



6 x k



的图象与 x 轴只有一个公共点， ∴ 方程

(

k



8)

x

2



6 x k

 

0

有两个相等的实数根． ∴ △＝

( 6) 4(



2



k



8)



k



0

．解得 k＝9 或 k＝-1．又∵ 图象开口向下，∴ k-8＜0，即 k＜8． ∴ k＝-1．即(-1-8)x2 -6x-1＝0．解得 ₁ ₂

1

3 x



x

 

．所以函数

y



(

k



8)

x

2



6 x k



的图象与 x 轴的交点坐标为

1 ,0

3 

_











． 9．【答案】-3.3；【解析】观察图象可知，抛物线的对称轴是

x  

1

，

x

₁到对称轴的距离为

x   

₁

( 1) 1.3 1 2.3

 

，又因为

x

₂到对称轴的距离为 2.3，所以

x   

₂

1 2.3

 

3.3

． 10．【答案】1；【解析】依题意有 2(m-1)＝0，即 m＝1，所以二次函数为

y

  

x

2

1

，令 y＝0，得 x＝±1．所以 B(-1，0)，C(1，0)，BC＝2，A(0，1)，

1 2 1 1

2

ABC

S

△

   

． 11．【答案】②④；【解析】由条件（1）4a b 0得到抛物线的对称轴为直线x  2；由条件（2）a b c  0得到x  ₁时的函数值为正；由条件（3）“与x轴有两个交点，且两交点间的距离小于 2 得到抛物线与x轴的两个交点位于点_{( 3,0)} 与 _{( 1,0)} 之间，

(5)

从而得到抛物线的示意图如右．由此可知a 0，b 0，c 0，a b c  0，所以①、③错误，②正确．对于④，由“x  2时的函数值为负”及4a b 0可知 4 c a  ；由“x  1时的函数值为正”及4a b 0可知 3 c a  ，所以④正确． 12．【答案】﹣1≤x≤2；三、解答题 13.【答案与解析】解： (1)由题意，得

( 1) 4

2

1 1 2

0

2 k

k

 

 



 



△

， ∴

1

2 k 

，即 k 的取值范围是

1

2 k 

． (2)设

A x

( ,0)

₁ ，

B x

( ,0)

₂ ，则

x x

₁



₂



2

，

x x

_{1 2}



2 k

． ∴

AB x x



|

₂



₁

|



4 8



k



2 1 2



k

． ∵ 2

1

4 ( 1)

₂

₁

2

1

2

4

2

D

k

_k

y





 





 

k





，又△ABD 是等腰直角三角形， ∴

|

1

2

D

y



AB

，即

1 1 2

2 k

 



k

．解得 ₁

3

2 k  

， ₂

1

2 k 

．又∵

1

2 k 

，∴ ₂

1

2 k 

舍去． ∴ 抛物线的解析式是

1

2

3

2

2 y



x

 

x

． 14.【答案与解析】解：（1）依题意得 2

1 _6,

4 1 ,

2 y

x

y

x

  







  



解之 1 1

6,

3,

x

y





  



2 2

4,

2,

x

y

 



 



所以

A 

(6, 3)

，

B 

( 4,2)

．（2）存在．因为 AB 所在直线的方程

1

2 y

 

x

，若存在点 P 使△APB 的面积最大，则点 P 在与直线 AB 平行且和抛物线只有一个交点的直线

1

2 y

 

x m



上．设该直线分别与 x 轴、 y 轴交于 G、H 两点，

(6)

如图，联立 2

1 _,

2

1 _6,

4 y

x m

y

x

   





  





得

1

2

1 (

6) 0

4 x



2 

x m



 

，因为抛物线与直线只有一个交点，所以 2

1 ₄

1 ₍

_{6) 0}

2

4 m





 

_

_

 

 





△

，

25

4 m 

，所以 2

1 _{25 ,}

2

4

1 _6,

4 y

x

y

x

   





  





解得

1,

23.

4 x

y









_



所以

23 1,

4 P

_



_





． 15.【答案与解析】证明：∵△=（﹣2m）2 ﹣4×1×（m2 +3）=4m2 ﹣4m2 ﹣12=﹣12＜0， ∴方程 x2 ﹣2mx+m2 +3=0 没有实数解，即不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点；（2）解：y=x2 ﹣2mx+m2 +3=（x﹣m）2 +3，把函数 y=（x﹣m）2 +3 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后，得到函数 y=（x﹣m）2 的图象，它的顶点坐标是（m，0），因此，这个函数的图象与 x 轴只有一个公共点，所以，把函数 y=x2 ﹣2mx+m2 +3 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后，得到的函数的图象与 x 轴只有一个公共点．