用函数观点看一元二次方程—巩固练习(提高)

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(1)

用函数观点看一元二次方程—巩固练习(提高)

【巩固练习】 一、选择题 1. 若二次函数

y ax

2

4

x a

 

1

的最大值为 2,则 a 的值是( ) A.4 B.-1 C.3 D.4 或-1 2.已知函数

y

(

k

3)

x

2

2

x

1

的图象与 x 轴有交点,则 k 的取值范围是( ) A.k<0 B.k≤4 C.k<4 且 k≠3 D.k≤4 且 k≠3 3.方程

x

2

2

x

3

1

x

 

的实数根的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.如图所示的二次函数

y ax bx c

2

(a≠0)的图象中,刘星同学观察得出了下面四条 信息:(1)

b

2

4

ac

0

;(2)

c 

1

;(3)

2

a b

 

0

;(4)

a b c

  

0

.你认为其中 错误的有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.1 个 5.方程

x

2

5

x

2

2

x

 

 

的正根的个数为( ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 6.(2014•济宁)“如果二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个公共点,那么一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若 m、n(m<n)是关于 x 的方程 1

﹣(x﹣a)(x﹣b)=0 的两根,且 a<b,则 a、b、m、n 的大小关系是(

A.m<a<b<n B.a<m<n<b C.a<m<b<n D.m<a<n<b

二、填空题 7. 已知二次函数

y x

2

(2

m

1)

x m

2

4

m

4

的图象的顶点在 x 轴上,则 m 的值为 . 8.如图所示,函数 y=(k-8)x2 -6x+k 的图象与 x 轴只有一个公共点,则该公共点的坐标为 . 第 8 题 第 9 题 9.已知二次函数

y ax bx c

2

(a≠0)的顶点坐标为(-1,-3.2)及部分图象(如图所示),由图象可知关 于 x 的一元二次方程

ax bx c

2

 

0

的两个根分别为

x 

1

1.3

x 

2 ________. 10.已知二次函数

y

  

x

2

2(

m

1)

x

2

m m

2的图象关于 y 轴对称,则此图象的顶点 A 和图象与 x 轴

(2)

的两个交点 B、C 构成的△ABC 的面积是________. 11.抛物线y ax 2bx c a ≠ 0)满足条件:(1)4a b 0;(2)a b c  0;(3)与x轴有两个交 点,且两交点间的距离小于 2.以下有四个结论:①a 0;②c 0;③a b c  0;④ 4 3 c  a c 其中所有正确结论的序号是 . 12.(2015•大庆校级三模)如图是二次函数 和一次函数y2=kx+t 的图象,当 y1y2时,x 的取值范围是 . 三、解答题 13.已知抛物线

1

2

2

y

x

 

x k

与 x 轴有两个不同的交点. (1)求 k 的取值范围; (2)设抛物线与 x 轴交于 A、B 两点,且点 A 在点 B 的左侧,点 D 是抛物线的顶点,如 果△ABC 是等腰直角三角形,求抛物线的解析式. 14.如图所示,已知直线

1

2

y

 

x

与抛物线

1

2

6

4

y

 

x

交于 A、B 两点. (1)求 A、B 两点的坐标; (2)如图所示,取一根橡皮筋,端点分别固定在 A、B 两处,用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线 AB 上方的抛物线上移动,动点 P 将与 A、B 两点构成无数个三角形,这些三角形中是否存在一个面积 最大的三角形?如果存在,指出此时 P 点的坐标;如果不存在,请简要说明理由. 15.(2014•南京)已知二次函数 y=x2﹣2mx+m2+3(m 是常数).1)求证:不论 m 为何值,该函数的图象与 x 轴没有公共点;2)把该函数的图象沿 y 轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与 x 轴只有一个公共点?

(3)

【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B; 【解析】∵

y ax

2

4

x a

 

1

的最大值为 2, ∴

a 

0

且 2

4 (

1) 4

2

4

a a

y

a

 

,解得

a  

1

a 

4

舍去).故选 B. 2.【答案】B; 【解析】当

k  

3 0

时是一次函数,即 k=3 函数图象与 x 轴有一个交点; 当 k-3≠0 时此函数为二次函数,当△=

2 4(

2

k

3)

≥0,即 k≤4 且 k≠3 时,函数图象与 x 轴有交点. 综上所述,当 k≤4 时,函数图象与 x 轴有交点,故选 B. 3.【答案】A; 【解析】将判断这个方程的根的情况转化为判断函数

y x

2

2

x

3

y

1

x

的图 象(如图)的公共点的情况. 4.【答案】D; 【解析】由图象可知,抛物线与 x 轴有两个交点, ∴

b

2

4

ac

0

,故(1)正确;又抛物线与 y 轴的交点在(0,1)下方, ∴ c<1,故(2)不正确;抛物线的对称轴在-1 与 0 之间,即

1

2

b

a

 

, 又

a 

0

,∴

b

2

a

,即

2

a b

 

0

,故(3)正确; 当

x 

1

,函数值小于 0,∴ a+b+c<0,故(4)正确. 5.【答案】B; 【解析】不妨把方程化为抛物线

y

1

  

x

2

5

x

2

与双曲线

y

2

2

x

,分别画出函数图象草图如图所示. 根据题意知,两函数图象交点的横坐标即是方程

x

2

5

x

2

2

x

 

 

的解,方程有正根,即交点横 坐标为正数.因在 x>0 的范围内,两函数的图象有两个交点,即方程正根有两个,故应选 B. 6.【答案】A; 【解析】依题意,画出函数y=(x﹣a)(x﹣b)的图象,如图所示. 函数图象为抛物线,开口向上,与x 轴两个交点的横坐标分别为 a,b(a<b). 方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0 转化为(x﹣a)(x﹣b)=1, 方程的两根是抛物线y=(x﹣a)(x﹣b)与直线 y=1 的两个交点.

(4)

m<n,可知对称轴左侧交点横坐标为 m,右侧为 n. 由抛物线开口向上,则在对称轴左侧,y 随 x 增大而减少,则有 m<a;在对称轴右侧,y 随 x 增大而增大,则有b<n. 综上所述,可知m<a<b<n.故选:A. 二、填空题 7.【答案】

3

4

m  

; 【解析】即抛物线与 x 轴有唯一公共点,由△=0 可求

3

4

m  

. 8.【答案】

1 ,0

3

; 【解析】∵ 函数

y

(

k

8)

x

2

6

x k

的图象与 x 轴只有一个公共点, ∴ 方程

(

k

8)

x

2

6

x k

 

0

有两个相等的实数根. ∴ △=

( 6) 4(

2

k

8)

k

0

.解得 k=9 或 k=-1. 又∵ 图象开口向下,∴ k-8<0,即 k<8. ∴ k=-1.即(-1-8)x2 -6x-1=0. 解得 1 2

1

3

x

x

 

. 所以函数

y

(

k

8)

x

2

6

x k

的图象与 x 轴的交点坐标为

1 ,0

3

. 9.【答案】-3.3; 【解析】观察图象可知,抛物线的对称轴是

x  

1

x

1到对称轴的距离为

x   

1

( 1) 1.3 1 2.3

 

,又 因为

x

2到对称轴的距离为 2.3,所以

x   

2

1 2.3

 

3.3

. 10.【答案】1; 【解析】依题意有 2(m-1)=0,即 m=1,所以二次函数为

y

  

x

2

1

,令 y=0,得 x=±1. 所以 B(-1,0),C(1,0),BC=2,A(0,1),

1 2 1 1

2

ABC

S

   

. 11.【答案】②④; 【解析】由条件(1)4a b 0得到抛物线的对称轴为直线x  2; 由条件(2)a b c  0得到x  1时的函数值为正; 由条件(3)“与x轴有两个交点,且两交点间的距离小于 2 得到抛物线与x轴的两个交点位于点( 3,0) 与 ( 1,0) 之间,

(5)

从而得到抛物线的示意图如右. 由此可知a 0,b 0,c 0,a b c  0, 所以①、③错误,②正确. 对于④,由“x  2时的函数值为负”及4a b 0可知 4 c a  ; 由“x  1时的函数值为正”及4a b 0可知 3 c a  ,所以④正确. 12.【答案】﹣1≤x≤2; 三、解答题 13.【答案与解析】 解: (1)由题意,得

( 1) 4

2

1

1 2

0

2

k

k

 

 

 

, ∴

1

2

k 

,即 k 的取值范围是

1

2

k 

. (2)设

A x

( ,0)

1

B x

( ,0)

2 ,则

x x

1

2

2

x x

1 2

2

k

. ∴

AB x x

|

2

1

|

4 8

k

2 1 2

k

. ∵ 2

1

4

( 1)

2

1

1

2

1

2

2

4

2

D

k

k

y

 

 

k

,又△ABD 是等腰直角三角形, ∴

|

|

1

2

D

y

AB

,即

1

1 2

2

k

 

k

. 解得 1

3

2

k  

2

1

2

k 

. 又∵

1

2

k 

,∴ 2

1

2

k 

舍去. ∴ 抛物线的解析式是

1

2

3

2

2

y

x

 

x

. 14.【答案与解析】 解:(1)依题意得 2

1

6,

4

1 ,

2

y

x

y

x

  



  



解之 1 1

6,

3,

x

y

  

2 2

4,

2,

x

y

 

 

所以

A 

(6, 3)

B 

( 4,2)

. (2)存在.因为 AB 所在直线的方程

1

2

y

 

x

,若存在点 P 使△APB 的面积最大,则点 P 在 与直线 AB 平行且和抛物线只有一个交点的直线

1

2

y

 

x m

上.设该直线分别与 x 轴、 y 轴交于 G、H 两点,

(6)

如图,联立 2

1

,

2

1

6,

4

y

x m

y

x

   



  



1

2

1

(

6) 0

4

x

2

x m

 

,因为抛物线与直线只有一个 交点, 所以 2

1

4

1

(

6) 0

2

4

m

 

 

 

25

4

m 

,所以 2

1

25 ,

2

4

1

6,

4

y

x

y

x

   



  



解得

1,

23.

4

x

y



所以

23

1,

4

P

. 15.【答案与解析】 证明:∵△=(﹣2m)2 ﹣4×1×(m2 +3)=4m2 ﹣4m2 ﹣12=﹣12<0, ∴方程 x2 ﹣2mx+m2 +3=0 没有实数解, 即不论 m 为何值,该函数的图象与 x 轴没有公共点; (2)解:y=x2 ﹣2mx+m2 +3=(x﹣m)2 +3, 把函数 y=(x﹣m)2 +3 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后,得到函数 y=(x﹣m)2 的图象,它的顶点坐 标是(m,0), 因此,这个函数的图象与 x 轴只有一个公共点, 所以,把函数 y=x2 ﹣2mx+m2 +3 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后,得到的函数的图象与 x 轴只有一个 公共点.

數據

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參考文獻

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