1-2-1多項式函數-簡單的多項式函數

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(1)(99 課綱) 第一冊第二章多項式函數 2-1 簡單的多項式函數【目標】能了解一次與二次多項式函數及其圖形，並了解一次函數 ax  b 中的一次係數 a 的幾何與物理意涵，也能利用配方法處理二次函數之圖形﹑極值﹑正定性以及圖形的平移相關的問題。再者，能理解單項高次函數的奇﹑偶性﹑單調性及其圖形和圖形的平移。【定義】 1. 多項式：形如 an x n  an 1 x n 1   a1 x  a0 ，其中 n 是非負整數， an , an1, , a1, a0 是實數的式子稱為 x 的多項式，當 an  0 時，此多項式為 n 次多項式。 2. 多項式函數：由變數 x 的值可決定多項式 y  an x n  an 1 x n 1   a1 x  a0 的值，即決定變數 y 的值，就稱 y 是 x 的多項式函數。其中 an , an 1 ,, a1 , a0 稱為多項式 f (x) 的係數，且若 an  0 時， an 稱為領導(首項)係數， a 0 稱為常數項。 3. n 次多項式函數：一般而言，若 n 次多項式 f ( x)  an x n  an 1 x n 1   a1 x  a0 ( an  0 )，且變數 y 的值由多項式 f ( x) 的值定義，即 y  f ( x)  an x n  an 1 x n 1   a1 x  a0 ， an  0 ，則稱 y 是 x 的 n 次多項式函數，簡稱 n 次函數。 4. 坐標平面：平面上兩條互相垂直的數線，交點 O 為共同原點，取相同的單位長，其中橫的數線是 x 軸，縱的數線是 y 軸。平面上一定點 P ，若過 P 垂直 x 軸的直線交 x 軸於 a ；過 P 垂直 y 軸的直線交 y 軸於 b ，則 P 點的坐標為 (a, b) ，記為 P ( a, b) 。. 5. 常數函數：設 b 是常數，則 y  b 的圖形是一水平線(垂直 y 軸的直線)，稱為常數函數。 6. 線型函數：一次函數 y  ax  b ( a  0 )與常數函數 y  b 的圖形都是一直線。當 a, b 為常數時，無論 a 是否為 0 ，函數 y  ax  b 的圖形都是一直線，這種函數統稱為線型函數。註： (1) y  ax  b 稱為線型函數，因為其圖形都是直線，若 a  0 時，為一次函數。若 a  0 時，若 b  0 時，為零次函數(圖形是一水平線)。若 a  b  0 時，為零函數(圖形是是 x 軸)。 (2) 只要點出其上兩點，即可描繪其直線圖形。 (3) 零次函數： f ( x)  c, c  0 。零函數： f ( x)  0 。 1.

(2) 【性質】 1. 多項式的係數： f ( x)  an x n  an1 x n1    a2 x 2  a1 x  a0 。 2. 常數項： f ( 0)  a 0 。 3. 各項係數和： f (1)  an  an1    a2  a1  a0 。 4. 偶次項係數和：. f (1)  f (1)  a0  a 2  a 4   。 2 5. 奇次項係數和：. f (1)  f (1)  a1  a3  a5   。 2 6. 其他： f (i)  f (i)  a0  a2  a4   ， 2 f (i)  f (i)  a1  a3  a5   。 2i 【方法】求多項式的未知係數： 1. 若已知根則將根代入。 2. 代某些值進去後比較係數？【定義】 1. 斜率：在坐標平面上給定直線 L ，在其上任取相異兩點 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) ， y  y1 當 L 不是鉛直線(垂直 x 軸的直線)時，比值 2 稱為直線 L 的斜率。 x 2  x1. 註：若直線 L 上點 P1 , P2 改變位置，則  PPP 1 2 保持相似，故. P2 P P1 P. . y2  y1 為定值。 x2  x1. 事實上，無論 x1 , x2 或 y1 , y2 的大小關係為何， m. y2  y1 都只與直線 L 的傾斜情況有關，不因起點不同而有不同的斜率。 x2  x1. 2.

(3) 【性質】斜率： 1. 斜率為正數的直線從左到右是上升的，而斜率是負數的直線從左到右是下降的。 2. 給定線型函數 y  ax  b ，它的圖形是一直線 L ，且 L 不會是鉛直線。設 x1 , x2 是相異實數， y1  ax1  b, y2  ax2  b ，則 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 是 L 上的相異點，由此可得 L 的斜率為. y2  y1 (ax2  b)  (ax1  b) a ( x2  x1 )    a，所以線型函數 x2  x1 x2  x1 x2  x1. y  ax  b 圖形的斜率就是 a 。. 3. 在函數 y  ax  b 中，變數 x 每增加 1 單位，變數 y 就改變 a 單位（ a  0 時， y 增加 a ； a  0 時， y 減少 | a | ）。上述性質正是直線斜率為 a 的直觀意義。換言之，函數 y  ax  b 中， y 值相對於 x 值的變化率 a 就是其圖形的斜率。 4. 函數 y  mx  b 的圖形中， m 表斜率，那麼 b 有何直觀意義呢？由於 x  0 時， y  m  0  b  b ，故此直線與 y 軸交於點 (0, b) 。. 5. 當 m  0 時，此直線不是水平線(垂直 y 軸的直線)，考慮它與 x 軸的交點，令 b b ，故該直線與 x 軸交於 ( , 0) 。 m m 線型函數的直線圖形的斜率為 a ， x 截距為 k 時，此線型函數可表為 y  a( x  k ) 。若將 y  mx  b 表成 y  m( x  x0 ) 的形式，則其圖形與 x 軸交於 ( x0 , 0) 。一次函數 y  ax  b ，當 x 值增加一單位時，[a( x  1)  b]  (ax  b)  a ，此時 y 值改變了 a 單位，也就是 y 值相對於 x 值的變化率 a ，稱為直線的斜率，就物理學的觀點，它代表著：一質點沿著一直線作等速運動，若 x 時刻在線上的位置為 ax  b ，則此質點運動的速度就是 a 。質點在兩時刻之間的平均位移就是此質點的運動速度，也就是時間 x 與位置 y 的二維平面上的直線 y  ax  b 的斜率 a 。 y  0 ，即 mx  b  0 ，得 x  . 6.. 7.. 3.

(4) 【定義】 1. 二次函數：二次函數 y  ax 2 (a  0) 的圖形是拋物線。因為在地表附近，若不計空氣阻力，任意拋出一質點，在其軌跡所在的平面建立一坐標系，描繪出軌跡點的坐標關係是一個二次函數，所以二次函數的圖形稱為拋物線。. 【性質】 1. 平面上常用的幾何變換有：平移﹑鏡射（即對稱）﹑旋轉﹑伸縮等四種，本章的圖形變換不涉及旋轉的概念。 2. 拋物線 y  ax2 的圖形對 y 軸自身對稱，且 | a | 愈大，開口愈小，因為函數值的變化率隨 | a | 愈大而變化愈快。 y  ax2 與 y  ax 2 的圖形對 x 軸對稱，且所有型如 y  ax2 的拋物線之頂點都在原點。 3. 二次函數 y  ax 2 的圖形可由 y  ( a ) x 2 的圖形以 x 為對稱軸鏡射(翻轉)得到。 4. 二次函數的圖形：二次函數 y  ax 2  bx  c 可用配方法化成 y  a( x  h) 2  k 的形式，其圖形可由拋物線 y  ax 2 沿 x 軸平移 h 單位，再沿 y 軸平移 k 單位而得。a  0 時開口向上，a  0 時開口向下，且圖形對稱於 y 軸，頂點是 (h, k )，對稱軸是 x  h 。 y xh  0. (h, k ). x. 4.

(5) 5. 二次函數的最大值、最小值：設 a, b, c 是實數，且 a  0 ，二次函數 f ( x)  ax 2  bx  c  a( x  若令 h  . b 2 4ac  b 2 ， )  2a 4a. b 4ac  b2 ，則 y  a ( x  h) 2  k ， , k 2a 4a. 其圖形可由拋物線 y  ax 2 平移而得，它的頂點是 (h, k )  (. b 4ac  b2 , )， 2a 4a. b  0 ，與 y 軸交點是 (0, c) 。 2a 以下分成 a  0 與 a  0 兩種情形討論： (1) a  0 時，圖形開口向上， b 4ac  b 2 b 4ac  b 2 頂點 ( , 是最小值。 ) 是最低點，而 f ( )  2a 4a 2a 4a (2) a  0 時，圖形開口向下， b 4ac  b 2 b 4ac  b 2 頂點 ( , 是最大值。 ) 是最高點，而 f ( )  2a 4a 2a 4a 註：有範圍求極值時，極值只可能產生在頂點或端點。對稱軸是直線 x . a>0 x. a<0. b 0 2a. (0, c). (. b b 2  4ac , ) 2a 4a. x. x (0, c). (. b b 2  4ac , ) 2a 4a. x. b 0 2a. 6. 恆正或恆負的判別：二次函數 f ( x)  ax2  bx  c(a  0) ， (1) 當 a  0 時，若 b 2  4ac  0 時，則 f ( x)  0 恆成立； (2) 當 a  0 時，若 b 2  4ac  0 時，則 f ( x)  0 恆成立。. 5.

(6) 7. 二次函數的圖形：二次函數 y  ax 2  bx  c. b2  4ac  0. b2  4ac  0. b2  4ac  0. 極值. 的判別式. a0. 有最小值. ax2  bx  c  0 恆. 成立. a0. 有最大值. ax2  bx  c  0 恆. 成立與 x 軸的交點數實根數. 沒有交點. 恰有一交點. 交於相異兩點. 沒有實根. 有兩相等實根 (重根). 有兩個相異實根. 6.

(7) 【定義】 1. 單項式：只含一個項的多項式。 2. 單項函數：設 a  0 ，函數 y  axn 稱為單項函數，其中 n 是正整數。【討論】二次函數圖形的平移、旋轉、伸縮、對稱有如下關係： --------> y  ax 2  k y  a ( x  h) 2  k 右移 h 單位 ↑ ↑ ‫׀‬ ‫׀‬ 單位 ‫׀‬上移 k ‫׀‬上移 k 單位 ‫׀‬ ‫׀‬ ‫׀‬ ‫׀‬ ‫׀‬ ‫׀‬ --------> y  ax 2 y  a ( x  h) 2 右移 h 單位各係數的影響：二次函數 y  a ( x  h) 2  k 中， 1. h 表示左右平移。 2. k 表示上下平移。 3. a 為正時，表示對於 x 軸作伸縮； a 為負時，表示對於 x 軸作伸縮及對稱。 4. 平移常用的有「左﹑右平移」與「上﹑下平移」。由 y  ax 2 上下平移 k 單位時，新圖形的函數為 y  ax 2  k ；由 y  ax 2 左右平移 h 單位，新圖形的函數為 y  a ( x  h) 2 。 5. 任意二次函數 y  a ( x  h) 2  k 的圖形都可由拋物線 y  ax 2 的圖形，經左右平移，再經上下平移得之。 6. 對 y  a1 ( x  h) 2  k 與 y  a 2 ( x  h) 2  k 兩拋物線依序為 1 與 2 而言，當 | a1 |  | a 2 | ，則 1 的開口較 2 的開口小。 7. 二次函數圖形也可用描點法作圖，但透過配方找出頂點﹑對稱軸後，利用對稱性或利用平移作圖較可行。 8. 利用配方法可將二次式 y  ax 2  bx  c 化為 y  a ( x  h) 2  k 的形式,因此利用圖形的平移，可由 y  ax 2 的圖形作出 y  ax 2  bx  c 的圖形，而且它的頂點在 (h, k ) ，即 (. b b 2  4ac , ) 的位置。 2a 4a. 7.

(8) 【問題】 1. 試利用 y  x 2 的圖形，作出 y  x 2  1 的圖形。解答：對任意實數 x ，將點 ( x, x 2 ) 往上平移 1 單位即得點 ( x, x 2  1) ，將函數 y  x 2 的圖形往上平移 1 單位即得函數 y  x 2  1 的圖形。. 2. 試利用 y  x 2 的圖形，作出 y  ( x  1) 2 的圖形。解答：對函數 y  x 2 上任一點 ( x0 , y0 ) ， y0  x0 2 。將點 ( x0 , y0 ) 往右平移 1 單位，得點 ( x0  1, y0 ) 。由於 y0  x0 2  [( x0  1)  1]2 ，故點 ( x0  1, y0 ) 在函數 y  ( x  1) 2 的圖形上。因此，將函數 y  x 2 的圖形往右平移 1 單位即得函數 y  ( x  1) 2 的圖形。. 3. 描繪二次函數 y  2 x 2  4 x  1 的圖形，並求頂點坐標。解答：利用配方法， y  2 x 2  4 x  1  2( x 2  2 x)  1  2( x  1) 2  3 ，故將拋物線 y  2 x 2 右移 1 單位，下移 3 單位即得，其頂點為 (1,  3) 。. 8.

(9) 【理論】圖形平移、伸縮、鏡射的理論： 1. 將函數中 ( x, y) 以 ( x  1, y) 代入，表將圖形右移 1 單位，也就是 y  f (x) 變數變換成為 y  f ( x  1) ，即 y  ax 2  y  a ( x  1) 2 表將圖形右移 1 單位。證明：若 ( x0 , y0 )  y  ax 2  y 0  ax0. 2.  y0  a(( x0  1)  1) 2  ( x0  1, y0 )  y  a( x  1) 2 即將 y  ax 2 的圖形右移 1 單位會得到 y  a( x  1) 2 的圖形。 2. 將函數中 ( x, y) 以 ( x, y  1) 代入，表將圖形上移 1 單位，也就是 y  f (x) 變數變換成為 y  1  f ( x) ，或表為 y  f ( x)  1 ，即 y  ax 2  y  ax 2  1 表將圖形上移 1 單位。證明：若 ( x0 , y0 )  y  ax 2  y 0  ax0. 2.  ( y 0  1)  1  ax0. 2.  ( x0 , y0  1)  y  1  ax 2 即將 y  ax 2 的圖形上移 1 單位會得到 y  1  ax 2 的圖形，也就是 y  ax 2  1 的圖形。 3. 將函數中 ( x, y) 以 ( x,2 y) 代入，表將圖形沿著 y 軸方向向 x 軸伸縮. 1 倍， 2. 1 f ( x) ， 2 a 1 即 y  ax 2  y  x 2 表將圖形沿著 y 軸方向向 x 軸伸縮倍。 2 2 證明：若 ( x0 , y0 )  y  ax 2 也就是 y  f (x) 變數變換成為 2 y  f ( x) ，或表為 y .  y 0  ax0. 2. y0 2  ax0 2 y  ( x0 , 0 )  2 y  ax 2 2.  2. 即將 y  ax 2 的圖形沿著 y 軸方向向 x 軸伸縮也就是 y . a 2 x 的圖形。 2. 9. 1 倍會得到 2 y  ax 2 的圖形， 2.

(10) 4. 將函數中 ( x, y) 以 (2 x, y) 代入，表將圖形沿著 x 軸方向向 y 軸伸縮也就是 y  f (x) 變數變換成為 y  f (2 x) ，即 y  ax 2  y  a(2 x) 2 表將圖形沿著 x 軸方向向 y 軸伸縮. 1 倍， 2. 1 倍。 2. 證明：若 ( x0 , y0 )  y  ax 2. 1 2  y 0  ax0  y 0  a(2  ( x0 )) 2 2 1  ( x 0 , y 0 )  y  a ( 2 x) 2 2 1 倍會得到 y  a ( 2 x ) 2 的圖形。 2 5. 將函數中 ( x, y) 以 ( x, y) 代入，表將圖形對 x 軸作對稱，也就是 y  f (x) 變數變換成為  y  f (x) ，即 y  ax 2   y  ax 2 表將圖形對 x 軸作對稱。證明：若 ( x0 , y0 )  y  ax 2 即將 y  ax 2 的圖形沿著 x 軸方向向 y 軸伸縮.  y 0  ax0. 2.  ( y 0 )  ax0. 2.  ( x0 , y0 )   y  ax 2 即將 y  ax 2 的圖形對 x 軸作對稱會得到  y  ax 2 的圖形。 6. 將函數中 ( x, y) 以 ( x, y) 代入，表將圖形對 y 軸作對稱，也就是 y  f (x) 變數變換成為 y  f ( x) ，即 y  ax 2  y  a ( x) 2 表將圖形對 y 軸作對稱。證明：若 ( x0 , y0 )  y  ax 2  y 0  ax0. 2.  y0  a(( x0 )) 2  (  x 0 , y 0 )  y  a (  x) 2 即將 y  ax 2 的圖形對 y 軸作對稱會得到 y  a ( x) 2 的圖形。 7. 將函數中 ( x, y) 以 ( x, y) 代入，表將圖形對原點作對稱，也就是 y  f (x) 變數變換成為  y  f (x) ，即 y  ax 2   y  a( x) 2 表將圖形對原點作對稱。證明：若 ( x0 , y0 )  y  ax 2  y 0  ax0. 2.  ( y0 )  a(( x0 )) 2  (  x 0 , y 0 )   y  a (  x) 2 即將 y  ax 2 的圖形對原點作對稱會得到  y  a ( x) 2 的圖形。 10.

(11) 【方法】求極值常用的方法有： 1. 配方法、用算幾不等式、用科西不等式、用定義域的範圍、用值域的範圍、用三角函數的範圍、用指對數的範圍。 2. 沒有範圍限制時，只有最大值或最小值，但有範圍求二次函數的極值時，極值產生在頂點或端點。 3. 若二次函數 y  ax 2  bx  c 有最小值，直觀而言，此函數圖形必頇開口朝上，即 a  0 ，此時，拋物線的頂點是圖形的最低點，其 y 坐標是所有函數值的最小者，此函數值沒有最大值。 4. 若二次函數 y  ax 2  bx  c 有最大值，即表示 a  0，最大值就是拋物線頂點的 y 坐標，此函數值沒有最小值。 5. 若二次函數 y  ax 2  bx  c 且 x1  x  x2 (即 x 在兩定數 x1 與 x 2 之間)，此時不論 a  0 或 a  0 ，此函數有最大值，也有最小值；但最大值與最小值不一定是拋物線頂點的 y 坐標。【問題】 1. 試問二次函數的頂點、對稱軸、開口大小由誰決定？解：數個二次函數的要比較開口的大小時，需要放在同一個頂點上才能比較，且 | a | 越大，開口越大。 2. 試問 a, b, c, D  b 2  4ac 分別對圖形有何影響？ 3. 試問 y  a( x  h) 2  k 中， a, h, k 分別對圖形的平移、旋轉、伸縮、對稱之含意為何？. 11.

(12) 【性質】 1. 單項函數 y  axn 中， x  0 時， y  0 ，其圖形通過原點。 2. 每當 0  x1  x2 時，必有 x1n  x2 n ﹒此性質表示：當 x 為正實數時， x 的取值越大，相對的 y 值就越大。換言之，其圖形從原點開始往右發展時，逐漸上升。 3. 依 n 是偶數﹑奇數討論如下： (1) n 是偶數：此時， ( x) n  x n ，當點 P( x0 , y0 ) 在函數 y  x n 圖形上時， y0  x0 n ，得 y0  (  x0 ) n ，即點 P( x0 , y0 ) 亦在函數圖形上。此時 PP 被 y 軸平分且 PP 垂直 y 軸。因此，函數圖形對 y 軸對稱。. (2) n 是奇數：此時， (  x) n   x n ，當點 P( x0 , y0 ) 在函數 y  x n 圖形上時， y0  x0 n ，得  y0   x0 n ，即  y0  ( x0 ) n ，故點 P( x0 ,  y0 ) 亦在函數圖形上，此時 PP 的中點是原點。因此，函數圖形對原點對稱。. 12.

(13) 4. 設 a  0 ，形如 y  ax n 的函數也稱為單項函數， (1) 當 a  0 時， y  ax n 的圖形可由 y  x n 的圖形以 x 軸為基準上下伸縮而得，其圖形的方向是 y  x n 的圖形的方向。例如： y  2 x 3 的圖形可由 y  x3 的圖形以 x 軸為基準上下伸縮 2 倍(放大) 而得。. (2) 當 a  0 時， y  ax n 的圖形可由 y  x n 的圖形以 x 軸為對稱軸鏡射得到，再行伸縮而得，其圖形的方向是 y  x n 的圖形對 x 軸對稱的圖形的方向。 1 2. 例如： y   x 4 的圖形可由 y  x 4 的圖形以 x 軸為對稱軸作鏡射就得到 y   x 4 的圖形，再伸縮. 1 倍(縮小)而得。 2. 5. 二次函數圖形的性質：二次函數 y  ax 2  bx  c ( a  0 )都可以化成 y  a ( x  h) 2  k 的形式，故其圖形必可由單項函數 y  ax 2 平移而得。. 13.

(14) 6. 三次函數圖形的性質：形如 y  a ( x  h) n  k 的 n 次函數，它的圖形也可由單項函數 y  ax n 的圖形沿 x 軸平移 h 單位，且沿 y 軸平移 k 單位得到。一般而言，任意 n 次函數未必能化成 y  a ( x  h) n  k 的形式。以三次函數 y  ax3  bx 2  cx  d ( a  0 )而言，也未必能化成 y  a ( x  h)3  k 的形式。 y  x3 的圖形可利用描點法粗略的作出其圖形，較精確的圖形可用電腦畫其圖形。由 y  x3 之圖形利用平移可作出 y  ( x  h)3 的圖形與 y  x3  h 的圖形，利用伸縮可由 y  x3 的圖形作出 y  ax3 的圖形，其中 a  0 。例如： (1) y  2( x  1)3  2 的圖形就是 y  2 x 3 的圖形沿 x 軸平移 1 單位，且沿 y 軸平移 2 單位。 (2) 由 y  x3 的圖形經平移可得 y  ( x  2)3 的圖形，再經平移可得 y  ( x  2)3  4 的圖形，即 y  x3  6 x 2  12 x  4 的圖形可由 y  x3 經變換而得，但 y  x3  6 x2  11x  4 就無法由 y  x3 的圖形經變換而得之。 (3) 求 y  x3  x 的圖形與 x 軸的交點，其目的在說明 y  x3  x 的圖形與 y  x3 圖形形狀是不同的； y  x3 的圖形是由左而右都是遞增的，而 y  x3  x 的圖形是由左而右遞增，之後又遞減，之後又遞增的形狀，至於在哪個位置改變增﹑減的方向，目前不建議說明，但利用電腦繪圖，可知道大致的情況。【問題】 1. 在下圖中，已知圖形Ⓐ為函數 y  x3  x 的圖形，試判斷下列函數的圖形是哪一個？ ① y  x3  x  2 。② y  ( x  2)3  ( x  2) 。③ y   x3  x 。. 解答： ①為Ⓑ圖，②為Ⓓ圖，③為Ⓒ圖。. 14.

(15) 【討論】三次或三次以上多項式函數的圖形描繪，要配合微積分的方法(一次微分可判別遞增遞減，二次微分可判別凹口方向)，才可以描繪出其圖形的大致形狀，一般是以電腦軟體繪製圖形。【性質】高次多項式函數圖形的性質： 1. 圖形為連續不斷的。註：連續的定義為 lim f ( x)  f (a) 。 x a. 2. 當首項係數為正，則圖形最右邊向上；當首項係數為負，則圖形最右邊向下。 3. n 次多項式函數的圖形與 x 軸至多 n 個交點。註：實係數多項式方程式的虛根成對，故奇數次實係數多項式函數的圖形與 x 軸至少有一個交點，偶數次實係數多項式函數的圖形與 x 軸不一定有交點。. 15.

(16) 【方法】如圖，試討論三次實係數多項式函數 f ( x)  ax 3  bx 2  cx  d 中，各係數的正負：. x. 1. 方法一：若已知圖形與 x 軸的交點為 ( ,0), ( ,0), ( ,0) ，則可利用 f ( x)  a( x   )(x   )(x   ) ，將其展開，並利用圖形最右側向上或向下判別首項係數的正負後，就可以知道其它係數的正負。 2. 方法二：若已知圖形與 x 軸的交點為 ( ,0), ( ,0), ( ,0) ，利用圖形最右側向上或向下判別首項係數的正負後，再利用三次方程式根與係數關係： b         a  c  若三次方程式的三根為  ,  ,  ，則       ， a  d         a  可判別 a, b, c, d 的正負。 3. 方法三：若不知圖形與 x 軸的交點，則可利用圖形與 y 軸的交點 (0, d ) 處之圖形性質判別如下： (1) a ：由圖形最右側向上或向下判別。 (2) b ：由圖形 (0, d ) 處的凹口方向判別。 (二次導數 f ' ' ( x)  6aax  2b ，故 f ' ' (0)  2b ) (3) c ：由圖形 (0, d ) 處的遞增或遞減判別。 (一次導數 f ' ( x)  3ax 2  2bx  c ，故 f ' (0)  c ) (4) d ：由圖形與 y 軸交點的位置判別。. 16.

(17) 【結論】單項函數 f ( x)  xn 是所有 n 次函數 f ( x)  a( x  h)n  k ，其中 a ， h ， k 為常數，且 a  0 的基礎函數。 1. 當 n  1 時， y  f ( x) 的圖形為一直線，而 a 是直線的斜率。 2. 當 n  2 時， y  f ( x) 的圖形為一拋物線，而 | a | 決定拋物線開口的大小；| a | 愈大，拋物線的開口愈小。 3. 當 n 為奇數時，所有 y  xn 的圖形都是增函數圖形， x 愈大時，點 ( x, xn ) 的位置愈高。 4. 當 n 為偶數時，所有 y  xn 的圖形都是以 y 軸為對稱軸的自身對稱的圖形。 5. 所有 y  a( x  h)n  k 的圖形都可以由 y  xn 的圖形透過平移與伸縮及對稱的幾何變換得到。本單元教材強調學生應培養由 y  xn 經變換後的圖形的函數的辨識能力。 6. 所有一次函數圖形都可由 y  x 的圖形變換而得，所有二次函數的圖形也都可由 y  x2 的圖形變換而得，但 n  3 時， y  xn 的圖形變換而得的圖形只是 n 次圖形中的一部分。. 17.

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