第二次期中考數學(科學班)

國立台灣師大附中

_{100 學年度第二學期高一科學班第二次期中考}

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範圍: 第三冊 1-1~ 第三冊2-1與初中數學競賽教程第 21 、 22 、 42 、 43 講 一、 單選題 ：每題5 分 （　　　）1. 如右圖所示ABC中，BAC45，作_ADBC， 2, 3, BD CD 求ABC之面積為何？ (A)12 (B)15 (C)18 (D) 21 (E) 30 。 （　　　） 2. 將半徑為1 的半圓周AB 分成 60 等份，設等分點依次為P P P1, , ,....,2 3 P59 ，試求： 2 59 1 k k AP 



 ? (A) 118 (B)120 (C)122 (D) 124 (E) 126 。 二、填充題：每格5 分，共計 65 分

1. ABC中 _{，  C 90 ，令}BAC,0    90 ，_AB26 ，sin 5

13

  ，求ABC 之 面積為何？ 。

2. 已知ABC 之三邊長c AB a BC b CA,  ,  ，且M 為_AB 之中點，若c6,a7,b5，則

(1) cos A (2)ABC 之面積 (3) ABC 外接圓半徑R

(4)_CM  。 3. 若 sin 0.7480 ，且90   180 ，根據三角函數表得知  。 4. 已知ABC 中，AB4,BC6,CA5, 由_AC 邊做一個正方形 ACDE ，試求：四邊形 BCDE 面積 。 5. 圓內接四邊形ABCD中，AB1,BC2,CD3,DA4 ，則 此四邊形 ABCD面積＝____ ____ 。 6. 某建築物上有一塔，塔頂上有一旗桿，已知旗桿長為a 公尺，今在平地上某點測得建築物 之頂、塔頂及旗桿頂之仰角分別為   。試以, , a, , ,   表示塔高度＝________ 。 7. 已知正ABC 中，PA3,PB4,PC5, 試求：ABC 邊長＝ 。 8.已知



ABC

中，內切圓O，A 含的旁切圓為Oa ，如下圖。若圓O、Oa 半徑分別為 2 、 5 ，BC 4 ，試求



ABC

的面積＝ 。

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p2 9. 如左下圖，單位圓上有 12 各等分點所連成的圖形，則 斜線部分 Oa O A B C A B D C

的面積為何? ＝ 。 I J H G F A B C E D 10. 如右上圖已知正五邊形 ABCDE ，連接此正五邊形對角線，在其內部可得另一小正五邊形 FGHIJ ，若已知小正五邊形 FGHIJ 面積為 1 ，求大正五邊形 ABCDE 面積＝ 。 三、計算與證明題： 共計 35 分（請詳細列出計算過程，否則不計分） 1. 試証 : 周長固定之三角形中，以正三角形面積最大。【 5 分】 2. {( , )x y x  2 1 y  2 1 3} ，（1 ）作圖：（2 ）之面積為何？【各5 分 , 共 10 分】 3. 設a b c Z, ,  , 試証：_ax2_{bx c 0 之判別式b}2_{4ac 不能是1294 或 1295 。【各 5 分 ,} 共 10 分】 【初中競賽數學試題42 講】

【阿宗格言

_{:努力、堅持，並永不放棄！ 】}

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p3 範圍:第三冊 1-1~第三冊 2-1 與初中數學競賽教程第 21、22、42、43 講 2012.05.10 座號 姓名 一、 選擇題：（每題5 分，共計 10 分） (1) (2) 二、填充題 （ 每格 5 分，共計 65 分 ） (1) (2-1) (2-2) (2-3) (2-4) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 三、計算與證明題： 共計 25 分（請詳細列出計算過程，否則不計分） 1. 2. 3.

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<參考解答>

一、 選擇題：（每題5 分，共計 10 分） (1) (2)

B

A

二、填充題 （ 每格 5 分，共計 65 分 ） (1) (2-1) (2-2) (2-3) (2-4) 120 1 5 6 6 35 6 24 2 7 (3) (4) (5) (6) (7) 131 35' 95 15 7 4  2 6 (tan cot 1)

cot (tan tan )

a        25 12 3 (8) (9) (10) 3 40 ₃ 3   7 3 5 2  三、計算與證明題： 共計 25 分（請詳細列出計算過程，否則不計分） 1. ( ) 2 a b c s   固定 ，考慮算幾不等式， 3 3 2 2 (s- )+(s-b)+(s-c) ( )( )( ), (2 ( ) ( )( )( ), (1 3 3 3 ( )( )( ) (2 4 3 3 s a s b s c a b c a b c a s s a s b s c s a s b s c s s s a s b s c a                           分)分) 分),Q.E.D. 2. (1) (2)42 8 6 4 2 -2 -4 -6 -5 5 10 15 q x  = 4- x-2 -1 h x  = x-2 -1 g x  = -2+ x-2 -1 f x  = 6- x-2 -1 3. <pf>(1) 利用反証法: 若 2 2 4 1294 4 323 2...(1) 2 (1) 4t 4 4 323 2 4 , . . . b ac b b t ac Q E D              必為偶數 令 代回 必為的倍數矛盾 (2) 利用反証法 : 若

2 2 4 1295 4 323 3...(1) 2 +1 (1) 4t 4 1 4 4 323 3 1(mod 4), . . . b ac b b t t ac Q E D                 必為奇數 令 代回 矛盾

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