高等数学下复习

(1)

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高等数学 2 复习

.. . 高等数学课程 . 2020 年 2 月 12 日 . 暨南大学数学系吕荐瑞(lvjr.bitbucket.io)

(2)

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微分方程 .

第七章

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空间解析几何

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第八章

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多元函数微分法

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第九章

.

重积分

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第十章

.

曲线积分与曲面积分

.

第十一章

(3)

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微分方程的概念

定义 1 含有未知函数的导数或微分的方程，即形如下面形式的方程 F(,y,y′,y′′,· · · ,y(n)) = 0 称为微分方程．其中微分方程中出现的导数的最高阶 数 n，称为微分方程的阶． .

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微分方程 .

第七章

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一阶微分方程

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A

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高阶微分方程

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B

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一阶微分方程

1 可分离变量微分方程 ƒ() d = g(y) dy 两边积分得 ∫ ƒ() d = ∫ g(y) dy 2 齐次微分方程 dy d = ƒ ( y ) 令  ₌ y_，得 d_d _{+  = ƒ ()} 分离变量，得到 _ƒ_()−d ₌ d_ 3 一阶线性微分方程 y′+ p()y = q() 先求 r_{() = e}∫p() d 再求 y _{= r()}−1∫ q()r() d + C .

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一阶微分方程

1 可分离变量微分方程 ƒ() d = g(y) dy 两边积分得 ∫ ƒ() d = ∫ g(y) dy 2 齐次微分方程 dy d = ƒ ( y ) 令  ₌ y_，得 d_d _{+  = ƒ ()} 分离变量，得到 _ƒ_()−d ₌ d_ 3 一阶线性微分方程 y′+ p()y = q() 先求 r_{() = e}∫p() d 再求 y _{= r()}−1∫ q()r() d + C

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一阶微分方程

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(8)

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一阶微分方程

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一阶微分方程

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(10)

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一阶微分方程

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一阶微分方程

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一阶微分方程

1 可分离变量微分方程 ƒ() d = g(y) dy 两边积分得 ∫ ƒ() d = ∫ g(y) dy 2 齐次微分方程 dy d = ƒ ( y ) 令  ₌ y_，得 d_d _{+  = ƒ ()} 分离变量，得到 _ƒ_()−d ₌ d_ 3 一阶线性微分方程 y′+ p()y = q() () = e∫ () d

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一阶微分方程

例 1 判别一阶微分方程的类型并求通解： (1) (1 + y2_{) d + (}2_{+ 1) dy = 0} (2) ( + y) d + ( − y) dy = 0 (3) ( + y) d + ( + 1) dy = 0 解答 (1) rctn + rctn y = C (2) y2− 2y − 2 = C (3) y = 1 + 1 −1 2 2_{+ C} .

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一阶微分方程

例 1 判别一阶微分方程的类型并求通解： (1) (1 + y2_{) d + (}2_{+ 1) dy = 0} (2) ( + y) d + ( − y) dy = 0 (3) ( + y) d + ( + 1) dy = 0 解答 (1) rctn + rctn y = C (2) y2− 2y − 2 = C

(15)

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微分方程 .

第七章

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一阶微分方程

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A

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高阶微分方程

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B

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二阶可降阶微分方程

1 y′′ = ƒ () 型 对  积分，得 y′ _{= F() + C} 2 y′′ = ƒ (,y′) 型 令 p _{= y}′，得 dp d = ƒ (,p) 3 y′′ = ƒ (y,y′) 型 令 p _{= y}′，得 pdp_dy _{= ƒ (y},p)

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二阶可降阶微分方程

1 y′′ = ƒ () 型 对  积分，得 y′ _{= F() + C} 2 y′′ = ƒ (,y′) 型 令 p _{= y}′，得 dp d = ƒ (,p) 3 y′′ = ƒ (y,y′) 型 令 p _{= y}′，得 pdp_dy _{= ƒ (y},p) .

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二阶可降阶微分方程

1 y′′ = ƒ () 型 对  积分，得 y′ _{= F() + C} 2 y′′ = ƒ (,y′) 型 令 p _{= y}′，得 dp d = ƒ (,p) 3 y′′ = ƒ (y,y′) 型 令 p _{= y}′，得 pdp_dy _{= ƒ (y},p)

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二阶可降阶微分方程

1 y′′ = ƒ () 型 对  积分，得 y′ _{= F() + C} 2 y′′ = ƒ (,y′) 型 令 p _{= y}′，得 dp_d _{= ƒ (},p) 3 y′′ = ƒ (y,y′) 型 令 p _{= y}′，得 pdp_dy _{= ƒ (y},p) .

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(20)

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二阶可降阶微分方程

1 y′′ = ƒ () 型 对  积分，得 y′ _{= F() + C} 2 y′′ = ƒ (,y′) 型 令 p _{= y}′，得 dp_d _{= ƒ (},p) 3 y′′ = ƒ (y,y′) 型 令 p _{= y}′，得 pdp_dy _{= ƒ (y},p)

(21)

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二阶可降阶微分方程

1 y′′ = ƒ () 型 对  积分，得 y′ _{= F() + C} 2 y′′ = ƒ (,y′) 型 令 p _{= y}′，得 dp_d _{= ƒ (},p) 3 y′′ = ƒ (y,y′) 型 令 p _{= y}′，得 pdp_dy _{= ƒ (y},p) .

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(22)

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二阶可降阶微分方程

例 2 求二阶微分方程的通解： (1) y′′ = e2 (2) y′′ = 1_ y′ (3) y′′ = 3₂y2

(23)

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常系数线性微分方程

常系数线性微分方程 1 齐次情形：y′′ + py′+ qy = 0 写出特征方程 r2_{+ pr + q = 0} 由特征方程的解写出齐次通解 2 非齐次情形：y′′+ py′+ qy = ƒ () 先求齐次通解再用待定系数法求非齐次特解 .

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(24)

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常系数线性微分方程

常系数线性微分方程 1 齐次情形：y′′ + py′+ qy = 0 写出特征方程 r2_{+ pr + q = 0} 由特征方程的解写出齐次通解 2 非齐次情形：y′′+ py′+ qy = ƒ () 先求齐次通解再用待定系数法求非齐次特解

(25)

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常系数线性微分方程

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(26)

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常系数线性微分方程

常系数线性微分方程 1 齐次情形：y′′ + py′+ qy = 0 写出特征方程 r2_{+ pr + q = 0} 由特征方程的解写出齐次通解 2 非齐次情形：y′′+ py′+ qy = ƒ () 先求齐次通解再用待定系数法求非齐次特解

(27)

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常系数线性微分方程

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(28)

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常系数线性微分方程

常系数线性微分方程 1 齐次情形：y′′ + py′+ qy = 0 写出特征方程 r2_{+ pr + q = 0} 由特征方程的解写出齐次通解 2 非齐次情形：y′′+ py′+ qy = ƒ () 先求齐次通解

(29)

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线性微分方程的叠加原理

.. y′′+ p()y′+ q()y = ƒ1() 特解 y∗ 1() . y′′+ p()y′+ q()y = ƒ2() 特解 y∗ 2() . y′′+ p()y′+ q()y = ƒ1() + ƒ2() 特解 y∗_{() = y}∗ 1() + y ∗ 2() .

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(30)

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线性微分方程的叠加原理

.. y′′+ p()y′+ q()y = ƒ1() 特解 y∗ 1() . ′′_{+ p()y}′_{+ q()y = ƒ2()} . y′′+ p()y′+ q()y = ƒ1() + ƒ2() 特解 y∗_{() = y}∗ 1() + y ∗ 2()

(31)

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线性微分方程

例 3 求微分方程 y′′_{+ y = }2_{+ e} _的通解． .

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(32)

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微分方程 .

第七章

.

空间解析几何

.

第八章

.

多元函数微分法

.

第九章

.

重积分

.

第十章

.

曲线积分与曲面积分

.

第十一章

(33)

. .

.

空间解析几何

.

第八章

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向量及其运算

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A

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平面和直线

.

B

.

曲面与曲线

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C

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(34)

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数量积与向量积

1 数量积 ⃗ · ⃗b= | ⃗| | ⃗b| cos θ ⃗ · ⃗b= 0 ⇐⇒ ⃗⊥ ⃗b 2 向量积 | ⃗ × ⃗b| = | ⃗| | ⃗b| sin θ ⃗ × ⃗b= 0 ⇐⇒ ⃗ ∥ ⃗b

(35)

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数量积与向量积

1 数量积 ⃗ · ⃗b= | ⃗| | ⃗b| cos θ ⃗ · ⃗b= 0 ⇐⇒ ⃗⊥ ⃗b 2 向量积 | ⃗ × ⃗b| = | ⃗| | ⃗b| sin θ ⃗ × ⃗b= 0 ⇐⇒ ⃗ ∥ ⃗b .

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(36)

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数量积与向量积

(37)

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数量积与向量积

1 数量积 ⃗ · ⃗b= | ⃗| | ⃗b| cos θ ⃗ · ⃗b= 0 ⇐⇒ ⃗⊥ ⃗b 2 向量积 | ⃗ × ⃗b| = | ⃗| | ⃗b| sin θ ⃗ × ⃗b= 0 ⇐⇒ ⃗ ∥ ⃗b .

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(38)

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数量积与向量积

(39)

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空间解析几何

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第八章

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向量及其运算

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A

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平面和直线

.

B

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曲面与曲线

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C

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(40)

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平面的方程

一般式方程： A+ By + Cz + D = 0 点法式方程： A( − 0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0 截距式方程：   + y b + z c = 1

(41)

. .

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直线的方程

一般式方程：    A1+ B1y+ C1z + D1= 0 A2+ B2y+ C2z + D2= 0 对称式方程： − 0 m = y− yo n = z− z0 p 参数式方程：       = 0+ mt y= y0+ nt z = z0+ pt .

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(42)

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平面直线间的夹角

平面与平面的夹角：cos θ ₌ | ⃗n1· ⃗n2| | ⃗n1| · | ⃗n2| 直线与直线的夹角：cos θ ₌ |⃗s1· ⃗s2| |⃗s1| |⃗s2| 直线与平面的夹角：sin θ ₌ |⃗s · ⃗n| |⃗s| | ⃗n|

(43)

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平面束的方程

过直线 ( A1 + B1y+ C1z+ D1 = 0 A2 + B2y+ C2z+ D2 = 0 的平面束的方程为 . λ1(A1 + B1y+ C1z+ D1) + λ2(A2+ B2y+ C2z + D2) = 0 其中，λ1，λ2 不全为零． .

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(44)

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平面束的方程

过直线 ( A1 + B1y+ C1z+ D1 = 0 A2 + B2y+ C2z+ D2 = 0 的平面束的方程为 . λ1(A1 + B1y+ C1z+ D1) + λ2(A2+ B2y+ C2z + D2) = 0 其中，λ1，λ2 不全为零．

(45)

. .

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平面束的方程

过直线 ( A1 + B1y+ C1z+ D1 = 0 A2 + B2y+ C2z+ D2 = 0 的平面束的方程为 . λ1(A1 + B1y+ C1z+ D1) + λ2(A2+ B2y+ C2z + D2) = 0 其中，λ1，λ2 不全为零． .

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(46)

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空间解析几何

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第八章

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向量及其运算

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A

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平面和直线

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B

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曲面与曲线

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C

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旋转曲面

设在 yz 面上的曲线 C 的方程为 ƒ_(y,z) = 0． 它绕 z 轴旋转一周得到的旋 转曲面方程为 ƒ(±p2_{+ y}2_,_z_{) = 0.} _..  . _y . z . C 它绕 y 轴旋转一周得到的旋转曲面方程为 ƒ(y,± p 2_{+ z}2_{) = 0.} .

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(48)

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旋转曲面

设在 yz 面上的曲线 C 的方程为 ƒ_(y,z) = 0． 它绕 z 轴旋转一周得到的旋 转曲面方程为 ƒ(±p2_{+ y}2_,_z_{) = 0.} _..  . _y . z . C 它绕 y 轴旋转一周得到的旋转曲面方程为 p

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例 1 直线 L：₃ ₌ y₂ ₌ z−1₁ 绕 z 轴旋转一周，求所得 的旋转曲面的方程．解答 设 M1(1,y1,z1) 为 L 上任一点，则有 1 3 = y1 2 = z1− 1 1 (1) 设 M_(,y,z) 为 M1 绕 z 轴旋转轨迹上任一点，则有 2+ y2 = 2₁+ y2₁, z = z1 (2) 由 (1) 解得 1 = 3(z1 − 1)，y1 = 2(z1− 1)，代入 (2) 消去 z1 得方程 2+ y2 = 13(z − 1)2． .

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(50)

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例 1 直线 L：₃ ₌ y₂ ₌ z−1₁ 绕 z 轴旋转一周，求所得 的旋转曲面的方程．解答 设 M1(1,y1,z1) 为 L 上任一点，则有 1 3 = y1 2 = z1− 1 1 (1) 设 M_(,y,z) 为 M1 绕 z 轴旋转轨迹上任一点，则有 2+ y2 = 2₁+ y2₁, z = z1 (2) 由 (1) 解得 1 = 3(z1 − 1)，y1 = 2(z1− 1)，代入 (2) 消去 z1 得方程 2+ y2 = 13(z − 1)2．

(51)

. .

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例 1 直线 L：₃ ₌ y₂ ₌ z−1₁ 绕 z 轴旋转一周，求所得 的旋转曲面的方程．解答 设 M1(1,y1,z1) 为 L 上任一点，则有 1 3 = y1 2 = z1− 1 1 (1) 设 M_(,y,z) 为 M1 绕 z 轴旋转轨迹上任一点，则有 2+ y2 = 2₁+ y₁2, z = z1 (2) 由 (1) 解得 1 = 3(z1 − 1)，y1 = 2(z1− 1)，代入 (2) 消去 z1 得方程 2+ y2 = 13(z − 1)2． .

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例 1 直线 L：₃ ₌ y₂ ₌ z−1₁ 绕 z 轴旋转一周，求所得 的旋转曲面的方程．解答 设 M1(1,y1,z1) 为 L 上任一点，则有 1 3 = y1 2 = z1− 1 1 (1) 设 M_(,y,z) 为 M1 绕 z 轴旋转轨迹上任一点，则有 2+ y2 = 2₁+ y₁2, z = z1 (2) 由 (1) 解得 1 = 3(z1 − 1)，y1 = 2(z1− 1)，代入 (2) 消去 z1 得方程 2+ y2 = 13(z − 1)2．

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例 1 直线 L：₃ ₌ y₂ ₌ z−1₁ 绕 z 轴旋转一周，求所得 的旋转曲面的方程．解答 设 M1(1,y1,z1) 为 L 上任一点，则有 1 3 = y1 2 = z1− 1 1 (1) 设 M_(,y,z) 为 M1 绕 z 轴旋转轨迹上任一点，则有 2+ y2 = 2₁+ y₁2, z = z1 (2) 由 (1) 解得 1 = 3(z1 − 1)，y1 = 2(z1− 1)，代入 (2) 消去 z1 得方程 2_{+ y}2 _{= 13(z − 1)}2_． .

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(54)

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例 1 直线 L：₃ ₌ y₂ ₌ z−1₁ 绕 z 轴旋转一周，求所得 的旋转曲面的方程．解答 设 M1(1,y1,z1) 为 L 上任一点，则有 1 3 = y1 2 = z1− 1 1 (1) 设 M_(,y,z) 为 M1 绕 z 轴旋转轨迹上任一点，则有 2+ y2 = 2₁+ y₁2, z = z1 (2) 由 (1) 解得 1 = 3(z1 − 1)，y1 = 2(z1− 1)，代入

(55)

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微分方程 .

第七章

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空间解析几何

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第八章

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多元函数微分法

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第九章

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重积分

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第十章

.

曲线积分与曲面积分

.

第十一章

.

无穷级数 .

第十二章

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(56)

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多元函数微分法

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第九章

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偏导数与全微分

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A

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多元微分法几何意义

.

B

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多元极值和条件极值

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C

(57)

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基本概念的关系图

.. 偏导数连续 . 可微分 . 偏导数存在 .. 连续 × .

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(58)

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多元函数求导法

复合函数求导（链式法则）隐函数求导（按公式计算）例 1 设 z _{= ƒ ( + y},y)，且 ƒ 有二阶连续偏导数，求 ∂z ∂ 及 ∂2z ∂∂y．

(59)

. .

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多元函数求导法

复合函数求导（链式法则）隐函数求导（按公式计算）例 1 设 z _{= ƒ ( + y},y)，且 ƒ 有二阶连续偏导数，求 ∂z ∂ 及 ∂2z ∂∂y． .

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(60)

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多元函数微分法

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第九章

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偏导数与全微分

.

A

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多元微分法几何意义

.

B

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多元极值和条件极值

.

C

(61)

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空间曲线的切线与法平面

设空间曲线  的参数方程为     = φ(t), y = ψ(t), z = ω(t), t ∈ [α,β]．则曲线在点 _(₀,y0,z0) = (φ(t0),ψ(t0),ω(t0)) 处有切向量 −→T = (T1,T2,T3) = φ′(t0),ψ′(t0),ω′(t0) 切线 − 0 T1 = y− y0 T2 = z − z0 T3 法平面 T1( − 0) + T2(y − y0) + T3(z − z0) = 0 .

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(62)

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空间曲面的法线与切平面

设空间曲面  的隐式方程为 F(,y,z) = 0．则曲面在点 _(0,y0,z0) 处有法向量 _{⃗n = (n}1,n2,n3) = F′ , F ′ y, F ′ z (0,y0,z0) 法线 − 0 n1 = y− y0 n2 = z − z0 n3

(63)

. .

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方向导数

定理 若函数 ƒ_(,y) 在点 P0(0,y0) 可微分，那么 它在该点沿任一方向  的方向导数存在，且有 ∂ƒ ∂ (0,y0) = ƒ′ (0,y0) cos α + ƒ ′ y(0,y0) cos β.

其中 ⃗e = (cos α,cos β) 是与  同方向的单位向量．

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(64)

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梯度

定义 二元函数 ƒ_(,y) 在点 P0(0,y0) 处的梯度为 grd ƒ(0,y0)= ƒ′ (0,y0), ƒ ′ y(0,y0) = ƒ_′(0,y0)⃗+ ƒ_y′(0,y0)⃗j 或者记为 ∇ƒ(0,y0)．注记梯度与方向导数有如下关系： 1 当方向向量与梯度方向相同时，函数增加最快 2 当方向向量与梯度方向相反时，函数减少最快 3 当方向向量与梯度方向垂直时，函数变化率为零

(65)

. .

.

梯度

定义 二元函数 ƒ_(,y) 在点 P0(0,y0) 处的梯度为 grd ƒ(0,y0)= ƒ′ (0,y0), ƒ ′ y(0,y0) = ƒ_′(0,y0)⃗+ ƒ_y′(0,y0)⃗j 或者记为 ∇ƒ(0,y0)．注记梯度与方向导数有如下关系： 1 当方向向量与梯度方向相同时，函数增加最快 2 当方向向量与梯度方向相反时，函数减少最快 3 当方向向量与梯度方向垂直时，函数变化率为零 .

.

7 8910 11 12  

(66)

.

多元函数微分法

.

第九章

.

偏导数与全微分

.

A

.

多元微分法几何意义

.

B

.

多元极值和条件极值

.

C

(67)

. .

.

极值与最值问题

极值的必要条件和充分条件求条件极值的方法 1 消元化为无条件极值 2 拉格朗日乘数法求解最值和条件最值问题例 2 求二元函数 ƒ_(,y) =  + y − y 在闭区域 D = {(,y) | 2+ y2¶ 5} 上的最值． .

.

7 8910 11 12  

(68)

.

极值与最值问题

极值的必要条件和充分条件求条件极值的方法 1 消元化为无条件极值 2 拉格朗日乘数法求解最值和条件最值问题例 2 求二元函数 ƒ_(,y) =  + y − y 在闭区域

(69)

. .

.

微分方程 .

第七章

.

空间解析几何

.

第八章

.

多元函数微分法

.

第九章

.

重积分

.

第十章

.

曲线积分与曲面积分

.

第十一章

.

无穷级数 .

第十二章

.

7 8 91011 12  

(70)

.

重积分

.

第十章

.

奇偶对称性

.

A

.

轮换对称性

.

B

.

计算方法 .

C

.

几何应用 .

D

(71)

. .

.

二重积分的奇偶对称性

性质 (奇偶对称性) 设闭区域 D 关于  轴对称， 若 ƒ_(,y) 关于 y 是奇函数，则 ∫∫ D ƒ(,y) dσ = 0 若 ƒ_(,y) 关于 y 是偶函数，则 ∫∫ D ƒ(,y) dσ = 2 ∫∫ D₁ ƒ(,y) dσ ..  . D . D1 . D2 . (,y) . (,−y) .

.

7 8 91011 12  

(72)

.

二重积分的奇偶对称性

性质 (奇偶对称性) 设闭区域 D 关于  轴对称， 若 ƒ_(,y) 关于 y 是奇函数，则 ∫∫ D ƒ(,y) dσ = 0 若 ƒ_(,y) 关于 y 是偶函数，则 ∫∫ D ƒ(,y) dσ = 2 ∫∫ D₁ ƒ(,y) dσ ..  . D . D1 . D2 . (,y) . (,−y)

(73)

. .

.

二重积分的奇偶对称性

性质 (奇偶对称性) 设闭区域 D 关于  轴对称， 若 ƒ_(,y) 关于 y 是奇函数，则 ∫∫ D ƒ(,y) dσ = 0 若 ƒ_(,y) 关于 y 是偶函数，则 ∫∫ D ƒ(,y) dσ = 2 ∫∫ D₁ ƒ(,y) dσ ..  . D . D1 . D2 . (,y) . (,−y) .

.

7 8 91011 12  

(74)

.

二重积分的奇偶对称性

性质 (奇偶对称性) 设闭区域 D 关于 y 轴对称， 若 ƒ_(,y) 关于  是奇函数，则 ∫∫ D ƒ(,y) dσ = 0 若 ƒ_(,y) 关于  是偶函数，则 ∫∫ D ƒ(,y) dσ = 2 ∫∫ D1 ƒ(,y) dσ .. y . D . D1 . D2 . (,y) . (−,y)

(75)

. .

.

二重积分的奇偶对称性

性质 (奇偶对称性) 设闭区域 D 关于 y 轴对称， 若 ƒ_(,y) 关于  是奇函数，则 ∫∫ D ƒ(,y) dσ = 0 若 ƒ_(,y) 关于  是偶函数，则 ∫∫ D ƒ(,y) dσ = 2 ∫∫ D1 ƒ(,y) dσ .. y . D . D1 . D2 . (,y) . (−,y) .

.

7 8 91011 12  

(76)

.

二重积分的奇偶对称性

性质 (奇偶对称性) 设闭区域 D 关于 y 轴对称， 若 ƒ_(,y) 关于  是奇函数，则 ∫∫ D ƒ(,y) dσ = 0 若 ƒ_(,y) 关于  是偶函数，则 ∫∫ D ƒ(,y) dσ = 2 ∫∫ D1 ƒ(,y) dσ .. y . D . D1 . D2 . (,y) . (−,y)

(77)

. .

.

三重积分的奇偶对称性

性质 (奇偶对称性) 设空间中三维闭区域 Ω 关于 y 坐标面对称， (1) 若 ƒ_(,y,z) 关于 z 是奇函数，则 ∫∫∫ Ω ƒ(,y,z) d = 0 (2) 若 ƒ_(,y,z) 关于 z 是偶函数，则 ∫∫∫ Ω ƒ(,y,z) d = 2 ∫∫∫ Ω₁ ƒ(,y,z) d . .  _. y . z

.

. _Ω . (,y,z) ∈ Ω1 . (,y,−z) ∈ Ω2 .

.

7 8 91011 12  

(78)

.

三重积分的奇偶对称性

.

. _Ω . (,y,z) ∈ Ω1 . (,y,−z) ∈ Ω2

(79)

. .

.

三重积分的奇偶对称性

.

. _Ω . (,y,z) ∈ Ω1 . (,y,−z) ∈ Ω2 .

.

7 8 91011 12  

(80)

.

重积分

.

第十章

.

奇偶对称性

.

A

.

轮换对称性

.

B

.

计算方法 .

C

.

几何应用 .

D

(81)

. .

.

轮换对称性

例 1 设 D 是圆 2_{+ y}2 _{= 1 围成的闭区域，求积分} ∫∫ D (2_{+ 3y}2_{) dσ.} 解法由轮换对称性有 ∫∫ D 2_dσ ₌∫∫ Dy 2_dσ．从而 ∫∫ D (2_{+ 3y}2_{) dσ =} ∫∫ D (22_{+ 2y}2_{) dσ = · · ·} 例 2 D 同上，求二重积分 ∫∫ D( 2_{+ 2y + 3y}2_{) dσ．} .

.

7 8 91011 12  

(82)

.

轮换对称性

例 1 设 D 是圆 2_{+ y}2 _{= 1 围成的闭区域，求积分} ∫∫ D (2_{+ 3y}2_{) dσ.} 解法由轮换对称性有 ∫∫ D 2_dσ ₌∫∫ Dy 2_dσ．从而 ∫∫ D (2_{+ 3y}2_{) dσ =} ∫∫ D (22_{+ 2y}2_{) dσ = · · ·} 例 2 D 同上，求二重积分 ∫∫ D( 2_{+ 2y + 3y}2_{) dσ．}

(83)

. .

.

轮换对称性

例 1 设 D 是圆 2_{+ y}2 _{= 1 围成的闭区域，求积分} ∫∫ D (2_{+ 3y}2_{) dσ.} 解法由轮换对称性有 ∫∫ D 2_dσ ₌∫∫ Dy 2_dσ．从而 ∫∫ D (2_{+ 3y}2_{) dσ =} ∫∫ D (22_{+ 2y}2_{) dσ = · · ·} 例 2 D 同上，求二重积分 ∫∫ D( 2_{+ 2y + 3y}2_{) dσ．} .

.

7 8 91011 12  

(84)

.

重积分

.

第十章

.

奇偶对称性

.

A

.

轮换对称性

.

B

.

计算方法 .

C

.

几何应用 .

D

(85)

. .

.

二重积分的计算方法

1 确定积分区域（求曲面交线的投影曲线） 2 选择合适的坐标系（直角坐标，极坐标） 3 选择合适的积分次序（X 型，Y 型） 4 利用对称性简化计算（可以分块积分） .

.

7 8 91011 12  

(86)

.

三重积分的计算方法

1 选择合适的坐标系（直角坐标，柱面坐标）

2 选择合适的积分次序（先一后二，先二后一）

(87)

. .

.

重积分

.

第十章

.

奇偶对称性

.

A

.

轮换对称性

.

B

.

计算方法 .

C

.

几何应用 .

D

.

7 8 91011 12  

(88)

.

立体的体积

设曲顶柱体的底面为 y 平面有界闭区域 D，顶面为 连续曲面 ƒ_(,y)，则它的体积为 V = ∫∫ D ƒ(,y) dσ. 占有空间有界闭区域 Ω 的立体的体积为 V = ∫∫∫ Ω d dy dz.

(89)

. .

.

立体的体积

设曲顶柱体的底面为 y 平面有界闭区域 D，顶面为 连续曲面 ƒ_(,y)，则它的体积为 V = ∫∫ D ƒ(,y) dσ. 占有空间有界闭区域 Ω 的立体的体积为 V = ∫∫∫ Ω d dy dz. .

.

7 8 91011 12  

(90)

.

曲面的面积

设曲面 z _{= ƒ (},y) 在 Oy 面上的投影区域为 D，且 ƒ(,y) 的偏导数连续，则曲面的面积为 S= ∫∫  dS = ∫∫ D q 1+ ƒ_′(,y)2_{+ ƒ}′ y(,y) 2_{d dy}

(91)

. .

.

微分方程 .

第七章

.

空间解析几何

.

第八章

.

多元函数微分法

.

第九章

.

重积分

.

第十章

.

曲线积分与曲面积分

.

第十一章

.

无穷级数 .

第十二章

.

7 8 9 101112  

(92)

.

曲线积分与曲面积分

.

第十一章

.

奇偶对称性

.

A

.

轮换对称性

.

B

.

积分联系 .

C

.

计算方法 .

D

(93)

. .

.

第一类曲线积分的奇偶对称性

性质 (奇偶对称性) 设平面曲线 L 关于  轴对称 若 ƒ_(,y) 关于 y 是奇函数，则 ∫ L ƒ(,y) ds = 0 若 ƒ_(,y) 关于 y 是偶函数，则 ∫ L ƒ(,y) ds = 2 ∫ L1 ƒ(,y) ds ..  . y . L . L1 . L2 . (,y) . (,−y) .

.

7 8 9 101112  

(94)

.

第一类曲线积分的奇偶对称性

性质 (奇偶对称性) 设平面曲线 L 关于  轴对称 若 ƒ_(,y) 关于 y 是奇函数，则 ∫ L ƒ(,y) ds = 0 若 ƒ_(,y) 关于 y 是偶函数，则 ∫ L ƒ(,y) ds = 2 ∫ L1 ƒ(,y) ds ..  . y . L . L1 . L2 . (,y) . (,−y)

(95)

. .

.

第一类曲线积分的奇偶对称性

性质 (奇偶对称性) 设平面曲线 L 关于  轴对称 若 ƒ_(,y) 关于 y 是奇函数，则 ∫ L ƒ(,y) ds = 0 若 ƒ_(,y) 关于 y 是偶函数，则 ∫ L ƒ(,y) ds = 2 ∫ L1 ƒ(,y) ds ..  . y . L . L1 . L2 . (,y) . (,−y) .

.

7 8 9 101112  

(96)

.

第一类曲线积分的奇偶对称性

性质 (奇偶对称性) 设平面曲线 L 关于 y 轴对称 若 ƒ_(,y) 关于  是奇函数，则 ∫ L ƒ(,y) ds = 0 若 ƒ_(,y) 关于  是偶函数，则 ∫ L ƒ(,y) ds = 2 ∫ L1 ƒ(,y) ds ..  . y . L . L1 . L2 . (,y) . (−,y)

(97)

. .

.

第一类曲线积分的奇偶对称性

性质 (奇偶对称性) 设平面曲线 L 关于 y 轴对称 若 ƒ_(,y) 关于  是奇函数，则 ∫ L ƒ(,y) ds = 0 若 ƒ_(,y) 关于  是偶函数，则 ∫ L ƒ(,y) ds = 2 ∫ L1 ƒ(,y) ds ..  . y . L . L1 . L2 . (,y) . (−,y) .

.

7 8 9 101112  

(98)

.

第一类曲线积分的奇偶对称性

性质 (奇偶对称性) 设平面曲线 L 关于 y 轴对称 若 ƒ_(,y) 关于  是奇函数，则 ∫ L ƒ(,y) ds = 0 若 ƒ_(,y) 关于  是偶函数，则 ∫ L ƒ(,y) ds = 2 ∫ L1 ƒ(,y) ds ..  . y . L . L1 . L2 . (,y) . (−,y)

(99)

. .

.

第一类曲面积分的奇偶对称性

性质 (奇偶对称性) 设曲面  关于 y 坐标面对称， (1) 若 ƒ_(,y,z) 关于 z 是奇函数，则 ∫∫  ƒ(,y,z) dS = 0 (2) 若 ƒ(,y,z) 关于 z 是偶函数，则 ∫∫  ƒ(,y,z) dS = 2 ∫∫ 1 ƒ(,y,z) dS . .  _._. y z

.

. _ . (,y,z) ∈ 1 . (,y,−z) ∈ 2 .

.

7 8 9 101112  

(100)

.

第一类曲面积分的奇偶对称性

.

. _ . (,y,z) ∈ 1 . (,y,−z) ∈ 2

(101)

. .

.

第一类曲面积分的奇偶对称性

.

. _ . (,y,z) ∈ 1 . (,y,−z) ∈ 2 .

.

7 8 9 101112  

(102)

.

曲线积分与曲面积分

.

第十一章

.

奇偶对称性

.

A

.

轮换对称性

.

B

.

积分联系 .

C

.

计算方法 .

D

(103)

. .

.

轮换对称性

例 1  为球面 2+y2+z2 = 1 被平面 +y +z = 0 所截的圆周，求曲线积分 ∮  2ds. 解法由轮换对称性有 ∮  2ds = ∮  y2ds = ∮  z2ds. 所以 ∮  2ds = 1 3 ∮  (2_{+ y}2_{+ z}2_{) ds} = 1 3 ∮  1 ds = 1 3 · 2π = 2π 3 . .

.

7 8 9 101112  

(104)

.

轮换对称性

例 1  为球面 2+y2+z2 = 1 被平面 +y +z = 0 所截的圆周，求曲线积分 ∮  2ds. 解法由轮换对称性有 ∮  2ds = ∮  y2ds = ∮  z2ds. 所以 ∮  2ds = 1 3 ∮  (2_{+ y}2_{+ z}2_{) ds} = 1 3 ∮  1 ds = 1 3 · 2π = 2π 3 .

(105)

. .

.

轮换对称性

例 1  为球面 2+y2+z2 = 1 被平面 +y +z = 0 所截的圆周，求曲线积分 ∮  2ds. 解法由轮换对称性有 ∮  2ds = ∮  y2ds = ∮  z2ds. 所以 ∮  2ds = 1 3 ∮  (2_{+ y}2_{+ z}2_{) ds} = 1 3 ∮  1 ds= 1 3 · 2π = 2π 3 . .

.

7 8 9 101112  

(106)

.

轮换对称性

例 2 设  是球面 2_{+ y}2_{+ z}2 _{= R}2_{，求曲面积分} ∫∫  (2_{+ y}2_{) dS.} 解法由轮换对称性有 ∫∫  2dS = ∫∫  y2dS= ∫∫  z2dS. 所以 ∫∫  (2_{+ y}2_{) dS =} 2 3 ∫∫  (2_{+ y}2_{+ z}2_{) dS} = 2 3 ∫∫  R2dS = 2 3R 2_{· Area() =} 8 3πR 4_.

(107)

. .

.

轮换对称性

例 2 设  是球面 2_{+ y}2_{+ z}2 _{= R}2_{，求曲面积分} ∫∫  (2_{+ y}2_{) dS.} 解法由轮换对称性有 ∫∫  2dS = ∫∫  y2dS= ∫∫  z2dS. 所以 ∫∫  (2_{+ y}2_{) dS =} 2 3 ∫∫  (2_{+ y}2_{+ z}2_{) dS} = 2 3 ∫∫  R2dS = 2 3R 2_{· Area() =} 8 3πR 4_. .

.

7 8 9 101112  

(108)

.

轮换对称性

例 2 设  是球面 2_{+ y}2_{+ z}2 _{= R}2_{，求曲面积分} ∫∫  (2_{+ y}2_{) dS.} 解法由轮换对称性有 ∫∫  2dS = ∫∫  y2dS= ∫∫  z2dS. 所以 ∫∫  (2_{+ y}2_{) dS =} 2 3 ∫∫  (2_{+ y}2_{+ z}2_{) dS}

(109)

. .

.

轮换对称性

例 3 设 L 为逆时针方向的单位圆周 2+ y2 = 1，求曲线积分 ∮ L  dy− y d. .. _ . y 解法由轮换对称性有 ∮ L dy = ∮ Ly d，从而 ∮ L  dy− y d = ∮ L  dy− ∮ L y d = 0. 说明上面这种解法的错误之处． .

.

7 8 9 101112  

(110)

.

轮换对称性

例 3 设 L 为逆时针方向的单位圆周 2+ y2 = 1，求曲线积分 ∮ L  dy− y d. .. _ . y 解法由轮换对称性有 ∮ L dy = ∮ Ly d，从而 ∮ L  dy− y d = ∮ L  dy− ∮ L y d = 0.

(111)

. .

.

轮换对称性

例 4 设  是球面 2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 1 的外侧．计算} ∫∫  dy dz+ y dz d + z2d dy. 解法由轮换对称性有 ∫∫  dy dz = ∫∫  d dy, ∫∫  y dz d = ∫∫  z d dy. 所以原式 ₌ ∫∫  1+ z + z2d dy = · · · = 4π 3 ． .

.

7 8 9 101112  

(112)

.

轮换对称性

例 4 设  是球面 2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 1 的外侧．计算} ∫∫  dy dz+ y dz d + z2d dy. 解法由轮换对称性有 ∫∫  dy dz = ∫∫  d dy, ∫∫  y dz d = ∫∫  z d dy. = ∫∫ + z + z2 _{= · · · =} 4π

(113)

. .

.

曲线积分与曲面积分

.

第十一章

.

奇偶对称性

.

A

.

轮换对称性

.

B

.

积分联系 .

C

.

计算方法 .

D

.

7 8 9 101112  

(114)

.

区域与边界

闭区域上的积分与区域边界的积分有如下联系：积分的联系积分公式曲线积分与二重积分格林公式曲面积分与三重积分高斯公式曲线积分与曲面积分斯托克斯公式

(115)

. .

.

定理 (格林公式) 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P_(,y) 及 Q(,y) 在 D 上具有一阶连续 偏导数，则有 ∫∫ D ∂Q ∂ − ∂P ∂y d dy = ∮ L P d+ Q dy, 其中 L 是 D 的取正向的边界曲线． .

.

7 8 9 101112  

(116)

.

定理 (高斯公式) 设空间闭区域 Ω 是由分片光滑 的闭曲面  所围成，函数 P_(,y,z)，Q(,y,z,) 和 R(,y,z) 在 Ω 上具有一阶连续偏导数，则有 ∫∫∫ Ω ∂P ∂ + ∂Q ∂y + ∂R ∂z d = ∫∫  P dy dz+ Q dz d + R d dy = ∫∫

(117)

. .

.

定理 (斯托克斯公式) 设  为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以  为边界的分片光滑的有向曲面，函数 P(,y,z)，Q(,y,z)，R(,y,z) 在曲面  连同边界  上具有一阶连续偏导数，则有 ∫∫  ∂R ∂y − ∂Q ∂z dy dz+ ∂P ∂z − ∂R ∂ dz d + ∂Q ∂ − ∂P ∂y d dy = ∮  P d+ Q dy + R dz 其中  的正向与  的侧符合右 · 手· 规· 则· ． .

.

7 8 9 101112  

(118)

.

格林公式

例 5 设 L 为从 O₍₀,0) 到 A(4,0) 的上半圆周 y = p 4− 2_{，计算曲线积分}  = ∫ L (2_{+ 3y) d + (y}2_{− ) dy.} 解法 为了使用格林公式，添加辅助线段 AO，求得  = 4 ∫∫ D dσ− ∫ AO 2d= 8π + 64 3 .

(119)

. .

.

格林公式

例 5 设 L 为从 O₍₀,0) 到 A(4,0) 的上半圆周 y = p 4− 2_{，计算曲线积分}  = ∫ L (2_{+ 3y) d + (y}2_{− ) dy.} 解法 为了使用格林公式，添加辅助线段 AO，求得  = 4 ∫∫ D dσ− ∫ AO 2d= 8π + 64 3 . .

.

7 8 9 101112  

(120)

.

高斯公式

例 6 设  是球面 2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 1 的外侧．计算} ∫∫  dy dz+ y dz d + z2d dy. 解法由高斯公式有原式 ₌ ∫∫∫ Ω (0 + 1 + 2z) d = ∫∫∫ Ω 1 d = 4π 3 ．

(121)

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高斯公式

例 6 设  是球面 2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 1 的外侧．计算} ∫∫  dy dz+ y dz d + z2d dy. 解法由高斯公式有原式 ₌ ∫∫∫ Ω (0 + 1 + 2z) d = ∫∫∫ Ω 1 d = 4π 3 ． .

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7 8 9 101112  

(122)

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曲线积分与曲面积分

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第十一章

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奇偶对称性

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A

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轮换对称性

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B

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积分联系 .

C

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计算方法 .

D

(123)

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曲线积分的计算

对弧长的曲线积分：_{= φ(t), y = ψ(t)，} ¶t ¶ b ∫ L ƒ(,y) ds = ∫ b  ƒ(φ(t),ψ(t)) p φ′(t)2_{+ ψ}′_(t)2_dt 对坐标的曲线积分：_{= φ(t), y = ψ(t)，}t 从  到 b ∫ L P(,y) d + Q(,y) dy = ∫ b  h P φ(t),ψ(t)φ′(t) + Q φ(t),ψ(t)ψ′(t) i dt .

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7 8 9 101112  