正方形（基础）巩固练习
【巩固练习】 一.选择题 1. 正方形是轴对称图形，它的对称轴共有（ ） A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 2.（2015•漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等 3. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm
，则图中阴影部分的面积为( )cm
2． A.6 B.8 C.16 D.不能确定4. 在正方形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上分别任意取点 E、F、G、H．这样得到的四边形 EFGH 中，是正方
形的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．4 个 D．无穷多个
5. 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，M 为边 AD 的中点，延长 MD 至点 E，使 ME＝MC，以 DE 为边作正方 形 DEFG，点 G 在边 CD 上，则 DG 的长为（ ）
A．
3 1
B.3
5
C.5 1
D.5 1
6.（2016•扬州二模）如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，∠EAF=45°，△ECF 的周长
A．2 B．3 C．4 D．5 二.填空题
7．若正方形的边长为
a
，则其对角线长为______，若正方形 ACEF 的边是正方形 ABCD 的对角线，则正方形 ACEF 与正方形 ABCD 的面积之比等于______．8. 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若不增加任何字母与辅助线， 要使四边形 ABCD 是正方形，则还需增加一个条件是_________. 9. 如图，将边长为 2
cm
的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把△ABC 沿着 AD 方向平移，得到△A B C
， 若两个三角形重叠部分的面积是 1cm
2，则它移动的距离AA
等于____cm
. 10.（2016 春•阳泉期中）李燕在商场里看到一条很漂亮的丝巾，非常想买．但她拿起来看时感觉丝巾不太 方．商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起一组对角，让李燕看另一组对角是否对齐（如图所 示）．李燕还有些疑惑，老板又拉起另一组对角让李燕检验．李燕终于买下这块纱巾．你认为李燕买的 这块纱巾是正方形的吗？ （填是或否）． 11. 如图．边长为 1 的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点 A 顺时针旋转 45°，则 这两个正方形重叠部分的面积是______．三.解答题
13．已知：如图，正方形 ABCD 中，点 E、M、N 分别在 AB、BC、AD 边上，CE＝MN， ∠MCE＝35°，求∠ANM 的度数．
14．（2015•铁力市二模）如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，PE⊥BC 于点 E；PF⊥CD 于点 F， 连接 EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的 有几个？．
15．如图，边长为 3 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 30°后，得到正方形 EFCG，EF 交 AD 于 H，求 DH 的长．
【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】D； 【解析】正方形的对称轴是两对角线所在的直线，两对边中点所在的直线，对称轴共 4 条． 2.【答案】D； 【解析】正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每 一条对角线平分一组对角； 菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角； 因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等；故选：D． 3．【答案】B； 【解析】阴影部分面积为正方形面积的一半. 4.【答案】D； 【解析】在正方形四边上任意取点 E、F、G、H，AH＝DG＝CF＝BE，能证明四边形 EFGH 为正方形，则说明 可以得到无穷个正方形． 5.【答案】D； 【解析】利用勾股定理求出 CM＝
5
，即 ME 的长，有 DM＝DE，所以可以求出 DE＝5 1
，进而得到 DG 的长． 6.【答案】A； 【解析】解：将△DAF 绕点 A 顺时针旋转 90 度到△BAF′位置， 由题意可得出：△DAF≌△BAF′， ∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′， ∴∠EAF′=45°， 在△FAE 和△EAF′中， ， ∴△FAE≌△EAF′（SAS）， ∴EF=EF′， ∵△ECF 的周长为 4， ∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=4， ∴2BC=4，∴BC=2． 故选 A． 二.填空题 7.【答案】
2a
，2∶1 ； 【解析】正方形 ACEF 与正方形 ABCD 的边长之比为2 :1
. 8.【答案】AC＝BD 或 AB⊥BC；【解析】∵在四边形 ABCD 中，AB＝BC＝CD＝DA∴四边形 ABCD 是菱形∴要使四边形 ABCD 是正方形，则还 需增加一个条件是 AC＝BD 或 AB⊥BC. 9.【答案】1； 【解析】移动距离为
B C x
，重叠部分面积为 CE×B C
1
，所以x
2
x
1
，得
x
1
2
0
，所 以x
1
. 10.【答案】否； 【解析】解：根据老板的方法，只能说明这块纱巾的两组对角分别相等，四条边都相等，也就是说纱巾 的两条对角线是对称轴，这只能保证纱巾是菱形，并不能保证它是正方形．因为正方形的对称 轴共有四条，除了两条对角线外，还有两条是对边中点的连线．所以只要拉起一组对边的中点 将纱巾对折，看另一组对边是否重合（图②）．若另一组对边不能重合，那么此纱布不是正方 形；若另一组对边能重合，那么此纱布一定是正方形． 故答案为：否． 11.【答案】2 1
；【解析】
D E D C
2 1
，重叠部分面积为2
1
1
2 1
2 1
2
. 12.【答案】5； 【解析】解：过 E 作 EM⊥AB 于 M， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=BC=CD=AB， ∴EM=AD，BM=CE， ∵△ABE 的面积为 8， ∴ ×AB×EM=8， 解得：EM=4， 即 AD=DC=BC=AB=4， ∵CE=3， 由勾股定理得：BE= = =5， 故答案为：5． 三.解答题 13.【解析】 解：作 NF⊥BC 于 F． ∵ABCD 是正方形， ∴CD＝BC＝FN 则在 Rt△BEC 和 Rt△FMN 中，∠B＝∠NFM＝90°，CE MN
BC FN
∴Rt△BEC≌Rt△FMN ∴∠MNF＝∠MCE＝35° ∴∠ANM＝90°－∠MNF＝55° 14.【解析】 解：①正确，连接 PC，可得 PC=EF，PC=PA，∴AP=EF；②正确；延长 AP，交 EF 于点 N，则∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE，可得 AP⊥EF； ③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP；
④错误，PD= PF= CE；⑤正确，PB2+PD2=2PA2． 所以正确的有 3 个：①②③.
15.【解析】
∵正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 30°， ∴∠BCF＝30°，则∠DCF＝60°， 在 Rt△CDH 和 Rt△CFH 中，
