臺北市九十二學年度國中盃數學能力競賽
第一階段 筆試（一）試題 92 年 11 月 22 日
說明：（１）本節考試時間為１００分鐘（８時２０分至１０時）。
（２）本節共有１０道填充題，每題４分，共計４０分。
（３）題目中所附圖形為參考圖。
（４）請將所有答案依題號順序寫在答案卷上，否則不予計分。
１.設 x 、y為任意實數，定義一個新的運算符號“⊗”，使得x⊗y =a2x+b2y，其中 a 、 b 為常數；若 已知1⊗2=3，2⊗1=5，則滿足 (2⊗t)⊗5=8⊗t 的 t 值為 。 ２.老闆宴請所有員工，已知員工人數多於３００人且未滿千人。現有Ａ、Ｂ、Ｃ三家餐廳供老闆選擇， 其中：Ａ餐廳每桌可坐１０人，每桌剛好坐滿；Ｂ餐廳每桌可坐１１人，每桌也剛好坐滿；Ｃ餐廳每桌 可坐１２人，只有一桌未坐滿，尚餘８個座位，但該桌仍需以一桌計費。若已知每桌費用Ａ餐廳比Ｂ餐 廳少５００元，Ｂ餐廳又比Ｃ餐廳少５００元，且選擇Ａ餐廳的總費用與選擇Ｂ餐廳的總費用相同，則 老闆選擇Ｃ餐廳的總費用為 元。 ３.若 200 2003 與 n n + + 200 2003 兩數之間恰包含２個正整數，則滿足此條件的所有正整數 n 的總和為 。 ４.設一個有 n 項的數列x1,x2,L ，數列中的任一項均選自２，１，０，－１四個整數中的其中一數；若,xn 已知x1+x2 +L+xn =92且 2 2 208 2 2 1 +x + +xn = x L ，則 3 3 2 3 1 x xn x + +L+ 的最大值為 。 ５.甲、乙、丙三人各有糖果若干顆，今玩某種輸贏遊戲。第一次遊戲由乙、丙兩人先玩，其中一人輸給 另一人５顆糖果；第二次遊戲由甲、丙兩人來玩，其中一人輸給另一人６顆糖果；第三次遊戲由甲、乙 兩人來玩，其中一人輸給另一人７顆糖果。三次遊戲後，結果甲有１１顆糖果，乙有５顆糖果，丙有９ 顆糖果，則未開始遊戲前丙原有 顆糖果。 ６.如圖（一），有兩個邊長為１２公分的正方形，部分重疊在一起，形成凹八邊形ＡＢＰＨＥＦＱＤ，重 疊部分ＰＣＱＧ為一長方形。若已知凹八邊形ＡＢＰＨＥＦＱＤ的面積為２１６平方公分，周長為６２ 公分，則長方形ＰＣＱＧ的對角線長為 公分。 圖（一）７.設有兩個邊長為１公分的正方形上下重疊，如圖（二）。若Ａ點固定，再將上面的正方形逆時針旋轉 ３０°，得到正方形ＡＢＣＤ與正方形ＡＢ'Ｃ'Ｄ'，如圖（三），則CC 的長為 公分。 ' 圖（二） 圖（三） ８.如圖（四），△ＡＢＣ中，Ｄ為AB上的一點且AD AB 3 1 = ，Ｅ為 AC 上的一點且AE AC 5 4 = ；若 CD 與BE 兩線段相交於Ｆ，則rＢＤＦ面積為rＣＥＦ面積的 倍。 圖（四） ９.如圖（五），ＡＢＣＤ為一邊長１８公分的正方形紙片；若以EF為摺痕，恰可將Ａ點摺到 BC 邊上的Ｇ 點且BG :GC =1:2，則四邊形ＡＥＦＤ的面積為 平方公分。 圖（五） １０.如圖（六），在平面上，Ｐ為平行四邊形ＡＢＣＤ外的一點，已知△ＰＡＤ面積為８平方公分， △ＰＢＣ面積為３平方公分，△ＰＡＢ面積為４平方公分，則△ＰＤＣ的面積為 平方公分。 圖（六）
