等積四邊形的存在性

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等積四邊形的存在性

朱亭叡

1

朱亮儒

2

*

1國 立 臺 北 科 技 大 學 機電 系 2國 立 臺 灣 師 範 大 學 數學 系

壹、前言

我 們 知 道:每 一 個 三 角 形 都 有 內 切 圓,也 會 有 外 接 圓;但 是 四 邊 形 未 必 有 內 切 圓 或 外 接 圓。例 如:正 方 形 有 內 切 圓,也 有 外 接 圓;長 方 形 及 等 腰 梯 形 都 有 外 接 圓、未 必 有 內 切 圓; 菱 形 及 鴛 形 有 內 切 圓、未 必 有 外 接 圓。內 切 圓 與 外 接 圓 都 是 中 學 數 學 課 程 中 重 要 的 幾 何 概 念 (蔡 聰 明 ,2 0 0 2 ; 吳波 ,2013) 。 給 定 四 邊 形 ABCD的 四 邊 長 a b c d, , , , 當 某 四 邊 形 有 內 切 圓,也 有 外 接 圓,且 四 邊 長 也 是 a b c d, , , ( 不 論 次 序 ) 時 , 我 們 稱 此 四 邊 形 為 ABCD的 一 個 「 等 積 四 邊 形 」。 例 如 : 左 下 圖 是 邊 長 依 序 為 a b a b 的 長 方 形 , 而 右 下 圖 是 邊, , , 長 依 序 為 a b b a 的 一 個 等 積 四 邊 形 。 , , , 所 謂〝 等 積 〞的 概 念 是 源 自 於 四 邊 形 有 內 切 圓,也 有 外 接 圓 時,其 面 積 都 等 於 abcd (蔡 聰 明,1993;林英 哲, 2 0 1 6 )。 在 本文 中,我 們將 探 討 兩 個有 趣 的 存 在性 問 題:「 有 內切 圓 的 四 邊 形 是 否 都 存 在 一 等 積 四 邊 形 ? 」 以 及 「 有 外 接 圓 的 四 邊 形 是 否 都 存 在 一 等 積 四 邊 形 ? 」本 次 研 究 的 目 的 是 希 望 讀 者 能 熟 悉 內 切 圓 與 外 接 圓 的 基 本 性 質,並 能 運 用 其 等 價 的 關 係 來 解 決 一 些 有 趣 的 動 態 幾 何 問 題 。

貳、有內切圓的四邊形之等積四邊形

利 用 圓 周 角 的 度 數 等 於 所 對 弧 圓 心 角 一 半 的 性 質 , 我 們 可 以 證 明 :「 一 個 四 邊 形 有 外 *為本 文 通 訊 作 者 a a b b a a b b

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接 圓 的 充 要 條 件 為 每 一 雙 對 角 互 補 」。 另 一 方 面 , 藉 由 過 圓 外 一 點 到 圓 的 兩 條 切 線 段 等 長 的 性 質,我 們 知 道:「 有 內 切 圓 的 四 邊 形 其 兩 雙 對 邊 長 之 和 相 等 」;此 一 性 質 不 僅 是 必 要 條 件 , 它 也 是 一 個 充 分 條 件 , 證 明 如 下 : 【 定 理 一 】 若 四 邊 形ABCD的 邊 長 分 別 為AB a ,BC b ,CD c ,DA d , 則 四 邊 形 ABCD 有 內 切 圓 的 充 要 條 件 為 兩 對 邊 長 之 和 相 等 , 即a c b d   。 證 : 以 下 僅 證 明 充 分 性 : 當a c b d   時 , 四 邊 形ABCD有 內 切 圓 。 設B與C的 平 分 線 交 於 點O, 由O作 四 邊AB,BC,CD,DA的 垂 線 , 垂 足 分 別 為E F G H 。 , , ,

則 由OEB OFB, OFC OGC(RHS 全 等 性 質), 得知 :

OE OF OG  , EBBF, 且 FC CG 。 又a c b d   , 因 此 , AD d    a c b AB CD BC  AE DG 。 以 下 要 證 明 : AHAEDHDG。 首 先 , 由 畢 氏 定 理 可 得 : 2 2 2 2 2 AHOHAOAEOE 。 若 AHAE,依 對 稱 性 可 設 AHAE,則 有OH OE OG  。再 由 畢 氏 定 理,得 知:OG2DG2OD2OH2DH2,於 是 可 得DG DH 。如 此,可 以 推 導 出 以 下 的 矛 盾 式:ADAH DH AE DG AD。因 此,AHAE,同 理,DHDG。 由 此 可 知 :OEA OHA, OHD OGD; 故OE OH OG OF   ; 亦 即

O 為 四 邊 形 ABCD 的 內 切圓 圓 心 ; 因此 , 四 邊 形 ABCD 有 內切 圓 。 【 定 理 二 】 若 四 邊 形ABCD 有 內 切 圓 , 則 必 存在 一 等 積 四邊 形 。 證:由 定 理 一,當 四 邊 形 ABCD 有 內 切圓 時,兩 雙對 邊 長 之 和相 等,即a c b d   。 不 失 一 般 性,我 們 可 設a b c d   ,並 將 四 邊 形 ABCD 由 A,C 兩端 點 拉 直使 得 180 ABC    (如 左 下 圖 ); 再 固 定 頂 點 B, 並 逐 步 將頂 點 D 向 右拉 開 至 某 一個 角 度 ABC, 使 得ADC180  (如 右 下 圖 )。 A B C D O E F G H

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其 中,B的 角 度 由 左 圖 的180開 始,隨 著 頂 點 D 向 右 拉 動遞 減 至 接 近0的 過 程 中,四 邊 形 的 兩 雙 對 邊 長 之 和 始 終 保 持 相 等,因 此,移 動 過 程 中 的 每 一 個 四 邊 形 都 有 內 切 圓 (由 定 理 一 )。於 是,只 要 拉 到 某 一 角 度 B使 D 180 , 則 此 時 的 四 邊 形 也 就 同 時 會 有 外 接 圓。事 實 上,由 中 間 值 定 理,此 種 角 度 是 存 在 的 , 而 且 可 以 計 算 如 下 : 四 邊 形ABCD 有 外 接圓 的 充要 條 件 為   B D 180, 此 時 ,

cosD cosB cos。

又 由 餘 弦 定 理,AC2a2b22abcosB c 2d22cdcos,因 此,四 邊 形 ABCD

有 外 接 圓 等 價 於a2b22abcosc2d22cdcos。 於 是 , 可 推 得 : 2 2 2 2 cos 2 2 a b c d ab cd       , 此 時 , 角 度 2 2 2 2 1 cos 2 2 a b c d ab cd      就 可 以 確 定 了 , 而 對 應 的 四 邊 形 即 為 四 邊 形 ABCD 的 一 個等 積 四 邊 形。

參、有外接圓的四邊形之等積四邊形

給 定 三 角 形 的 三 個 邊 長 ,三 角 形 的 形 狀 就 確 定(SSS 全 等 性 質),其 面積 可 以透 過 著 名 的 海 龍 公 式(Heron formula)來 計 算。然 而,邊 長 給 定的 四 邊 形 之形 狀 不 是 唯一 的,其 面積 不 能 只 用 四 邊 的 長 來 表 示,還 需 要 各 頂 角 的 角 度。儘 管 如 此,四 邊 形 的 面 積 也 有 類 似 的 海 龍 公 式 , 稱 為Bretschneider 公式(蔡 聰 明,1993; 張海 潮 ,2003),敘 述 如 下: 【 定 理 三 】 若 四 邊 形ABCD 的 四 邊 長 為 , , ,a b c d ,半 周 長 2 a b c d S    , 則 其 面 積 為 2 ( , , , ) ( )( )( )( ) cos 2 B D f a b c dS a S b S c S d    abcd  。 更 進 一 步 的, f a b c d( , , , )  (S a S b S c S d )(  )(  )(  );且 等 號 成 立 的 充 要 條 件 為 A,B,C,D 四 點 共 圓 ,即 四 邊 形 ABCD 有 一 外 接圓 。 A a b c d B C D A B D C a b c d

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【 推 論 】 若 四 邊 形 ABCD 的邊 長 分 別 為 , , ,a b c d ,且 有 一 外接 圓 及 一 內切 圓 , 則 四邊 形 ABCD 的面 積 為 f a b c d( , , , )  abcd 。 證 : 當 四 邊 形ABCD 有 一 外接 圓 時 , 其面 積 f a b c d( , , , )  (S a S b S c S d )(  )(  )(  )。 又 當 四 邊 形 ABCD 有內 切 圓時 , 兩 雙 對邊 長 之 和 相等 , 即a c b d   , 此 時 , , , , S a S b S c S d    恰為 a b c d, , , 的 重 排 ; 故 ( , , , ) ( )( )( )( ) f a b c dS a S b S c S d     abcd 。 【 定 理 四 】 若 四 邊 形 ABCD 有 外 接 圓 , 且 四 邊形 的 面 積 f a b c d( , , , )  abcd , 其 中a b c d, , , 為 四 邊 的 邊 長 , 則 必 存 在 一 等 積 四 邊 形 。 證 : 依 對 稱 性 , 可 設AB a ,BC b ,CD c ,DA d 。 利 用 面 積 公 式 , 得 知 : 1 1 ( , , , ) sin sin 2 2 f a b c d  ABC CDA ab B cd D。………. (1) 另 由 餘 弦 定 理 , 可 得 : 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos ACabab B c dcd D。……….. (2) 當 四 邊 形 ABCD 有外 接 圓 時, 即 A,B,C,D 四 點 共 圓, 則   B D 180, 於 是 可 得 :sinDsinB且cosD cosB。 因 此 , 由(1)及(2)式, 分 別 可得 :

2 ( , , , ) 2 sinB f a b c d abcd ab cd ab cd     , 2 2 2 2 cos 2( ) a b c d B ab cd      。 由 此 可 得 : 2 2 2 2 2 2 2 2 16 ( ) 1 sin cos 4( ) abcd a b c d B B ab cd         , 即16abcd(a2b2 c2 d2 2) 4(ab cd )2, 此 式 可 整 理 成 2 2 2 2 2 2 (ab  c d ) 4(ab cd )  。 0 因 此 ,

(a2b2 c2 d2) 2( ab cd ) (



a2b2 c2 d2) 2( ab cd )

 , 0 化 簡 可 得

(a b )2 (c d)2



(a b )2 (c d)2

 ,亦即 0 (a b c d a b c d a b c d a b c d   )(    )(    )(    ) 0 。 其 中 a b c d   0, 故 a b c d   或a c b d   或 a d  b c。 以 上 證 明 了 四 邊 形 ABCD 中 必 有 某 兩 邊 長 之 和 等 於 另 兩 邊 長 之 和 。 於 是 , 將 四 邊 重 新 排 序 拼 成 另 一 四 邊 形,使 其 對 邊 長 之 和 等 於 另 一 對 邊 長 之 和;由 定 理 一 可 知:如 此 所 得 到 的 四 邊 形 就 有 內 切 圓,再 由 定 理 二 得 知:它 有 一 個 等 積 四 邊 形 , 而 此 等 積 四 邊 形 亦 為 四 邊 形 ABCD 的 一 個等 積 四 邊 形。

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由 定 理 二 及 定 理 四 的 證 明 過 程 , 我 們 可 以 發 現 四 邊 形 ABCD 有一 等 積 四 邊形 的 充 要 條 件 是「 四 邊 長 中 某 兩 邊 長 之 和 等 於 另 兩 邊 長 之 和 」。最 後,我 們 提 出 一 個 可 繼 續 探 討 的 問 題 , 留 給 讀 者 自 行 研 究 :「 在 定 理 四 中 , 當 四 邊 形 ABCD 有 外 接 圓 時 , 其 面 積 ( , , , ) f a b c dabcd 是 存 在 一 等 積 四 邊 形 的 充 分 條 件,試 問:它 是 否 也 是 必 要 的 條 件 呢 ? 」

肆、結語

四 邊 形 不 一 定 有 內 切 圓,也 不 一 定 有 外 接 圓;在 四 邊 長 固 定 的 條 件 下,當 它 有 內 切 圓 或 外 接 圓 時,我 們 透 過 拉 移 或 重 新 組 合 的 方 式,分 別 證 明 了 等 積 四 邊 形 的 存 在。同 時,我 們 也 發 現 其 存 在 性 與 四 邊 形 的 面 積 產 生 微 妙 的 關 係 。 當 四 邊 形 ABCD 的 四邊 長 a b c d, , , 固 定 , 且 當 中 某 兩 邊 長 之 和 等 於 另 兩 邊 長 之 和 時 , 即 a b c d   或 a c b d   或 a d  b c, 則 不 論 哪 一 種 情 況 都 可 推 得 S a S b S c S d ,  ,  ,  四 數 恰 為 a b c d, , , 的 重 排 。 因 此 , 四 邊 形 ABCD的 面 積 f a b c d( , , , ) (S a S b S c S d )(  )(  )(  ) abcd。又 此 式 等 號 成 立 的 充 要 條 件 為 A,B,C,D 四 點 共圓。於 是,我 們 可 以 推導 出 以 下 的三 個 性 質 中,任 兩 個 性質 成 立 時,等 積 四 邊 形 就 會 存 在 , 同 時 另 一 個 性 質 也 會 成 立 : (a) 四 邊形 ABCD的 面 積 f a b c d( , , , )  abcd(b) A,B,C,D 四 點 共圓 ;

(c) 某 兩邊 長 之 和 等於 另 兩 邊 長之 和 。

其 中,(a)表 示 四邊 形 ABCD的 面 積 達 到 最 大 值 abcd,(b)表 示 四邊 形 ABCD有 外 接 圓,亦 即Ptolemy 定 理成 立(蔡 聰 明,2000),而(c)是 四 邊 形 ABCD有 內 切 圓 的 一 個 必 要 條 件(定 理 一);詳 細 的 證 明可 參 考(林 英哲, 2 0 1 6 ) 。

參考文獻

蔡 聰 明 (1993),四 邊 形 的 面積 , 數 學 傳播 第 17 卷 第 3 期 ,1-12。 蔡 聰 明 (2000),星 空 燦 爛 的數 學(II)−−托 勒密 定 理 ,數 學 傳 播 第24卷 第1期 ,43-55。 蔡 聰 明 (2002),數 學 的 發 現趣 談 , 三 民書 局 。 張 海 潮 (2003),以 微 積 分 的方 法 求 四 邊形 面 積 公 式, 數 學 傳 播 第 27 卷 第 4 期 ,59-63。 吳 波 (2013),圓 內 接 四 邊形 的 一 個 有趣 性 質 , 數學 傳 播 第 37 卷 第 3 期 ,68-70。 林 英 哲 (2016),105 學 年 度普 通 型 高 中數 學 能 力 競賽 決 賽 總 報告 , 教 育 部主 辦 , 國 立高 雄 師 範 大 學 數 學 系 承 辦 。

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