等積四邊形的存在性

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等積四邊形的存在性

朱亭叡

1

朱亮儒

2

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1_{國立臺北科技大學}_{機電系} 2_{國立臺灣師範大學}_{數學系}

壹、前言

我們知道：每一個三角形都有內切圓，也會有外接圓；但是四邊形未必有內切圓或外接圓。例如：正方形有內切圓，也有外接圓；長方形及等腰梯形都有外接圓、未必有內切圓；菱形及鴛形有內切圓、未必有外接圓。內切圓與外接圓都是中學數學課程中重要的幾何概念 (蔡聰明，2 0 0 2 ；吳波，2013) 。給定四邊形 ABCD的四邊長 a b c d, , , ，當某四邊形有內切圓，也有外接圓，且四邊長也是 a b c d, , , ( 不論次序 ) 時，我們稱此四邊形為 ABCD的一個「等積四邊形」。例如：左下圖是邊長依序為 a b a b 的長方形，而右下圖是邊, , , 長依序為 a b b a 的一個等積四邊形。 , , , 所謂〝等積〞的概念是源自於四邊形有內切圓，也有外接圓時，其面積都等於 abcd (蔡聰明，1993；林英哲， 2 0 1 6 )。在本文中，我們將探討兩個有趣的存在性問題：「有內切圓的四邊形是否都存在一等積四邊形？」以及「有外接圓的四邊形是否都存在一等積四邊形？」本次研究的目的是希望讀者能熟悉內切圓與外接圓的基本性質，並能運用其等價的關係來解決一些有趣的動態幾何問題。

貳、有內切圓的四邊形之等積四邊形

利用圓周角的度數等於所對弧圓心角一半的性質，我們可以證明：「一個四邊形有外 *為本文通訊作者 a a b b a a b b

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接圓的充要條件為每一雙對角互補」。另一方面，藉由過圓外一點到圓的兩條切線段等長的性質，我們知道：「有內切圓的四邊形其兩雙對邊長之和相等」；此一性質不僅是必要條件，它也是一個充分條件，證明如下：【定理一】若四邊形ABCD的邊長分別為AB a ,BC b ,CD c ,DA d ，則四邊形 ABCD 有內切圓的充要條件為兩對邊長之和相等，即a c b d   。證：以下僅證明充分性：當a c b d   時，四邊形ABCD有內切圓。設B與C的平分線交於點O，由O作四邊AB,BC,CD,DA的垂線，垂足分別為E F G H 。 , , ,

則由OEB OFB， OFC OGC(RHS 全等性質)，得知：

OE OF OG  ， EBBF，且 FC CG 。又a c b d   ，因此， AD d    a c b AB CD BC  AE DG 。以下要證明： AHAE且 DHDG。首先，由畢氏定理可得： 2 2 2 2 2 AH OH AO AE OE 。若 AH AE，依對稱性可設 AHAE，則有OH OE OG  。再由畢氏定理，得知：OG2DG2OD2OH2DH2，於是可得DG DH 。如此，可以推導出以下的矛盾式：ADAH DH AE DG AD。因此，AHAE，同理，DHDG。由此可知：OEA OHA， OHD OGD；故OE OH OG OF   ；亦即

點 O 為四邊形 ABCD 的內切圓圓心；因此，四邊形 ABCD 有內切圓。 【定理二】若四邊形ABCD 有內切圓，則必存在一等積四邊形。 證：由定理一，當四邊形 ABCD 有內切圓時，兩雙對邊長之和相等，即a c b d   。不失一般性，我們可設a b c d   ，並將四邊形 ABCD 由 A,C 兩端點拉直使得 180 ABC    (如左下圖 )；再固定頂點 B，並逐步將頂點 D 向右拉開至某一個 角度 ABC，使得ADC180  (如右下圖 )。 A B C D O E F G H

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其中，B的角度由左圖的180開始，隨著頂點 D 向右拉動遞減至接近0的過程中，四邊形的兩雙對邊長之和始終保持相等，因此，移動過程中的每一個四邊形都有內切圓 (由定理一 )。於是，只要拉到某一角度 B使 D 180 ，則此時的四邊形也就同時會有外接圓。事實上，由中間值定理，此種角度 是存在的，而且可以計算如下：四邊形ABCD 有外接圓的充要條件為   B D 180，此時，

cosD cosB cos。

又由餘弦定理，_AC2__a2__b2_₂_ab_cos_{B c}_ 2__d2_₂_cd_cos__{，因此，四邊形} _ABCD

有外接圓等價於_a2__b2_₂_ab_cos___c2__d2_₂_cd_cos__{。於是，可推得：} 2 2 2 2 cos 2 2 a b c d ab cd       ，此時，角度 2 2 2 2 1 cos 2 2 a b c d ab cd _      就可以確定了，而對應的四邊形即為四邊形 ABCD 的一個等積四邊形。

參、有外接圓的四邊形之等積四邊形

給定三角形的三個邊長，三角形的形狀就確定(SSS 全等性質)，其面積可以透過著名的海龍公式(Heron formula)來計算。然而，邊長給定的四邊形之形狀不是唯一的，其面積不能只用四邊的長來表示，還需要各頂角的角度。儘管如此，四邊形的面積也有類似的海龍公式，稱為Bretschneider 公式(蔡聰明，1993；張海潮，2003)，敘述如下：【定理三】若四邊形ABCD 的四邊長為 , , ,a b c d ，半周長 2 a b c d S    ，則其面積為 2 ( , , , ) ( )( )( )( ) cos 2 B D f a b c d  S a S b S c S d    abcd  。更進一步的， f a b c d( , , , )  (S a S b S c S d )(  )(  )(  )；且等號成立的充要條件為 A,B,C,D 四點共圓，即四邊形 ABCD 有一外接圓。 A a b c d B C D A B D C a b c d

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【推論】若四邊形 ABCD 的邊長分別為 , , ,a b c d ，且有一外接圓及一內切圓，則四邊形 ABCD 的面積為 f a b c d( , , , )  abcd 。證：當四邊形ABCD 有一外接圓時，其面積 f a b c d( , , , )  (S a S b S c S d )(  )(  )(  )。又當四邊形 ABCD 有內切圓時，兩雙對邊長之和相等，即a c b d   ，此時， , , , S a S b S c S d    恰為 a b c d, , , 的重排；故 ( , , , ) ( )( )( )( ) f a b c d  S a S b S c S d     abcd 。【定理四】若四邊形 ABCD 有外接圓，且四邊形的面積 f a b c d( , , , )  abcd ，其中a b c d, , , 為四邊的邊長，則必存在一等積四邊形。證：依對稱性，可設AB a ,BC b ,CD c ,DA d 。利用面積公式，得知： 1 1 ( , , , ) sin sin 2 2 f a b c d  ABC CDA ab B cd D。………. (1) 另由餘弦定理，可得： 2 ₂ ₂ ₂ ₂ 2 cos 2 cos AC a b  ab B c d  cd D。……….. (2) 當四邊形 ABCD 有外接圓時，即 A,B,C,D 四點共圓，則   B D 180，於是可得：sinDsinB且cosD cosB。因此，由(1)及(2)式，分別可得：

2 ( , , , ) 2 sinB f a b c d abcd ab cd ab cd     ， 2 2 2 2 cos 2( ) a b c d B ab cd      。由此可得： 2 2 2 2 2 2 2 2 16 ( ) 1 sin cos 4( ) abcd a b c d B B ab cd         ，即₁₆_abcd_₍_a2__b2_{ }_c2 _d2 2₎ _₄₍_{ab cd}_ ₎2_{，此式可整理成} 2 2 2 2 2 2 (a b  c d ) 4(ab cd )  。 0 因此，



₍_a2__b2_{ }_c2 _d2_{) 2(}_ _{ab cd}_ _{) (}



_a2__b2_{ }_c2 _d2_{) 2(}_ _{ab cd}_ ₎



_{ ，}₀ 化簡可得



(a b )2 (c d)2



(a b )2 (c d)2



 ，亦即 0 (a b c d a b c d a b c d a b c d   )(    )(    )(    ) 0 。其中 a b c d   0，故 a b c d   或a c b d   或 a d  b c。以上證明了四邊形 ABCD 中必有某兩邊長之和等於另兩邊長之和。於是， 將四邊重新排序拼成另一四邊形，使其對邊長之和等於另一對邊長之和；由定理一可知：如此所得到的四邊形就有內切圓，再由定理二得知：它有一個等積四邊形，而此等積四邊形亦為四邊形 ABCD 的一個等積四邊形。

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由定理二及定理四的證明過程，我們可以發現四邊形 ABCD 有一等積四邊形的充要 條件是「四邊長中某兩邊長之和等於另兩邊長之和」。最後，我們提出一個可繼續探討的問題，留給讀者自行研究：「在定理四中，當四邊形 ABCD 有外接圓時，其面積 ( , , , ) f a b c d  abcd 是存在一等積四邊形的充分條件，試問：它是否也是必要的條件呢？」

肆、結語

四邊形不一定有內切圓，也不一定有外接圓；在四邊長固定的條件下，當它有內切圓或外接圓時，我們透過拉移或重新組合的方式，分別證明了等積四邊形的存在。同時，我們也發現其存在性與四邊形的面積產生微妙的關係。當四邊形 ABCD 的四邊長 a b c d, , , 固定，且當中某兩邊長之和等於另兩邊長之和時，即 a b c d   或 a c b d   或 a d  b c，則不論哪一種情況都可推得 S a S b S c S d ,  ,  ,  四數恰為 a b c d, , , 的重排。因此，四邊形 ABCD的面積 f a b c d( , , , ) (S a S b S c S d )(  )(  )(  ) abcd。又此式等號成立的充要條件為 A,B,C,D 四點共圓。於是，我們可以推導出以下的三個性質中，任兩個性質成立時，等積 四邊形就會存在，同時另一個性質也會成立： (a) 四邊形 ABCD的面積 f a b c d( , , , )  abcd ； (b) A,B,C,D 四點共圓；

(c) 某兩邊長之和等於另兩邊長之和。

其中，(a)表示四邊形 ABCD的面積達到最大值 abcd，(b)表示四邊形 ABCD有外接圓，亦即Ptolemy 定理成立(蔡聰明，2000)，而(c)是四邊形 ABCD有內切圓的一個必要條件(定理一)；詳細的證明可參考(林英哲， 2 0 1 6 ) 。

參考文獻

蔡聰明 (1993)，四邊形的面積，數學傳播第 17 卷第 3 期，1-12。蔡聰明 (2000)，星空燦爛的數學(II)−−托勒密定理，數學傳播第24卷第1期，43-55。蔡聰明 (2002)，數學的發現趣談，三民書局。張海潮 (2003)，以微積分的方法求四邊形面積公式，數學傳播第 27 卷第 4 期，59-63。吳波 (2013)，圓內接四邊形的一個有趣性質，數學傳播第 37 卷第 3 期，68-70。林英哲 (2016)，105 學年度普通型高中數學能力競賽決賽總報告，教育部主辦，國立高雄師範大學數學系承辦。