《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）
【学习目标】 1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义； 2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质； 3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际 问题； 4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二次函数的定义 一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数. 要点诠释：如果 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么 y 叫做 x 的二次函数．这里，当 a=0 时就不是二次
函数了，但 b、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 要点二、二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
① ；② ；③ ；④ ，
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当 时 开口向上 当 时 开口向下 ( 轴) (0，0) ( 轴) (0， ) ( ，0) ( ， ) ( ) 2.抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点. (1) 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下； 相等，抛物 线的开口大小、形状相同. (2)平行于 轴(或重合)的直线记作 .特别地， 轴记作直线 . 3.抛物线
y ax
2
bx c a
(
≠
0
)
中，a b c
, ,
的作用： (1) 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样. (2) 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ， 故：① 时，对称轴为 轴；② (即 、 同号)时，对称轴在 轴左侧；③ (即 、 异号)时，对称轴在 轴右侧. (3) 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置. 当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点(0， )： ① ，抛物线经过原点； ② ，与 轴交于正半轴；③ ，与 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 . 4.用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式： （a≠0）.已知图象上三点或三对 、 的值，通常选择一般式. (2)顶点式： （a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (可以看成 的图象平移后所对应的函数.) (3)“交点式”：已知图象与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： （a≠0）.(由此得根与系数的关系： ). 要点诠释： 求抛物线
y ax
2
bx c
（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法， 这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数 ，当 时，得到一元二次方程 ，那么一元 二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与 x 轴的交点情况决定一元二 次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与 x 轴有两个交点，这时 ，则方程有两个不相等实根； (2)当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点，这时 ，则方程有两个相等实根； (3)当二次函数的图象与 x 轴没有交点，这时 ，则方程没有实根. 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系： 的图象 的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解 方程没有实数解 要点诠释：二次函数图象与 x 轴的交点的个数由 的值来确定. (1)当二次函数的图象与 x 轴有两个交点，这时 ，则方程有两个不相等实根； (2)当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点，这时 ，则方程有两个相等实根； (3)当二次函数的图象与 x 轴没有交点，这时 ，则方程没有实根. 要点四、利用二次函数解决实际问题 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的 公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时 要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式； (4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线 的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 【典型例题】
类型一、求二次函数的解析式
1．已知二次函数的图象经过原点及点
1
2
,
1
4
，且图象与 x 轴的另一交点到原点的距离为 1，则 该二次函数的解析式为____ ____． 【答案】y
3
1
x
2
1
3
x
或y x
2
x
． 【解析】 正确找出图象与 x 轴的另一交点坐标是解题关键． 由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)． 因此所求抛物线的解析式有两种． 设二次函数解析式为y ax
2
bx c
． 则有0,
1
1
1
4
4
2
0
c
a
b c
a b c
，或0,
1
1
1
,
4
4
2
0,
c
a
b c
a b c
解之
1
3
1
3
0
a
b
c
，或1,
1,
0.
a
b
c
因此所求二次函数解析式为y
1
3
x
2
1
3
x
或y x
2
x
． 【点评] 此题容易出错漏解的错误． 举一反三： 【高清课程名称：二次函数复习 高清 ID 号： 357019 关联的位置名称（播放点名称）：(1)-（2）问精讲】【变式】已知：抛物线 y=x2+bx+c的对称轴为 x=1，交 x 轴于点 A、B(A 在 B 的左侧)，且 AB=4，交
y轴于点 C.求此抛物线的函数解析式及其顶点 M 的坐标. 【答案】∵对称轴 x=1，且 AB=4 ∴抛物线与 x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)
b
b=-2
1
2
c=-3
1 b c 0
∴y=x2-2x-3为所求, ∵x=1时 y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴 x=1，且 AB=4 ∴抛物线与 x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)b
b=-2
1
2
c=-3
1 b c 0
∴y=x2-2x-3为所求, ∵x=1时 y=-4 ， ∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号
2．二次函数y ax
2
bx c
的图象如图 1 所示，反比例函数a
y
x
与正比例函数 y＝(b+c)x 在同 一坐标系中的大致图象可能是( )．【答案】B； 【解析】由
y ax
2
bx c
的图象开口向上得 a＞0，又0
2
b
a
，∴ b＜0． 由抛物线与 y 轴负半轴相交得 c＜0． ∵ a＞0，∴y
a
x
的图象在第一、三象限． ∵ b+c＜0，∴ y＝(b+c)x 的图象在第二、四象限． 同时满足y
a
x
和y
(
b c x
)
图象的只有 B． 【点评】由图 1 得到 a、b、c 的符号及其相互关系，去判断选项的正误.类型三、数形结合
3．（2015•陕西模拟）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a＞0）经过点 M（﹣1，2）和点 N（1，﹣2）， 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于 C．则： b= 2 ① ﹣ ； ② 该二次函数图象与 y 轴交于负半轴； ③ 存在这样一个 a，使得 M、A、C 三点在同一条直线上； ④ 若 a=1，则 OA•OB=OC2． 以上说法正确的有（ ） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【思路点拨】 ① 二次函数 y=ax2+bx+c（a＞0）经过点 M（﹣1，2）和点 N（1，﹣2），因而将 M、N 两点坐标代入即 可消去 a、c 解得 b 值． ② 根据图象的特点及与直线 MN 比较，可知当﹣1＜x＜1 时，二次函数图象在直线 MN 的下方． ③ 同②理． ④ 当 y=0 时利用根与系数的关系，可得到 OA•OB 的值，当 x=0 时，可得到 OC 的值．通过 c 建立等量 关系求证． 【答案】C；【解析】①∵二次函数 y=ax2+bx+c（a＞0）经过点 M（﹣1，2）和点 N（1，﹣2）， ∴ ， 解得 b= 2﹣ ．故该选项正确． ② 方法一：∵二次函数 y=ax2+bx+c，a＞0 ∴该二次函数图象开口向上 ∵点 M（﹣1，2）和点 N（1，﹣2）， ∴直线 MN 的解析式为 y 2=﹣ ， 即 y= 2x﹣ ， 根据抛物线的图象的特点必然是当﹣1＜x＜1 时，二次函数图象在 y= 2x﹣ 的下方， ∴该二次函数图象与 y 轴交于负半轴； 方法二：由①可得 b= 2﹣ ，a+c=0，即 c= a﹣ ＜0， 所以二次函数图象与 y 轴交于负半轴．故该选项正确． ③ 根据抛物线图象的特点，M、A、C 三点不可能在同一条直线上．故该选项错误． ④ 当 a=1 时，c= 1﹣ ，∴该抛物线的解析式为 y=x2﹣ ﹣2x 1 当 y=0 时，0=x2﹣2x+c，利用根与系数的关系可得 x 1•x2=c， 即 OA•OB=|c|， 当 x=0 时，y=c，即 OC=|c|=1=OC2， ∴若 a=1，则 OA•OB=OC2，故该选项正确． 总上所述①②④正确．故选 C． 【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点较多，熟练掌握所学函数的图象性质及特点对 于解题很重要；同时也要灵活应对知识点彼此之间的联系．
类型四、函数与方程
4．（2016•台湾）如图，坐标平面上，二次函数 y= x﹣ 2+4x k﹣ 的图形与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其顶点为 D，且 k＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为 1：4，则 k 值为何？（ ） A．1 B． C． D． 【思路点拨】求出顶点和 C 的坐标，由三角形的面积关系得出关于 k 的方程，解方程即可． 【答案】D． 【解析】 解：∵y= x﹣ 2+4x k=﹣ ﹣（x 2﹣ ）2+4 k﹣ ， ∴顶点 D（2，4 k﹣ ），C（0，﹣k）， ∴OC=k，∵△ABC的面积= AB•OC= AB•k，△ABD 的面积= AB（4 k﹣ ），△ABC 与△ABD 的面积比为 1：4， ∴k= （4 k﹣ ）， 解得：k= ． 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题 的关键． 举一反三： 【变式 1】无论 x 为何实数，二次函数 的图象永远在 x 轴的下方的条件是( ) A． B． C． D． 【答案】二次函数 的图象与 x 轴无交点，则说明 y=0 时，方程 无解， 即 ．又图象永远在 x 轴下方，则 ． 答案：B 【变式 2】对于二次函数 ，我们把使函数值等于 0 的实数 x 叫做这个函数的零点， 则二次函数 (m为实数)的零点的个数是( ) A．1 B．2 C．0 D．不能确定 【答案】当 y=0 时， ， ， 即二次函数 的零点个数是 2． 故选 B.
类型五、分类讨论
5．已知点 A(1，1)在二次函数
y x
2
2
ax b
的图象上．(1)用含 a 的代数式表示 b；
(2)如果该二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标． 【思路点拨】
(1)将 A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b2-4ac＝0 求出 a． 【答案与解析】
(1)因为点 A(1，1)在二次函数
y x
2
2
ax b
的图象上，所以 1＝1-2a+b，所以 b＝2a． (2)根据题意，方程x
2
2
ax b
0
有两个相等的实数根，所以4
a
2
4
b
4
a
2
8
a
0
， 解得 a＝0 或 a＝2． 当 a＝0 时，y＝x2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)． 当 a＝2 时，y x
2
4
x
4 (
x
2)
2， 这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)． 所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)． 【点评】二次函数y ax
2 (
b c
a
0)
的图象与 x 轴只有一个交点时，方程ax
2
bx c
0
有两个相 等的实数根，所以△
b
2
4
ac
0
．类型六、二次函数与实际问题
6．（2015•黄陂区校级模拟）进价为每件 40 元的某商品，售价为每件 50 元时，每星期可卖出 500 件， 市场调查反映：如果每件的售价每降价 1 元，每星期可多卖出 100 件，但售价不能低于每件 42 元，且每星 期至少要销售 800 件．设每件降价 x 元 （x 为正整数），每星期的利润为 y 元． （1）求 y 与 x 的函数关系式并写出自变量 x 的取值范围； （2）若某星期的利润为 5600 元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由． （3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于 5000 元？ 【思路点拨】 （1）根据利润 y=每件利润×销售量，每件利润=50 40 x﹣ ﹣ ，销售量=500+100x，而售价 50﹣ x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求 x 的取值范围； （2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，与 5600 比较后即可发现是否为最大利润； （3）设当 y=5000 时 x 有两个解，可推出 0≤x≤5 时，y≥5000． 【答案与解析】 解：（1）依题意，得 y=（50 40 x﹣ ﹣ ） （• 500+100x）= 100x﹣ 2+500x+5000， ∵ ， ∴3≤x≤8； （2）y= 100x﹣ 2+500x+5000= 100﹣ （x﹣ ）+5625，∵5600＜5625， ∴5600不是最大利润． （3）当 y=5000 时，y= 100x﹣ 2+500x+5000=5000， 解得 x1=0，x2=5， 故当 0≤x≤5 时，y≥5000， 即当售价在不小于 45 元且不大于 50 元时，月利润不低于 5000 元． 【点评】本题考查二次函数的实际应用．一般求最值问题，大多是建立二次函数关系，从而借助二次函数 解决实际问题．
