彰化縣偏遠地區國小五年級學童面積測驗編製及其概念分析

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(1)國立臺中教育大學教育測驗統計研究所理學碩士學位暑期在職進修專班碩士論文. 指導教授：胡豐榮. 博士. 許天維博士. 彰化縣偏遠地區國小五年級學童面積測驗編製及其概念分析. 研究生：謝國明撰. 中華民國一百年七月.

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(3) 謝. 辭. 擔任國小教職八年來每天只有一個字可以形容─「忙」，忙班級、忙行政、忙家裡的大小事，所以我選擇報考暑假的研究所，心裡想說暑假應該會比較有時間，想不到每年的暑假還是很忙，真正可以用來讀書寫論文的時間並不多，一度想要放棄，還好有胡豐榮老師的鼓勵讓我有力量繼續努力下去。時間過得真快，轉眼間四年的研究所課程就要結束了，兩個子女也都在這期間出生，加上我老婆也正在讀研究所，所以平常要麻煩父母親照顧小孩，暑假時也還是要麻煩他們。論文能順利完成首先我要感謝的就是胡豐榮老師，老師除了上課給我們指導外還給我們許多寫論文的相關訊息，老師不願其煩的指導我們，在我們想放棄的時候鼓勵我們，有老師的支持才有這篇論文的誕生。其次要感謝許天維老師以及口試委員，謝謝你們在口考時給予懇切的指導，讓我的論文能更加的完美，讓我獲益良多。最後要感謝的是我的父母及老婆，有你們的幫忙我才有時間全心全力的處理學校的事物及研究所的課程，也要感謝路上國小陳獻旗校長的大力幫忙，讓我的試卷得以順利施測。我相信「有願就有力」，每每遇到困難、瓶頸的時候總是有人會適時的伸出援手來幫助我，讓我有力量再繼續走下去，感謝這ㄧ路幫助我的人。. 謝國明. 謹誌. 中華民國一百年七月. I.

(4) 彰化縣偏遠地區國小五年級學童面積測驗編製及其概念分析摘要本研究以彰化縣偏遠地區之五所小學共 103 人為研究對象，藉由研究者編製之五年級學童面積概念測驗試題的施測結果，了解彰化縣偏遠地區兒童之面積概念瞭解情形，並以試題關聯結構分析法(Item relational structure analysis，簡稱 IRS) 對施測結果加以分析形成結構圖，以探究彰化縣偏遠地區國小五年級學童在面積概念的知識結構。另外更藉由試題分析和個別訪談的方式找出學生之迷思概念。綜合本研究的發現、分析結果和討論，歸納出下列結論：一、五年級學童面積概念的瞭解情形 1.都市地區學童表現優於偏遠地區學童。 2.面積的估測概念及解題應用能力不足，答對率僅約五成。 3.低分組學童面積概念普便不清楚，答對率低。二、五年級兒童解決面積問題時的迷失概念 1.邊看起來比較斜面積就比較大。 2.形狀不同面積也不同。 3.單位量非１平方公分時仍視為１平方公分處理。 4.以題目所提供的數據胡亂湊在一起計算。 5.面積量感不足。三、五年級學童面積概念測驗的試卷特性和試題特性 1.本測驗具有良好的信度和效度，能準確估計受試者的能力值，本測驗整體之 Cronbach α係數為.720。 2.本測驗的試題難易度指數平均值為.66；鑑別度指數平均值為.39。四、五年級兒童面積概念發展之上下位關係 1.面積的初步概念→面積的保留概念→面積的測量概念→面積的估測概念及解題應用。 2.面積的估測概念中各試題間似乎較無明顯關聯。 3.面積估測概念及解題應用無法分出上下位關係。. 關鍵字：試題關聯結構分析法、迷思概念、面積概念. II.

(5) The Analysis of Area Concept and Area Test Design of The Fifth Grade Students of Elementary School in Remote Area of Changhua County. Abstract The target of this research focuses on 103 students of five elementary schools in remote area of Changhua county. By applying the Area Concept Test, designed by the researcher for the fifth grade students, it is to understand the area concep of students in remote area of Changhua county. Besides, the item relational structure analysis graph is made to analyze the test result and to explore the knoweldge structure of area concept of the fifth grade students in remote area of Changhua county. Furthermore, the questionnaire analysis and individual interview are applied to find out the misconception of students. The conclusions are drawn from the finding, analysis result, and discussion of this research as fallowing: One, the situation of understanding of the area concept of the fifth grade students 1. The performance of students in urban area is better than that of students in remote area. 2. The estimatation of area concept and the ability of applying to resolve question is insufficient. The rate of correct solution is fifty percent. 3. The students of low score group are puzzled about area concept. The rate of correct solution is low. Two, the misconception of the fifth grade students while solving the question of area 1. The obliquer the side, the larger the area (MoreA MoreB). 2. The area is not the same while the shape is not the same. 3. The unit is treated as one centimeter square while it is not.. III.

(6) 4. The calculation is finished by assembling the numbers provided in the question. 5. The sense of area volume is insufficient. Three, the characters of questionnaire and questions of the area concept test for the fifth grade students 1. This test is provided with well reliability and validity, which may precisely predict the ability value of client.The Cronbach α coefficient of the whole test is .720. 2. The average value of the difficulty index is 0.66. Four, the upper and lower relation of the development of area concpet of the fifth grade students 1. The initial concept of area →the retention concept of area →the measure concept of area →the estimation concept of area and the application to question. 2. There is no obvious difference between questions in the estimation concept of area. 3. It is unable to identify the upper and lower relation between the estimation concept of area and the application to question.. Key words : item relational structure analysis. IV. misconception. area concept.

(7) 目. 次. 第一章緒論…………………………… 緒論…………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………………1 …… 第一節研究動機………………………………………………………………1 第二節研究目的與待答問題…………………………………………………4 第三節名詞釋義. ……………………………………………………………4. 第四節研究範圍與限制. ……………………………………………………6. 第二章文獻探討 ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… 7 第一節兒童面積概念發展……………………………………………………7 第二節面積概念教材分析 …………………………………………………17 第三節兒童面積概念相關實證性研究 ……………………………………28 第三章研究方法 ………………………………………………………………… …………………………………………………………………33 ………………………………… 第一節研究架構 ……………………………………………………………33 第二節研究對象 ……………………………………………………………35 第三節研究工具 ……………………………………………………………35 第四節研究流程 ……………………………………………………………46 第五節資料處理 ……………………………………………………………47 第四章研究結果與分析 ……………………………… ………………………………………………………… …………………………………49 ………………………… 第一節受測學童面積概念的瞭解情形 ……………………………………49 第二節受測學童之迷失概念探討 …………………………………………68 第三節紙筆測驗之試題分析 ………………………………………………90 第四節受測學童試題關聯結構圖與專家知識結構圖之比較 ……………96 第五章結論與建議……………………………… 結論與建議……………………………………………………………… ………………………………………………………………107 ……………………………… 第一節結論 ………………………………………………………………107 第二節建議 ………………………………………………………………109. V.

(8) 參考文獻 ………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………112 …………………………………………… 一、中文文獻. ………………………………………………………………112. 二、英文文獻…………………………………………………………………115 附錄 ……………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………116 ……………………………… 附錄一國小五年級學童面積概念測驗試題試題檢核表 …………………116 附錄二國小五年級學童面積概念測驗試題專家效度問卷 ………………118 附錄三國小五年級學童面積概念測驗試卷 ………………………………123. VI.

(9) 表. 次. 表 2-1 「數與量」主題中有關面積概念之各階段能力指標表 2-2 「數與量」主題中有關面積概念之分年細目. ……………………………19. 表 2-3 「幾何」主題中有關面積概念之各階段能力指標表 2-4 「幾何」主題中有關面積概念之分年細目. ……………………19. ………………………21. ………………………………22. 表 2-5 92 年版與 97 年版九年一貫課程綱要國小面積課程分年細目比. ………23. 表 2-6 南一版教科書面積概念教材分析 …………………………………………24 表 2-7 翰林版教科書面積概念教材分析 …………………………………………26 表 2-8 康軒版教科書面積概念教材分析 …………………………………………27 表 2-9 近年來關於面積之研究論文 ………………………………………………29 表 3-1 各概念所對應之試題編號 …………………………………………………38 表 3-2 面積概念試題所對應之雙向細目表 ………………………………………39 表 3-3 預試試卷之信度分析表 ……………………………………………………41 表 3-4 預試試題難度與鑑別度表 …………………………………………………43 表 4-1 第 1 題學生做答情形表………………………………………………………49 表 4-2 第 2 題學生做答情形表………………………………………………………50 表 4-3 第 3 題學生做答情形表………………………………………………………51 表 4-4 第 4 題學生做答情形表………………………………………………………51 表 4-5 第 5 題學生做答情形表………………………………………………………52 表 4-6 第 6 題學生做答情形表………………………………………………………53 表 4-7 第 7 題學生做答情形表………………………………………………………54 表 4-8 第 8 題學生做答情形表………………………………………………………55. VII.

(10) 表 4-9 第 9 題學生做答情形表………………………………………………………55 表 4-10 第 10 題學生做答情形表……………………………………………………56 表 4-11 第 11 題學生做答情形表……………………………………………………57 表 4-12 第 12 題學生做答情形表……………………………………………………57 表 4-13 第 13 題學生做答情形表……………………………………………………58 表 4-14 第 14 題學生做答情形表……………………………………………………59 表 4-15 第 15 題學生做答情形表……………………………………………………60 表 4-16 第 16 題學生做答情形表……………………………………………………61 表 4-17 第 17 題學生做答情形表……………………………………………………61 表 4-18 第 18 題學生做答情形表……………………………………………………62 表 4-19 第 19 題學生做答情形表……………………………………………………63 表 4-20 第 20 題學生做答情形表……………………………………………………64 表 4-21 第 21 題學生做答情形表……………………………………………………64 表 4-22 第 22 題學生做答情形表……………………………………………………65 表 4-23 第 23 題學生做答情形表……………………………………………………65 表 4-24 第 24 題學生做答情形表……………………………………………………67 表 4-25 第 25 題學生做答情形表……………………………………………………67 表 4-26 學生在面積概念上共同的迷思概念… ……………………………………69 表 4-27 偏遠地區學生第 1 題答題情形 ……………………………………………70 表 4-28 偏遠地區學生第 2 題答題情形 ……………………………………………70 表 4-29 偏遠地區學生第 3 題答題情形 ……………………………………………71 表 4-30 偏遠地區學生第 4 題答題情形 ……………………………………………72 表 4-31 偏遠地區學生第 5 題答題情形 ……………………………………………73 表 4-32 面積測量概念試題各題答對率……………………………………………74 表 4-33 偏遠地區學生第 6 題答題情形 ……………………………………………75. VIII.

(11) 表 4-34 偏遠地區學生第 7 題答題情形 ……………………………………………75 表 4-35 偏遠地區學生第 8 題答題情形 ……………………………………………76 表 4-36 偏遠地區學生第 9 題答題情形 ……………………………………………76 表 4-37 偏遠地區學生第 10 題答題情形……………………………………………77 表 4-38 偏遠地區學生第 11 題答題情形……………………………………………78 表 4-39 偏遠地區學生第 12 題答題情形……………………………………………78 表 4-40 偏遠地區學生第 13 題答題情形……………………………………………79 表 4-41 偏遠地區學生第 14 題答題情形……………………………………………80 表 4-42 偏遠地區學生第 15 題答題情形……………………………………………81 表 4-43 偏遠地區學生第 16 題答題情形……………………………………………81 表 4-44 偏遠地區學生第 17 題答題情形……………………………………………82 表 4-45 面積估測概念試題各題答對率……………………………………………83 表 4-46 偏遠地區學生第 18 題答題情形……………………………………………83 表 4-47 偏遠地區學生第 19 題答題情形……………………………………………84 表 4-48 偏遠地區學生第 20 題答題情形……………………………………………84 表 4-49 偏遠地區學生第 21 題答題情形……………………………………………85 表 4-50 面積解題應用試題各題答對率……………………………………………86 表 4-51 偏遠地區學生第 22 題答題情形……………………………………………86 表 4-52 偏遠地區學生第 23 題答題情形……………………………………………87 表 4-53 偏遠地區學生第 24 題答題情形……………………………………………87 表 4-54 偏遠地區學生第 25 題答題情形……………………………………………88 表 4-55 學童面積迷思概念類型及成因……………………………………………89 表 4-56 正式施測試卷之信度分析表………………………………………………90 表 4-57 正式施測試卷各試題之難度及鑑別度……………………………………92. IX.

(12) 表 4-58 國小五年級學童在面積的初步概念之答題統計表………………………93 表 4-59 國小五年級學童在面積的保留概念之答題統計表………………………93 表 4-60 國小五年級學童在面積的測量概念之答題統計表………………………93 表 4-61 國小五年級學童在面積的估測概念之答題統計表………………………94 表 4-62 國小五年級學童在面積的解題應用之答題統計表………………………94 表 4-63 面積相關概念個別平均得分之分析一覽表………………………………95 表 4-64 試題關聯結構圖之橫斷面分析……………………………………………96 表 4-65 「面積的有無」、「切割後再重組」和「面積不變」子概念試題答對率 99 表 4-66 「單位量的區別」、「點數與合成能力」及「面積不變」試題答對率…101 表 4-67 「使用面積公式」、「面積公式應用」及「周長應用」試題答對率……102 表 4-68 「等積異形概念」與「點數與合成能力」試題答對率…………………104. X.

(13) 圖. 次. 圖 2-1 面積保留概念 ………………………………………………………………11 圖 2-2 牛吃草的面積保留概念實驗示意圖 ………………………………………11 圖 2-3 互補面積保留概念……………………………………………………………12 圖 2-4 面積合成圖 …………………………………………………………………15 圖 2-5 面積合成圖 …………………………………………………………………15 圖 2-6 面積合成圖 …………………………………………………………………16 圖 3-1 研究架構圖 …………………………………………………………………34 圖 3-2 面積概念結構圖 ……………………………………………………………37 圖 3-3 研究流程圖 …………………………………………………………………46 圖 4-1 受測學生得分長條圖 ………………………………………………………95 圖 4-2 群體受試者之試題關聯結構圖 ……………………………………………98 圖 4-3 「面積的有無」、「切割後再重組」「面積不變」子概念試題關聯結構圖 100 圖 4-4「單位量區別」、「點數與合成」及「面積不變」子概念試題關聯結構圖 …101 圖 4-5「使用面積公式」、「公式應用」及「周長應用」子概念試題關聯結構圖 …103 圖 4-6 「等積異形概念」與「點數與合成能力」子概念試題關聯結構圖 ………104. XI.

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(15) 第一章. 緒論. 本研究的目的主要在探討偏遠地區國小五年級學童面積概念之發展情形及可能出現的迷思概念。首先編製ㄧ份優良的面積概念測驗，藉由學生的答題情形及透過訪談的方式，達到我們的目的。本章包含研究動機、研究目的和待答問題、名詞解釋和研究之範圍與限制。. 第一節研究動機從事教學工作以來一直待在偏遠小學，前七年以敎中年級學生為主，今年是第一次敎五年級，五年級上學期的數學課程中「面積」的計算占了不少的比例，以南一版五年級上學期為例，十個單元中有三個單元都是與面積有關的單元，這三個單元為正方體和長方體、平行四邊形和三角形的面積、梯形的面積和運用，顯見面積的概念在五年級之重要性。國小數學課程的內容主要包含數、量、形三大部分，而面積牽涉到了其中的「量」與「形」兩部份，由此也可得知面積概念之重要性。另外面積更和我們日常生活息息相關，算土地面積、算房間有多大、算紙張的大小，都是我們日常生活中會遇到的。兩千年前希臘學者歐第姆斯(Eudemus)，在研究埃及數學時對於面積有很貼切的描述：「幾何是因為埃及人為了測量土地而發現的，因為尼羅河畔常氾濫成災，洪水把土地的邊界沖壞，所以這種測量是必要的」。這種情形在我國古代亦可見端倪，例如：黃河氾濫後，土地必須從新劃分；封建時期的時代諸侯分配土地的需要，公田、私田之分的井田制度⋯，由這些地方皆可見面積與生活的密切性(曾千純、謝哲仁，2003）。從教學過程中發現，偏遠地區的孩子們許多基礎不好，反應不佳，只會套公. 1.

(16) 式計算面積，而不是真正理解面積的意義，題目稍微變化就不會了，在面積這方面有很多的迷失概念，(陳建誠，1998)研究中也指出，國小學童和國中學生甚至是國小準教師的面積概念也常出現迷思，這些迷思概念造成了後面的學習困擾，所以我們試圖去找出學生這些問題的所在。檢視國小教科書的內容，面積的概念從中年級就開始學習了，一開始有正方形和長方形面積，而後接著是三角形面積，進入高年級後是平行四邊形和梯形面積，最後則是圓形面積。在國小面積的教學上，許多教師都是直接從面積的公式開始教，而且普遍的教學方式似乎比較偏重有規則圖形面積公式的計算與記憶，教學內容則重視正方形、長方形、平行四邊形、梯形、圓形等面積公式的熟練與應用(陳鉪逸，1996；吳德邦，1997)。指叫學生背公式而沒有推導給他們看，這樣只是淪為記憶。在教學現場發現這是失敗的，在學生對面積的認知不過是一連串的公式，面積所代表的只是兩個數字相乘的結果(譚寧君，1995b)。面積的教學過程中以研究者個人之經驗發現，大多數學生在一開始階段，也就是正方形和長方形面積的計算都沒問題，就連領有輕度智障手冊的學生都能輕易解決此類問題，但進入三角形面積計算後就較為困難，其發生困難的原因不在於公式不會，而在於找不到高，對高的定義不清楚。(黃怡維，2007)研究結果中指出，在三角形面積公式及其應用概念上，三角形面積公式答對率.96，顯示幾乎所有學生都會三角形面積的公式。而選出底邊上的高整體答對率僅.57，顯示有許多學生對高不甚了解。根據國民中小學九年一貫課程綱要內容，面積屬於「量與實測」的教材領域 (教育部，2001)，主張感官量的概念及技能的學習發展都應歷經下面過程：面積的初步概念、面積的間接比較、面積的普遍單位比較、面積的測量單位制度概念及面積的測量公式概念。目前教科書在面積部份之教材編排順序，以南一版為例，ㄧ上認識形狀、一下長度、圖形和形體；二上幾公分、面的大小、二下平面圖形和立體圖形；三下角和面積、四上面積和周長、五上正方體和長方體、平行. 2.

(17) 四邊形和三角形的面積、梯形的面積和運用；六上圓周率和圓面積、扇形面積；六下柱體的體積和表面積，此順序雖然符合九年一貫課程綱要中之感官量的概念及技能的學習發展歷程，但是否符合學生真實的面積概念發展順序是我們要探討的。在國外Piaget,Inhelder, & Szeminska於1960年就針對兒童的面積概念設計了實驗，由此可支國外很早就在進行兒童面積概念的研究，而對於兒童面積迷思概念研究的學者也不在少數，如Hutton(1978)、Ward(1979)、Rober(1993)等，而 Rober(1993)也發現兒童會使用長寬相加的方式來計算長方形面積，這些迷思概念台灣學生是否也有，尤其是偏遠地區的學生是否有這些迷思概念也是我們要探討的。探究國內學者關於面積概念的研究也有針對迷思概念來研究的，如譚寧君 (1995，1996，1997，1998，1999)，而探討面積概念之發展情形的更不在少數，如一個國小五年級兒童的面積概念(溫明山，2009)、基於試題反應理論與模糊理論探討三四五年級學童面積概念之發展(許秀蕊，2006)、國小學童面積測量公式概念形成歷程之研究(王勝弘，2002)。也有一些是針對單一圖形來做探究，如國小五年級學童梯形面積概念之試題編製與分析(黃宗賢，2008)，國小五年級學童三角形面積概念之試題編製與分析(邱世學，2008)。綜觀以上學者的研究發現，近年來的研究多以探討單一圖形為主，探討整個面積概念發展之研究較少，僅有王選發(2002)，國小六年級學童面積學習之研究。國立台中教育大學數學教育系。劉好教授指導及溫山明(2009)，ㄧ個國小五年級兒童的面積概念。國立台中教育大學數學教育系。甯平獻教授指導。且研究對象沒有針對偏遠地區之學童的，基於以上這些理由，所以選定以偏遠地區的五年級學童為研究對象，編製ㄧ份具有良好信度、效度的測驗，來探討這些學童面積概念的發展情形及可能出現的迷思概念，提供在偏遠地區教學的老師們作為教材編製、補救教學之參考。. 3.

(18) 第二節研究目的與待答問題根據前述之研究動機，本研究擬編製ㄧ份具信度與效度之面積概念測驗，透過學生答題情形及個別訪談找出學生在面積的迷思概念，並利用試題關聯結構分析法(IRS)找出個面積概念之上下位關係，協助了解學生之面積概念之發展情形，以供教師教學上或補救教學之參考。壹、研究目的：ㄧ、探討五年級兒童對面積概念的瞭解情形。二、探討五年級兒童解決面積問題時所產生的迷失概念。三、探討五年級兒童面積概念測驗的試題與試卷特性。四、探討五年級兒童面積概念發展之上下位關係。貳、待答問題：ㄧ、五年級學童對面積概念的瞭解情形如何？二、五年級兒童對於面積的迷思概念有哪些？三、本試卷之信度、效度為何？難易度指數、鑑別度指數為何？四、五年級兒童面積概念發展之上下位關係為何？是否與現行之教材編輯順序相互呼應。. 第三節名詞釋義為了讓讀者能更清楚瞭解本研究的用語，本節將研究中所用到的相關名詞分別加以說明如下：ㄧ、迷思概念(misconception)：不管是認知心理學主義還是建構主義都認為個體是可以主動學習和建構知. 4.

(19) 識的，所以個體在學習一項新知識的過程中，就可能發展出某些自以為是的概念，但這個概念並非學者專家所認同的，這些概念就是「迷思概念」。或者說，迷思概念是學生對於某一科學事物已留存在心中且能自我報告(self-reported)的另有概念。本研究所指的迷思概念包含學童在解決面積問題時所產生的錯誤概念，以及在表達推理判斷時的錯誤想法。二、偏遠小學：本研究中所稱「偏遠小學」係根據彰化縣政府教育處之界定，這些學校主要分布在彰化縣之西南角鄉鎮，如芳苑鄉、大城鄉，學校規模多為班級數 6 班，學生數 100 人左右。三、面積：「面積」我們可以把它定義為一個平面在空間中所佔的部分或是一個平面中所有點的集合，表示某一封閉區域內平面的大小，也就是此封閉圖形內部區域，被單位面積所覆蓋的程度數值化。四、面積概念：本研究的面積概念包含面積的初步概念、面積的保留概念、面積的測量概念及面積的估測概念。面積的初步概念是指對面積意義的瞭解及判別何種圖形才有面積的存在。面積的保留概念是指面積的大小不會因為旋轉、位置不同而改變，面積經過裁切成不同形狀後總和也不會改變。面積的測量概念包括面積量的認識及比較大小、各種面積公式的應用、找出高的能力、等積異形概念。面積的估測概念是指一種藉由實際操作測量工具所培養出來的量感，即可以合理估計受測物面積的能力。五、國小五年級學生：本研究中國小五年級學生指的是九十九學年度之彰化縣芳苑鄉及大城鄉之五所小學的五年級學生，每校五年級學生均只有ㄧ班，人數 10-30 人，其中包括研究者本身任教之班級。. 5.

(20) 六、試題關聯結構分析法(IRS)：本研究中之試題關聯結構分析法係指由日本學者竹谷誠(1991)所提出，以適當的試題對應適當概念，統計各試題之答對率，答對率高為下位概念，答對率低為上位概念，按照題目彼此間學生反應所得的順序性關係，製成具有指向性的圖形結構，用這個結構來分析試題的特性，此種方法稱之試題關聯結構分析法，簡稱 IRS 分析法(許天維，1995)。. 第四節研究範圍與限制本研究主要探討偏遠地區國小五年級學童面積概念之發展，基於時間、人力、物力之限制，無法擴大本研究的範圍與人數，研究之範圍以便利性抽樣的方式，選取研究者所任教之彰化縣偏遠地區的五所小學的五年級學生共約 100 人為研究對象，而實際訪談之樣本僅以研究者本身任教之班級 23 位學生為主，所以本研究結果僅做為改進教學及補救教學之參考，不做過度之推論。. 6.

(21) 第二章文獻探討本研究藉由自編的面積概念測驗，評量受試者面積概念之發展情形及面積各概念之發展順序性。本章將就其相關理論加以探討，共分三節：第一節為兒童面積概念發展；第二節為面積概念教材分析；第三節為兒童面積概念相關實證性研究。. 第一節兒童面積概念發展. 壹、面積的意義面積是「對一個平面的表面多少的測量」（維京百科）。面積是「一條固定長度的線段或曲線，所掃出來的封閉區域，它可以對應到一個連續量，這個量就是面積」(陳鉪逸，1998)。由此可得知ㄧ重點，必須是一個封閉的平面圖形才有面積可言，面積就是一種量，是一個依附在圖形裡面所產生的量(王選發，2002)，以學生的思考模式而言，這種定義方式是最好理解的，例如：用八本數學課本可以將桌子蓋滿，則表示桌子的面積有八本數學課本合起來這麼大。此時的覆蓋活動我們必須注意兩件事情：一、須是封閉區域、有周界的平面圖形才有面積，所以面積是有周界、有範圍的，覆蓋時不能超過所欲測量物的邊界。二、面積是從一維到二維的掃描結果(譚寧君，1998 b)，所以進行覆蓋時覆蓋物不能重疊。綜合上述的定義，在本研究中有面積的圖形筆者定義為由直線段或曲線所圍成具有周界的平面封閉圖形，此封閉圖形內部區域，被單位面積所覆蓋的程度就是該圖形的面積。. 7.

(22) 貳、兒童面積的迷思概念在研究者教學過程中發現，許多學生在面積方面的概念存在著不少的迷思概念，在過去的一些研究中也指出，國小學童在解決面積問題時常出現迷思概念，例如：(陳鉪逸，1998)指出，學生會認為有規則的圖形才有面積，要長得像或是像. 規規矩矩的圖形才是有面積的，而長得像. 不規則的圖形是沒有面積的，且學生也不太會分辨封閉圖形。在研究者教學過程中發現，程度中下的學生，剛進入長方形面積計算的時候，常常分不清楚面積和周長的概念，算面積時常常算到周長，甚至是用長寬相加的方法來計算面積。 Robert(1993)也指出：學生常會用長和寬相加來計算面積，推究原因可能是教師不小心的疏忽，而使學生獲得錯誤的資訊所導致，教師在教室中所舉例的長方形的形狀都很相似，學生用這些圖形來比較長和寬的和，常常就可以比較出長方形的面積來，而這卻導致了學生利用長寬相加的方法來求面積(陳鉪逸，民 86)。對於平面圖形的高學生也有一些迷思概念，例如：高一定要在這個圖形的內部，因此鈍三角形學生常常就會找不出高來。對於平面圖形的底，學生通常都會認為水平線段才是底，一個圖形只能有一個底。而在三角形中，學生也會認為中線就是高，或是會隨便畫一條直線就可以當作高；學生也會認為高只有一條，也就是通過頂點的那一條(陳鉪逸，1998；王選發，2002）。 (王選發，2002）的研究中指出，測量圖形面積時，部份學童容易將不滿一格的單位量都當成半格計算，也有學童無法掌握單位量的大小，以致於將每一單位方格都視為一平方公分來計算面積，也有學童會產生「面積相等，周長也相等」的迷思概念。. 叄、兒童面積概念發展. 8.

(23) 在 Piaget & Inhelder(1967)的兩本書，《兒童空間概念》(The child’s conception of space)和《兒童幾何概念》(The child’s conception of geometry)中指出，兒童幾何概念的發展無論是知覺層次（即透過觸覺和視覺而學習）或是概念層次（即透過思考與想像而學習），都會依照拓樸性(topological)、投影性(projective)、歐幾里得性(Euclidean)的順序發展。Piaget 理論的研究重點認為兒童發展幾何概念的思考模式，是屬於年齡取向的階段論，他注重發展的過程。荷蘭數學教育家 Van Hiele 夫婦對兒童幾何思考的研究也指出，兒童幾何思考可分為五個層次，分別是層次 0︰視覺期(Visuality)、層次 1︰分析期(Analysis)、層次 2︰非形式化的演繹期(Informal deduction)、層次 3：形式演繹期(Formal deduction)、層次 4：嚴密性(Rigor)。這五個層次有次序性，兒童須具有前一層次的各項概念與策略後，才能進行下一層次的教學活動，而且大多數兒童都屬於前面三個時期。劉好(1994)也指出國小低年級學童大都屬於最初的視覺期，因此他們對於幾何圖形的理解，常常需要藉由實物，不斷地給予具體經驗學習，以豐富他們的視覺經驗之後，才可循序進到下一層次。本研究的面積概念包含面積的初步概念、面積的保留概念、面積的測量概念、面積的估測概念。面積概念的發展從面積的保留概念的形成到面積測量概念的建立是逐步發展(邱世學，2008)。以下就上面四個面積的概念分述之。一、面積的初步概念(教育部，1993) 面積的初步概念包含「面積的認識」、「面積的直接比較」及「使用以平方公分板為刻度單位的工具」三個層次，在這個階段的學童需透過具體的操作才能知道面積是什麼，而比較面積大小時是要透過直接比較，即將兩個要比較的面積疊合在一起做比較，才能描述比較的結果，而在面積的測量方面此階段的學童主要是使用平方公分板，學童以數格子的方式來計算欲測量物的面積大小。二、面積的保留概念譚寧君(1998b)指出一般常將面積學習的重點放在圖形的辨認或分解與合. 9.

(24) 成，學童們會辨識各種圖形後即進入不同的圖形用不同的面積公式來計算以求解，忽略了測量教材的本質是要培養量感與測量概念的建立。Piaget,Inhelder & Szeminska(1960)在《兒童幾何概念》(The child’s conception of geometry)的研究中，將面積概念的研究重點放在保留概念與測量概念上，他認為面積保留 (conservation)是指兒童具有將所認知的物件經過某種轉移後能知道面積仍然保持不變的能力。簡而言之，保留概念是指物體的大小不因方向、位置的改變而改變。（譚寧君，1998a)研究中指出，保留概念指的是當兒童面對物體的某種轉換，如位置的移動、方向的轉動、形狀的切割變形活動等，能瞭解其原有特質保持不變的認知能力，此概念的建立是無法透過教學活動而建立的，必須經過多次的經驗累積才逐步形成，這個論點於 Piaget(1960)的研究中也曾經提出，他也認為面積保留概念是面積測量的先備條件，當面積保留概念能夠ㄧ般化到互補面積保留時，才能進行真正的測量。保留概念的發展是源起於感覺動作期的物體恆存(object permanence)概念上，到七歲左右的具體運思期開始表現出來，面積的保留概念與面積的測量概念是平行發展的，面積的保留概念與測量概念須以長度保留概念為基礎，且不論地區及性別皆隨年齡增長而發展，面積保留概念與面積測量概念ㄧ般兒童到 11 歲大致已具備(蔡春美，1982)。面積的保留概念又可包含兩個不同的層次：（一）基本面積保留概念基本面積保留概念代表任何封閉範圍內的圖形大小，不會因為位置改變而有所不同。也就是不會因為移動、轉動、翻轉或切割圖形而改變其面積大小(林儀惠，民 2008)。如圖 2-1 中，甲圖經旋轉後變為乙圖，面積是相同的；將丙圖切割成兩個三角形，重新組合成丁圖或戊圖，其面積亦和丙圖相同。. 10.

(25) 甲乙. 或. 丙. 丁. 13. 圖 2-1 面積保留概念 Piaget,Inhelder & Szeminska(1960)在《兒童幾何概念》(The child’s conception of geometry)的研究中認為學童認知發展的程序是循序漸進的，五、六歲學童只會依直覺來判斷區域大小，他曾設計了ㄧ個「牛吃草的實驗」，利用兩張大小相同的厚紙板當做農場，各放ㄧ隻牛在上面吃草，之後在兩張厚紙板上各放ㄧ個房子模型，詢問學童兩隻牛所能吃到的面積是否一樣，學童的答案都是一樣，隨後房子模型的數目漸漸增加，問學童相同的題目，學童的回答也都是ㄧ樣。ㄧ直到第十四個房子放到草地上時，學童的答案才有所不同，原因是有一塊厚紙板上的房子是連棟的，另一塊厚紙板上的房子是分散的，五到七歲的學童中，大部分的學童認為牛吃到的面積不相同，但是七歲半年齡的學童知道兩隻牛吃到的面積是相等的。. 圖 2-2 牛吃草的面積保留概念實驗示意圖因此，他下了ㄧ個結論，五到七歲的學童對面積的減數沒有保留概念，對於等量面積減去等量面積不太能肯定，對面積反逆的運算的保留概念還沒有呈現。. 11.

(26) 平均要到七歲半時才對面積的加減具有操作性的保留概念的能力。（二）互補面積保留概念互補面積保留概念是一種逆向的邏輯思考，兒童必須先具備基本面積保留概念之後才可提及互補關係(譚寧君，1998a)，互補面積保留表示在兩個相等的面積上，減去形狀雖不同但面積相同的兩塊小平面，其剩下的面積會相等，也就是等量減等量結果相等。例如：已知甲圖和乙圖中每ㄧ小方格面積都相同，則在同一面積上減去甲圖和乙圖，剩下的面積大小會一樣。. 甲. 乙圖 2-3 互補面積保留概念. Piaget,Inhelder & Szeminska(1960)亦針對此概念設計「草地內馬鈴薯園」的實驗，以檢驗兒童是否具有基本面積保留概念和互補面積保留概念，結果發現七歲以下兒童均無基本面積保留概念和互補面積保留概念；七歲至八歲兒童具有基本面積保留概念，但不具備互補面積保留概念，此結果與「牛吃草的面積實驗」結果相符；一直要到八歲以上才逐步形成互補面積保留概念。三、面積的測量概念所有面積測量活動皆需要將空間與以統整，並將計算的概念置於核心，利用可重複測量的單位進行理念的組合，也就是將部份的單位量集合在一起，並且能夠系統化的計算(陳嘉皇，2002)。「面積」的測量是透過各個不同二維單位量的覆蓋或拼湊而成，可以操作不同的單位量以描述「面積」的大小(譚寧君，1995)。所以此概念的形成我們通常先以個別物件描述其他物件面積大小開始，如書桌的面積大約是幾個數學課本的面積，進而到普遍單位的使用，如平方公分板，最後推論到面積公式的由來，而後運用基本面積公式進行圖形切割、截補、重組活動，建構更多不同圖形的面積公式。所以如果未經過覆蓋、拼湊、添補、複製與比較. 12.

(27) 等活動，是不能真正了解到面積的概念。 (譚寧君，1995)認為面積測量概念即在探索封閉範圍內的覆蓋情形，可分為三個不同的層次：（一）基本面積概念本的面積概念是指在給定的平方單位格內，點數單位面積個數的能力。通常圖形可分成整數格個數與非整數格個數，當圖形為整數格時對學生是比較容易的，學生只要點數這些格子的數量就可以了，但如果圖形包含非整數格時，即形成面積的補償關係，此時必須將非整數格的部份進行分割補償後再點數，我們將以上所述基本面積概念再分述如下：或. 1.視覺直覺點數：所欲點數的圖形皆為整數格，如：. ，學生. 直接透過視覺點數灰色部份即可知道面積。 2.透過分割及合成進行點數：當灰色部份不是整數格時，如：. 即形成. 面積補償關係，學童透過分割及合成活動算出面積大小，如：將上圖分割組合成. 且隨著保留概念的成熟度而在合成概念上有所不同。. 3.利用逆向邏輯思考的互補關係進行點數，如：動不易點數出面積，若能從互補關係去思考，. 若只透過分割或合成活將全部 12 個平方單位減. 去左上角 1.5 個平方單位及右下角 2 個平單位即可求出灰色部分為 8.5 個平方單位。（二）單位面積概念此概念即透過各種不同單位量的覆蓋或拼湊來進行面積的測量，單位量即單位的大小，學生必須了解單位量的選擇會影響到被測物的單位總數，單位總數和單位量是成反比的，而凡是具有面積且能用來完全覆蓋一個封閉區域的圖形都能作為測量其他圖形面積的工具(陳鉪逸，1998)。例如：一個長 3 公分，寬 2 公分的長方形，如果用邊長 1 公分的正方形加以覆蓋，則需要用 6 個才可以覆蓋滿，. 13.

(28) 表示此長方形的面積為 6 個平方單位，但如果以邊長 0.5 公分的正方形覆蓋，則需要 24 個才可覆蓋滿，此時此長方形面積為 24 個平方單位，雖然是同ㄧ個長方形，但是會因為所選用的單位量不同，單位總數也會有所不同。（三）直線測量面積概念基本面積概念與單位面積概念只是在單位數的累加與單位量的比較，而直線測量法(straight line measuring)是包括單位在數學上的相乘關係，是屬於比較抽象的推理層次，一般所謂的長方形面積等於長乘以寬，三角形面積等於底乘高除以 2，均屬於此範疇(譚寧君，1995)。除此之外，作圖題、單位量的測量及轉換，面積的包含關係也包含在內。 (譚寧君，1998a)指出，此階段包含了四個部份：面積公式、面積作圖、單位量的轉換及面積的包含關係。分述如下： 1.面積公式：教學過程中大多數教師常常直接叫學童把面積公式背起來，多數學童也只是會背，並不了解此公式的由來，要解決問題時也只知道套公式，遇到稍有變化的題目就不會了。(譚寧君，1998a)指出，兒童必須透過切割活動而發現面積公式的一般通則，此時面積公式乃透過推演的過程，而非只是靠記憶，這樣才能掌握各個公式間的關連性，而面積的教學才有意義。要求一個長 6 公分，寬 4 公分的長方形面積，應先讓學生了解邊長 1 公分的正方形它的面積就是 1 平方公分，再透過覆蓋的活動，得知所欲測量之長方形長邊可以排 6 個邊長 1 公分的正方形，共可以排 4 排，因此面積是 6×4=24，24 個 1 平方公分，最後推導出長方形的面積等於長乘以寬。而平行四邊形、三角形和梯形則需透過切割和拼湊的方式得知其面積，最後推演出公式。 2.面積作圖：以現今的教材而言，面積作圖通常是以釘板配合橡皮筋或方格紙的方式實施，讓學生以橡皮筋在釘板上圈出所要的圖形或在方格紙上畫出，以檢驗兒童的. 14.

(29) 面積概念。(譚寧君，1998a)指出，實作部份在國小課程教學中一直是不被重視的，其實數學的實作對於凸顯兒童表徵的型態及健全性是很好的後設認知的教學。研究者個人教學經驗中發現，教師們之所以不重視實作部份，主要是因為教具不足及實作需要花比較多的時間，會影響到整個教學進度。 3.單位量的測量及轉換：在單位面積的概念中，單位量的轉換是透過實作逐漸形成的。個別單位是測量的基本單位，在不同單位量之間的轉換是有效掌握單位量與單位數之間關係的重要概念(譚寧君，1998a)。如：長 6 公分，寬 4 公分的長方形，可以用不同的單位量去描述其面積，以邊長 1 公分的正方形為單位量，其面積是 24 個 1 平方公分，以邊長為 2 公分的正方形為單位量，其面積是 6 個 4 平方公分，即 24 平方公分，雖然使用的單位量不同，但面積是相同的。 4.面積的包含關係：在面積的包含關係裡可分為兩個部分，一個是一平面經過切割後可形成獨立的封閉區域，則可以分別利用直線面積測量公式計算後再組合求出整體的面積。例如：求梯形(圖 2-4)面積時，我們可以將梯形分割成三個部份(圖 2-5)，兩個直角三角形及一個長方形，先求出這三個圖形面積再相加後即可。. 圖 2-4 面積合成圖. 圖 2-5 面積合成圖. 若是某一封閉區域為二個封閉區域所形成的交集(如圖 2-6)，則學童須先了解集合的包含關係，再透過面積測量公式方能解題。圖 2-6 灰色部份的面積為兩個四分之ㄧ圓所交集而成的，其面積等於兩個四分之ㄧ圓的面積減去正方形面積。. 15.

(30) ＋. ＝. －. 圖 2-6 面積合成圖四、面積的估測概念在九年一貫課程的分類中，面積屬於「量與實測」的部份，面積的學習除了實測外，量感的培養也很重要。在量感的發展中，估測活動是不可或缺的方法，例如：猜猜看，數學課本的面積有多大？估測可以分為兩類，ㄧ類是估算(computational estimation)，是一種猜出合理近似值的能力；另一類是估量(estimating measures and estimating numerosity)，是在不使用工具的情況下，以某種方法推論出該度量的ㄧ種過程(引自王選發， 2002)。莊維展(2001)對估量的看法是「當我們進行估量的時候，是不借用慣例的測量工具，而是以我們心中既定的標準來進行估量，而此標準的來源則源自於累積的經驗，藉此獲得與實際事物近似的量」。大多數的人認為估測是無法做精確計算時才選擇的方法，但有時候做估測反而比不做估測合理，甚至估測常是解決問題的唯一方法，估測簡化了我們解決問題的方法，增加了彈性。九年一貫課程綱要(教育部，2003)在數學學習領域實施要點中的教學部份提到，教學應以學生的直觀經驗為基礎，經過逐步數學化過程的引導，促使學生建立相關知識，而實測前提供估測活動是必要的。測量在實測領域中除了實測部分外，量感的培養是教學的重點。在培養學生量感的過程中，進行估量的活動是一個重要的方法(楊秀倩、陳進春、許天維，2006)，估測可以讓學生檢查計算出來的答案是否太離譜，但教學過程中發現，當學生已學會以公式計算面積後，很少再使用估算去驗證自己計算出的結果。量感的培養亦是進入實測活動前的ㄧ個學習重點，估測活動就是培養量感的. 16.

(31) ㄧ個好方法，Shaw & Cliatt(1989)認為成人或兒童具備量感時，應包含下列的能力或知識：（一）對問題選擇合適單位，擁有各種測量單位的心象，可以幫助孩童要選擇哪ㄧ種單位估算哪ㄧ種面積。（二）測量過程的知識，包括工具的使用、待測量物與標準或分標準單位的比較。（三）決定何時該測量、何時該估測的能力。（四）應具備多種估測的策略，如長度、面積、體積和時間的估測。另外，(陳建誠，1998)建議在發展量感時，應注意幾項原則：（ㄧ）提供動手做的經驗。（二）將口語和書寫文字整合到測量的經驗中。（三）先比較、估測後再測量。（四）讓兒童擁有自己的測量工具。（五）以測量的作業強化家庭與學校的溝通。. 第二節面積概念教材分析. 根據 64 年版國小數學教材綱要的分類，「面積」是屬於數與量的教材領域，而根據 82 年版國小數學教材綱要的分類，「面積」則分類於量與實測的教材領域。90 年版的九年一貫課程暫行綱要中分類的更細，將「面積」分類於數與量中的量與實測的教材領域。然而事實上，面積是一種依附在圖形區域所產生的量，是物件在二維空間所佔有的量，故圖形與空間的概念也影響了學童對面積問題的解決(王選發，2002)。所以 92 年版與 97 年版的九年一貫課程綱要將「面積」分類於數與量和幾何的教材領域。. 壹、九年一貫課程綱要「數與量」中面積概念教材分析. 17.

(32) 92 年版和 97 年版之九年一貫課程綱要中將五大主題中的「數與量」又細分為「整數」、「量與實測」、「有理數」及「估算」四個子題。其中與面積相關之子題為「量與實測」，是國小數學課程的核心之ㄧ，教學內容包含長度、重量、容量、角度、面積、體積等生活中常用的七種量。除了時間外，其他六種量的學習大致上會經歷下列四個階段：一、初步概念與直接比較：主要是讓學童透過感官直接感覺該量，再對兩同類量做直接比較，最後是量的複製。量的複製包括整體複製與合成複製，整體複製如：給定一條繩子，比對著端點完整地剪下和所給定的繩子一樣長的繩子，合成複製如：用幾根木條頭尾相接拼出黑板的長或是用相同的硬幣平衡天平另一端放置之重物(紀俊州，2006)。二、間接比較與個別單位：對於無法直接比較的兩同類量，能透過媒介量分別作直接比較，並利用比較結果，作出兩量之比較，能作間接比較便能用個別單位作測量。兩量之比較涉及量的保留概念與量的遞移律，量的保留概念由皮亞傑提出，他從實驗結果得知，未擁有某類量之保留概念的兒童，對此類量不能進行間接比較。但教師可透過適當的教學與溝通，運用皮亞傑「同ㄧ性」、「互逆性」、「互補性」三原則，主動誘發學生早日發展保留概念(紀俊州， 2006)。三、常用單位的約定：認識某類量的常用單位，並能運用此單位作量的比較、加、減、乘、除。四、常用單位的換算：在測量時，首先能用大小單位的複名數來描述測量結果，然後再學習使用單位換算的約定來進行換算。例如：1 公尺＝100 公分，120 公分＝1 公尺 20 公分＝1.2 公尺茲將 97 年版九年一貫課程綱要數學領域中，「數與量」主題中有關面積概念之各階段能力指標及分年細目整理如表 2-1、2-2：. 18.

(33) 表 2-1 「數與量」主題中有關面積概念之各階段能力指標階段. 能力指標 N-1-08 能做長度的實測，認識「公分」、「公尺」，並能做長度. 第一階段 (1-2 年級). 之比較與計算。 N-1-09 能做長度的簡單估測。 N-1-10 能認識容量、重量、面積(不含常用單位)。 N-2-17 能做長度的實測，認識長度常用單位，並能做長度之比較與計算。. 第二階段 N-2-21 能認識面積常用單位，並能做面積之比較與計算。 (3-4 年級) N-2-22 能理解正方形和長方形的面積與周長公式。(S-2-08) N-2-26 能做量的簡單估測。 N-3-19 能認識量的常用單位及其換算，並用複名數處理相關的計算問題。第三階段 N-3-22能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積 (5-6 年級) 公式。(S-3-06) N-3-11 能計算正方體或長方體的表面積。(S-3-11). 表 2-2 「數與量」主題中有關面積概念之分年細目年級一年級二年級. 分年細目. 對應指標. 2-n-18 能認識面積，並做直接比較與間接比較。。(同. N-1-10. 無相關之細目. 2-s-04). S-1-03. 3-n-18能認識面積單位「平方公分」，並做相關的實三年級. 測、估測與計算。(同3-s-05). N-2-21 N-2-26 S-2-02. 19.

(34) 表 2-2(續) 年級. 分年細目. 對應指標. 4-n-17能認識面積單位「平方公尺」，及「平方公分」、. N-2-21. 「平方公尺」間的關係，並做相關計算。四年級 4-n-18 能理解長方形和正方形的面積公式與周長公. N-2-22 S-2-08. 式。(同 4-s-09) 5-n-17能認識面積單位「公畝」、「公頃」、「平方公里」及其關係，並做相關計算。五年級 5-n-18能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與. N-3-19 N-3-22 S-3-06. 梯形的面積公式。(同5-s-05) 6-n-14 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇六年級形面積。(同 6-s-03). N-3-23 S-3-07. 貳、九年一貫課程綱要「幾何」中面積概念教材分析依 92 年版和 97 年版的九年一貫課程綱要「面積」亦屬於幾何的教材領域，依各階段的能力成長分三個階段來實施「幾何」的教學，其各階段之教學中點如下所述：一、階段一（ㄧ年級到三年級）：較強調幾何形體的認識、探索與操作，學生對幾何形體中的幾何要素，也許能指認，但尚不清楚其結構意義。二、階段二（四年級到六年級）：由於數與量的發展逐漸成熟，學生開始結合「數」與「形」兩大主題，學習運用幾何形體的構成要素（如角、邊、面）及其數量性質（如角度、邊長、面積）來描述特殊幾何形體的特徵與性質。三、階段三（七年級到九年級）：國中幾何教學的目標，首先在於提供學生日後有用的核心幾何知識，其次是提供豐富的背景，可以展示數學推理證明的過程與威力，而推理能力的培養正是國中數學教育的重點之一。. 20.

(35) 由上述資料可歸納出，面積教學的順序大致可分為：認識面積、面積的直接比較、面積的間接比較（覆蓋）、透過操作切割重組、理解面積公式、估算‧‧ 等。這樣的順序與前一小節「量的學習四個階段」相呼應，也與許多研究者(陳嘉皇，2002；陳鉪逸，1998；譚寧君，1998a)提出應先透過操作、練習，進而理解面積公式的理念符合。茲將 97 年版九年一貫課程綱要數學領域中，「幾何」主題中有關面積概念之各階段能力指標及分年細目整理如表 2-3、2-4：表 2-3. 「幾何」主題中有關面積概念之各階段能力指標. 階段. 能力指標 S-1-01 能由物體的外觀，辨認、描述與分類簡單幾何形體。. 第一階段. S-1-02 能描繪或仿製簡單幾何形體。. (1-2 年級). S-1-03 能認識周遭物體中的角、直線和平面。 S-1-04 能認識生活周遭中平行與垂直的現象。 S-2-02 能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。 S-2-03 能理解垂直與平行的意義。. 第二階段 S-2-04 能透過平面圖形的組成要素，認識基本平面圖形。 (3-4 年級) S-2-05 能透過操作，認識簡單平面圖形的性質。 S-2-08 能理解正方形和長方形的面積與周長公式。（N-2-22) S-3-04能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。第三階段 (5-6 年級). S-3-06 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。(N-3-22) S-3-07 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。 (N-3-23). 21.

(36) 表 2-4 「幾何」主題中有關面積概念之分年細目年級一年級. 分年細目 1-s-02 能辨認、描述與分類簡單平面圖形與立體形體. S-1-01. 1-s-03 能描繪或仿製簡單平面圖形。. S-1-02. 2-s-01 能認識周遭物體上的角、直線與平面（含簡單立. S-1-03. 體形體）。二年級. 對應指標. N-1-10. 2-s-04 能認識面積，並做直接比較與間接比較。(同 2-n-18). S-1-03. 2-s-05 認識簡單平面圖形的邊長關係。. N-1-08 S-1-01 S-1-03. 三年級. 3-s-01 能認識平面圖形的內部、外部與其周界。. S-2-01. 3-s-05能認識面積單位「平方公分」，並做相關的實測、. N-2-21. 估測與計算。(同3-n-18) 3-s-06 能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。. S-2-02 S-2-02. 3-s-07 能由邊長和角的特性來認識正方形和長方形。. S-2-04. 4-s-01 能運用「角」與「邊」等構成要素，辨認簡單平. S-2-04. 面圖形。. S-2-05. 4-s-02 能透過操作，認識基本三角形與四邊形的簡單性質。四年級. N-2-26. N-2-20 S-2-03. 4-s-06 能理解平面上直角、垂直與平行的意義。. S-2-02. 4-s-07 能認識平行四邊形和梯形。. S-2-03. 4-s-09 能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式。. S-2-04. (同 4-n-18). N-2-22 S-2-08. 22.

(37) 表 2-4(續) 年級. 分年細目. 對應指標. 5-s-05 能運用切割重組,理解三角形、平行四邊形與梯形. N-3-22. 五年級的面積公式。(同5-n-18). 六年級. S-3-06. 6-s-01 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。. S-3-01. 6-s-03 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算扇形簡單. N-3-23. 扇形面積。(同6-n-14). S-3-07. 此外，教育部於民國 97 年時提出新版的九年一貫正式綱要，將於 100 學年度正式實施，此版本之內容與 92 年版之內容稍有差異，整理如表 2-5(吳玫栞， 2009)：表 2-5 編號. 92 年版與 97 年版九年一貫課程綱要國小面積課程分年細目比較版本. 編碼. 分年細目. 92 年. 2-s-06. 能由邊長關係，認識簡單平面圖形與立體圖形. 97 年. 2-s-05. 認識簡單平面圖形與邊長的關係. 92 年. 3-s-05. 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同面. A. 積的大小，並認識面積單位「平方公分」。(同 3-n-18) B 97 年. 3-s-05. 能認識面積單位「平方公分」，並做相關的實測與計算。 (同 3-n-18). 92 年. 4-s-07. 能由直角、垂直與平行的概念，認識簡單平面圖形。. 97 年. 4-s-07. 能認識平行四邊形或梯形。. 92 年. 6-n-11*. 能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其. C. 面積。(同 6-s-03*). D 97 年. 並未放入相似分年細目. 從上表可知，編號 A 的不同之處在於 97 年版中將邊長與圖形的關係之立體形體移除，只認識平面圖形的邊長關係，簡化了此階段的內容；編號 B 的不同之. 23.

(38) 處在於，97 年版強調先認識「平方公分」，之後再去做相關的實測與計算，而 92 年版則強調先能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較面積後再引出「平方公分」的概念；編號 C 中 97 年版明確指出，要認識的平面圖形為平行四邊形與梯形；編號 D 中，92 年版的面積估算部份在 97 年版中並未放入，(吳玫栞，2009) 推論，應與課程綱要(92 年版與 97 年版)附錄中所提：「國小的估算教學，要特別注意評量的問題。切忌因為強求估算，禁止學生使用正常計算‧‧。」有關，因此刻意不列入分年細目，避免誤導教師矯枉過正。. 叄、各版本教科書中面積概念教材分析研究者於彰化縣偏遠小學服務將近八年，這段期間觀察發現，有許多彰化縣偏遠小學都使用南一版教科書，研究者之學校所使用的版本亦為南一版，另外兩大出版社翰林版、康軒版亦有少數學校使用，茲將這三大版本的教科書關於面積概念的教材分析如下：表 2-6 冊別. 單元號. 一年級. 一. 2. 二. 6. 三. 2. 三. 9. 四. 2. 二年級. 年級. 南一版教科書面積概念教材分析. 單元名稱. 提及內容. 認識形狀認識長方形、正方形、三角形、圓形等物件，並依其形狀加以分類。圖形和形將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形、體. 全等操作練習. 幾公分. 認識１公分、以１公分為單位進行實測與估算、使用不同個別單位測量同一長度的物體. 面的大小面積的意義、以疊合法比較面積大小（直接比較）幾公尺. 認識１公尺、以１公尺為單位進行實測與估算、公尺和公分的換算. 平面圖形認識三角形、長方形、正方形四. 10. 和立體圖形. 24.

(39) 表 2-6(續) 年級. 冊別. 單元號. 五. 3. 單元名稱. 提及內容. 周界和周認識平面圖形的周界和周長、用指定長度的. 三年級. 長. 線畫出長方形或正方. 角和面積透過排滿圖形的方式，認識面積、認識面積六. 單位「平方公分」、點數圖形面積、了解等積 4. 異形、透過圖形切割活動，了解面積的保留概念面積和周正方形、長方形面積公式和周長計算、認識. 四年級. 七. 8. 長. 平方公尺、平方公尺和平公分換算、公式的應用. 七. 11. 八. 8. 三角形. 認識三角形、平面圖形全等的意義. 四邊形. 垂直和平行的意義、理解菱形、平行四邊形和梯形的簡單性質. 平行四邊平行四邊形、三角形面積公式及應用、找三五年級. 九. 7. 形和三角角形和平行四邊形的高形的面積梯形的面梯形的面積、找梯形的高、梯形切割、重組. 六年級. 九. 9. 十. 6. 十ㄧ. 4. 十ㄧ. 6. 積和應用為平行四邊形、公式的應用扇形. 認識扇形. 圓周率和圓面積公式推導及其應用園面積扇形面積扇形面積的求法及其運用、複合或重疊圖形的面積柱體的體柱體表面積的求法. 十二. 2. 積和表面積. 25.