資訊融入異分母分數加減單元教學對國小五年級學生學習成效與動機之影響

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文. 指導教授：施淑娟. 博士. 資訊融入異分母分數加減單元教學對國小五年級學生學習成效與動機之影響. 研究生：陳金葉. 撰. 中華民國九十八年六月.

(2) 摘要本研究以建立資訊融入國小五年級數學領域「異分母分數的加減及分數數線」單元的完整教學模式為目的，透過結合知識結構及貝氏網路等理論，進行自編教材、補救教材、教學媒體及電腦化適性診斷測驗之研發，完整的教學模式之進行包括資訊融入教學、教學後進行學生錯誤概念的診斷，再依電腦化適性測驗系統診斷報告書建議，使用研究者自編補救教材及教學媒體進行資訊融入團班補救教學，期望能建立一套完整之教學架構，同時將資訊科技融入教學、診斷及補救等程序中。此外，本研究亦針對不同電腦使用頻率的學童之學習成效、補救教學成效、學後保留成效、學習動機與學習意見進行細部的分析探究，以瞭解其應用成效並與傳統教學法做比較。研究結果發現： 1. 結合知識結構及貝氏網路所編製的「異分母分數的加減及分數數線」單元的適性診斷測驗，能達到節省題目、縮短施測時間的目的。 2. 在學習成效部份，資訊融入教學組的學生在「異分母分數的加減及分數數線」單元的測驗表現顯著優於傳統教學組，而不同電腦使用頻率的學童在本測驗表現上沒有顯著差異。 3. 在補救教學成效部份，資訊融入教學組的學生在「異分母分數的加減及分數數線」單元的測驗表現顯著優於傳統教學組，而不同電腦使用頻率的學童在本測驗表現上沒有顯著差異。 4. 在學後保留成效部份，資訊融入教學組的學生在「異分母分數的加減及分數數線」單元的延後測驗表現顯著優於傳統教學組，而不同電腦使用頻率的學童在延後測驗表現上沒有顯著差異。 5. 經電腦化適性診斷測驗，再進行補救教學後，資訊融入教學組的學生不管在錯誤類型的改善或子技能的習得均比傳統教學組獲得較佳成效。 6. 在學習動機部份，資訊融入教學組的學生在本項得分顯著高於傳統教學組，而不同電腦使用頻率的學童在學習動機得分上沒有顯著差異。 7. 資訊融入教學組學生有八成一以上對於本資訊融入教學模式給予高度肯定；五成一以上學生認為在學習上是有幫助的。而不同電腦使用頻率之學生在對於本資訊融入教學模式各組均有六成三以上意見反應集中在同意以上。 i.

(3) 關鍵詞：知識結構、貝氏網路、資訊融入教學、補救教學、學習動機. ii.

(4) A study on the implementation of information technology integrated into instructions of adding and subtracting fractions with different denominators for elementary schools’ fifth grade students Abstract The goals of this study are integrating information technology into instructions of adding and subtracting fractions with different denominators and fraction line by designing the teaching and remedial instruction materials, media and computerized adaptive diagnostic testings for elementary schools’ fifth grade students based on knowledge structure theory and Bayesian networks. The whole teaching models include integrating information technology into the activities of teaching, diagnosing students’ error patterns by the computerized adaptive diagnostic testing system and integrating information technology into remedial teaching. In the end, the effect evaluations of teaching, diagnosing and remedial instruction are carried out. Meanwhile, the comparisons on the groups of different frequency of computer use are examined. The results of this study are briefly outlined as follows: 1. In the unit of adding and subtracting fractions with different denominators and fraction line, the computerized adaptive diagnostic testing based on knowledge structure theory and Bayesian networks can measure efficiently, reduce the number of items administrated, and shorten testing time. 2. In the field of learning effectiveness, the experimental group which using the whole teaching models proposed in this study, is significantly better than the control group which using the traditional teaching method. The groups of different frequency of computer use are showed no significant difference. 3. In the field of remedial instruction effectiveness, the experimental group is significantly better than the control group. The groups of different frequency of computer use are showed no significant difference. 4. In the field of learning maintain effectiveness, the experimental group is significantly better than the control group. The groups of different frequency of computer use are showed no significant difference. 5. After remedial instruction, the experimental group is significantly better than the control group on the improvements of error patterns and the learning of sub-skills in the unit of adding and subtracting fractions with different denominators and fraction iii.

(5) line. 6. In the field of motivation, the experimental group is significantly better than the control group. The groups of different frequency of computer use are showed no significant difference. 7. More than 81% of all students of the experimental group think information technology integrated into instructions positively and more than 51% of those think the instructions could be helpful to their mathematics learning. Moreover, in the experimental group, more than 63% of the students in each group of different frequency of computer use are with agreement.. Keywords: Knowledge structure, Bayesian network, Information technology integrated into instruction, Remedial instruction, Motivation. iv.

(6) 目錄第一章緒論 ............................................................................................................... 1. 第一節研究動機 .............................................................................................. 1. 第二節研究目的 .............................................................................................. 4. 第三節待答問題 .............................................................................................. 5. 第四節名詞界定 .............................................................................................. 7. 第五節研究範圍與限制 .................................................................................. 10. 第二章文獻探討 ....................................................................................................... 13. 第一節異分母分數的加減及分數數線教材 .................................................. 13. 第二節異分母分數的加減及分數數線錯誤類型 .......................................... 19. 第三節資訊融入教學及其相關因素 .............................................................. 31. 第四節電腦化適性診斷測驗 .......................................................................... 39. 第五節補救教學 .............................................................................................. 48. 研究方法 ..................................................................................................... 55. 第一節研究架構 .............................................................................................. 55. 第二節研究流程 .............................................................................................. 59. 第三節研究對象 .............................................................................................. 82. 第四節研究工具 .............................................................................................. 83. 第五節資料收集與分析 .................................................................................. 90. 結果與討論 ................................................................................................. 93. 第一節電腦化適性診斷測驗應用成效 .......................................................... 93. 第三章. 第四章. 第二節資訊融入與傳統教學對不同電腦使用頻率學生學習成效之影響 ........................................................................................................ 第三節資訊融入與傳統教學對不同電腦使用頻率學生補救成效之影響 ........................................................................................................ v. 95 99.

(7) 第四節資訊融入與傳統教學對不同電腦使用頻率學生學後保留成效之影響 ................................................................................................ 第五節不同補救教學模式下，學生「錯誤類型與子技能」改變情形的比較與討論 ......................................................................................... 103 107. 第六節資訊融入與傳統教學下，對不同電腦使用頻率學生學習動機之 116 影響 .................................................................................................... 第七節資訊融入教學後學生之學習意見調查結果與討論 ......................... 119 第五章結論與建議 .................................................................................................. 131 第一節結論 ..................................................................................................... 131 第二節建議 ..................................................................................................... 135 參考文獻.......... .......................................................................................................... 139 中文部分 ........................................................................................................... 139 英文部分 ........................................................................................................... 144 附錄一異分母分數加減暨分數數線紙筆測驗試題 .............................................. 151 附錄二預試作答反應分析表 .................................................................................. 155 附錄三系統登入畫面 .............................................................................................. 156 附錄四系統施測畫面 .............................................................................................. 157 附錄五學生診斷報告畫面 ...................................................................................... 158 附錄六班級學習狀態統計書（以 Bug 概念列表為例） ..................................... 159 附錄七班級學習狀態統計書(以 Skill 概念列表為例) .......................................... 160 附錄八學生進行電腦診斷測驗之情形 .................................................................. 161 附錄九教學手冊之部份內容摘要 .......................................................................... 162 附錄十單元講義之部份內容摘要 .......................................................................... 170 附錄十一學生加油手冊之部分內容摘錄 .............................................................. 171 附錄十二多媒體之部份教材內容簡報 .................................................................. 173 附錄十三學習動機量表 .......................................................................................... 174 vi.

(8) 附錄十四資訊融入數學教學之學習意見問卷 ...................................................... 176 附錄十五 s22 前後測試題及加油手冊之練習二十二的補救例題........................ 178. vii.

(9) 表目次表 2-2-1. 異分母分數的加減及分數數線常見之錯誤類型…………………… 20. 表 2-2-2. 本研究之錯誤類型…………………………………………………… 26. 表 2-4-1. 國內有關貝氏網路在教育上之應用研究…………………………… 45. 表 3-2-1. 本研究之子技能一覽表……………………………………………… 62. 表 3-2-2. 本研究之錯誤類型一覽表…………………………………………… 63. 表 3-2-3. 試題設計例示………………………………………………………… 69. 表 3-2-4. 錯誤類型與各相關測驗試題及子技能對應表……………………… 70. 表 3-3-1. 各組參與人數統計表………………………………………………… 82. 表 3-3-2. 各組研究對象分派表………………………………………………… 82. 表 3-4-1. 異分母分數加減及分數數線單元預試信度、難度、鑑別度分析表 84. 表 4-1-1. 前、後測適性判斷結果統計表……………………………………… 94. 表 4-2-1. 迴歸係數同質性考驗摘要表………………………………………… 95. 表 4-2-2. 電腦使用頻率與教學法在前測成績之二因子共變數分析摘要表… 96. 表 4-2-3. 電腦使用頻率組前測成績之單因子共變數分析摘要表…………… 96. 表 4-2-4. 電腦使用頻率組前測成績估計邊緣平均數………………………… 97. 表 4-2-5. 教學法在前測成績之單因子共變數分析摘要表…………………… 97. 表 4-2-6. 教學法各水準前測成績估計邊緣平均數…………………………… 97. 表 4-3-1. 組內迴歸係數同質性考驗摘要表…………………………………… 99. 表 4-3-2. 電腦使用頻率與教學法在後測成績之二因子共變數分析摘要表… 100. 表 4-3-3. 電腦使用頻率組後測成績之單因子共變數分析摘要表…………… 100. 表 4-3-4. 電腦使用頻率組後測成績估計邊緣平均數………………………… 101. 表 4-3-5. 教學法在後測成績之單因子共變數分析摘要表…………………… 101 viii.

(10) 表 4-3-6. 教學法各水準後測成績估計邊緣平均數…………………………… 101. 表 4-4-1. 組內迴歸係數同質性考驗摘要表…………………………………… 103. 表 4-4-2. 電腦使用頻率與教學法在延後測成績之二因子共變數分析摘要表 104. 表 4-4-3 電腦使用頻率組延後測成績之單因子共變數分析摘要表………… 104 表 4-4-4. 電腦使用頻率組延後測成績估計邊緣平均數……………………… 105. 表 4-4-5. 教學法在延後測成績之單因子共變數分析摘要表………………… 105. 表 4-4-6. 教學法各水準後測成績估計邊緣平均數…………………………… 106. 表 4-5-1. 實驗組前、後測出現錯誤類型統計表……………………………… 108. 表 4-5-2. 對照組前、後測出現錯誤類型統計表……………………………… 109. 表 4-5-3. 實驗組前、後測達成子技能統計表………………………………… 114. 表 4-5-4. 對照組前、後測達成子技能統計表………………………………… 115. 表 4-6-1. 電腦使用頻率與教學法在學習動機之二因子變異數分析摘要表… 116. 表 4-6-2. 學習動機敘述統計表………………………………………………… 117. 表 4-6-3. 電腦使用頻率組學習動機之單因子變異數分析摘要表…………… 117. 表 4-6-4. 教學法在學習動機差異性 t 檢定摘要表…………………………… 118. 表 4-7-1. 對資訊融入教學活動的想法………………………………………… 119. 表 4-7-2. 資訊融入教學活動問卷結果分析…………………………………… 121. 表 4-7-3. 對適性診斷測驗之意見……………………………………………… 122. 表 4-7-4. 適性診斷測驗問卷結果分析………………………………………… 123. 表 4-7-5. 學生認為有幫助的學習方式統計表………………………………… 124. 表 4-7-6. 不同電腦使用頻率的學生對資訊融入教學活動的想法…………… 125. 表 4-7-7. 不同電腦使用頻率的學生對適性診斷測驗的想法………………… 127. 表 4-7-8. 不同電腦使用頻率的學生認為有幫助的學習方式統計表………… 128. ix.

(11) 圖目次圖 2-4-1. 陳述性知識、知識結構、程序性知識之連結關係……………… 40. 圖 2-4-2. 知識結構階層圖…………………………………………………… 41. 圖 2-4-3. 貝氏網路非循環的有向圖………………………………………… 43. 圖 3-1-1. 研究架構圖………………………………………………………… 55. 圖 3-1-2. 電腦使用時數統計圖……………………………………………… 56. 圖 3-2-1. 研究流程圖………………………………………………………… 60. 圖 3-2-2. 異分母分數加減及分數數線專家知識結構圖…………………… 65. 圖 3-2-3. 異分母分數加減及分數數線之貝氏網路圖初稿………………… 67. 圖 3-2-4. 異分母分數加減暨分數數線試題結構圖………………………… 73. 圖 3-2-5. 異分母分數加減暨分數數線之部分試題結構圖………………… 74. 圖 3-2-6. 異分母分數加減暨分數數線部分學生結構圖…………………… 74. 圖 3-2-7. 異分母分數加減暨分數數線學生知識結構圖…………………… 75. 圖 3-2-8. 補救教學結構圖…………………………………………………… 76. 圖 3-2-9. 實驗流程圖………………………………………………………… 81. x.

(12) 第一章緒論本研究是以國小五年級「異分母分數的加減及分數數線」為研究範圍，根據教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要，結合知識結構理論及貝氏網路來進行異分母分數的加減及分數數線課程設計與評量研發。在課程設計的部分，包括自編紙本教材、自編教學媒體、教學活動設計以及補救教學設計；在評量部分，則是編製一套電腦化適性診斷測驗。另外，在教材與評量編製完成後，進行教學實驗，以探究其應用成效。本論文共分五章：第一章為緒論；第二章為文獻探討；第三章為研究方法；第四章為結果與討論；第五章為結論與建議。本章將針對研究動機、研究目的、待答問題、名詞界定及研究範圍與限制等節次分別進行闡述。. 第一節研究動機分數(fraction)概念的本身同時具有具體化及抽象化兩種特質，不論在日常生活的應用或科學知識的學習，分數運算都是重要且實用的數學工具。因此，從 1975 年版的「國民小學數學課程標準」、1993 年版的「國民小學數學課程標準」到 2003 年的「國民教育九年一貫課程綱要」數學學習領域裡，均將分數概念及運算納入二至六年級課程規劃，使學生逐步建立由具體化進入抽象化概念的數學運算能力。分數概念的學習是國小數學課程的重點，也是接續國中數學課程的重要關卡，基於數學概念學習的前後連貫特性，學童在分數學習的錯誤概念，將會形成其日後抽象化數學概念學習的阻礙。其中，國小五年級數學領域「異分母分數的. 1.

(13) 加減及分數數線」便是學生極易產生錯誤類型的單元。此單元的解題涉及多個分數概念的統整與多步驟的計算，包含擴分、約分、公倍數尋找及假分數與帶分數互換等迥異於整數運算法則的分數運算規則，所以學生對本單元的學習會有較大困難。因此，為增進學習成效，教學上有設計教學媒體作輔助之需要。並且，適時診斷學生在學習這個單元所產生的錯誤概念並進行立即補救也是有其必要性的。現行的國小數學教學領域，基於一綱多本的政策，教師的教材選擇已多元化，但各版本教材在課程編排時，因只呈現單元內的教學目標及單元間的順序，缺乏單元內教材細部的知識結構分析，將造成學生在不同年級不同教師採用不同版本教材時，易發生教材轉換後之學習重覆或某些重要數學概念漏失的現象。此外，坊間雖然不乏搭配現行各版本使用之教學媒體，但其編製過程亦缺乏對數學概念細部知識結構的分析與兒童學習心理的探討，其實施效果有待進一步評量。至於各家出版商製作之題庫光碟，其目的亦僅在進行成就測驗，缺乏診斷學生錯誤概念的功能，更遑論後續補救教學方面的設計。然而在目前制度下，由於教師的數學教學時間、人力有限及學生錯誤類型不一，難以進行有效補救教學，僅能在測驗後，針對試卷做團班檢討，導致學生的學習困難無法得到立即的矯治，影響後續的學習，若能結合資訊科技來進行教學與補救教學，將有助於提升教師進行補救教學的意願，對學生的學習以及動機的提昇亦有所助益。近年來，已有許多學者以知識結構與貝氏網路理論為基礎，進行國小數學領域適性診斷測驗及補救教學設計之研究，並獲致良好成效(曾彥鈞，2007；林立敏、白曉珊、郭伯臣、劉育隆，2007)。因此，本研究將根據相同理念，來進行包含教學、診斷及補救教學的資訊融入數學教學活動設計，以建立完整的資訊融入數學教學模式。基於上述，本研究以國小五年級數學領域「異分母分數的加減及分數數線」為內容以建立完整的資訊融入教學模式，透過結合知識結構及貝氏網路等理論，進行自編教材、補救教材、教學媒體及電腦化適性診斷測驗之研發，於資訊融入 2.

(14) 教學後進行學生錯誤概念的診斷，再依電腦化適性測驗系統診斷報告書建議，使用研究者自編補救教材及教學媒體進行資訊融入團班補救教學，期望能建立完整之教學、診斷及補救程序，並瞭解其應用成效。此外，由於本研究採用資訊融入教學，基於過去研究結果顯示，在資訊融入教學過程中學童的資訊素養會影響其學習成效，而學童的資訊素養通常會與其電腦使用時間有關（唐文儀，1994；魏延超，1997；周苡靖，2004），Yang & Chin(1997)發現電腦有許多固有的特質，能適度激起學生的動機。因此，本研究亦將針對不同電腦使用頻率的學童之學習成效、補救成效、學後保留的成效、學習動機與學習意見等進行細部的分析與探究。. 3.

(15) 第二節研究目的基於前節所述動機，本研究主要範圍為「異分母分數的加減及分數數線表示」對應的能力指標為教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要中的5-n-05 （能用通分作簡單異分母分數的比較與加減）及5-n-11（能將分數、小數標記在數線上）。針對上述兩單元能力指標，整理出相關錯誤類型與子技能資料，利用專家知識結構理論並結合貝氏網路建立測驗編製與教材設計的藍圖，並以此為依據，編製國小五年級「異分母分數的加減及分數數線」單元教材、補救教材、教學媒體、電腦化適性診斷測驗以及完整的教學模式，而後透過教學實驗，綜合評估本研究所設計之資訊融入教學模式對不同電腦使用頻率學生之應用成效。此外本研究亦希望瞭解不同教學法下學生的學習動機差異情形，以及參與資訊融入教學之學生對此教學模式的意見，茲羅列本研究之主要目的如下：一、探討本研究之電腦化適性診斷測驗的成效。二、探討電腦使用頻率不同的學生，接受「資訊融入數學教學」與「傳統教學」後，對其學習成效之影響。三、探討電腦使用頻率不同的學生，在接受「資訊融入數學教學」與「傳統教學」後，對其補救成效之影響。四、探討電腦使用頻率不同的學生，在接受「資訊融入數學教學」與「傳統教學」後，對其學後保留成效之影響。五、瞭解在不同教學法下，學生經過補救教學後之錯誤類型發生率與子技能達成率改變情形。六、探討電腦使用頻率不同的學生，在接受「資訊融入數學教學」與「傳統教學」後，學習動機表現的差異。七、調查學童對本研究資訊融入教學及適性診斷測驗之意見。. 4.

(16) 第三節待答問題根據前節所述的研究目的，本研究將探討下列問題：一、本研究以知識結構及貝氏網路為基礎的電腦化適性診斷測驗之省題率為何？二、探討電腦使用頻率不同的學生，在接受「資訊融入數學教學」與「傳統教學」後，其學習成效是否有顯著差異？ 2-1.不同電腦使用頻率與不同教學法，對學生的學習成效是否有交互作用？ 2-2.不同電腦使用頻率之學生在學習成效上是否有顯著差異？ 2-3.接受不同教學法之學生在學習成效上是否有顯著差異？三、探討電腦使用頻率不同的學生，在接受「資訊融入數學教學」與「傳統教學」後，其補救成效是否有顯著差異？ 3-1.不同電腦使用頻率與不同教學法，對學生的補救成效是否有交互作用？ 3-2.不同電腦使用頻率之學生在補救成效上是否有顯著差異？ 3-3.接受不同教學法之學生在補救成效上是否有顯著差異？四、探討電腦使用頻率不同的學生，在接受「資訊融入數學教學」與「傳統教學」後，其學後保留成效是否有顯著差異？ 4-1.不同電腦使用頻率與不同教學法對學生的學後保留成效是否有交互作用？ 4-2.不同電腦使用頻率之學生在學後保留成效上是否有顯著差異？ 4-3.接受不同教學法之學生在學後保留成效上是否有顯著差異？五、在不同教學法下，學生經過補救教學後之錯誤類型發生率與子技能達成率改變情形為何？ 5-1.在不同教學法下，學生經過補救教學後之錯誤類型發生率差異情形為何? 5-2.在不同教學法下，學生經過補救教學後之子技能達成率差異情形為何? 六、探討電腦使用頻率不同的學生，在接受「資訊融入數學教學」與「傳統教學」後，其學習動機表現是否有顯著差異？. 5.

(17) 6-1.不同電腦使用頻率與不同教學法對學生的學習動機表現是否有交互作用？ 6-2.不同電腦使用頻率之學生在學習動機表現上是否有顯著差異？ 6-3.接受不同教學法之學生在學習動機表現上是否有顯著差異？七、學生對本研究資訊融入教學及適性診斷測驗之意見為何？ 7-1.實驗組學生對於此種教學及測驗方式之意見為何？ 7-2.不同電腦使用頻率之實驗組學生對於此種教學及測驗方式之意見為何？. 6.

(18) 第四節名詞界定本節將針對本研究常見的名詞，釋義說明如下：一、異分母分數的加減及分數數線本研究所謂的異分母分數加減及分數數線僅以教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要，針對五年級「異分母分數的加減」單元能力指標（5-n-05）及「分數數線」能力指標（5-n-11）為研究範圍，自編教材內容包括利用擴分、約分求等值分數、通分二部曲、異分母分數的加法、異分母分數的減法、異分母分數加法或減法混合的兩步驟問題、及分數數線等六個子活動。. 二、子技能許天維、劉湘川（1994）界定數學技能，係指不要擬定計畫，直接運用數學事實、定義、規則、性質以及定理，對數、量和形進行演算和操作的能力。本研究之子技能為根據教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要，針對五年級「異分母分數的加減」單元能力指標（5-n-05）與「分數數線」能力指標（5-n-11）所訂定之基本能力，且該能力的具備與否通常會影響錯誤類型的發生。. 三、知識結構知識的本質是由概念以結構化的型式所組成，在知識結構中，下層概念為上層概念的先備知識。本研究在編製測驗及教材時會使用到二類知識結構，一為專家知識結構，二為學生知識結構。專家知識結構主要作為編製診斷測驗試題的依據，是由學者專家分析相關文獻，根據學生學習歷程、概念發展順序及概念間上下位關係繪製而成；學生知識結構乃是利用「無參數試題反應理論與試題順序結構分析法之多點計分整合模式」(郭伯臣，1995）中所開發之試題結構分析程式作為分析工具，從學生在診斷測驗試題的表現中，分析出學生各概念間的上下位關係，作為適性選題的依據。 7.

(19) 四、錯誤類型 Kathlen(1987)將在數學運算式中所產生錯誤答案的步驟，依據其犯錯的關鍵處分成幾種類型稱為錯誤類型。本研究之錯誤類型係指在異分母分數的加減及分數數線問題的解題程序中，學生所產生的系統性錯誤，其錯誤類型的分類是研究者參考相關文獻、教學經驗交流與專家學者討論等方式所訂定出。. 五、貝氏網路貝氏網路（Bayesian networks）是一種以貝氏理論為基礎，由節點與連結所組成具有方向性且非循環的有向圖(directed acyclic graph，簡稱DAG)，以節點表示所欲研究的變項，連結代表變項間的影響關係，其影響程度的強弱則藉由條件機率的方式來表達（施淑娟，2006）。換言之，這個有向圖是這些變項之聯合機率分佈的分解表示法。本研究以貝氏網路為適性診斷測驗之推論工具，協助教師分析診斷出學生錯誤類型與子技能的有無，作為本研究補救教學模式的依據。. 六、資訊融入教學模式本研究所定義的資訊融入教學模式，為教學者使用自編單元教材、補救教材，並配合單槍投影設備在教室中以在 Microsoft 公司之 Office 系列軟體之 PowerPoint 簡報軟體下製作之自編教學媒體來進行班級教學與補救教學，並且以電腦適性診斷測驗來進行評量。. 七、電腦化適性診斷測驗本研究所指電腦化適性診斷測驗係以結合知識結構及貝氏網路為基礎，進行適性診斷的測驗。進行施測時，先選取最上位子技能的題目予以作答，若受試者作答正確，則預測其下位子技能亦能達成，若受試者答錯，則下一題將選取答錯試題之下位子技能的題目。透過這樣的選題方式，可快速精準的診斷出學生的錯誤類型，以進行補救教學。 8.

(20) 八、補救教學補救教學是一種診療式教學，重視個案資料的蒐集、診斷評量及教學後的測驗，以瞭解學生的實際學習狀況，並給予所需要的協助，其歷程是採「評量－教學－再評量」的循環（張新仁、邱上真、李素慧，2000）。過去的補救教學有很多模式，本研究所採用的模式是以資訊融入的方式來進行，在實際教學時，因各班有其優劣程度之分，所以各班補救教學的概念順序自然也不同，教師需依其診斷報告書中班上大多數學生之錯誤類型或未達成子技能之部分，依照補救教學結構所建議之路徑進行補救教學。. 九、電腦使用頻率組本研究所定義之電腦使用頻率，係依照學生自行填答之平均每週使用電腦時間(排除在學校上電腦課的時數)，將學生分為三組，依序為低使用頻率組（1 小時以下）、中使用頻率組（2~6 小時）、高使用頻率組（7 小時以上）。. 十、學習動機 Keller(1983)認為動機會影響個體的努力程度與方向，而張春興（1997）對學習動機所下的定義是：學習動機是指引學生進行學習活動，並導使該學習活動趨向教師所設定目標的內在心理歷程。本研究之學習動機指的是，學習者在使用學習動機量表後所測得的分數。本研究之學習動機量表是改編自孫琇瑩（2000）根據 Keller（1991）所設計出的教材動機量表（the instructional materials motivation survey, IMMS）所改編而得。. 9.

(21) 第五節研究範圍與限制一、研究範圍本研究之教學單元範圍為教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要中五年級異分母分數加減能力指標（5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減）及分數數線能力指標（5-n-11 能將分數、小數標記在數線上），不包含「將小數標記在數線上」。此外，由於本研究旨在探討整套自編教材（含電腦化適性診斷測驗及補教教學模式）的實施成效、學生學習動機的差異情形、學生的學習意見，以及電腦使用頻率不同的學生對於本單元之學習成效、補救成效、學後保留成效及學習動機的差異情形。因此，除上述以外之其他因素均不在本研究探討之範圍。. 二、研究限制本研究受限於時間、資源、人力及其他主客觀因素影響，茲將本研究之限制分述如下：（一）研究樣本本研究考量到研究人力、時間與資源的限制，因此，研究樣本來源是以研究者服務之學校五年級二個班級學生，分別編入實驗組和教學組，另從台中縣、彰化縣立意抽樣選取各一個班級，兩校在學校規模及學區社經背景雷同，亦分別編入實驗組和教學組。總共99名學生為實驗研究樣本，分成二班實驗組與二班控制組，經刪除不當樣本後，有效樣本共計95名。因此，實驗的結果可能會受到取樣的影響，造成本研究結果推論上的限制。（二）研究時間本研究採用不等組前測－後測設計方式進行實驗，因此，實驗組與控制組之受試者的授課時間（含補救教學）、測驗的時間均需相同，同時，受試者的診斷測驗時機必須在異分母分數加減及分數數線單元學習完後立即進行施測，否則失 10.

(22) 去實驗的意義。（三）「適性診斷測驗試題」研究工具為配合電腦化適性診斷測驗，題庫以選擇題型式建製，無法像傳統測驗一般，包含多種題型，且一題試題只有三個誘答選項來偵測錯誤類型，無法囊括學生可能會犯的所有錯誤類型。（四）電腦使用頻率本研究只針對學生電腦使用頻率對資訊融入數學教學之影響進行探究，至於學生使用電腦的目的、方式則有待後續研究進行探討。此外，學生電腦使用頻率之分類有多種方式，本研究僅根據學生自行填答之平均每週使用電腦時間(排除在學校上電腦課的時數)將學生均分成三組，至於其他分類方式則可能導至不同的分類結果，但此部份並不在本研究之研究範圍。. 11.

(23) 12.

(24) 第二章文獻探討本研究主要目的是根據教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要，結合知識結構理論及貝氏網路來進行異分母分數的加減及分數數線單元課程設計與評量研發。在課程設計的部分，利用知識結構自編單元教材、教學活動設計、教學簡報系統以及補救教學設計；在課程實施的部分，使用教學簡報系統進行資訊融入教學；在評量部分，結合知識結構與貝氏網路編製電腦化適性診斷測驗，而後，將這套課程與評量運用於實際教學，以探討其教學與補救教學成效。因此，本章將針對「異分母分數的加減及分數數線教材」、「異分母分數的加減及分數數線錯誤類型」、「資訊融入教學及其相關因素」、「電腦化適性診斷」與「補救教學」等內容進行文獻探討，以提供本研究之發展方向及實施之基礎。. 第一節異分母分數的加減及分數數線教材一、分數概念分數(Fraction)概念的本身同時具有具體化及抽象化兩種特質，不論在日常生活的應用或科學知識的學習，分數運算都是重要且實用的數學工具。根據 2003 年的「國民教育九年一貫課程綱要－數學學習領域」指出數學是ㄧ個依循嚴謹邏輯程序發展的知識體系，透過抽象化語言，進行問題本質的陳述，這種抽象性的本質是ㄧ般人學習數學的最大障礙，課程設計需注意數學內在結構及數學在生活情境的連結。學者林碧珍（1990）指出數學概念較抽象且有前後的連貫性，往往一個概念是由某些概念抽象後，再抽象而得，如分數的加減法運算，假如其中一種基本概念無法完全瞭解，則分數加減法的概念將無法建立。因此，從 1975 年版的「國民小學數學課程標準」、1993 年版的「國民小學數學課程標準」到 2003 年的「國民教育九年一貫課程綱要」數學學習領域裡，均將分數概念及運算納入二至六年級課程規劃，使學生逐步建立由具體化進入抽象化概念的數學運算能力。 13.

(25) Barash & Klein(1996)指出「分數」是自然數的形式及應用上的擴展，而這種擴展，將幫助學生重新把數學課程裡「數」的意義與運算加以「結構」，才能邁向新的學習目的。Brown & Quinn(2007)指出全世界的學子於分數概念及初等代數兩方面的學習常力有未逮，尤其是學生對分數基本概念不瞭解且對分數運算不夠純熟，將會造成其學習代數的困難，全美教育統計中心(NCES, 2000)指出美國教育發展評量(National Assessment of Educational Progress, NAEP)的調查顯示過去二十年學生在這兩個領域的學習普遍出現精熟度嚴重不足的現象。Behr, Harel, Post & Lesh(1992)等研究指出從三個面向的分析可了解分數的重要性，其一、在實際面上，透過分數概念，可以有效的處理及瞭解真實世界問題；其二、由心理學層面分析，分數概念協助擴展兒童的心智結構及豐富兒童的智力領域；其三、以數學層面而言，分數的瞭解提供爾後學習小數、比、機率及初等代數運算等的基礎。因此學者們普遍認為分數概念的學習是國小數學課程的重點，也是接續國中數學課程的重要關卡。楊壬孝（1988）、呂玉琴（1991）及Chan, Leu & Chen(2007)分別指出分數概念十分重要，分數的學習也是困難重重，分數學習的困難，部分原因出自於分數本身具有多重意義，如部分. 全部、子集. 集合、比、數商等均可作為分數的. 定義，但在整數運算或文字認知卻有不同，這意味著學童過去所學習處理整數的數學方法，對分數不再可行，甚至形成干擾。Behr, Wachsmuth, Post & Lesh(1984) 指出美國教育發展評量(NAEP)對13及17 歲中學學童所做的研究，顯示學童有下列錯誤現象：不瞭解分數的意義、對分數缺乏數感、不知分數是數、不知分數有大小之別、以機械式的記憶規則來計算..等。游政雄、呂玉琴、吳宏毅、劉世能（2003）指出學童學習分數若發生困難，將會影響未來數學能力的發展。因此，教師應先辨明學童是否習得正確的分數概念，並避免整數舊經驗的干擾。林福來、黃敏晃、呂玉琴（1996）指出學習分數概念前，教師應探究學童已具備哪些相關先備知識，並配合學童先備知識，設計教學活動，順利發展其分數概念。王瑞慶（2003）指出，在現今以問題解決為導向的數學課室裡，兒童在處理 14.

(26) 一個困難的分數問題的時候，相關的解題思維、過程及可能發生的解題困難為何？藉由對相關問題的深入探討，能更清楚地知道：學生在分數學習上，何時可能發生困擾，有何問題發生及需要何種協助。瞭解兒童分數概念的發展階段有助於教師提供學生適當的協助，有關兒童的分數概念發展階段及學前須具備子概念等分析，瑞士心理學家皮亞傑已於1960 年提出完整的說明可供參考，其中有關兒童的分數概念發展階段為（引自林碧珍，1990）： (一) 4歲至4歲半的兒童，對一分二的概念有困難，對不同形狀的分割，長方形比較容易，圓形次之，正方形較難。這階段的兒童對分數概念的最大的特徵是缺少部分與全體之間的任何關係。 (二) 4歲到6歲的兒童對於規則的與小範圍的東西已有一分二的能力，尚未表現出三等分的能力。圖形分割，對長方形較容易，如長方形的餅。 (三) 6歲到7歲的兒童已能成功操作三等分的方法，不過仍在具體的操作層次。此階段的兒童具有整體性的保留概念。 (四) 10歲左右的兒童已能操作六等分的方法，首先用三分法分一個餅，然後將所得的3 塊餅再用二分法。有關兒童在瞭解分數運算前須具備七個子概念為（引自林碧珍，1990）： (一) 除非全體可整除，不然就沒有分數的思考。 (二) 一個分數包含各部份的限定數，分配東西假設為各部份必須與接受者相對應。 (三) 第三個限定分數的特點是徹底的，沒有餘數的。 (四) 在全體被切割成各部份的數與交叉開數之間，有一個固定的關係。 (五) 算術分數的概念包含所有的部分都是相等。 (六) 當兒童操作了再細分的部分概念時，他們了解到分數有一種雙重的特性，他們是原來全體的部份，而且這些部分本身也是自己範圍內的全體。 (七) 因為分數是從全體而來的，其全體始終不變。 15.

(27) 二、異分母分數的加減及分數數線教學異分母分數的加減問題包括了異分母分數的比較、通分及異分母分數的加減法。異分母分數表示其分割數不相同，因此，進行大小比較活動時，須先找出這些分數的共測單位，再進行比較；當學生已有透過「以相同比例圖示兩量」或「透過進行分割來比較分割份數」來尋找異分母分數的共同單位分數的解題經驗後，再從解題過程中引導學生發現，異分母分數共同單位分數的分母會是這些分數分母的公倍數；進而引出通分的用語及意義所在。通分是指把不同分母的分數，化成同分母分數的過程。當兩個或兩個以上的分數的分母相同時，可以直接比較它們分子的大小；但是，當兩個或兩個以上分數的分母不同時，就無法直接由分子決定大小，此時，自然會產生將分母的分數化為同分母的分數的需求。在尋找共同分母的過程中，也必須引導學生看出，這些分數分母的公倍數即是所求的通分後的分母。當學生已有通分活動的經驗，並瞭解通分是有效的解題策略，接著便利用通分的方法來進行異分母分數的加減活動（康軒文教事業，2007）。在分數數線的教學則是透過繪製分數數線，讓學童理解整數、分數在數線上的表示方式，進而引導學童讀出數線上的整數和分數，最後透過讓學童將整數和分數標示在數線上來加強學童分數數線表徵方式的理解與應用。李源順（2005）以數學內容、數學能力與數學威力等三向度架構做為發展同分母真分數四則運算的教學實驗架構，認為應著重情境結構、語意結構、運算結構等數學內容，強調概念性知識、程序性知識與解題性知識等數學能力的培養，以及推理、連結、溝通等數學威力的培養。李源順同時認為在概念性知識方面，應該連結學生的舊經驗，才能夠培養學生類化已習得概念為其它新概念的學習，並培養學生了解如何利用既有概念進行學習新概念的數學推理，連結既有概念與新概念，以及利用既有概念溝通新概念的數學威力；同時，培養學生概念性了解的數學能力。 NCTM (2000)指出在數學知識的學習過程，學生透過各種不同的數學表徵 16.

(28) (如具體物表徵、圖像表徵、口語表徵或抽象符號表徵等)內化知識，並以相同表徵方式呈現出其想法與解法。有關數學學習與解題部分，Behr, Post, & Lesh (1987) 指出五種表徵作用，包括：實物（experience-base scripts）、教具模型（manipulutable models ）、圖形 (picture or diagrams) 、語言 (spoken language) 及符號 (written symbols)，相關的文獻(Willis & Fuson, 1988；Dreyfus & Eisenberg, 1996；Brenner, Herman, Ho, & Zimmer, 1999；Fennell & Rowan, 2001；Cramer, Post & delMas, 2002)強調學生在學習數學概念時必須兼顧各種表徵間轉換及表徵內的相互關係，其數學概念才會穩固。林碧珍提出以數學學習的五種表徵為基礎，以符號表徵和圖形表徵間的轉換探討學童對分數意義的瞭解，張熙明（2004）指出許多研究均認為具體物的表徵以及圖形表徵是發展抽象符號表徵的橋樑。教師如果能夠善用各種表徵方式，運用多重表徵融入分數教學，同時也鼓勵學生利用各種表徵方式表達自己的想法，對於分數學習的成效是很有幫助的。在教育部（2000）的課程暫行綱要提到分數概念的學習，實物情境與具體物操作適合低年級學生，當學生進入高年級以後已可以經由圖像表徵進行學習，而有關分數的圖像表徵表示. Larson及Behr & Post（引自林碧珍，1990）指出有面積(area)、離散量(set)與數線 (number line)三種模式。在解題性知識部份， Thomas(1985)針對整數加減法文字題的語文結構（semantic Structure）進行有系統的分類，計有：併加(combine)包含，改變/合併問題和改變/分開兩種基本型態、改變(change)、比較(compare)、平衡(equalize) 等四種基本的型態。而李源順（2005）歸納指出在四則運算的運算結構方面可以分為被加(減)數未知、加(減)數未知、以及和(差)數未知。而程序性知識部份，在我國九年一貫課程綱要數學領域(教育部，2003)提到數學運算或計算並不只是機械式計算操作而已。所謂能熟練數學的運算或計算，係指在能夠理解數學概念或演算規則的情況下，所進行的純熟操作。這種透過理解並能將觀念與計算結合的能力，才是演算能力。某類型數學問題演算的純熟，常能同時促使新舊數學觀念的連結與落實。演算亦是學童獲得新數學經驗的方法，新的經驗 17.

(29) 將會再形成學生下一階段新主題學習所需的具體經驗。. 綜合上述文獻，本研究之異分母分數的加減及分數數線的教學架構如下：教材內容涵蓋複習舊概念－利用擴分、約分求等值分數和通分、異分母分數的大小比較、異分母分數加法、異分母分數減法、異分母分數加法或減法混合的兩步驟問題及分數數線等七個活動；在教材的呈現方式兼顧面積、離散量與數線三種圖像表徵。此外透過媒體設計，以電腦模擬的方式，提供視覺化工具，增加學童在實物、教具模型、圖形、語言及符號之間的相互連結，使學童能使用分數概念來理解分數加減的結果；教材的文字題設計包含併加(combine)、改變(change)、比較(compare)、平衡(equalize)四類問題，並在強化學生的概念理解基礎下加強其演算的能力，以達到穩固學童分數概念的效果。. 18.

(30) 第二節異分母分數的加減及分數數線錯誤類型假若一個國小學童的分數概念無法正確的建立，將無法進行其他相關概念的學習。而學生的四則運算能力是所有計算能力的基礎，學生若未能具備熟練的運算能力，也將會在未來數學學習上產生無比的挫折（林碧珍，1990；呂玉琴，1991； Niemi, 1994；劉秋木，1996）但是由於分數概念是一個在問題情境中兼具多重意義的數學概念，在日常生活中常呈現不同的面貌，造成學童在學習時的困擾很大，同時，分數計算也因為分數概念的難以理解，被強迫以機械式的方式使用算則進行解題，而不懂其意義，增加學習上的困難。從德國人若遭遇到困難時，便說是「如墜入分數之中」，就可以知道分數學習的困難程度，這些學習困難造成學童產生許多的錯誤或迷思概念（湯錦雲，2002）。湯錦雲（2002）彙整國外多位學者所提出錯誤概念產生的主要原因有七種： 1、與生俱來；2、從日常生活而來的；3、從隱喻而來的；4、從類比產生的；5、來自同儕文化；6、正式或非正式的教學；7、字義的聯想、混淆、衝突或缺乏知識。Troutman ＆ Lichtenberg(1982)則認為導致學生學習分數困難的原因是由於學生對分數的意義不了解、不會使用等值分數的規則或應用公分母、分數轉換成假分數以及對分數計算規則的不清楚。錯誤類型通常是指學生在解題的過程中，所產生的系統性錯誤，本研究中之錯誤類型係指學生在解決國小數學領域「異分母分數的加減及分數數線」範圍中，可能發生的錯誤，根據文獻探討（如表 2-2-1）發現，國小學童在學習此部份運算時容易產生的錯誤類型可歸納為以下幾類，如表 2-2-2 所示：. 19.

(31) 表 2-2-1 異分母分數的加減及分數數線常見之錯誤類型研究者及年代. 研究主題. 概念. 錯誤類型. 以貝氏網路為基礎之能力指標測驗編製及補救教學動畫製作-以五年級數學領域分數相關指標為例. 加減法. 1.未通分，直接將分子與分母分別相加減。 2.找出公分母，分子沒有擴分就直接加減。. 比大小. 1.未通分，直接用分子或分母比較大小。 2.找出公分母，分子沒有擴分就直接比較大小。. 找公分母. 1.無法正確找出公分母。. 國小學生在等值分數上的表徵轉換表現. 等值分數. 1.以錯誤的乘法性關係來解決等值分數符號轉換的問題(尤其是四年級佔23.3％) 2.以加法性的關係來解決等值分數符號運算問題 3.以分子分母的符號來做答的學生則是第三種主要錯誤類型. 國小六年級學童異分母分數合成之解題研究. 加法. 1.計算過程中，分子相乘，分母相加 2.計算過程中，分子相加，分母相乘 3.計算過程中，分子相加，分母也相加 4.計算過程中，分子相加，分母則不管. 呂玉琴國小學生的分數（1991 概念；、1991a）影響分數二分之一概念的因素. 比較大小. 1.依據分子或分母的大小來比較 2.將分子、分母同加一數來比較。 3.分別比較二個分數的分子、分母. 數線上報讀分數. 受「部份/整體」概念的影響，沒有注意單位的標示. 詹婉華（2003）. 國小高年級學童分數概念之探究. 加、減法. 1.分母相加減，分子相加減來計算. 張熙明（2004）. 國小五年級學童分數表徵教學之研究. 比較大小. 1.以分母大小來比較 2.以分子的大小比較. 郭伯臣和施淑娟（1995）. 從試題特徵曲線到概念影響曲線. 加法. 1.分子加分子，分母加分母 2.加法計算錯誤 3.進行帶分數加法運算時省略整數 4.異分母相加時，分子×分子，分母×分母 5.異分母相加時，分母找大數當分母，分子相加 6.以最小分數當公分母，但分子相乘 7.將全部數字相加，得到一個整數. 吳仁奇（2005）. 林芳玉 (2003). 黃權貴（2003）. 20.

(32) 表 2-2-1 異分母分數的加減及分數數線常見之錯誤類型（續）研究者及年代劉天民（1993）. 研究主題高雄地區國一學生數學整數與分數四則運算錯誤類型之分析研究. 概念. 錯誤類型. 加、減、 1.學生在處理通分的問題時，常將分子計算錯誤比較大 3 1 3 1 1 + 2 =1 + 2 小 4 5 20 20 2.學生在進行分數的四則運算時，各自對分子，分母及整數分開進行計算 3.直接計算的錯誤（省略 0） 3 1 3 3 0 -1 = - = = 3 5 2 5 2 3 4.學生在處理帶分數化成假分數的問題時，常將. 分子計算錯誤 2. 2 4 = 3 3. 楊壬孝（1987）. 國中小學生分數概念的發展. 標分數. 受語言順序的影響：將五分之三標在 5 後面的第三小格. 楊壬孝（1988）. 國中小學生分數概念的發展. 比大小. 指認單位量有困難：不同單位量中，較小分數所佔的量可能比較大分數所佔的量多. 陳和貴（2002）. 國小五年級學童分數概念學習表現及易犯錯誤類型之比較研究~以屏東縣多元文化族群為例. 比較大小. 1.只根據分子或分母大小來作判斷依據 2.分別比較兩個分數的的分子、分母 3.指認單位量有困難。學生不了解在不同的單位量中，較小分數（如 1/4）所占的量可能比另一不同單位量中較大分數（如 1/2）所占的量多。. 將數線上的點表示分數（讀分數）. 1.未能考慮分數與整數在數線上的相對位置。 2.未能考慮分數間的相對位置 3.未知點位於哪兩個整數之間，就以這兩個整數當成分子、分母的值 4.以數線全長當一單位，利用「部分/全部」的概念在數線上表示分數，未把分數當成一個數值。 5.以數線全長當一單位，且從 0 左邊第一格數起 6.以數線全長當一單位 7.忽略數線上的參考值，以特定的長度作為 1 單位 21.

(33) 表 2-2-1 異分母分數的加減及分數數線常見之錯誤類型（續）研究者及年代陳和貴（2002）. 研究主題國小五年級學童分數概念學習表現及易犯錯誤類型之比較研究~以屏東縣多元文化族群為例. 概念標分數. 解文字題 Tatsuoka (1984) Painter (1989). 加法 ☉Analysis of Error in Fraction Addition and Subtraction Problem. Final report 減法 ☉A comparison of the procedural error patterns, scores, and other variables, of 減法－ selected groups of university and 帶分數 eight-grade 化為假 students in 分數 Mississippi on a test involving arithmetic 減法－ operation on 向整數 fractions 借位的問題. 錯誤類型 1.以分子和分母的數字為界限，取其中的範圍當作答案 2.未具「分數是數」的概念，誤將分數視為線段長 3.忽略數線上原給定的參考值，而以分母（或分子）為依據。 4.將數線全當作 1，受「部分/全體」概念影響 5.將數線每一單位長分成 10 等分，然後以分子為依據，例如將 3/5 標在第三格的地方 1.不瞭解題意 2.對於單位的疏忽 3.缺乏判別多餘數字的經驗和能力 1.分子加分子，分母加分母 2.求出公分母後放在分母，而分子為原分子相加 3.分母相乘，分子相加 4.分母相乘，分子相乘 1.通分後，分子為大數減小數 2.分母減分母，分子減分子，而且是大數減小數 3.求出公分母後放在分母，而分子為原分子相減 1.整數乘以分子。8. 2 16 = 5 5. 2.分母不變，分子為原帶分數的整數、分子及分母之和。5. 7 20 = 8 8. 1.從整數所借的 1，直接在分子加 10 2.借位時，將原整數部分加到分子去 3.向整數借 1 時，最後計算時卻忘了減 1. 22.

(34) 表 2-2-1 異分母分數的加減及分數數線常見之錯誤類型（續）研究者及年代吳相儒（2001）. 湯錦雲（2002）. 研究主題. 概念. 運用國小數學科「分數」教學模組實施診斷與補救教學之研究-以國小四年級學童為例. 加法－假分數化為帶分數. 國小五年級學童分數概念與運算錯誤類型之研究. 減法. 比大小. 錯誤類型受到整數十進位位值概念的干擾，如 15/8= 1. 5 8. 以分子或分母的大小做為判斷分數大小的依據 1.把帶分數化成假分數計算錯誤： 5. 2 52 = 5 5. 2 運算符號的錯誤 3.借位的錯誤 4.計算錯誤：分子減錯或整數部份計算錯誤 5.被減數的分子與減數的分子倒置計算 3 9 6 5 - =5 8 8 8 6.答案忘了寫上整數部份. 7.減數的整數部份用減法計算，真分數部份不 2 3 2 減： 5 - 3 = 2 5 5 5. 加法. 1.通分後，分子加分子計算錯誤 2.假分數化成帶分數發生錯誤： 6. 9 1 =6 ； 8 8. 3 2 13/8= 1 ；13/3=4 8 3. 比大小. 正整數的類推：以分子或分母的大小做為判斷分數大小的依據. 讀分數. 1.將「整條數線」當成「1 個單位長」，整條數線有 8 小格，第 1 小格標 1/8 1 1 2.忽略數線上的參考值，將 1 讀成 4 4 3.把數線「分割點」當成是「間隔數」 4.「把數線左端的整數」或「單位段」當分母 5.十進位系統類推：0 與 1 之間可以分成 10 格，所以第一小格就是 1/10. 23.

(35) 表 2-2-1 異分母分數的加減及分數數線常見之錯誤類型（續）研究者及年代湯錦雲（2002）. 研究主題國小五年級學童分數概念與運算錯誤類型之研究. 概念標分數. 錯誤類型 1. 單位量指認錯誤：把 1 大格（1 個單位量） 1 當成 1 小格（1/3 個單位量），1 等於 4 3 份 1/3，總計 4 大格；把「0 到 2 的距離」 1 1 當作單位長度，把 1 標在 2 的位置上； 3 3 把「每個單位量」當成 1/3，把 3/5 標在 5 的位置上 1 2. 受語言順序的影響：將 1 標在 3 後面的第 3 1 一小格；將 1 認為是從 1 算起的第 3 小 3 格；5/3 就是從 3 算起的第 5 小格 3. 把數線「分割點」當成是「間隔數」 4. 把分數看成 2 個或 3 個數 5. 把分數是「數線上的線段長」當成是「數 1 1 線上的一點」：把 1 標在 1 的位置上 3 6 6. 受讀直式中文順序為「由上而下」的影響， 5 將讀成「五分之三」，因此答案是 5 大 3 格裡的第 3 大格（單位量也指認錯誤）. Behr & Post (1988) 黃馨緯（1995）. Teaching rational number and decimal concepts 國小高年級學童分數數線表示法瞭解之研究. 比較大小. 1. 2. 3. 4.. 讀分數. 1.以數線左端整數為分母、小格數為分子 2.當數線全長>1，以「部份/全部」方式解題，而把全長當作一單位 3.分母等於數線全長的單位數 4.以單位分數數格子 5.以兩端整數當作分子、分母 6.數線上的分割點代替間隔數 7.任意以 10 格為一單位. 24. 將分子、分母同加一數來比較分別比較兩個分數的分子、分母根據分母的大小來比較根據分子的大小來比較.

(36) 表 2-2-1 異分母分數的加減及分數數線常見之錯誤類型（續）研究者及年代. 研究主題. 概念. 錯誤類型. 黃馨緯（1995）. 國小高年級學童分數數線表示法瞭解之研究. 標分數. 1.將單位分數當成進位系統 2.僅以分母找位置 3.僅以分子找位置 4.以分母作為選取單位量的依據 5.將數線全長當成一個單位 6.沒有等分 7.分數位在分子、分母兩數值之間 8.把數線上的分割點代替間隔點. 黃寶彰（2003）. 六、七年級學童數學學習困難部分之研究. 讀分數. 1.忽略參考點 2.將數線全長當作一單位 3.受到整數數線的影響 4.無等分觀念. 減法. 1.分子減分子、分母減分母：7/5-2/3=5/2； 2 2 0 1 - =1 5 3 2 2.忽略分母，直接將分子的值當作是答案 3.帶分數化成假分數時發生錯誤. 文字題. 用錯運算（用加法解減法的題目）會利用正整數的原則，認為數字大的就比較大. Resnick (1987). Learning in school and out. 比大小. Davis (1984). Learning Mathematics: The Cognitive Science Approach to Mathematics Education. 加法－假分數化帶分數. 受過去整數位值概念影響：12/5=1. 2 5. 本研究以上述常見之錯誤類型為依據，並蒐集相關文獻及資料，諮詢專家學者之意見，整理並定義出本研究之錯誤類型，如表 2-2-2 所示，其說明如下。. 25.

(37) 表 2-2-2 本研究之錯誤類型代號錯誤類型 B1. 求等值分數受錯誤乘法性思考影響. B2. 求等值分數及異分母比大小時，分子、分母同加一數其值不變. B3. 求等值分數及異分母比大小直接以原分子、分母進行解題. B4. 不瞭解通分的意義. B5. 不會運用通分解題. B6. 異分母比大小時，直接將分子、分母相加，得到一個整數. B7. 未通分，直接將分子與分母分別相加. B8. 未通分，直接將分子與分母分別相乘. B9. 未通分，分子相加，分母相乘. B10. 未通分，分母找大數當分母，分子相加（減）. B11. 找出公分母，新的分子則是透過同一分數的分子和分母相乘，例如：. B12. 未通分，分母減分母，分子減分子，而且是大數減小數. B13. 找出公分母，分子沒有擴分就直接比較大小或相加(減)。. B14. 通分後，分子為大數減小數. B15. 假分數與帶分數互換時受到整數十進位位值概念干擾的錯誤：. B16. 帶分數化為假分數的錯誤：以整數乘以分子. B17. 加減混合計算時忽略括號優先運算或由左至右的約定. B18. 誤解題意. B19. 缺乏等分的概念. B20. 以兩端整數當作分子、分母；以分子和分母的數字為界限，取其中的範圍當作答案. B21. 將「整條數線」當成「1 個單位長」，利用「部分/全部」的概念在數線上表示分數. B22. 忽略數線上的參考值，而以分子為依據。. B23. 把數線「分割點」當成是「等分段」. B24. 3 2 受語言順序的影響，如將標在 5 後面的第三小格；將 1 認為是從 3 算起的第 2 小格 5 3. B25. 把分數看成兩個或三個數. B26. 2 單位量指認錯誤：如 1 ，「帶分數的整數 1」就是指「數線上第 1 個單位段」，因此 3 2 把 1 標在「0 與 1 之間的單位段的第 2 小格」 3. B27. 受十進位系統類推的影響：將全長當作 1，可以分成 10 格，所以第一小格就是 1/10. B28. 報讀分數時未能考慮分數間的相對位置. 26.

(38) 異分母分數的加減及分數數線之錯誤類型說明如下： (1) 求等值分數受錯誤乘法性思考的影響。說明： Kamii & Clark (1995)提到等值分數涉及「乘法性的思考」（Multiplication thinking），也就是學生能用兩分數分子間與分母間的「比例」概念去決定兩分數的等值關係，換句話說若兩分數等值，則分母間比例的變化和分子間比例的變化必須相等 2 () ，誤認為 ( ) = 3 × 2 = 6 例：求 = 3 15. (2) 求等值分數及異分母比大小時，分子、分母同加一數其值不變說明：以整數系統常用的加法性思考來解題。例：. 6 2 = ，9 - 6 = 3 ⇒ ( ) = 2 + 3 = 5 9 (). (3) 求等值分數及異分母比大小直接以原分子、分母進行解題說明：將整數的觀念過度類推至分數的概念例：因為 19<55，21<77，所以誤以為. 19 55 ＜ 21 77. (4) 不瞭解通分的意義說明：當要將兩個異分母分數化為同分母時，因為個別分數是採用約分或擴分的方法化為某個特定分母之等值分數，所以誤以為此步驟為約分或擴分。 1 1 例：當將和這兩個分數的分母化為相同的步驟時誤以為是擴分或約 7 4. 分。 (5) 不會運用通分解題說明：當比較兩個異分母分數的大小時，誤以為分母不同的分數是無法比較的。 (6) 異分母比大小時，直接將分子、分母相加，得到一個整數 3 5. 說明：認為分數不是一個數(Hart，1981)，如：是3 和5 的組合。例：誤以為. 4 7 4 7 = 4 + 13 = 17 ， = 7 + 9 = 16 ，因為 17＞16 所以＞ 13 9 13 9. 27.

(39) (7) 未通分，直接將分子與分母分別相加說明：將整數的觀念過度類推至分數的概念上，以至於未能將分子與分母作有意義的連結(Behr & Post，1988) 6 2+4 2 4 =1 例：誤以為 1 + = 1 9 + 7 16 9 7. (8) 未通分，直接將分子與分母分別相乘 8 2× 4 2 4 例：誤以為 1 + = 1 =1 。 63 9×7 9 7. (9) 未通分，分子相加，分母相乘 6 2+4 2 4 例：誤以為 1 + = 1 =1 63 9× 7 9 7. (10) 未通分，分母找大數當分母，分子相加（減） 3 5 3+5 8 例：誤算成 + = = 7 4 7 7. (11) 找出公分母，新的分子則是透過同一分數的分子和分母相乘 3 5 3 × 4 5 × 7 12 35 47 例：誤算成 + = + = + = 28 28 28 4 7 28 28. (12) 未通分，分母減分母，分子減分子，而且是大數減小數例：誤算成. 11 9 11 - 9 2 －＝＝ 16 20 20 - 16 4. (13) 找出公分母，分子沒有擴分就直接比較大小或相加(減) 例：誤算成. 11 9 11 - 9 2 －＝＝ 16 20 80 80. (14) 通分後，分子為大數減小數例：誤算成 3. 4 6 28 66 66 - 28 38 －＝3 －＝3 ＝3 。 11 7 77 77 77 77. (15) 假分數與帶分數互換時受到整數十進位位值概念干擾的錯誤例：誤以為. 31 1 ＝3 21 21. (16) 帶分數化為假分數的錯誤：以整數乘以分子 2 16 例：誤以為 8 = 5 5 28.

(40) (17) 加減混合計算時忽略括號優先運算或由左至右的約定 1 5 4 例：求 5 － 2 ＋ 1 ＝( 9 6 6. 5 4 )，因受到 2 、 1 兩數的分母相同，不用 6 6. 5 4 3 1 3 通分即可計算的影響，所以直接先解 2 ＋ 1 = 4 ，再算 5 － 4 。 6 6 6 9 6. (18) 誤解題意說明：因不瞭解題意而誤用加、減法計算 3 3 13 13 例：原題目求 1 ＋ 3 ，誤判題意為求 3 － 1 4 24 24 4. (19) 缺乏等分的概念 1 例：在回答哪一條數線是以為刻度所畫出來的？誤選擇 5. 為答案。 (20) 以兩端整數當作分子、分母；以分子和分母的數字為界限，取其中的範圍當作答案。 (21) 將「整條數線」當成「1 個單位長」，利用「部分/全部」的概念在數線上表示分數 (22) 忽略數線上的參考值，而以分子為依據 2 標在 A 點的位置上 4 A B C. 例：誤將. 0. 1. D 3. 2. (23) 把數線「分割點」當成是「等分段」 (24) 受語言順序的影響， 3 例：如將標在 5 後面的第三小格 5. (25) 把分數看成兩個或三個數說明：缺乏分數是一個數的概念. 29. 4.

(41) (26) 單位量指認錯誤： 2 ，因此例：如 1 ，「帶分數的整數 1」就是指「數線上第 1 個單位段」 3 2 把 1 標在「0 與 1 之間的單位段的第 2 小格」 3. (27) 受十進位系統類推的影響：例：將全長當作 1，可以分成 10 格，所以第一小格就是 1/10 (28) 報讀分數時未能考慮分數間的相對位置例：將全長當作 1，可以分成 10 格，所以第一小格就是 1/10. 30.

(42) 第三節資訊融入教學及其相關因素本節將探討資訊融入教學、資訊素養與學習動機等文獻，期望能導入完整的教學、診斷及補救程序中，相關探討茲分述如下：. 一、資訊融入教學之意義張國恩（2001）指出我國資訊教育的發展是從電腦輔助教學（Computer Assisted Instruction, CAI）起，經由電腦課程的實施，到九年一貫課程中的資訊融入教學，此一發展脈絡正符合現今學習科技（Learning Technology）的發展，也滿足學習觀點的改變。同時，目前的資訊科技應用對教學及學習工具發展更趨結合與重要，其發展趨勢為由電腦輔助教學，資訊素養與電腦技能的訓練，到資訊融入教學。Jonassen 等學者（2000）提出學習資訊科技三個發展階段，依序為「從電腦學（Learning from Computer）」、「學電腦（Learning about Computer）」、與「用電腦學（Learning with Computer）」，恰可對應到我國資訊教育發展分別是電腦輔助教學、電腦課程的實施、與資訊融入教學。張自強（2004）指出自民國90學年度起，階段實施九年一貫課程，資訊教育不再單獨設科，列入六大議題之中，以貫徹未來九年一貫新課程之精神－培養學生具備「運用科技與資訊」基本能力。教育部於90年5月的「國民中小學資訊教育總藍圖」揭露中小學資訊科技融入教學的四大願景，並依據新課程精神，應使用資訊科技為輔助學習之工具，以擴展學習領域，提升學生解決問題的能力，期望運用資訊科技以革新教育環境，提升未來的國際競爭力。王曉璿（2001）指出哥倫比亞大學R. McClintock指出數位圖書館、多媒體及個人資訊處理技術，將使資訊社會的教育有嶄新的面貌。透過資訊科技、數位資源與多媒體呈現等運用，將促使教師和學生的教學與學習產生重大的變革。其中最主要的原因，則是日益翻新的資訊科技。資訊科技是問題解決、合作學習及訊息傳遞的重要媒介工具。資訊科技融入教學活動，並不會造成學習的負擔，反. 31.

(43) 而因資訊科技的導入，使教學更靈活且具吸引力，達到學習的多元化與個別化的目標，提升學習效果。誠如Thomas所說，資訊科技的發展與應用，使過去許多難以呈現的學科教材，或根本不可能呈現的現象，出現新的學習方法和機會，也使學習更為落實。王全世（2002）指出資訊科技融入教學就是將資訊科技融入於課程、教材與教學中，讓資訊科技成為師生不可或缺的教學工具與學習工具，重點在於讓資訊科技的運用成為日常教學與學習活動的一部分，並且能讓教師及學生習慣於使用資訊科技在任何時間任何地點來尋找問題的解答。當資訊科技融入教學後，資訊科技的運用係各領域教學及學習不可或缺的項目，有關電腦的知識與技能等學習不再單獨進行，必需從資訊科技融入教學中獲得。因此，透過課程與教學情境的適當設計及安排，讓學生能及時學到必需的且即用的電腦知識與技能是資訊科技融入教學的最佳途徑，如此不但學生有迫切的學習動機，也可經由「學中做與做中學」，讓學生自然而然地運用電腦這項工具，增進學習效果。. 二、資訊融入教學之範疇與內涵張國恩指出適用於電腦融入教學的教材範圍有抽象化教材、為了引起學生學習動機、自我診斷與自我評量，與需要培育從事實物演練的經驗等。而資訊科技融入教學的重心與焦點應在「教學」而非「資訊科技」，也就是說，資訊科技融入教學並非在其他領域的課程中來上與這個課程無相關的電腦課程，或無助於教學與學習的電腦內容。資訊科技融入教學所強調的是整體的、整合性的，與課程、教學密不可分，若能讓資訊科技的使用成為日常教學與學習的一部分，將資訊科技視為平常教學與學習的工具，這時資訊科技就已經成功地融入教學。邱惠芬（2005）指出資訊融入教學是奠基於圖像對學習重要性的相關論點，其中以雙碼理論最能具體詮釋這種教學方式的內涵。 Paivio(1991)提出的雙碼理論（Dual coding theory），認為人類心智的結構與 32.