1-1-3數與坐標系-平面坐標系

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(1)1-1-3 數與坐標系-平面坐標系【定義】坐標系：在平面上，畫出兩條互相垂直的直線，一條水平（左右延伸），一條鉛直（上下延伸）；交點是原點，水平線是 x 軸，向右為正，向左為負；鉛直線是 y 軸，向上為正，向下為負；再取定一單位長後，使 x 軸、 y 軸成為兩條數線，於是就建立了一個直角坐標系(選取適當的座標系，將幾何的問題用代數的方法來處理)。註： 1. 也有斜角坐標系，極坐標系等。【定義】象限： x 軸與 y 軸（通稱為坐標軸）將平面分割成四個區域，每個區域是一個象限，所以有四個象限，我們由右上方開始，依逆時鐘方向，分別稱為第一、第二、第三、第四象限，並以羅馬數字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ表示。註： 1. 坐標軸上的點不屬於任何象限。【定義】坐標：一個點 P ，若過 P 的鉛直線與軸交於 a ，過 P 的水平線與軸交於 b ，則點 P 的坐標就是 (a, b) 。每一個實數對，都有一個點以它為坐標，換言之，坐標平面上的所有點與所有實數對，形成一對一的對應關係。【性質】一維分點公式：設 A( x1 ), B( x2 ) 為數線上相異兩點，若 P (x ) 為線段 AB 上一點，且滿足 nx + mx2 AP : PB = m : n ，則 x = 1 。 m+n 二維分點公式：設 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 為相異兩點，若 P ( x, y ) 為線段 AB 上一點，且滿足 nx + mx2 ny1 + my 2 AP : PB = m : n ，則 ( x, y ) = ( 1 , )。 m+n m+n 【定義】兩點間的距離：坐標平面上兩點 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ) 的距離 P1 P2 = ( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2 。【定義】直線的斜率： y P (x , y ) 2. P1 ( x1 , y1 ). O. 2. 2. x. 設直線 L 不是鉛直線，若 P1 ( x1 , y1 ) ， P2 ( x2 , y2 ) 是 L 上相異兩點： 1. 當 x1 ≠ x 2 時，.

(2) 則 L 的斜率為 m =. ∆y 鉛直位移 y 2 − y1 = tan θ ( θ 為斜角)， = = ∆x 水平位移 x 2 − x1. 稱為直線 P1 P2 的斜率。 2. 當 x1 = x 2 時，直線 P1 P2 為鉛直線，沒有斜率。註： 1. 斜率的值不因 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ) 的位置不同而改變。【性質】斜率有以下的性質： 1. 當斜率 m = 0 時，表示是水平線 2. m > 0 時，表示由左而右是上升的 3. m < 0 時，表示由左而右是下降的， 4. m 的絕對值愈大，表示愈陡。 5. 直線上的一點在線上往右移動 1 單位時，會上升(當 m > 0 )或下降(當 m < 0 ) | m | 單位。 6. 由斜率的定義可知鉛直線沒有斜率。【性質】直線的平行與垂直：設直線 L1 , L2 的斜率分別為 m1 , m2 ，若 L1 // L2 ，則 m1 = m2 ；反之，若 m1 = m2 ，則 L1 // L2 。證明： y L1. B(1, b) A(0, a ). C (0, c) O. L2. D(1, d ). x. 如圖，設 A(0, a ), B (1, b) ∈ L1 且 C (0, c), D(1, d ) ∈ L2 b−a d −c = b − a, m 2 = 則 m1 = = d −c 1− 0 1− 0 (1)當 L1 // L2 時，直線 AC 與直線 BD 都是鉛直線，故 AC // BD 所以 ABDC 是平行四邊形，對邊等長得 AC = BD ，故 b − a = d − c ，即 a − c = b − d ，亦即 m1 = m2 。. (2)當 m1 = m2 時， b − a = d − c ，即 a − c = b − d ，故 AC // BD 四邊形 ABDC 中， AC 與 BD 平行且等長，故為平行四邊形，因此 L1 // L2 註： 1. 兩直線平行的充要條件為此兩直線的斜率相同或此兩直線都沒有斜率。【性質】.

(3) 設直線 L1 , L2 的斜率分別為 m1 , m2 ，若 L1 ⊥ L2 ，則 m1m2 = −1 ；反之，若 m1m2 = −1 ，則 L1 ⊥ L2 。證明： (1) y L1. L2 B' ' C'. C. B. A. x. O. 如圖， AB 與 BC 分別平行於 x 軸與 y 軸，. BC ， AB ∆AB ' C ' 是 ∆ABC 繞 A 點旋轉 90° 而得， 1 AB' AB =− =− 故 L2 的斜率 m2 = − ， m1 B' C ' BC 由此可得 m1m2 = −1 。 (2) 直線 L1 得斜率 m1 =. L1. y. Q(a + 1, c). P(a.b) R(a + 1, d ) L2. x. O. 如圖，. 如圖，設 L1 , L2 交於點 P(a, b) 且 Q(a + 1, c) 是 L1 上的點， R(a + 1, d ) 是 L2 上的點， c−b d −b 則 m1 = = c − b, m2 = = d −b 1 1 故 L1 ⊥ L2 2. 2. 2. ⇔ PQ + PR = QR ⇔ 12 + (c − b) 2 + 12 + (d − b) 2 = (c − d ) 2. ⇔ 2 − 2bc − 2bd + 2b 2 = −2cd.

(4) ⇔ cd − bc − bd + b 2 = −1 ⇔ (c − b)(d − b) = −1 ⇔ m1 m2 = −1 故得證。【問題】 1. 直線上任取相異兩點所決定的斜率會不同嗎？ 2. 過一點的直線有幾條？ 3. 斜率為某一定值的直線有幾條？ 4. 過一點且斜率為某一定值的直線有幾條？ 5. 如何描述一條直線？【定義】截距：直線 L 與 x 軸交於一點 (a,0) ，稱 a 為 L 的 x 截距；直線 L 與 y 軸交於一點 (0, b) ，稱 b 為 L 的 y 截距。【定義】點斜式：坐標平面上通過點 ( x 0 , y 0 ) 且斜率為 m 的直線，其方程式為 y − y0 = m( x − x0 ) 。斜截式：斜率為 m ， y 截距為 b 之直線方程式為 y = mx + b 。兩點式： y −y 過相異兩點 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ) 之直線方程式為 y − y 2 = ( 1 2 )( x − x 2 ) 。(向量 x1 − x 2 之概念) 截距式： x y 若直線 L 的 x 截距為 α ， y 截距為 β ，且 αβ ≠ 0 ，則 L 的方程式為 + = 1 。. α. β. 參數式： −a 之直線方程式中， v = (b,− a ) 稱直線的方向向量， b ⎧ x = x 0 + bt n = (a, b) 稱直線的法向量，且 ⎨ 稱為直線的參數式。 ⎩ y = y 0 − at. 過點 ( x 0 , y 0 ) ，斜率為 m =. 註：不論各種形式，基本上都是由直線上一點與直線的斜率所決定的。【結論】一般式：坐標平面上，直線的方程式都可表為 ax + by + c = 0 ，其中 a 2 + b 2 ≠ 0 ；反之，當 a 2 + b 2 ≠ 0 ，方程式 ax + by + c = 0 的圖形為一直線。證明： c c (1)當 b = 0 時， a ≠ 0 ，方程式化為 x = − ，故圖形為過點 (− ,0) 的鉛直線。 a a c b c (2)當 b ≠ 0 時，方程式化為 y + = − x ，由點斜式知，圖形為過點 (0,− ) ，且 b a b b 斜率為 − 的直線。 a.

(5) 因此， ax + by + c = 0 (其中 a 2 + b 2 ≠ 0 )，圖形必為一條直線。註： 1. 在坐標平面上，直線的方程式都是二元一次方程式；反之，二元一次方程式的圖形都是直線。【問題】 y − y0 = m 是否有差別？ 1. 試問表示法 ( y − y 0 ) = m( x − x0 ) 與 x − x0 2. 求過點 P ( x0 , y 0 ) 且與直線 ax + by + c = 0 平行的直線方程式？ 3. 求過點 P ( x0 , y 0 ) 且與直線 ax + by + c = 0 垂直的直線方程式？ 4. 兩條直線 L1 : a1 x + b1 y = c1 , L2 : a 2 x + b2 y = c 2 的解的個數與此兩直線的交點數之間有何關係？幾何關係為何？係數關係為何？ 5. 點 P ( x0 , y 0 ) 對於直線 L : ax + by = c 的對稱點如何求？ 6. 三點共線時，此三點坐標之間有何關係？ 7. 三線共點時，此三線係數之間有何關係？【性質】方程組與幾何意義：設直線 L1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 ， L2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 ， ⎧a x + b1 y + c1 = 0 則方程組 ⎨ 1 的解如下： ⎩a2 x + b2 y + c2 = 0 1. 當 a1b2 ≠ a2b1 時， L1 , L2 交於一點，方程組有唯一解，稱為相容方程組。 2. 當 a1b2 = a2b1 ，且 b1c2 ≠ b2 c1 時， L1 , L2 平行，方程組無解，稱為矛盾方程組。 3. 當 a1b2 = a2b1 ，且 b1c2 = b2 c1 時， L1 , L2 重合，方程組有無限多解，稱為相依方程組。【公式】二元一次方程組： ⎧ a1 x + b1 y = c1 ⋅ ⋅ ⋅ (1) ⎨ ⎩ a 2 x + b2 y = c 2 ⋅ ⋅ ⋅ ( 2). 使用代入消去法解之得 ⎧ (a1b2 − a 2 b1 ) x = (c1b2 − c 2 b1 ) ⎨ ⎩(a1b2 − a 2 b1 ) y = (a1c 2 − a 2 c1 ) c1b2 − c 2 b1 ⎧ ⎪⎪ x = a b − a b 1 2 2 1 當 a1b2 − a 2 b1 ≠ 0 時，解得唯一解 ⎨ 。 a1c 2 − a 2 c1 ⎪y = ⎪⎩ a1b2 − a 2 b1 【定義】為了簡化過程與符號，我們引進二階行列式。 a b 當 a, b, c, d 為 4 個實數，則稱為二階行列式，它的值為 ad − bc 。 c d 有了行列式的符號 ⎧ a x + b1 y = c1 ⋅ ⋅ ⋅ (1) 此時方程組 ⎨ 1 的解 ⎩ a 2 x + b2 y = c 2 ⋅ ⋅ ⋅ ( 2 ).

(6) 當∆ =. a1. b1. a2. b2. ≠ 0時. a b1 c b1 a c1 ⎧∆ ⋅ x = ∆ x 可表為 ⎨ ，其中 ∆ = 1 ，∆x = 1 ，∆y = 1 。 ∆ ⋅ = ∆ y a b c b a c y 2 2 2 2 2 2 ⎩ 【討論】二元一次方程組解及其幾何意義： ∆ ∆y 1. 當 ∆ ≠ 0 時，方程組有唯一解 ( x, y ) = ( x , ) ，此稱為克拉瑪公式。以幾何 ∆ ∆ 意義表示即為兩直線不平行也不重合，也就是恰有一交點。 2. 當 ∆ = 0, ∆2x + ∆2y ≠ 0 時，方程組有無解，表示這兩個直線平行。. 3.. 當 ∆ = ∆ x = ∆ y = 0 時，方程組有無限多解，表示這兩個直線重合。. ∆≠0. 解個數唯一解 ∆ ∆y ( x, y ) = ( x , ) ∆ ∆. 幾何意義. 交點數. 係數. 兩相交直線. 一個. a1 b1 ≠ a 2 b2. ∆ = 0, ∆2x + ∆2y ≠ 0. 無解. 兩平行直線. 無. ∆ = ∆x = ∆y = 0. 無限多解. 兩重合直線. 無限多個. a1 b1 c1 = ≠ a 2 b2 c 2 a1 b1 c1 = = a 2 b2 c 2. 【定義】三角形的心：設 ∆ABC 的三頂點坐標為 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), C ( x3 , y 3 )，則 ∆ABC 的各心定義如下： 1. 重心：三中線交點，將三角形的面積六等分， x + x 2 + x3 y1 + y 2 + y 3 坐標為 G ( 1 , )。 3 3 註：利用兩次分點公式可以得證。 2. 內心：三內角平分線交點，或內切圓圓心，到三邊等距離， ax + bx 2 + cx3 ay1 + by 2 + cy3 坐標為 I ( 1 , )， a+b+c a+b+c 其中 a, b, c 依序為 ∠A, ∠B, ∠C 的邊長。註：利用兩次分點公式可以得證。 3. 外心：三中垂線交點，到三頂點等距離。 4. 垂心：三邊的高之交點。 5. 旁心：兩外角平分線與一內角平分線之交點，共有三個。.

(7) 尤拉(Euler)線： ∆ABC 的垂心 H 、重心 G 、外心 O 三點共線，並稱為尤拉線。 A. H. G. O. B. C. 【性質】直線系：給定兩條直線 L1 : a1 x + b1 y = c1 , L2 : a 2 x + b2 y = c 2 ，交點為 P ( x0 , y 0 ) ，則過 P ( x0 , y 0 ) 點的任意直線可以表示成為 m(a1 x + b1 y − c1 ) + n(a 2 x + b2 y − c 2 ) = 0 的形式，一般簡化成為 (a1 x + b1 y − c1 ) + k (a 2 x + b2 y − c 2 ) = 0 之型式。.

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