國立臺中教育大學幼兒教育學系碩士班
碩士論文
指導教授：魏美惠博士
幼兒教師實施數學遊戲活動之歷程探究
研究生：林瑩惠 撰
中華民國一百年七月
謝誌
從尋找題目開始就是三心二意、猶豫不決，一直到完成論文甚至最後辦理離 校都讓我的恩師魏美惠老師操心了，感謝您包容我至極、為我指引方向，感謝您 在百忙之中耐心批閱，感謝您很了解我那善待自己的壞毛病，總是用特殊的方式 提醒我、督促我，讓我積極振作，所幸我遇到了您，如今才能順利畢業，真的很 謝謝您。 在此也要特別感謝兩位師長邱淑惠老師與江麗莉老師不辭辛勞擔任我的口 委，您們親和溫柔的指導，讓我印象深刻，細心地幫我找出盲點、提供寶貴建議， 讓我的論文臻於完善，非常謝謝您們。 此外，要感謝我的幼教搭檔王淑麗老師，謝謝您容忍我因研究所帶來的不 便，總是配合我的研究需要並給予支持。而我最愛的爸爸、媽媽、大哥、大嫂總 是當我的強力後盾，在我壓力大、身心虛弱時給我鼓勵、為我煲湯補充體力，未 來的孝親費一定讓您們滿意。 當然親愛的同學婷媛和可愛的學妹郁雯謝謝你們總是不厭其煩地幫我解決 問題，還有讓我研究生活充滿樂趣的好同學們靜茹、蒨蓉、燕惠、思騏、佩茹、 小猴、小曼與大學老友宜芳、小花、曉琪，謝謝你們為我打氣。尤其是善良有智 慧的宜芳謝謝你經常忍受我三不五時的騷擾，不僅陪著我思考論文的問題、給我 很棒的建議，更是我工作與感情的軍師，連我身邊朋友的問題也麻煩你，真的感 謝有你。另外，不能忘記我那 13 位可愛的孩子們，有你們的參與讓我的研究之 路走得更有趣。最後，仍要感謝所有曾經陪伴支持我的朋友們，謝謝大家！ 瑩惠 謹誌 2011.07.11I
幼兒教師實施數學遊戲活動之歷程探究
林瑩惠
摘 要
本研究旨在探討幼兒教師規劃與施行一系列多元、有趣的數學遊戲活動之歷 程，並探究幼兒在數學遊戲活動過程中的學習經驗與參與態度，從中歸納分析教 師施行數學遊戲活動之困境與解決策略，及教師獲得的專業成長。本研究採質性 研究，研究者規劃十週共計三十次的數學遊戲活動，且透過錄影、觀察、訪談、 學習單等文件蒐集 13 位大班幼兒之學習歷程資料，進而加以詮釋與分析，最後 根據研究結果提出合理性的結論與建議。本研究結論如下： 一、教師規劃遊戲式的數學活動能讓孩子在遊戲中學數學、培養對數學的興趣 幼兒透過遊戲化、具體化、循序漸進與型態多元的數學遊戲活動學數學，增 進幼兒對數學學習的興趣。 二、數學遊戲學的不只是數學，而是多元能力的增長 數學遊戲帶給幼兒的學習，不僅在數學能力的增長，還包括同儕合作能力、 問題解決能力、建立遊戲規則、創造遊戲等能力。 三、教師從數學遊戲實驗活動的歷程中獲得專業成長 研究者身為幼兒教師，在研究歷程中除了對於數學遊戲活動的規劃能力有所 成長外，也較能掌握幼兒數學能力的發展，學習面對問題、思考解決策略，進而 獲得各方面專業的成長。 關鍵字：質性研究、幼兒教師、數學遊戲II
Investigation on the Process in which Kindergarten Teacher
implements Mathematical Plays and Activities
Ying-hui Lin
Abstract
The aim of the research is to investigate the process in which kindergarten teacher planned and implemented a series of comprehensive and interesting mathematical plays and activities. The learning experiences and participating attitudes of kindergarten children during the mathematical plays and activities were also investigated. The difficulties and solving strategies the teacher encountered and applied while implementing the mathematical plays and activities were analyzed and concluded. Moreover, the teacher’s professional development was also analyzed. Qualitative research was applied. A 30-session mathematical plays and activities that lasted 10 weeks were planned. The learning portfolio data of 13 senior kindergarten children were collected through video recording, observation, interview and learning charts. The data were interpreted and analyzed. Reasonable conclusions and suggestions were proposed based on the research results. The results of the research were:
1. Through the mathematical plays and activities planned by the teacher, children could learn mathematics while playing games and train their interests in mathematics.
Learning mathematics by means of various mathematical plays and activities that were specific and step-by-step would increase children’s interests in learning mathematics.
2. Mathematical plays are not just the learning of mathematics, but also the improvement in multiple capabilities.
As well as improving the mathematical ability, the learning brought by mathematical plays for children included peer cooperation ability, problem solving ability, ability to establish rules in plays and ability to create plays.
3. Professional development was obtained by the teacher from the process of designing and implementing the experimental activity of mathematical plays. The researcher is a kindergarten teacher. In addition to improving the ability for planning mathematical plays and activities, the development of children’s
III
about solutions were learnt and overall professional development was in turn obtained.
IV
目 錄
中文摘要………..Ⅰ 英文摘要………..Ⅱ 表次……….…….Ⅵ 圖次………...Ⅶ第一章 緒論……….………..…...1
第一節 研究背景與動機………1 第二節 研究目的與問題………5 第三節 名詞釋義………6 第四節 研究限制………7第二章 文獻探討………9
第一節 幼兒數概念的內涵與發展………9 第二節 幼兒數學的學習方法………..20 第三節 幼兒數學與遊戲之關係………..32 第四節 幼兒數學相關研究………..39第三章 研究設計與實施………..47
第一節 研究方法………..……47 第二節 研究場域與對象選擇………..49 第三節 研究工具與研究程序………..54 第四節 資料整理與分析………..57 第五節 研究信度與效度………..63第四章 研究結果與分析………65
第一節 幼兒數學遊戲活動規劃...65 第二節 幼兒數學遊戲活動學習歷程………..87V 第三節 教師教學困境與解決策略及教師專業成長………128
第五章 研究結論與建議...139
第一節 研究結論………139 第二節 研究建議………144參考文獻………147
一、中文部份………..147 二、西文部份………..152附錄
………153
附錄一 家長同意書………153 附錄二 家長回饋單………154 附錄三 「數字比大小」概念遊戲活動………..155 附錄四 「十的合成與分解」概念遊戲活動………..156 附錄五 「數字關係」概念遊戲活動………..158 附錄六 「加法」概念遊戲活動………..161 附錄七 「加法與減法」概念遊戲活動………162 附錄八 「減法」概念遊戲活動………163 附錄九 綜合活動─「超級購物遊戲」………164 附錄十 綜合活動─「夜市遊戲」……….165 附錄十一 雪花片分兩堆紀錄表………..166 附錄十二 小天使銀行存款簿………..167 附錄十三 打彈珠遊戲計分表………..168 附錄十四 學習單「我的菜單」………..169 附錄十五 學習單「十的合成與分解」………170 附錄十六 學習單「數字關係」………..171 附錄十七 學習單「花辦湊數」………..172VI
表次
表 2-4-1 國內近五年幼兒數學教育相關研究摘要表……….40 表 3-2-1 小樹班一週作息表……….51 表 3-4-1 數學遊戲活動過程錄影細目表……….57 表 3-4-2 觀察紀錄實施細目表……….59 表 3-4-3 數學遊戲活動學習單使用之內容、日期………..59 表 3-4-4 訪談時間紀錄表……….60 表 3-4-5 逐字稿資料標記……….62 表 3-4-6 文件資料編碼……….62 表 4-1-1 實際活動進行概要……….70 表 4-3-1 原先的存款簿格式………...134 表 4-3-2 修正後的存款簿格式………...134VII
圖次
圖 2-1-1 「數」的學習內容網……….10 圖 3-2-1 教室環境平面圖………...50 圖 3-3-1 研究流程圖………...56 圖 4-1-1 研究歷程概要………...66 圖 4-1-2 數學遊戲活動概念網………...68 圖 4-1-3 數字找朋友遊戲過程………...73 圖 4-1-4 記憶翻牌遊戲過程………...74 圖 4-1-5 撿紅點遊戲過程………...74 圖 4-1-6 彈珠遊戲過程………...75 圖 4-1-7 釣魚遊戲過程………...76 圖 4-1-8 跳格子紙盤遊戲紙………...76 圖 4-1-9 小組進行跳格子紙盤遊戲………...76 圖 4-1-10 跳格子比賽 1………...77 圖 4-1-11 跳格子比賽 2………...77 圖 4-1-12 數學遊戲活動使用教具教材圖表……….78 圖 4-1-13 123 小方塊具………...82 圖 4-1-14 小方塊排一排遊戲……….82 圖 4-1-15 買賣遊戲 1~3………...83 圖 4-1-16 數字翻牌遊戲過程……….84 圖 4-1-17 數盤遊戲……….85 圖 4-1-18 翻牌湊湊樂……….85 圖 4-2-1 幼兒合作創造圖形……….91 圖 4-2-2 幼兒共同合作準備遊戲……….92 圖 4-2-3 黑白子大戰 1……….96VIII 圖 4-2-4 黑白子大戰 2……….96 圖 4-2-5 幼兒加入的新遊戲………...98 圖 4-2-6 撿紅點遊戲………...99 圖 4-2-7 買賣類型遊戲活動圖表……….101 圖 4-2-8 學習單「我的菜單」幼兒作答結果人次圖………107 圖 4-2-9 估計棋子將走到哪一格?...110 圖 4-2-10 S1 當老闆找錢給 S9………...112 圖 4-2-11 存款簿範例 1……….113 圖 4-2-12 存款簿範例 2……….113 圖 4-2-13 銀行員 S3 為客人 S5 登記存款簿……….114 圖 4-2-14 學習單「十的合成與分解」幼兒作答結果人次圖……….116 圖 4-2-15 學習單「數字與 5 的關係」幼兒作答結果人次圖………117 圖 4-2-16 數字「7」關係網絡……….118 圖 4-2-17 數字「8」關係網絡………118 圖 4-2-18 數字「9」關係網絡………..119 圖 4-2-19 數字「10」關係網絡………119 圖 4-2-20 學習單「花瓣湊數」幼兒作答結果人次圖………119 圖 4-2-21 用數盤討論計算魚的金額………...122 圖 4-2-22 數盤教具………...122 圖 4-2-23 請幼兒對相同的金額發表不同的錢幣組合方式………...…123 圖 4-2-24 S10 和 S12 一起當老闆幫小朋友換錢……….124 圖 4-2-25 S12 發表自己數錢的方法……….126 圖 4-2-26 S3 幫幼兒數錢做紀錄………...…126
1
第一章 緒論
本研究旨在探討幼兒教師設計規劃一列數學遊戲活動之歷程，並透過 數學遊戲活動探究幼兒的學習經驗與參與態度，分析說明教師施行教學活 動所遇到的困境與解決策略，及教師從中獲得的專業成長。本章共分四 節，分別為第一節研究背景與動機、第二節研究目的與問題、第三節名詞 釋義、第四節研究限制等，依序論述如下。第一節 研究背景與動機
數學能力是人們面對生活需要的基本能力，也是適應社會各種競爭與 挑戰之基礎。美國政府將數學教育列入國家級教育政策中，且視人民的數學能 力為 21 世紀國際競爭力關鍵之一。在英國，數學教育是一項受到熱烈討論的話 題，尤其當英國孩子的數學能力較其他國家遜色時，政府當局與企業雇主擔憂著 並努力尋找解決方法（詹勳國譯，2003）。我國九年一貫課程綱要數學學習領 域（2003）中亦明確指出數學被納入國民教育的基礎課程之重要因素包含數 學能力是國民素質的一個重要指標、數學具有學習基礎科學的工具性特質。 在幼教階段，美國數學教師協會（Nationl Council of Teachers ofMathematics，簡稱 NCTM）於 2000 年正式將幼兒數學教育納入學校數學標準與 原則，強調應培養兒童數學溝通、推理與思考等能力，做為未來學習的基礎能力。 此外，美國國家科學學會出版社（The National Academies Press）於 2009 年出版 之書籍「早期兒童階段的數學學習：邁向卓越與公平」，在書中更是呼籲幼兒數 學學習能做為提升人民科技與科學素養的基礎。在國內，教育部頒定之幼稚園課 程標準（1987）已將數學列於常識領域內，重視培養幼兒數、量、形概念，希望 幼兒能具有簡單的數學運用能力。在暫行版之幼兒園教保活動與課程大綱中，數
2 學歸屬於認知領域中，數學能做為解決問題與他人溝通合作等基礎能力。再者， 國內教育學術界也相當致力於幼兒數學教育，如在我國教育大學幼教系課 程內容大多包含數學教材教法，且坊間也出版多元廣泛的幼兒數學教育相 關書籍。學者曹雅玲（2004）亦指出幼兒數學教育具有兩方面的價值，其一是 促進幼兒的抽象邏輯思維，數學是一種抽象的邏輯思考，學習數學即是邏輯思維 的建立；其二為培養幼兒解決問題的能力，尤其是運用數學解決生活中的問題； 邏輯思考與解決問題能力影響著日常生活，使人們遇到問題時能有條理地釐清問 題本質，清晰的闡述自己的觀點，並運用所學的數學知識與經驗做出適當的判 斷，做出合宜的行動（鄭景俗、楊欣怡，2009）。因此，幼兒數學教育受到國內 外政府當局與教育學界的重視，且幼兒數學教育帶來的價值，更為打造日後學習 的基礎，同時是人們應變生活所應具備的基本能力。 從國內的教育現況來看，在升學主義的影響下，數學是自小學到高中 一門重要學科，且家長對孩子的數學成績相當關切，紛紛為孩子選擇數理 補習班給予加強，目的在期望孩子考出理想的成績。此外，家長對幼兒數 學能力的建立，同樣偏好送幼兒上心算補習班或功文數學，或期望幼稚園 經常給予幼兒做數學作業，學習重點在於計算能力的純熟與否，因此在幼 教現場中，數學教學內容經常為配合家長的要求而以加強數字的讀、寫、 算能力為主（陳琇珍，2006），學習內容無法與幼兒生活經驗聯結，教學 以反覆練習、不斷記誦的方式，學習途徑缺乏變化，學習過程枯燥乏味， 經常忽略學習者是否已將知識充分理解，及對數學興趣的啟發，並影響孩 子數學學習的經驗感受與對數學的學習態度。 孩子的數學學習經驗、學習態度、學習動機與學習成就是彼此環環相扣、互 有關聯性。國外學者 Knaupp（1973）指出學習態度的形成深受兒童早期學 校生活的影響，兒童早期的數學活動經驗會影響日後對數學的喜好程度， Norman（1977）研究數據顯示自小學二年級至大學階段喜好數學的程度呈 遞減趨勢（引自許惠欣，1992）。國內早期的研究中也可發現類似的情況，
3 鍾靜（1991）表示多數學生認為數學是一門困難的科目，對數學產生焦慮、 學習意願低落，並隨著年級的增加，學生越不喜歡數學，面對數學時越感 懼怕。然而，近年也有許多研究指出國中小學生數學學習態度、動機與數 學成就具有相關性，且態度積極、學習動機強者，數學成就較高（鄭景俗、 楊欣怡，2009；卓思廷，2008；林承德，2003；吳淑珠，1998）。此外， 多數學生由於學習過程經歷的挫敗感，產生對數學的恐懼，而阻礙其數學 能力的表現，使其對於踏入以高等數學為基礎的科技行業意願不高（許惠 欣，1992）。由此可見，數學學習態度與動機將影響著學習成就，甚至可 能關係到學生對未來職業的選擇。因此，兒童應於早期培養良好的數學學習 態度，給予愉快地學習經驗以避免日後產生反感。 因此，幼兒教師對於培養孩子良好的數學學習經驗與態度應有積極作為，幼 兒數學教學方法相當多元，教師應掌握教學原則即強調數學的學習生活化、 遊戲化、具體化等（周淑惠，1999；曹雅玲，2004），讓幼兒能主動積極探索 數學的奧妙，培養對數學的學習興趣。周淑惠（1999）並指出引起幼兒學習數學 的興趣以遊戲化的教學是最直接的方式。黃瑞琴（2009）也主張幼兒教師在引導 幼兒進行預先計畫之分組和團體活動時，可規劃為各種愉悅的遊戲教學活動，吸 引幼兒積極參與學習，增進各種能力。因此，遊戲在幼兒的學習過程扮演重要角 色，從遊戲中可以激發幼兒的學習興趣，而興趣是學習的動力，讓孩子主動積極 投入學習中，學習更具意義與效果。此外，從建構理論之主動原則來看，主 動原則意指知識的形成應由學習者本身主動構築而來，而非被動地吸收知 識，應用在教育上，教師則應協助學生主動參與知識的建構，讓學生在對 話、運思與合作學習的社會互動過程中產生學習（詹志禹，2002）。因此， 在幼兒數學的學習上，教師應營造主動、建構、合作學習的學習情境，並 在孩子主動探索過程中引導其進入更高層次的學習，使幼兒從過程中思 考、嘗試、驗證而獲得概念，並運用於生活實際情境中。由上所述，幼兒 數學的學習適宜採遊戲的方式，引發幼兒對數學好奇感興趣，產生學習動機自然
4 地就會主動探索、思考與行動，輔以教師的引導使其能在許多的活動過程中 思考與運用數學，進而逐步建構數學概念與培養良好的學習態度，此為教師 在數學教育上能努力的方向。 研究者本身為幼兒教師，平日在幼稚園裡觀察發現，許多的數概念在日常活 動與遊戲中能察覺。尤其是「數字」的運用，如幼兒號碼普遍使用於教室中的各 項事物，包括個人物品的編號、晨間點名、作品作者的標示等，另外許多的學習 區活動與數學概念相關，如積木區的積木建構、益智區的拼圖遊戲與扮演區的買 賣活動等，這些經驗都是幼兒自然而然與數學接觸的機會，並能從中建構相關數 概念。然而，傳統的數學教學著重在計算能力上，且往往孩子在尚未了解數學的 功用與趣味，以及獲得基本數概念前，就要求孩子直接進入正式的數學運算，這 樣的學習過程實為不妥。因此，幼兒在進入正式的運算前，讓幼兒先行探索數字， 認識數字間的關係，如發現每個數字順序、大小、數字間的差距等，以及了解數 字的整體與部份之關係（周淑惠，1996）。 綜上所述，身為幼兒的教師，應了解幼兒數學的學習，並提供學習環境與機 會讓幼兒培養數概念，教師亦可積極營造學習情境，透過各類數學遊戲引起幼兒 學習興趣，使其透過具體操作、實際活動探索、思考數學，並讓幼兒先充分地了 解數字關係後，再逐漸建立數字運算與估算的能力。此外，教師能經由設計數學 遊戲與實施的過程，將理論與實務做結合，不斷地檢討反思，而進一步探討幼兒 對數學遊戲的興趣、學習經驗與教師所獲得的專業成長。因此，本研究以幼兒教 師與研究者個人任教班級之大班幼兒為研究對象，分析說明幼兒教師實施數學遊 戲活動之歷程，並透過提供幼兒多元的數學遊戲活動與具體實物操作，了解幼兒 數學的學習歷程、經驗、參與態度及學習成效，且提出教師施行教學之困境與解 決策略，省思教師之專業成長。
5
第二節 研究目的與問題
遊戲是幼兒的生活與樂趣，當數學與遊戲巧妙結合時，讓幼兒能樂在數學遊 戲世界中，本研究旨在探討幼兒教師規劃與施行一系列多元、有趣的數學遊戲活 動之歷程，以及探究幼兒在數學遊戲活動過程中的學習經驗與參與態度，並檢討 省思教師實際進行數學遊戲所遇到的困境及解決策略，且分析說明幼兒教師從研 究歷程中所獲得的專業成長。以下根據研究背景與動機，分別述說本研究之研究 目的與問題。一、研究目的
（一）探討教師規劃幼兒數學遊戲活動的歷程以及數學遊戲活動特色。 （二）探討幼兒透過數學遊戲活動，幼兒的參與態度、學習經驗與幼 兒的能力增長。 （三）探討教師實施數學遊戲活動之困境與解決策略及專業成長。二、研究問題
根據上述研究目的，本研究之研究問題如下： （一）教師如何規劃幼兒數學遊戲活動與數學遊戲活動之特色為何? （二）幼兒在數學遊戲活動過程中，幼兒對遊戲的參與態度與學習經驗、幼 兒從數學遊戲中所建構出的能力為何? （三）教師如何面對數學遊戲實施困境及解決策略，且在研究歷程中教師專 業成長為何?6
第三節 名詞釋義
茲將本研究所涉及之重要名詞，定義如下：一、 幼兒教師
依據「幼稚教育法」（教育部，2001）幼稚園教師係指由幼稚師資培育機構 畢業者任教於公、私立幼稚園並擔任幼兒教學工作之教師。本研究之幼兒教師乃 指研究者個人，研究者身為公立幼稚園教師，並擔任班級導師之教學工作，研究 者於本研究中同時身為幼兒教師與研究者雙重角色。二、幼兒
依據「幼稚教育法」（教育部，2001），幼稚園是以招收四足歲至入國民小學 前之幼兒為主。本研究對象為研究者任教班級之大班幼兒，幼兒年齡介於滿五歲 至未滿七歲之間，共計約有 13 位幼兒。三、數學遊戲
Baroody（1987）表示遊戲給孩子一個既自然又快樂的學習環境，使他們產 生連結的觀念並熟悉基礎技巧，而且遊戲也十分地鼓勵幼兒有意義的學習或記憶 式的學習。本研究之數學遊戲係指將數概念融入各類遊戲中進行學習，所規畫的 遊戲活動包含研究者參考相關數學遊戲文獻之活動以及自行設計之遊戲，並於遊 戲中提供具體教具給予幼兒操作。此外，本研究因研究時間、學校課程與考量幼 兒能力因素，數學遊戲之數概念內容將針對「數與量」之「數」的部分進行研究， 主要以「數」之「數字關係」與「實用算術」為探究方向。7
第四節 研究限制
一、研究對象的限制
本研究礙於時間、人力限制，僅以研究者任教班級之 13 位大班幼兒為研究 對象，因此研究結果較難以推論至其他情境之幼兒。其餘 15 位中班幼兒及兩位 大班特殊生則由搭班教師王老師另行安排數學教學活動。二、研究範圍的限制
幼兒數概念範疇相當廣泛，涵蓋數、量、形，其之下內涵亦豐富多樣。然而， 本研究由於時間、人力與個人研究興趣因素，且為求研究品質細緻僅針對「數、 量、形」之「數」概念部份做為研究範圍，且研究過程未能與班級教學主題做結 合亦屬本研究之侷限。三、研究者本身的限制
在本研究中，研究者身兼數種角色，同時為教材預備者、教學進行者、參與 觀察者，是否會因個人主觀偏見，而忽略了從事研究必須維持客觀的角度，為避 免上述問題，研究者邀請搭班教師協同資料的分析與檢正，以維持本研究結果之 客觀性。四、研究方法的限制
本研究以研究者任教班級之 13 位大班幼兒為一個案實驗觀察研究對象，探 究幼兒透過所實施的數學遊戲活動歷程，幼兒在參與態度、學習經驗、能力增長 上的改變，並以錄影與詳細觀察等多元途徑蒐集資料。然而，幼兒經由參與研究 者規畫的數學遊戲活動產生的轉變含有實驗性特質，但缺乏嚴謹的實驗設計，為 本研究之研究方法上的限制。9
第二章 文獻探討
本研究旨在探討幼兒教師規畫與實施數學遊戲活動之歷程，在進行教學活動 之前，擬先分析相關文獻，了解幼兒數概念發展、幼兒數學內涵等，以做為規畫 設計數學遊戲活動之依據，使理論確切落實於實務教學中。因此，本章依序分成 第一節幼兒數概念的內涵與發展、第二節幼兒數學的學習方法、第三節幼兒數學 與遊戲之關係、第四節幼兒數學相關研究四個層面，茲分述如下。第一節 幼兒數概念的內涵與發展
幼兒數概念內涵相當豐富，其數概念的發展也有些基本特色。本節將對幼兒 數概念的分類、幼兒「數」概念的內涵與發展詳加說明。一、幼兒數概念的分類
幼兒數學的內容豐富多樣，依據教育部幼稚園課程標準（1987）中之數概念 內容有：1.數與量：物體數、量、形之比較、單位名稱、順數與倒數、質量、數 字之辨識、十以內合成與分解。2.幾何與空間：認識基本圖形、認識方位。3.時 間概念：對時間感興趣與好奇、認識星期一至星期日的正確說法。 此外，另依學者周淑惠（1999）之著作「幼兒數學新論」中「數與量」的內 涵來看，其中「數」的學習內涵有「唱數與計數」、「數字認識、書寫與運用」、「數 字與 5、10 關係」、「數字間關係」、「合成與分解」、「實用算術」，如圖 2-1-1「數」 的學習內容網所示；「量」則為「連續量表徵與比較」通稱為「連續量」，即是指 需要用測量的方式才能知道有多少，其組成是連續成一體、無法獨立個別分開 的，如重量、面積、體積、長度等。因此，幼兒「數與量」概念範疇相當廣，故 本研究探討範圍僅在「數與量」之「數」的概念部份，「量」的部分則不在此做 探究，且又因於本研究對象之大班幼兒在唱數與計數、數字認識與書寫上已具有10 一定的能力，因此研究重點將著重於「數字關係」與「實用算術」部份。 圖 2-1-1 「數」的學習內容網 資料來源：改自周淑惠（1999）。幼兒數學新論─教材教法。頁 45。
二、幼兒「數」概念的內涵與發展
以下分別依幼兒「數」的經驗包括（一）唱數（二）計數（三）數字關係（四） 實用算術之內涵與概念發展詳細說明。（一）唱數
唱數為幼兒將數字按照順序口頭背誦，由 1 開始依序一個接著一個數，直到 不會數為止的數算技能（許惠欣，1995）。對幼兒來說唱數像是生活中的日常語 言，透過不斷練習而逐漸熟悉 1~10 的先後順序，使十以內的唱數內化為個體的 既有知識架構，成為幼兒學習十以後（11.12.13...20.21.）的唱數基礎，使新概念 的獲得建立在舊經驗之上（周淑惠，1999）。獲得新概念的過程中，幼兒能逐步 發現唱數的規則，發現十位數的數目即為十加上個位數字，以及對 10、20、30 等十位數的熟悉，進而獲得十以後的唱數法則（簡楚瑛，1993）。 在幼兒唱數能力的發展上，根據簡楚瑛（1993）分析整理國外幼兒數概念能 力相關文獻指出，幼兒通常約在二歲開始唱數、二、三歲幼兒多數已能數 1~2、 四歲~四歲半幼兒已能數 1~39、多數幼兒於六歲時皆可從 1 數到 100，但二歲~ 六歲幼兒間唱數能力有很大的差異；孫良誠、盧美貴（2006）在建構五歲幼兒數 唱數與計數 數字認識、書寫與應用 數字關係 實用算術數
數字與 5、10 關係 數字間關係 合成與分解11
學能力指標中，歸納出五足歲以上幼兒能正確唱數至 50 以上。唱數有助於幼兒 對較大數目之數字接龍、跳數與合理性數算，且是學習位數概念不可或缺之要素 （許惠欣，1995）。
（二）計數
計數根據 Fuson & Hall（1983）的定義為能將數目依序指派到物體上（引自
簡楚瑛，1993）。幼兒的計數能力對於有關數概念有許多效用，其有利於數字的 預估、能幫助解決加減乘之問題、有助於解決數方面的測驗等（許惠欣，1992）。 幼兒在計數少量物品時較容易正確達成，但當遇到數量較大且無規則排列時，則 需要有技巧與原則的計數能力，特別是 4 以上的計數能力是逐漸形成的（桂冠叢 書編譯組譯，2000）。Gelman & Gallistel（1978）指出幼兒計數技巧的發展受到 計數原則的影響，三歲幼兒即能了解計數實物的概念與原則，提出計數的五項原 則（引自桂冠叢書編譯組譯，2000）： 1.固定順序原則 幼兒在每次的計數過程中，為每一樣實物所作的標記應遵守同樣的順序（如 1.2.3….或 a.b.c….）。 2.一對一原則 計數時每一樣物件只能有一個標記，標記不可重複。約三到五歲幼兒能發展 出一對一對應概念（簡楚瑛，1993）。三歲幼兒在技巧上稍嫌不足，四、五歲幼 兒能正確使用一對一原則（常孝貞，2003）。 3.基數原則 基數乃指在數完所有群組實物後，所數的最後一個數目即代表此群組實物的 總數量。大約四歲八個月到五歲間幼兒可發展基數概念（簡楚瑛，1993）。三到 五歲之間，幼兒隨著年紀增長其基數概念越加完善（常孝貞，2003）。 4.抽象原則 意指為便於計數之用，兒童須了解一個集合裡的各項物品，可由相同或不相
12 同的物品組合而成，只要把每個物品當成集合裡的一件「東西」即可，例如一個 集合裡有球、積木、星星，則將這些物品想成是集合裡的 1、2、3 件東西。此外， 抽象原則亦指固定順序原則、一對一原則、基數原則可應用於任何可數的事物， 包含想像中的物件（如上述例子中的星星），代表其實任何事物都是可以數的。 5.次序無關原則 幼兒在每次計數時，不論從哪一個地方開始數起，只要能遵守計數的原則， 其總數不受影響，皆能有相同的計數結果。大約四、五歲幼兒能發展出次序無關 原則（簡楚瑛，1993）。 常孝貞（2003）研究指出上述五項原則發展順序為固定順序原則、一對一原 則、基數原則、抽像原則、次序無關原則。五歲幼兒能充分運用計數原則之一對 一原則、固定順序原則、基數原則（許惠欣，1992）。根據福森（1992）的研究， 不同年齡之幼兒在計數直線排列的 4~14 個物件時，三歲到三歲半成功率為 84%、三歲半到四歲成功率 94%、四歲至四歲半成功率 97%；若物件增加至 32 個，其正確率稍降，分別為 56%、64%、71%。平均來講，一般四歲左右的幼兒 能計數九件東西，五歲幼兒約二十六件，六歲幼兒則能正確計數二十八件（引自 周淑惠，1999）。大部分五歲幼兒能正確地數出含有 20 個物件的集合（桂冠叢書 編譯組譯，2000）。
（三）數字關係
幼兒在進入學習加減運算前，應先了解數字關係，其中包含能發現每個數字 彼此間之大小、順序與差距等特性關係，包括十以內的每一個數字與 5 的關係， 例如能比較 3 與 5 的大小順序，且知道 3 與 5 相差 2。另外，數字關係的認識也 包含理解數字之部分與整體的關係（周淑惠，1999），意指將某個數目拆解為兩 個數目，拆解後雖呈現出不同的數字組合，但組合中的兩個數目相加皆為拆解前 的數目，例如 10 可以拆解為 5 和 5、6 和 4、7 和 3、8 和 2 等，其中各組合裡的 兩個數字相加皆為十。國內研究指出五歲幼兒應能運用十以內的數字進行分解與13 結合，例如運用五元與一元組合成十元以內的幣值，如用一個五元及五個一元湊 成十元或是一個五元加上兩個一元等於七元（孫良誠、盧美貴，2006）。幼兒建 立數字關係概念可成為日後進行加減運算的基礎，也有助於運算能力的發展（周 淑惠，1999）。
（四）實用算術
幼兒在每日實際生活情境中，經常會遇到許多數學問題，由於幼兒還未習得 正式數學運算能力，因此透過「直覺」與「計數」的能力，能自然地創造發展出 「實用算術」技能（周淑惠，1999）。然而，Baroody（1987）所稱之非正規算術 中之非正規的加法與非正規的減法內涵亦類屬於實用算術。以下綜合整理學者 Baroody（1987）著作「兒童的數學思考」、周淑惠（1999）著作「幼兒數學新論」、 Kamii&Housman（2000）著作「重新建構孩子的數學能力：第一級」中對學前 幼兒實用算術內涵，分別從「非正規的加法」、「非正規的減法」詳細說明之。 1.非正規的加法 孩子在學習獲得正規算術法則前，學前階段的幼兒已逐漸建立非正規的加法 能力，其建構基礎內涵與特色包含對「加法意義的理解」、「加法的計數策略」、 「N+1 與 1+N 問題」與「加法的目標順序」茲分述如下。 （1）理解加法的意義 Kamii&Housman（2000）指出從孩子的角度來看，幼兒學習一位數加法是 一件自然而然的事，因為當幼兒在建構數字概念的同時，加法即屬於這個建構的 一部 份 ，也因所有數 字的形 成 亦是一再重 複 的「加 1」，例如：「6」是由 「1+1+1+1+1+1」所組成的，而且再加「1」到「6」上面就會產生「7」等等（何 素娟譯，2001）。因此，讓孩子理解加法的意義與形成，其中一部分即是需從建 構數字概念的角度來理解與學習，如數字關係網絡的建立有助於建構數字概念與 加法意義的理解。 Kamii&Housman（2000）認為為孩子建構數字關係網絡是教導一位數加法14 的目標，強調孩子應將數字做彈性地思考與變化，且能從思考中建構一個數字關 係網絡（何素娟譯 2001）。換言之，數字關係是一種數字本質的發現，數字是可 以靈活變化，且從不同的運算方式去思考探索數字，進而建立起數字彼此間的關 係，也試探著孩子的數學邏輯概念。 此外，理解代表加法意義的語彙也相當重要（吳新華，1992），幼兒應對「合 起來」、「總和」、「總共」、「增加」與「加入」等能與加法概念連結，並將加法語 彙的使用與生活問題相互聯繫，例如生活情境問題；「罐子裡已有三顆糖果再加 入兩顆糖果，總共會有幾顆糖果?」。因此讓幼兒建構數字概念形成數字關係網絡 並配合具體問題與詞彙讓孩子對加法的形式、意義與功能有清楚的概念。 （2）加法的計數策略
①
「全部一起數」、「繼續數」與「從較大數往上數」 加法是結合「兩個全部」去創造一個「較高階的全部」，以至於之前的兩個 全部會變成「兩個部份」的心智過程（Kamii&Housman，2000）。例如：原先分 別為 2 和 3 的兩個全部，總和「5」為一個較高階的全部，此時 2 和 3 則變成了 「兩個部份」。換言之，即為「部份─全部」關係，此概念對幼兒來說較難理解。 因此經常能看到孩子以兩種方式做數字的加法，第一種為「全部一起數」、第二 種「繼續數」，如在日常生活問題中，我們可以請幼兒將原先已裝有兩塊餅乾的 盤子再放入五塊餅乾進去，問他們盤子裡總共有幾塊餅乾，二、三歲幼兒還未具 有能力理解問題；四歲幼兒已經知道如何求兩組東西之總和，但以一一數完所有 東西的辦法來獲得答案，即「全部一起數」；五歲幼兒除了使用數全部東西的方 式外，還能發展出「往上繼續計數」策略，即從第一組餅乾的數目 2 開始接著數 第二組餅乾 3、4、5、6、7 而得總合 7，或採更有效率的方式從較大數目組開始 「往上繼續計數」，意即從第二組餅乾數目 5 開始往上接著數另一組的餅乾數， 數至 6、7 而獲得總合 7（周淑惠，1996）。研究指出五足歲幼兒至六足歲幼兒數 算二個集合之總和時，已有少數幼兒會運用往上數算策略，例如將 25 個銅板分 成二疊十個銅板與一疊五個銅板，詢問幼兒這些銅版的總和，五歲幼兒有少數會15 先拿一疊十個銅板，再接著往上數出 15 個銅板的方法求得答案（許惠欣，1997）。 Resnick（1983）指出大部分幼兒於五、六歲時逐漸於內心建構一套數字的 表徵，稱之為「心理數線」，其具有計數與比較的功能，在數線上每一個位置都 有數字相對應，以及有方向標示著，越後面的數字數值越大，反之，心理數線中 的反向標示則使幼兒在做減法時運用之，可從大數目往下數回的策略（引自周淑 惠 1999）。幼兒在數算策略之發展順序上，「一個一個數算」之策略的發展先於 「往上數算」之策略，「加法心算」策略發展先於「由較大的加數往上數算」，「由 任何一個數目往上數算」之策略的發展則先於「倍數數算」或「跳數」（許惠欣， 1997）。
②
發明、創造、修正計數策略 孩子在豐富的計數經驗下，能逐漸發明、創造越來越節省時間的計數策略， 能藉由審查自己所做的努力，將既有的方法用到新的需求上，因而發明了新的方 法（Baroody，1987）。例如當幼兒計數較小的數字時，仍使用手指具體計數，如 計數「3+5」會分別伸出左右手代表 3 與 5，然後數一數這些伸出來的八根手指 頭，不過若遇到較大數時（如 2+8、6+3），原先的方式就不太好用，因為已無法 用兩隻手各代表其中一個加數。此時，孩子會感受到舊方法的限制，於是修正計 數策略，改以先伸出較小的數字（如 2+8，會先伸出 2），再從 1 開始數到較大的 那個加數，數到 8 時，又接著伸出先前伸出來的兩根手指頭，數著 9、10，以這 樣的新方法獲得解答。因此幼兒以手指先代表較小的加數，再從較大的數接著加 下去，使其得以應付數字較大的問題。 孩子創造發明的計數形式相當多元，且會逐漸從數具體的東西變成數較不具 體的東西。有些幼兒會用點的方法數，如分別將數字 1、2、3、4 形成點的位置 由左到右開始點；有些則會盯著時鐘看，因為時鐘正好提供一個現成的計數模 型；有些孩子甚至會在心理創造一個模型，用以記錄數到哪，例如 3+5 則想像一 個箱子裡面有三個圓點，然後一邊「指著」或「看著」這些想像中的圓點，一邊 數著「4、5、6、7、8」。Fuson（1982）指出此種利用現成的模型的方法也許是16 發明更有效的心算方法之跳板（引自桂冠叢書邊譯組譯，2000）。因此，孩子到 了某個時候，會自然地捨棄具體的計算方法，並發明心算的方法來計算總和。
③
N+1 與 1+N 問題 多數的學齡前幼兒能夠利用內心的數目順序之概念解決與 1（N+1）有關的 問題，如舉實例詢問孩子四張椅子再加上一張椅子，幼兒通常當成如回答「在某 數之後是甚麼數?」的問題，由於孩子自然地用內心的數目順序概念來回答在某 數之後的題目，因此能夠很快地用心算方式回答和 1 有關的題目。 Baroody（1987）認為在兒童非正規的加法觀念中 N+1 是較 1+N 容易解答， 1+N 問題對孩子來說是較困難的，其因為孩子將加法視為一種增加的過程，所以 傾向於把 N+1 及 1+N 當成不同的題目，且答案也不相同。然而，某些時候孩子 可能發現能將在某數之後的關係應用在 N+1 的題目之外，還適用於 1+N 的問題， 其能歸納出一套應付和 1 有關的題目之一般法則：「不論是 N+1 或 1+N，合計後 皆等於 N 的下一個數字」。「在某數之後」法則可能是更具彈性的第一步計算， 開始不必考慮被加數的順序，而計算出加 1 的題目，再經過一段時間，甚至對於 不是加 1 的題目也開始不考慮其前後順序，而從較大的那個數開始數，以計算出 M+N 之和，逐漸能將加法視為兩個集合之結合，數字順序則顯得不重要，同時 發展加法交換性概念，即能理解 5+3 與 3+5 是一樣的意思，其結果也相同， Kamii&Housman（2000）指出孩子約七、八歲時能想出加法的交換性，而此時 也正是孩子的思考轉變成可逆的時期。④
加法的目標順序 Suydaz&Weaver（1975）研究說明加法的難度主要是由加項的大小來決定， 並非完全受總和大小的影響（引自何素娟譯，2001）。其研究中提出最簡單的加 法組合如下： a.兩個相同數字的相加，如「2+2」和「5+5」是一樣簡單的，接下來為「3+3」、 「4+4」和「6+6」，「10+10」比「9+9」或「6+6」更簡單，「7+7」和「8+8」是 一樣困難。數字「5」」和「10」是比其他數字更友好的。17 b.「1」加到任一個數字的組合，例如「6+1」總和雖較「2+3」大，但卻對幼兒 是較簡單的。 c.「2」加到任一個數字的組合。 另外，Kamii&Housman（2000）在著作「重新建構孩子的數學能力（第 1 級）」中整理歸納加法的學習目標順序中，特別指出兩個數字變成「10」的重要 性，如 10 可由「9 和 1」、「8 和 2」、「6 和 4」等構成，此目標非常重要，因為它 簡化「5」以上較大數字的加法。例如當孩子知道「8+2=10」，而能把問題變成 「（8+2）+4」，孩子可以更簡單地解決「8+6」的問題。 2.非正規的減法 皮亞傑（1947/1980）指出：前運思期幼兒思考特徵是先了解其較正向的觀 點、行動及認知，如四歲幼兒對於回答兩堆積木數量哪一堆「比較多?」可以很 快地回答，但問哪一堆「比較少?」則會感到困惑。因此，減法之於加法對幼兒 來說是較困難的，主要在於減法需要幼兒用反面來思考物體和活動（引自何素娟 譯，2001）。以下說明幼兒在非正規的減法之建構基礎與內涵，並探討減法與加 法的關係。 （1）理解減法的意義 減法問題包含了有關「分割」、「部份─部份─全部」、「比較」、「使相等」的 問題。「分割」是如「你有六塊餅乾，你給我三塊，你剩下多少個?」；「部份─部 份─全部」是如「盤子裡有五個水果」，兩個是蘋果，其餘是番茄，那番茄有幾 個?」；「比較」則如「你有六塊餅乾，我只有三塊餅乾，你比我多幾個?」；「使相 等」則為「我已經有五張貼紙了，需要十張貼紙才能換獎品，那我還需要幾張貼 紙?」。上述除減法情境概念的不同，其中減法的用語也很多，如「減少」、「剩餘」、 「取走」、「拿掉」、「用掉」、「吃掉」、「比較」與「差」等詞彙，幼兒須能分辨與 理解才能逐步發展與建構減法能力。 （2）減法的計數策略─「倒著數」與「順著數」 孩子遇到題目的被減數比 1 大一點的時候，通常先用具體的表達方式，把減
18 法想像成是「把東西拿走」，即先有一個減數（較大的數），再移走和被減數相同 的項目，最後數一數剩下的項目，以獲得答案。例如「5-2」，會先數出五根手指 頭或五項東西（做五個符號），數出其中兩項，並移走，最後再數一數剩下的項 目即為答案 3。 當孩子加法能力發展到一定程度，其會捨棄具體的方法而改用心算做減法問 題，一般常用的方法為倒著數即「往下減」策略，例如在做「9 減 2」時，則採 往下減策略，從 9 開始往下數 2 個數字，數到 8、7，則得答案為 7（周淑惠，1999）。 此策略與取走意義一樣，都把減法視為「取走」。「倒著數」雖是從 N-1「在 N 之 前的數字」觀念延伸而來，但卻較複雜許多，因計算 N-1 時，只要知道數字的順 序上哪個數字在 N 之前即可，然而，當遇到減數不是「1」時，就必須從數字順 序上的某一點開始倒數某個數字，同時需進行往回數與記錄數到哪兩件事，因而 困難許多。 另外，當減法問題數字越來越大時，孩子必須改變計數策略，從倒著數轉變 為順著數，研究也顯示許多兒童是先利用倒著數方法，再發明順著數。順著數為 一種運用看不到的加數之方式計算減法，如 19-17，則從減數 17 開始往上順著數 18、19，邊數邊紀錄須經過 18 和 19 兩個數字，所以答案為 2。 （3）減法與加法的關係 對幼兒而言，減法不只是加法的相反，且減法是比加法要困難，孩子經常使 用加法的方式、以正向思考來做減法的問題，如順著數。因此當孩子覺得加法變 得非常簡單時，減法也會變得很簡單，因為建構減法概念即是強化對「總和」的 知識，因而當幼兒對「加總」概念很強時，而有邏輯地處理「部份─全部」關係， 幾乎能成為自然反應，則能從加法知識推論出其不同之處。 綜上所述，幼兒所發展的非正規加法與減法能力，可稱為實用算術能力，是 基於計數的基礎上來進行的，兩者關係很難劃分。幼兒的計數技巧也是由許多數 的基本能力延伸發展而來，顯示幼兒的數學能力有潛在的發展順序，其能力發展 至實用算術時，需要逐步累積各項基本「數」的概念，經過多元的學習途徑進行
19 數學思考，進而解決各種數學問題。因此，在帶領幼兒進入「數」的探索時，除 先了解孩子的先備能力外，在「數」的學習概念上，應依據理論規畫大方向的數 概念學習，透過多元的數學遊戲讓幼兒從對數字的順序、大小有基礎的概念，並 思考摸索數字的合成與分解，至探索數字間的關係，從不同的角度思考數字，以 逐步建立數字關係概念，這樣的學習過程同時將非正規加法與減法概念融入其中 與之息息相關。當孩子建立「數」的概念基礎後，進而讓孩子靈活地使用非正規 的加法與減法於數學遊戲中，即是實用算術能力的展現，幼兒所發展的實用算術 對其數學能力的建立具有相當的重要性，也為進入國小開啟正式數學概念的先備 經驗。因此，本研究將針對幼兒數概念中「數」的部分進行探討，欲透過研究者 規畫之數學遊戲活動讓幼兒具體操作實物，探究幼兒在建構「數」概念的歷程。
20
第二節 幼兒數學的學習方法
Baroody（1987）認為了解兒童如何學習數學是很重要的，可幫助教育工作 者判斷出適當的課程方法、教材及順序（引自桂冠叢書編譯組譯，2000）。因此， 進行教學前了解學習者的學習甚為重要。然而，對於幼兒數學的學習，我們可以 從探討不同理論所持的學習觀開始，思考各理論如何看待數學的本質，數學對於 幼兒的意義，幼兒數學學習的途徑，過程中教師扮演的角色，應把握的數學教學 原則等。有關數學的學習理論，Baroody（1987）歸納為「吸收論」與「建構論」 兩種，以及 Vygotsky 所提出的社會建構論。本節分別介紹吸收論、建構論與社 會建構論之數學學習經驗，內容包含各理論之基本主張、數學學習觀、教師角色 與教材教具的使用。一、 吸收論的數學學習經驗
吸收論認為，兒童像是帶著空白待填的白板來到學校，準備接受學校直接給 予的數學概念，或是接受機械式的數學計算訓練，甚至視學前兒童完全沒有數學 能力（Baroody，1987）。（一）吸收論的基本主張
吸收論為行為主義重要觀點，代表人物有斯金納、桑代克、華生等，認為人 類的學習是被動地接收知識，將學習歷程解釋為在制約作用下所產生的反應，是 透過刺激與反應聯結關係建立學習結果，不考慮人類的內在思考與動機情緒等， 任憑外在環境雕塑而學習各類知識、訓練出各種專長，就如行為主義創始人華生 所認為的，人類一生的成就是由學習經驗所產生的（張春興，1996）。 吸收論將知識視為事實的集合，事實是藉由記憶而被學習，學習是一種使資 訊內在化或複製拷貝資訊的過程，認為有學問的人就是記憶很多資訊並隨時準備 取用的人（桂冠叢書編譯組譯，2000）。此派學者強調可將知識系統性地分析成 各項學習內容，訂定學習目標，學生依照事先計劃安排的目標進行學習，每部分21 學習精熟後則繼續下一目標，即可達到最後的學習成果。學習過程中強調對教材 內容的精熟，而需透過不斷的練習、反覆背誦，再經由測驗評量學習成效，其測 驗方式也以紙筆測驗為主（李素卿譯，2000）。
（二）吸收論的數學學習觀
吸收論認為教學的目標是要幫助學生獲取課程中的事實與程序，會把精於計 算方面的事實與技巧，當成是基本數學教育的主要教學方針，其教學方法很明 確，認為兒童的程度沒有太大差異，因此直接的教學方式是最有效率的一種（桂 冠叢書編譯組譯，2000）。吸收論將數學知識視為一組事實與技巧的結合，學習 方式是將數學知識反覆的重現，兒童則反覆的練習而記憶知識，逐漸累積成一個 知識庫，經由這樣的學習方式，認為兒童都能有效且一致的學習，並達到熟練 （Baroody，1987）。吸收論運用工作分析法將數學內容有組織、有系統地規劃學 習進度，學習內容明確的傳授給兒童，使兒童能依照既定進度與目標學習（周淑 惠，1999）。因此兒童數學的學習是被動地，經過練習與透過增強，強化刺激與 反應的連結，而獲得數學技能，此論點重視對數學內容的記憶，而非關注兒童是 否理解數學概念，且忽視兒童對數學的學習興趣、學習態度，長久下來，兒童將 缺乏內在學習動機，無法主動學習，學習上依賴外在環境的控制。 國內教育型態深受吸收論影響多年，學習強調最後的成果，使得父母與教師 將考試視為必要手段與評量學習成效的主要途徑，重視學生的考試成績，勝於學 習過程，因此在教學過程中，加強學生對知識的記憶與熟練，教學方法以機械式 地反複練習與記憶，讓學生像是在累積腦海中的資料庫，使其能快速抽取內容來 完成考試做答。 根據吳梅蘭、曾哲仁（1994）研究表示造成學生數學態度漸趨消極的因素之 一，即是教學著重不斷地機械式計算，卻不引導學生邏輯思考與建立數學理解能 力，可見不適合的教學方法，會成為學生逃避數學的原因。此外，譚寧君（1992） 對 275 名六年級兒童數學態度與解題能力之分析研究，發現學生普遍能了解數學22 的重要性，但卻存有恐懼感，且較缺乏學習動機以及思考與推理的習慣，解題方 式僵化。因此吸收式的數學學習過程較不重視學習者對學習內容的理解、個人對 知識的消化、吸收與建立，以及對學習者個別差異的關注與情意表現之關心，包 含人格特質、學習動機（吳淑珠，1997）、學習態度（蔡文標、許天威、蕭金土， 2003；吳元良，1997；吳梅蘭、曾哲仁，1994）、學習興趣（余民寧、韓珮華， 2009）等方面的了解。研究發現上述內容與數學成就有正向關係。
（三）吸收論下的教師角色與教材、教具的使用
吸收論對教師所扮演的角色，定義為：傳達資訊。教師必須協調、安排課堂 上所有的事物，包括講課、示教、獎勵及懲處（桂冠叢書編譯組譯，2000）。顯 示教師的職責在於清楚的講述與舉例，將教學內容直接傳授，教師被視為知識的 傳遞者，認為學習數學是透過有規則可循的一連串既定步驟，讓學生透過練習複 製解答過程，教師的教學目標在教導學生獲得正確答案（甄曉蘭、周立勳，1999）。 在教學過程中，教師居於主導角色，教學方式較制式缺少變化，且堅守教學進度， 並設定學生相同的學習標準，強調技能獲得與成績表現（莊淑琴，2002）。 受吸收論的影響下，教材方面經常運用閃示卡、數學練習本、訓練珠心算的 算盤、自修書和評量測驗卷（魏美惠，2005），讓兒童使用這些教材不斷地寫算 數學，而將數學知識膠黏於腦中。黃美瑛（1980）即指出許多幼兒園以數學練習 本做為數學教學的主軸，近年由徐碧佳於 2009 年調查台北市公幼數學教學現 況，顯示仍有近七成五教師使用數學練習本做為教學輔助工具，但令人擔憂的是 簡楚瑛（1993）調查發現幼兒數學練習本的難度普遍超出幼兒本身具備的數學能 力（引自陳惠敏，2007）。曹雅玲（2004）指出國內許多家長雖重視孩子的數學 教育，並盡其所能提供幫助，讓子女上心算班，聘請家教老師特別指導數學等， 但孩子的數學能力未見有較出色表現，甚至於厭惡數學，可能原因之一即是過量 的記憶與反覆練習影響孩子的思考能力。因此，過多的紙筆練習可能造成降低數 學學習興趣，在使用教材時，應妥善考量教材的內容、形式與使用頻率。因此，23 本研究試圖以不同於傳統的學習方式引領幼兒探索數學，以提供多元有趣的遊戲 活動與充分的遊戲機會與思考時間為重，讓幼兒在遊戲情境中能以愉快地心情學 習數學、培養數學思維。
二、 建構論的數學學習經驗
建構論並非一種特定的教學策略與方法，是一種知識的理論，亦是一種認知 學習的理論。探討如何獲得知識或認識知識的本質，理論強調以「人」為主體， 個體認知是主觀建構的結果（張世忠，2003）。（一）建構論的基本主張
建構論有著哲學與心理學基礎，源起背景可能包含了科學哲學方面的思潮、 認知心理學方面的發展與皮亞傑認知發展理論。建構論主要內涵有三大原則（詹 志禹，2002）： 1.主動原則：個體本身主動建造形成知識，並非處被動狀態接受知識，隱含反對 知識論中的接受觀。 2.適應原則：個體的認知功能用於組織所經驗的世界，使個體產生適應性，而不 是用於發現本體事實。 3.發展原則：知識的發展需透過內在同化、調適、反思性抽取等歷程逐漸發展而 成，新知識必須建立在先備知識上且受限於先備知識。 由上述原則可知，建構論視個體是主動的學習者，個體組織建構外在世界的 經驗，並藉由認知功能運作使知識逐步發展，三大原則是相輔相成、同時並存的， 才得以讓建構論意義完善。認知理論主要關注兒童學習的過程、思考模式的轉變 與思考層次的發展，過程皆由兒童自身體驗、感受而達到理解，強調個體內在知 識建構的過程，實為建構論的心理學基礎，而建構論甚且重視知識對學習者的意 義。（二）建構論的數學學習觀
建構論屬於認知心理學派的論點，代表人物皮亞傑（Jean Piaget）與跟隨者24 卡蜜（Constance Kamii）等人，皮亞傑（1973）指出感覺動作期、前運思期的幼 兒皆須透過大量的探索、發現而學習的，因而強調兒童與環境互動、積極地參與 學習過程之重要性，誠如皮亞傑（1973）所言「在幼兒的數學教育上，更應強調 行動的角色，尤其讓孩子在了解算數時，提供實物的操作活動是無可或缺的」（引 自周淑惠，1999）。因此，幼兒經由具體的操作與環境中事物互動，逐步向上搭 建知識，使概念慢慢加深、理解能力逐漸擴展，唯有理解才是真正的學習。 幼兒對概念的理解，布魯納認為有三個層次，第一是操作層次，學習包含操 作活動與直接經驗，例如幼兒實際運用積木，直接點數兩塊積木加上三塊積木總 共是幾塊積木；第二是圖像層次，學習涉及視覺媒體的應用，如將具體實物轉化 以圖片呈現；第三是符號層次，是以抽象符號表達實體，幼兒能以數字符號代表 運思過程。幼兒對概念的理解與發展起於與環境互動，以具體操作實物為先，再 進而提升至運用抽象符號理解與表達概念的層次（張春興，1996）。 認知理論視數學為一組「關係」，了解數學關係為學習的關鍵基礎，而不是 只在記憶眾多的事實，數學關係需由學習者內心自行創造而得，是將新知識與內 在既有舊知識連結建立而形成對數學關係的理解，經過理解將能迅速的回答不同 的數學問題，如幼兒若能理解集合加「0」即是集合加上沒有東西，就能知道任 何數字加上「0」數字不會改變，因此詢問幼兒「6+0」、「7+0」、「8+0」等於多 少時都能很快地回答出來，因其真正了解「0」的概念後，再進入新的知識中則 能反應之（Baroody，1987）。 認知理論認為學習者並非如吸收論者認為是一空白的器皿，而是個體本身有 既存的認知系統，學習新概念時是與內在原先的概念組織連結（周淑惠，1999）， 因此知識的學習不僅是資訊量的累積，更是思考模式的改變，數學的發展除了數 學知識量的增加外，更應該是內在思考模式質的改變（桂冠叢書編譯組譯， 2000），例如當兒童只會以手指數算，且不了解基本的減法組合時，詢問兒童下 列問題「2-1」、「4-2」、「6-3」、「8-4」、「10-5」各等於多少時，一開始兒童只能 用手指辛苦的點數來獲得答案，但當他觀察到每組算式數字間的關係時，則會發
25 現每組算式即為自身數字加總兩次（1+1=2、2+2=4、3+3=6、4+4=8、5+5=10）， 自此拓展了兒童數學知識，產生了質的思考變化。 教育部於民國八十二年公布國民小學數學課程標準，強調學生主動建構知識 及培養學生溝通、討論、思考和批判事物的精神，八十五年全面實施數學新課程 以來，即有不少爭議，而引起國內學者探究，應用建構理論於數學教育之研究陸 續出現，對於建構式數學之學習成效的探討，以及對於學生的學習動機、學習態 度等情意層面研究為數不少。鄭燿男（2002）曾比較建構取向教學、指導教學與 建構/指導混合教學，三種不同的教學方式對國小學童數學成績及學習適應之影 響，研究結果顯示建構取向教學對學生的學習適應呈現顯著有利的影響。 Hughes（1985）指出「幼兒面對一個有趣、明顯可見需使用符號或尋求答案 的問題情境中，最有可能激起幼兒的能力」（引自周淑惠，1999）。興趣為學習的 動力，活潑有趣的課程可引發學習興趣，建構論下的學習氣氛，即較顯自由、活 潑與開放，幼兒則會自然地積極參與學習（魏美惠，2005）。此外，幼兒對概念 的理解也相當重要，在無法理解數學概念的狀態下學習，可能會感受到壓力與產 生逃避，數學的學習應讓幼兒覺得是有道理的、可以理解的，對幼兒而言是有意 義的（周淑惠，1999）。教師應先了解幼兒數學的先備知識，使新概念學習建立 在舊知識上，讓幼兒的新舊經驗密切連結（劉秋木，1996），因此教學活動的連 貫性甚為必要（陳英娥、陳彥廷、柳嘉玲，2006）。以下綜合學者看法，說明建 構論下幼兒數學教學原則（陳英娥、陳彥廷、柳嘉玲譯，2006；何雪芳、陳彥文 譯，2003 周淑惠，1999；劉秋木，1996；Baroody，1987）： 1.生活化 學習內容應與幼兒的生活經驗聯結，與社會文化契合，並能提供幼兒於生活 中應用數學的機會。數學的使用也是為了生活所需，與生活大小事相關，掌握時 機讓幼兒運用數學解決日常生活遇到的問題，或模擬真實情境促進幼兒數學的思 考、運用。 2.遊戲化
26 幼兒的生活與遊戲密不可分，遊戲對於幼兒是一件自然存在的事，不論任何 型態的遊戲，團體、小組或是角落遊戲，讓數學學習像遊戲一般地輕鬆、自然的 進行，營造愉悅的學習氣氛，從遊戲中學習與能力增長。 3.解題化 解決問題即為一種思考與行動的過程，透過各類情境問題的討論，引發幼兒 思考、推理，嘗試使用數學知識，想出解決辦法具體行動。對幼兒提出開放式的 問題，培養擴散思考能力，都可加強幼兒的數學思考。 4.具體化 運用具體教具與實物，引導幼兒觀察與操作之，使其發現數學概念、關係， 具體的實物操作可協助與抽象思維的聯結，但教學並非完全排除抽象符號思考， 而應在有充足的具體經驗後，再至半具體，最後到抽象的學習經驗，循序漸進的 學習（劉秋木，1996）。 5.多樣化 包括教學內容與教學方法多樣化，提供幼兒多種不同的學習型態，如動靜態 活動、個人學習、小組活動、團體活動等。
（三） 建構論下教師角色與教材、教具的使用
建構論下的數學教學，強調遊戲中學習，以實物操作的學習方式為主（魏 美惠，2005），主要運用許多的教具或生活物品，可應用的教具、物品種類也相 當多樣化。許多研究証實應用教具或實物於數學教學中，有助於數學概念的建 立，劉蘊如（1993）運用福祿貝爾恩物於教學中，探討對幼兒數概念的影響，研 究發現大班幼兒在認數與對面積的了解有所提升；黎佳欣（2007）探討個案幼兒 在角落操作教具其數概念的發展情形，研究顯示角落情境提供許多具體教具，促 進幼兒對數的了解與培養對數學的敏銳度；張麗芬（2009）結合圖畫書與提供具 體物件探討幼兒在運算能力的成效，研究結果指出能提升幼兒加法運算能力。 教具或實物的功能有如為幼兒的抽象思考搭起一座橋梁，透過教具與實物的27 操作，將抽象概念以具體的方式呈現之，形成具體與抽象的連結，加上幼兒喜好 動手操作的天性，有趣的教具也同時能引起幼兒對數學的興趣（引自劉秋木， 1996）。 教材教具的使用，應配合幼兒的心智發展，使幼兒對數學的理解更加容易（劉 秋木，1996）。從著名的福祿貝爾恩物、蒙式數學教具、狄恩斯數棒等都有助於 幼兒數概念的學習，此外，生活中仍有許多物品可以應用於數學活動中，如撲克 牌、大富翁、郵票、骰子、棋子、錢幣、彈珠等，幼稚園學習區中常見的教具也 相當適合應用，如圖畫書、雪花片、各類積木、數彩蛋、七巧板、串珠……。 教師在建構論下的角色主要為環境預備者，提供適合探索、學習的環境與教 具，學習氣氛較為開放，學習過程沒有一定的標準，鼓勵幼兒主動與環境互動、 探索周遭事物。因此，本研究將具體可供操作的教材教具設計規畫於各類遊戲活 動中，遊戲型態應多元豐富，且營造開放探索的數學遊戲情境，讓孩子能自然地 形成與學習情境互動、探索與思考。.
三、 社會建構論的數學學習經驗
建構論下的教學，兒童在學習過程全然依靠自己探索，從內在心靈建構知 識，這樣的學習方式有否不足之處，引起學者對建構論之爭議。布魯諾與一些後 皮亞傑學派學者，立基於維高斯基理論，提出了「社會建構論」，適時地提供一 個解決眼前問題的論述，與皮亞傑建構論之差異，主要在於社會建構論認為人類 知識的建構並不僅是個人由環境所經驗的事實而來，大部分的時候是經由與他人 討論、協商以及透過仲介歷程而來的，且將知識的獲得與兒童的發展置於整個社 會文化情境脈絡中來看（周淑惠，1999）。（一）社會建構論的基本主張
社會建構論主要強調個體知識的形塑是在社會文化的環境之下建構，兒童的 知識會受到社會文化的影響，例如社會的風俗民情、價值觀、信念等，且藉由與 他人互動更能促進知識建構與智能發展（周淑惠，1999）。Vygotsky 主張學習的28 過程帶動潛能發展的歷程，而任何高層次心理功能的發展，都是從外在的社會活 動開始，然後將外在社會活動的經驗轉化為內在的心理過程，就是所謂的內化作 用（張世忠，2003）。建構知識對個體的意義雖是主觀的，但也不能任意建構， 因此需要與他人應對、討論與思考，彼此經由不斷地來回研討、思考解決策略、 做決定，而獲得新知，即為強調互為主體的概念，互為主體意指讓兩種心思彼此 交流不同的想法、思維運作，概念相互交織以增進個人的概念發展，這樣的學習 歷程使個體獲得的知識能符合社會文化情境，且個體不會成為孤獨的探索者（張 世忠，2003）。
（二）社會建構論的數學學習觀
皮亞傑學派的建構論強調知識是個體與環境互動建構而來的，重點是放在個 體對操作行為的省思，認為要了解就必須去發現。Resnick（1987）則指出雖然 兒童能去發現，但不一定能得到正確的發現，也不見得代表理解，因此在學習過 程中某種程度的介入仍是需要的（引自周淑惠，1999）。 維高斯基的「近側發展區」概念，指出學習應在近測發展區，由成人或較有 能力同儕引導及與學習者互動，使其發展提升至更高一層次，對於互動對象，彼 此應有程度上的差異，且差異是在於對問題理解或處理能力上，能力較差者可獲 得能力較佳者的引導與支持，這樣的互動才能對認知發展有助益（張世忠， 2003）。 Vygotsky 相信說話可視為一種「心智功能」，是指語言是基本溝通的自然結 果，這對心智過程的品質有重要的啟示，暗示著認知繼續呈現溝通的特性和社會 文化場地的影響，認知在內化很久以後發端，並存在於個人內在的心理層面，所 以 Vygotsky 認為語言所扮演的角色，首先是人們之間的溝通工具，然後才是與 自己溝通的主要方法（谷瑞勉譯，2004）。因此社會建構論強調語言可用來刺激 認知的建構，不同的語言使用方式可以幫助學生更有意義的建構，這些方式包括 開放式問題、創造性寫作、學生的解釋和班上的對談。學生使用語言可以代表他29 們對學習內容的認識，並促進發展更深入的了解（張世忠，2003）。學習者在學 習過程中，藉由與他人互動，透過角色安排和分擔活動的責任，過程中鼓勵學生 運用先備知識及既有的技巧，以發展他們自己的潛能技巧，並配合學生的興趣和 能力，安排小組學習活動。透過問題、提示，激發學生思考；另一方面，透過說 明、指導和指引學生學習方向；並採用增強原理，透過即時的獎賞或讚美，給予 學生適時的回饋，更能增進學生的學習效果（張世忠，2003）。
