多項式函數

第二章多項式函數 P11 第一單元. 1/2 ※第一部分 1. Ans:(2)(3)(4) 由斜率定義0m3 m4  、1 m1m3   、1 m2 m10



(2)(3)(4) 2. Ans:○1 _{f x( )3x}2_{6x1 ○}2 _{f x( ) (x1)}2_9 ○1 令 _{f x( )ax}2_{bxc (1, 2),( 1,10),(4,25) } 代入可得

_a

_

_3,

_b

_{ }

_6,

_c

_

₁

○2 令 f x( )a x( 1)2 與9 x 軸(y 0)交於A(1 9, 0), (1B 9, 0) a a     2 9 6 a 1 a       P12 3. Ans:(1)(3)(5) 由題意可知 2 ( ) f x ax bx 的圖形有右圖兩種形式 c 其中 a 由開口方向決定、 a 由頂點位置決定、 c 與 y 軸交點決定 故選(1)(3)(5) 註:(4)看與 x 軸交點數 (5)即 (1)f 4. Ans: ( 1, 2) 令 2 1 2 1 ( ) ( 1) ( 2 1) f x a x a x x a a        ，其中a 0， 比較係數 2 1( ), 2 1 0 a b a b a a     _         取負 5. Ans: 1 a0 2 2 (1 ) 4 ax  a a x a恆負 2 2 0 4 (1 ) 4 (4 ) 0 1 3 a a a a a a             1 a 0     P12. ※第二部分 6. Ans: 6 or 2 2 2 4 0 2 mx m m x mxm x   AB2 3 m2 4m 2 3m2 or 6 7. Ans:13 2 4x 6x3 (40,D0)  恆正 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 4 6 3 2 (6 2 ) (3 ) 0, 4 6 3 x x x x x x x x x x x                            2 <0 (6 2 ) 4 2 (3 ) 0 1  3 判別式           8. Ans: 4 2 3 令BPxAP4x

第二章多項式函數 P11 第一單元. 2/2 依題意 面積 ( ) 3( ) 6 (2 4 )2 ( 3 1 ) 2 1 1 4 6 4 24 16 2 x x f x      x  x 當 1 12 2 _{4(2 3 3)} 3 1 2 3 3 2( ) 24 16 x       時，面積有最小值 f(8 3 12) 42 3 9. Ans: 41 2 2 2 4 4 2 ( 0) P( , 0), ( , 0) 4 7 2 2 a a b a a b yx axb交 軸x y 於    Q    PQ a  b  同理可求 2 2 2 2 4( 2) 4 8 41 RS  a  b   a  b   10.Ans:25 如圖 2 ( ) 10 11 f t  t  t 2 (t 5) 36    



最大溫差 25 11.Ans:x 2,最小值12 令x24x 由配方可知t 2 2 4 ( 2) 4 4 t x  x x    原式 2 2 ( ) ( 7)( 5) 2 1 10 36 ( 5) 11, 4 f t t t t t t t t                 t 4(即x2), ( )f t 有最小值f( 4) 12 (5, 36) 10 t  1 t  (5) 36 f  最大 (10) 11 f  最小

第二章多項式函數 P15 第二單元. 1/1 P15. ※第一部分 1. Ans:(3,8) 直接用長除法，由餘式為 0 可得 ( , ) (3,8)p q  2. Ans: ( 64,8) 直接用長除法，由餘式為 0 可得 ( , )m n  ( 64,8) 3. Ans:(1)(2)(4) 2 ( ) ( 2) ( ) (2 6) (1) (2) (3) v v f x x x q x x         (4) ( 1) 0 (1) 4 4 (5) (2) (4 2 2) (2) ( 2) 2 v f q f q               4. Ans:x22x1 3 2 2 ( ) [( 4 5 3) (2 1)] ( 2) 2 1 f x  x  x  x  x  x x  x 5. Ans:2x+5 令 2 2 ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)( 1) ( ) ( 1)( ) f x  x x q x  axb  x f x  x x x q x  x axb 依題意 2 (x1)(axb) ( x x1)餘式為5x3直接展開被除式用長除法，可得

a



2,

b



5

第二章多項式函數 第二單元 P15. ※第二部分 6. Ans:(3) 10 10 10 10 2 10 3 10 10 0 1 2 3 10 ( ) (1 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) f x   x c c  x c  x c  x  c  x   觀察可知 10 10 2 10 3 0 1 0, 1 1 ( 2) 0, 2 2 ( 2) 0, 3 3 ( 2) 0 a   a c   a c   a c   



求式= 10 0 1 2 3 9 10 ( 1) 3 a a a a a a  f   7. Ans: ○1 (1,10, 40,82,85,33) ○2 _{85x 137}○3 _33.256 用綜合除法連除可得 5 4 3 2 ( ) ( 2) 10( 2) 40( 2) 82( 2) 85( 2) 33 f x  x  x  x  x  x 



可得○1 ，且 _{f x( ) ( x2)}2餘式為_{85(x2) 33 85x137} ○3 _{f(2.003)(0.003)}5_10(0.003)4_40(0.003)3_82(0.003)2_{85(0.003) 33} _33.256 8. Ans: 3 考慮 4 3 2 ( ) 2 2 6 4 f x  x  x x  x ，題意即求 (1 3) 2 f  分析: 1 3 2 1 3 2 2 2 1 0 2 x   x    x  x  兩邊平方 由長除法可知 2 2 ( ) (2 2 1)( 2 3) 2 1 f x  x  x x  x  x (1 3) 0 +2 1 3 1 3 2 2 f         

第二章多項式函數 P19 第三單元. 1/2 ※第一部分 1. Ans:6 用綜合除法可得餘式 f( 7) 6 2. Ans:2x2 x 4 令 ( ) (f x  x1)(x1)(x2) ( )q x a x( 1)(x1)b x( 1) 3 ( 1) 1 2 3 1 2 (2) 2 3 3 2 1 f b a f a b b                          餘式 2 2(x 1)(x 1) (x 1) 3 2x x 4            3. Ans:○1 _{3x+3 ○}2 _x2_4x4 ○1 令 _{f x( )(x}2_x1)2_{q x( )x}3_x2_4x3 2 3 2 2 ( ) ( 1) =( 4 3) ( 1) 3 3 f x x x x x x x x x     的餘式       的餘式  ○2 令 _{f x( )(x}2_{x1)(x3) ( )q x a x(} 2_{x1) 3 x3} 2 ( 3) 1 1 4 4 f   a 餘式為x  x 4. Ans:○1 _{7x 1} ○2 _2x2_x3 由題意可知 f(1)6, (2)f 13 ○1 令 f x( )(x1)(x2) ( )q x a x( 1)6f(2)13a 7 餘式為7x1 ○2 令 _{f x( )(x1) (}2 _{x2) ( )q x a x( 1)}2_5x1_{f(2)13a 2} 餘式為_2x2 _x3 5. Ans:11 所求=g(2) f f( (2)) f(3)11 6. Ans: 1 3 1 15 2 4 i or or   令 4 3 2 ( ) 4 4 6 f x  x  x x x ( 1) 0, ( )3 0 ( ) ( 1)(2 3)(2 2 2) 2 f   f  f x  x x x x  即 ( ) 0 1 3 1 15 2 4 i f x   x  or or  7. Ans:2 領導係數為 1由一次因式檢查法四個相異有理根為整數根 又四個相異整數根乘機為 10，和為 3 四根為1, 1, 5, 2  ※第二部分 8. Ans:○1 _{( ,1, ,3)}1 5 2 2 ○ 2 ₁ 2 2 ( 2)( 1) (1) 7, ( 2) 2 x x  x x  f  f     可知 ○1 令_{p x( )(x}2_{x2)(lxm)x2} _{f(1)7, ( 2)f     2 l m0.5}  ( ) ( 2 2)(1 1) 2 2 2 p x  x x x x 展開可知( , , , ) ( ,1, , 3)1 5 2 2 a b c d 

第二章多項式函數 P19 第三單元. 2/2 ○2 _{即p ( 1)1} 9. Ans:7 令 2 2 ( ) ( 1) ( ) ( 1) 3 4 h x x x  q x a x   x h(0)0a4餘式=4x2 3x 即p4,q3,r0 求式=7 10.Ans:(4,13,12) 考慮方程式 f x( )g x( 2)0由題意知 f x( )g x( 2)0有

30,257, 19



3 個根 又 f x( )g x( 2)0最多為 2 次方程式 f x( )g x( 2)比較係數( , , )a b c (4,13,12) 11.Ans:

a



26,

b



24,

c



10

2 2 2 2 2 2 0 (1) 1 (13 ) (12 ) (5 ) (2) x a b c x x a b c         _{ }              都成立 由(2)知26 24 10 12 5 (1) 13 13 a b c即a= b c代入 2 (5b 12 )c 0 5b 12c      又題意知 ( , )b c  2 取b24,c10a26 12.Ans:-65 實係數方程式虛根成對出現f x( )0的根為3 2 , i i,5 令 2 2 ( ) [ (3 )][ ( )]( 5) ( ) ( 6 13)( 1)( 5) ( ) f x  x i x i x q x  x  x x  x q x 取q x ( ) 1時， f x( )次數最低，且領導係數為 1，此時 2 2 ( ) ( 6 13)( 1)( 5) f x  x  x x  x 所求為f(10) 65

第二章多項式函數 P23 第四單元. 1/1 ※第一部分 1. Ans:

a



32,

b

 

1

求式為等比數列，首項=1，公比=z，項數=10 10 2 5 5 10 1( 1) [(1 ) ] 1 ( 2 ) 1 32 1 z i i S i z i i              2. Ans:2 3 2 1 1 3 1 3 = , 1 2 2 2 i i i i a b i              求式 3. Ans:a 2,有最小值2 由根與係數 _{( )}2 _{( )}2 ₄ 2 _{4( 2)} 2 a a a a             _            2 2 4 8 ( 2) 4 2 a a a            4. Ans: 2 7 2 a  or 令 為一實根 2 2 7 1 4 3 7 0 ₄ 4 (3 2 ) ( 7) 0 2 7 2 0 2 i ai or a a a                         _ _{ }      _  _{ }   5. Ans:1 個  f x( )[ ]x  f x( )0虛根成對出現，又f x ( ) 0有三個根(含 i )，故另一根為實根(即交一個點) 6. Ans: 3 令 為另一根，由根與係數 (1 ) 3 3 2 3 (1 ) 1 i i i i a i a i         _              7. Ans:○1 _{( , )a b (1,10)}○2 _{2 1 2or  i}○3 _{x  2}  f x( )[ ]x  f x( )0虛根成對出現，故 3 個根為 2 1 2 or  i(註:由 3 根和=0 可求有一根-2) 即 2 3 ( ) ( 2)( 2 5) 10 f x  x x  x  x x 故○1 _{( , )a b (1,10)}○2 _{2 1 2or  i}可得 ○3 _{f x( )(x2)(x}2_{2x5)0(x2)0x 2} 第二章多項式函數 第四單元 P23. ※第二部分 8. Ans:2 2i 令 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( , ) (2, 2 ) ( 2, 2 ) (2, 2 ) 2 4 2 a b Z a bi Z a b abi a b i or i i ab           _         所求 9. Ans: 2 k 1 or 3< <4k 由勘根可知 (0) (1) 0 2 1 2 4 (1) (2) 0 2 0 3 4 f f k or k f f k or k                      2 k 1 or 3< <4k     10.Ans:(A)(B)

第二章多項式函數 P23 第四單元. 2/1 如右表，正負交換間必有根 選(A)(B) 11.Ans:-65 與 P19 習題 12 相同 x

-2

-1

0

1/2

1

f(x)

-

+

+

-

+

有根 有根 有根

第二章多項式函數 P27 第五單元. 1/1 ※第一部分 1. Ans:如圖 ○1 _○2 _○3 _○4 2. Ans: x2or x 1 如圖 f x( )0  2 x 1可令f x( )k x( 2)(x4),k 0 f(2 )x k(2x2)(2x4)0(2x2)(2x4)0x2or x 1 3. Ans: 3 x4 3 2 2 2 12 8 ( 3)( 2) 0 3 3 4 ( 4)( 1) 0 1 4 x x x x x x x x x x x                         3 x 4    第二章多項式函數 第五單元 P27. ※第二部分 4. Ans:○1 _{ 4 x2or x 5 ○}2 _{ 5 x3} ○1 2 0 ( 2)( 4) 0 4 4 4 2 5 5 ( 5)(3 ) 0 3 0 3 x x x x x x or x x x x x x                       _      _    且 且 ○2 2 2 2 2 25 0 25 0 1 0 5 3 1 0 25 ( 1) x x or x x x x x                    _{  }  5. Ans: 2 3 3 a   題意知 2 ( 2) ( 1) ax  a x a 恆負或0 2 0 ₂ 3 3 ( 2) 4 ( 1) 0 a a a a a   _         6. Ans:○3 找 f x g x ( ) ( ) 0 如圖

2

  時，

x

3

f x( )0, ( )g x 0

第二章 P27 試題觀摩. 1/2 第一部分 1. Ans:( , )a b  ( 1, 2) 令 2 ( ) ( 2 2) ( ) (1 ) (1 ) 1 f x  x  x Q x ax b f i a i b i 1 2 1 a b b a     _      比較係數 2. Ans: x 3 令 2 2 2 ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) f x  x  Q x ax b xf x x x  Q x ax bx 依題意 2 2 (ax bx) (x 1) 3x 1     的餘式為 

 

b

3,

a

 

1

3. Ans:x2 or x 1 令 f x( )k x( 5)(x1),k0 f(2x3)k(2x 3 5)(2x 3 1) ,k 0  f(2x3)0k(2x2)(2x4)0x2 or x 1 (留意k  喔) 0 4. Ans: 17 2 i 4 1 1 , 0, 0 4 x y y x x y i xyi x y xy x y        _        一正一負 求式2= 2 2 17 2 2 2 4 y y x x y x y x x x y y x y xy            求式= 17 2 i 5. Ans:(1)(2)(3)(4) 2 2 (1) 0 0 4 0 2 v b x axb 中a  b 有 實根 2 2 (2) 4 0 v a  bx axb 有一對共軛虛根 2 2 (3) 4 ( ) 0 1 v a  bx axb恆正 f x  x  2 (4) 0 1 2, 2 v x ax b i a b           實係數方程式虛根成對 有 兩根 由根與係數 P28.第二部份 6. Ans:○1 _{a 8 ○}2 1 5 ○1 f x( )5x56x4119x346x254x a [ ]x  f x( )0有根3 7 3 7也為根 即 2 [x(3 7 )][x(3 7 )]x 6x 為2 f x( )的因式，用長除法可得a8 ○2 由○1 中長除法可知 _{f x( )(x}2_{6x2)(5x}3_24x2_{15x4)(x}2_{6x2)(5x1)(x4)(x1)} ( ) 0 3 7, , 1, 41 1 5 5 f x   有根    最大為 7. Ans:( 3, 1)  3 2 2 3 13 2 3 11 3 (2 3)( 3 1) 0 2 x  x  x  x x  x   正根為  3 13 2  是 2 0 x  pxq 的根

第二章 P27 試題觀摩. 2/2 2 [ ] x  px q x   3 13 2   亦為 2 0 x  pxq 的根 由根與係數可知p 3,q 1 8. Ans:2 or 18 整係數 3 次方程式恰有 3 個根(含已知的的 2 有理根)3 根都為有理根(根式根要成對) 又領導係數為 1 故可知 3 1 0 x mxnx  有 3 個整數根 由 3 根乘積為 1 3根為1,1, 1 ( 可得m 1,n 1)or 1, 1, 1(   可得m3,n3) 9. Ans:(B)(C) ( ) 3 1 3 1 ( ) 3 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 1 3 4 v f a a a a f b b b b B A f c c c c                    _{      }  2 ( ) ( 1)(3 1) ( )( ) =7 11 v C 所求為 x x x  xa xb 的餘式 x (D)  2 1 1 8 1 ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) 3 1 ( ) 7 = 3 3 3 3 f x  xa xb xc Q x l xa xb  x 又f c    l 餘式 x  x ( )E  ( ) 3 f x  為 次式 由(D)又 (1) 2 Q( )=2 (5) 72 3 f   x  f  且 可求得 10.Ans:(A)(B)(C)(E) 2 (A) ( ) ( 3)(2 5 7) 6 ( 3)[2 ( 3) 7] 6 v f x  x x  x   x x x x   當r3時，f r( )0 2 (B) ( ) ( +2)(2 15 52) 6 ( 2)[2 ( 2) 19 52] 119 v f x  x x  x   x x x  x   當r 2時，f r( )0 ( ) ( ) ( ) v v C D E  2 3 2 2 ( ) ( 3)(2 5 7) 6 2 11 22 15 (2 3)( 4 5) f x  x x  x   x  x  x  x x  x 可知 ( ) f x =0 恰有一實根3 2 11.Ans:(1)(2)(5) 實係數方程式虛根成對，此三次方程式有 3 個根即 1 對虛根(1 i )與一實根(1) v (2) v (3) ( )f x x 0    為三次實係數方程式故必有 1 實根 3 (4) (f x ) 0   為 9 次實係數方程式故必有 1 實根 (5) v 若 f(4)0又f(2)0，f(0)0由勘根可知有根在 0~2 與 2~4，與 f x ( ) 0恰有一實根矛盾 12.Ans:(2)(4) 考慮方程式 f x( )x0，可知有 1,2,5 三個根可令f x( )x(x1)(x2)(x3) 即 f x( )(x1)(x2)(x3)x x _{0 1 2 3 5} ( ) f x _{-10 1 2 -1 5} 有根 有根 有根