國 立 交 通 大 學
財務金融研究所
碩士論文
狀態轉換隨機交易時距模型
以及偵測資訊不對稱時機的應用
Switching Stochastic Conditional Duration Model and
Applications in Timing Information Asymmetry
研 究 生：陳 德 峰 撰
指導教授：鍾 惠 民 博士
狀態轉換隨機交易時距模型以及偵測資訊不對稱時機的應用 研究生：陳 德 峰 指導教授：鍾 惠 民 博士 國立交通大學財務金融研究所 摘 要 本文研究目的主要在探討在紐約證券交易所(NYSE)上市公司交易 的資訊不對稱現象以及逆選擇成本。內線交易以及策略性交易等造成資 訊不對稱的現象皆為日內行為，為了研究造市者的動態調整過程，以及 資訊交易者與非資訊交易者之間的互動以及行為模式，在傳統模型適切 性不足的情形下，本文提出 MSSCD ( Markov Switching Stochastic Conditional Duration)模型分析高頻率日內資料，並融入與測度資訊 不對稱模型，可以實證在文獻中對於資訊交易者行為中不同的論點。 面對不規則時間間隔的交易到達過程，Engle and Russell(1998) 將交易時間建立隨機過程而提出 ACD 動態模型應用於市場微結構領域。 由於 ACD 模型參數化的方式與 ARCH 相似，許多相似的推廣後波動性模 型的參數化方式也紛紛應用在 ACD 模型；本文提出的 MSSCD 模型不僅 是建構模型的先驅之外，而且估計之 EM 演算法可以得到較為穩健的結 果，更可運用於 MSSV(Markov Switching Stochastic Volatility)的參 數估計問題。 本文也實證比較目前文獻上的實證模型，有鑑於傳統模型在買賣單 大量不平衡的所造成難以估計的問題，本文提出 EM 演算法，可以得到 較為穩健的結果，使模型運用者更容易使用於不同市場，以及將資產定 價的期間不再侷限於 1998 年之前。 研究主題可分為四部分 : 第一部分探討資訊交易之理論文獻與實 證模型以及本文所提出的估計方法。第二部分探討介紹高頻率計量模 型，以及本文提出的動態資訊交易機率模型。第三部分透過三因子資本 資產定價模型針對各種資訊交易機率估計量進行衡量比較其逆選擇成 本，並且用來檢驗美國證券交易法公平揭露規則新制是否能中止內線交 易、降低資訊不對稱的現象。
目錄
第一章 緒論... 6 第一節 研究動機 ... 6 第二節 論文架構流程圖 ... 8 第二章 資訊交易理論文獻回顧 ... 9 第一節 理論模型 ... 10 第二節 實證模型 ... 15 第三章 有限混合分配模型與隱藏馬可夫模型 ... 27 第一節 EM演算法 ... 28 第二節 波松有限混合分配模型 ... 29 第三節 隱藏馬可夫模型 ... 30 第四章 日內市場動態模型文獻回顧 ... 34 第五章 馬可夫轉換狀態空間模型與 ... 40 動態資訊交易機率模型 ... 40 第一節 狀態空間模型 ... 41 第二節 馬可夫轉換狀態空間模型 ... 43 第三節 動態資訊交易機率模型 ... 46 第四節 實證結果 ... 49 第六章 資產定價與逆選擇成本之實證結果 ... 52 第一節 研究方法 ... 52 第二節 模型估計結果 ... 53 第三節 四因子資產定價模型 ... 64 第七章 結論與建議 ... 78 參考文獻... 79表目錄
[表 1]交易時距的樣本敘述統計量... 49 [表 2]參數估計結果... 50 [表 3] PIN1 投資組合的PIN平均值,市值平均值,報酬率平均值 ... 68 [表 4] PIN2 投資組合的PIN平均值,市值平均值,報酬率平均值 ... 69 [表 5]共同因子的敘述統計量(分 6 組投資組合)... 71 [表 6] Fama-French 三因子定價模型(分 6 組投資組合) ... 71 [表 7] Fama-French +PINF 四因子定價模型(分 6 組投資組合) ... 72 [表 8] PIN1 投資組合的PIN平均值,市值平均值,報酬率平均值 ... 73 [表 9] PIN2 投資組合的PIN平均值,市值平均值,報酬率平均值 ... 74 [表 10] PIN3 投資組合的PIN平均值,市值平均值,報酬率平均值 ... 75 [表 11]共同因子的敘述統計量(分 7 組投資組合)... 76 [表 12] Fama-French 三因子定價模型(分 7 組投資組合) ... 76 [表 13] Fama-French +PINF 四因子定價模型(分 7 組投資組合) ... 77圖目錄
[圖 1]交易過程之樹狀圖(Glosten and Milgrom ,1985) ... 10
[圖 2]交易過程之樹狀圖(Easley, Hvidkjaer and O’Hara, 2002）... 15
[圖 3] Exxon 估計之隱藏變數(前 300 筆) ... 51 [圖 4]交易過程樹狀圖(模型一) ... 53 [圖 5]交易過程樹狀圖(模型二) ... 54 [圖 6]未收斂樣本個數... 56 [圖 7]未收斂樣本佔總市值比例... 56 [圖 8]εb,εs,µb,µs的橫斷面平均數分佈圖 ... 59 [圖 9]α的橫斷面 5th,25th,50th,75th,95th 百分位數分佈圖 ... 59 [圖 10]δ 的橫斷面 5th,25th,50th,75th,95th 百分位數分佈圖... 60 [圖 11] PIN1 的橫斷面 5th,25th,50th,75th,95th 百分位數分佈圖 ... 60 [圖 12]εb,εs,µb,µs的橫斷面平均數分佈圖 ... 61 [圖 13]α的橫斷面 5th,25th,50th,75th,95th 百分位數分佈圖 ... 62 [圖 14]δ 的橫斷面 5th,25th,50th,75th,95th 百分位數分佈圖... 62 [圖 15] PIN2 的橫斷面 5th,25th,50th,75th,95th 百分位數分佈圖 ... 63 [圖 16] PIN3 的橫斷面 5th,25th,50th,75th,95th 百分位數分佈圖 ... 63
第一章 緒論
第一節 研究動機
本文研究目的主要在探討在紐約證券交易所(NYSE)上市公司交易 的資訊不對稱現象以及逆選擇成本，探討高逆選擇成本股票背後是否有 較高的股票報酬支持，使得無資訊優勢的投資人仍願意冒著資訊不對稱 的風險進場交易以獲取較高額的報酬，使得高資訊交易的股票不至於有 流動性的危機。此議題在資產定價理論研究中佔有重要的地位，因此本 文議題無論是學術面或政策面均有學術研究的價值。 相對於傳統資產定價模型，市場微結構的研究便以市場特性為出發 點，考量市場訊息的擁有與傳遞的過程，並以此對資產定價，而且已經 證實未公開資訊與資產價格之間有重要的關聯。眾多研究指出當現實生 活中投資者並非同質性預期，或者是存在資訊不對稱的情況下，資產的 預期報酬率除了包含系統性風險溢酬以外，也必須提供非系統性的個別 風險溢酬。換句話說，在建立模型時，若無考量資訊的影響，則資產的 價格便無法反映出此一市場特性。 在傳統文獻中，大多只屬理論研究，鮮少實證分析。目前文獻上實 證分析提出資訊交易機率(Probability of Informed Trading, PIN)，如Easley, Hvidkjaer and O’Hara（2002）以及Nyholm(2000）。Easley, Hvidkjaer and O’Hara（2002）理論依據為推廣Glosten and Milgrom(1985)的交易序列模 型，使用三種波松(Poisson)混合分配來估計交易單在於資訊交易者的比 例；Nyholm（2000）則為延伸Huang and Stoll（1997）的逆選擇成本模 型，以逐筆交易的基礎估計資訊交易機率。無論如何，資訊交易以及策 略性交易是屬於日內基礎的交易行為，因此本文在實證研究中，透過三 因子資本資產定價模型針對各種資訊交易機率估計量進行衡量，探討是 否逐筆交易的基礎估計資訊交易機率能夠有較高解釋資產報酬的能力。 內線交易以及策略性交易等造成資訊不對稱的現象皆為日內行為，為了研究造市者的動態調整過程，以及資訊交易者與非資訊交易者 之間的互動以及行為模式，在傳統模型適切性不足的情形下，本文提出 MSSCD(Markov Switching Stochastic Conditional Duration)模型分析高頻 率日內資料，並融入與測度資訊不對稱模型，可以實證在文獻中對於資 訊交易者行為中不同的論點。
面對不規則時間間隔的交易到達過程，Engle and Russell(1998)將交 易時間建立隨機過程而提出 ACD 動態模型應用於市場微結構領域。由 於 ACD 模型參數化的方式與 ARCH 相似，許多相似的推廣後波動性模 型的參數化方式也紛紛應用在 ACD 模型，例如： Markov Switching ACD 繼承 SWARCH 的精神，SCD(Stochastic Conditional Duration)則是繼承 SV(Stochastic Volatility)的精神。本文提出的 MSSCD 模型不僅是建構模 型的先驅之外，而且估計之 EM 演算法可以得到較為穩健的結果，更可 運用於 MSSV 的參數估計問題。 本文貢獻為首先提出考慮交易時距對造市者的影響之資訊不對稱 測度模型：除了買賣價差之外，透過可觀測的造市者報價的交易時距， 考量交易時距的影響，分析不可觀測的資訊交易者、非資訊交易者與造 市之間的互動，以描述對於造市者報價的衝擊所隱含的逆選擇成本以及 資訊不對稱現象。除此之外，透過 EM 演算法以及隱藏馬可夫模型，首 先實證比較現有模型的資產定價表現。 結論指出，以每月為基礎的模型估計資訊交易機率更能顯現出資訊 交易者行為的季節性。橫斷面上，資訊交易機率在每年年底時會大幅上 升，但是在 2000 年以及 2001 年年底時，資訊交易機率提高的幅度較小， 可以佐證在 2000 年 10 月開始，美國證券管理委員會於實施之「公平揭 露規則」。由於資訊必須公平揭露，因此資訊不對稱的效果下降，提高 股票市場的流動性，使得買賣單數量也隨之提高，在年底時資訊交易者 的衝擊也相對減小。
另外，Nyholm(2000)指出以逐筆報價為基礎的資訊交易機率模型在 文獻中估計結果與 Easley, Hvidkjaer and O’Hara（2002）的資訊交易機率 相似。但在本文實證四因子資產定價模型中發現，兩者是不同涵義的測 度，未來研究資訊不對稱對股票報酬的影響必須同時考量兩者的交互作 用。
緒論與研究動機 資訊交易理論文獻回顧 日內市場動態模型文獻回顧 馬可夫轉換 有限混合分配模型 狀態空間模型 隱藏馬可夫模型 動態資訊交易機率模型 四因子資產定價模型 實證分析比較 結論與建議
第二章 資訊交易理論文獻回顧
第一節 理論模型
2.1.1 Glosten and Milgrom (1985)
Glosten 以及 Milgrom 提出序列交易(sequential trade)模型，來 探討在資訊不對稱下的交易過程。本篇文章指出，資訊交易者的存在將 影響股票價格，而買賣價差將是造市者與資訊交易者的互動所產生的結 果。 模型設定： 1. 股票的價值是 v 或者是 v，兩種情形。 2. 資訊交易者出現的機率是α，非資訊交易者出現的機率是 1-α 。 3. 資訊交易者知道股票的真實價值v%，而且當v%大於買入價格，則買入 股票；而當v%小於賣出價格，則賣出股票。 4. 非資訊交易者買入股票的機率是μ，而賣出股票的機率是 1-μ。
[圖 1]交易過程之樹狀圖(Glosten and Milgrom ,1985)
1.買單情況: ( ) P v =θ ( | ) (1 ) P buy v = + −α α µ ( | ) (1 ) P buy v = −α µ Bayes’Rule: ( (1 ) ) ( | ) ( (1 ) ) (1 ) (1 P v buy ) α α µ θ α α µ θ α µ θ + − = + − + − − ( | ) 1 ( | ) P v buy = −P v buy 2.賣單情況: (1 )(1 ) ( | ) (1 )(1 ) [ (1 )(1 )](1 ) P v sell α µ θ α µ θ α α µ θ − − = − − + + − − − ( | ) ( ) ( | ) P v buy >P v >P v sell ( | ) ( ) ( | P v buy <P v <P v sell) 3.造市者(Market Maker)預期利潤為零之下，設定報價： [ | ] ( | ) ( | ) [ | ] ( | ) ( | )
b bid E v sell vP v sell vP v sell a ask E v buy vP v buy vP v buy
= = = + = = = + 結論: 1. v< < <b a v 2. 買賣價差(a− )b ，是造市者設定報價的條件： ) 在資訊交易者造成的損失＝在非資訊交易者帶來的利益，之下帶來 的結果。 3. 買賣價差會隨著資訊交易者出現的機率α上升而提高。 4. 報價中點(a−b /2，不是造市者當時的預期值。
2.1.2 Kyle(1985) 該篇文章提出在資訊不對稱之下策略性交易模型。在 Kyle 的模 型中，存在單一的資訊交易者，而且是與造市者互動下策略性的交 易。資訊交易者會考慮他下單的交易量所造成對報價的衝擊，而進行 交易。 模型設定（單一期模型）： 1. 證券的最終價值 ，服從常態分配v N p( 0,Σ0)。 2. 存在單一資訊交易者，知道真實證券價值 ，對證券的需求為ｘ。 v 3. 非資訊交易者的下單量為u，服從常態分配 N(0,σu2)，u與 獨立。 v 4. 造市者觀察到總需求為 y= +x u，然後設定價格p 。 5. 所有交易在價格p結清；如果在買賣單上有不平衡的情形，由造 市者負責供需。 資訊交易者的觀點： 1. 資訊交易者猜側造市者的價格調整法則是線性的： p= yλ µ+ 其中， 是總需求，y y= +x u；λ是流動性程度的倒數。 2.資訊交易者的交易利潤為： (v p x) π = − 代入上式，可得π =x v( − +(u x)λ µ− ) 3.預期利潤為 ( ) Eπ =x v−xλ µ−
4.最佳化的策略： 2 v x µ λ − = ， 二階條件：−2λ<0 造市者的觀點： 1. 造市者猜測資訊交易者的需求對於 是線性的： v x= +α βν 給定資訊交易者最佳化的策略之下，造市者可以知道α 以及β: 2 v µ α βν λ − + = 可得: 2 µ α λ = − ， 1 2 β λ = 2. 造市者對於資訊交易者行為的猜測: y= + +u α βv 由常態分配的投影定理可得： 0 0 | 0 2 2 0 ( ) ( ) v y u y p E y p β α β β σ − − Σ = + Σ + 3. 市場效率性要求Ev y| ( )y = p， 0 0 0 2 2 0 ( ) u y p p β α β yλ µ β σ − − Σ + = Σ + + 因此， 2 0 0 0 2 2 2 0 0 , u u u p αβ σ β µ λ 2 β σ β Σ − Σ = − = Σ + Σ +σ
均衡之下的結果： 2 0 0 0 2 2 2 2 0 0 , , u u u p αβ σ β µ λ β σ β σ Σ − Σ = − = Σ + Σ + 2 µ α λ = − , 1 2 β λ = 2 2 0 0 0 0 2 0 0 , , , 2 u u u p p p σ σ α µ λ β σ Σ = − = = = Σ Σ 結論： 1. 流動性程度λ，以及資訊交易者的下單係數β決定於證券價值的不 確定性Σ0與非資訊交易者下單的不確定性的比率。 2. 資訊交易者的預期利潤為： 2 2 0 0 ( ) 2 u v p Eπ = σ − Σ 3. 資訊交易者的需求為： 2 0 0 ( ) u v p x= σ − Σ 4. 資訊不對稱對證券造成的影響： 1 | 2 2 0 0 2 2 0 ( ) ( , ) * ( ) * ( , ) = v y u
Var Var v Cov v y Var y Cov y v
β β σ − = − Σ Σ − Σ + 0 | | 2 v p v y Var =Var =Σ 因此，私有資訊會影響證券價格，其中有一半的私有資訊將會融 入證券價格，而且與非資訊交易者的行為無關。
第二節 實證模型
2.2.1 Easley, Hvidkjaer and O’Hara（2002） 市場上的參與者分成兩種，一為資訊交易者，另一為非資訊交易 者。資訊交易機率（PIN）即是任意一檔股票之資訊交易佔該股票之 總交易的百分比。非資訊交易者，只掌握公開訊息，對於私有資訊（優 勢資訊）所知甚少，他們只能從公開資訊和過去的股價中了解資訊交 易者所握有的資訊，進而決定此時股票應有的價值，但此決定並不一 定為真。依上述，我們將非資訊交易者根據他所握有的資訊（公開資 訊、前期股價行為及他所認定之事實）所下之買單設為 εb 而賣單設 為 εs ；但對於資訊交易者而言，他對公司應有的價值已有清楚的認 知，所以只有在任何資訊（未公開之資訊）發生而改變公司價值時， 才會進場交易。由此，我們將資訊交易者因私有訊息而下之買賣單設 為 μ ；而每天資訊交易發生之機率為α，其中資訊交易又可分為壞 消息的機率δ 和好消息的機率 1-δ
[圖 2]交易過程之樹狀圖(Easley, Hvidkjaer and O’Hara, 2002）
買單量εb 壞消息機率δ 賣單量εs+µ 資訊事件發生機率α 買單量εb+µ 好消息機率1−δ 賣單量εs 買單量εb 無資訊事件發生機率1−α 賣單量εs
Easley, Hvidkjaer and O’Hara（2002）採用 Poisson 分配的觀念 來捕捉資訊事件發生之機率，透過最大概似估計法，以每日可觀察之 買盤數（B）及賣盤數（S）為輸入參數，估計一段時間內之輸出參 數θ =( , ,α µ ε ε δb, s, )可讓方程式最大化，繼而求出任一股票在這一段時 間內之資訊交易機率。其單一交易日模型如下： ( ) ( ) ( | , ) (1 ) ! ! ( ) ! ! ( ) (1 ) ! ! b s b s b s B S b s B s b s B s b s L B S e e B S e e B S e e B S ε ε ε µ ε µ ε ε ε ε θ α ε µ ε αδ µ ε ε α δ − − − − + − + − = − + + + + − B ：買盤數 µ：資訊交易者之下單量 S ：賣盤數 εb：非資訊交易者之買單量 α ：資訊事件發生機率 εs：非資訊交易者之賣單量 1−α：無資訊事件發生機率 δ ：事件發生為壞消息機率 θ =( , ,α µ ε ε δb, s, ) 1−δ：事件發生為好消息機率 以下為 N 個交易日的模型： 1 ( | ) ( | , ) n i i i V L θ M Lθ B S = = =
∏
其中， 交易日i=1,...., ; M=(( ,n B Si i),....,(B Sn, n))，給定 M 之後，最大化 V， 即可估出θ =( , ,α µ ε ε δb, s, )。 最後，即可求得資訊交易機率（PIN）: b s PIN αµ αµ ε ε = + +2.2.2 Nyholm（2000）
該篇文章主要是研究造市者的報價行為、資訊交易機率和價差關 連性、及交易量高低對資訊反應速度快慢的影響。該文提出一個新的 估計模型，該模型的建構主要是交易指標模型（the trade indicator model），以 Glosten（1987）、Glosten and Harris（1988）及 Huang and Stoll（1997）等文章為此模型的代表，而 Nyholm（2000）的模型架 構便是以此一類模型的主，再佐以逐筆交易的概念。
此外該文亦延續 Kyle（1985）、Glosten and Milgrom（1985）的說
法，證券市場中的參與者可以區分成兩類：資訊交易者、非資訊交易 者（流動性交易者）。本文模型允許造市者可以在交易執行後區辯出 交易者的類型並在將交易者分類後，以逐筆報價的基礎去做出回應。 模型設定： 1. 市場為具市場中介者的連續型市場。 2. 流動性交易者的交易是以公開資訊和當時報價所含的資訊為基 礎，而此資訊集合： ，其中 l 是流動性交易者、t 則是交易的編 號。 l t Ω 3. 則為資訊交易者所握有的資訊， ，其中 是資訊交易 者所產生的資訊，此一資訊關乎證券的真正價值。 i t Ω Ω = Ωit { lt,Gt} Gt 4. 造市者在報價前可利用的資訊集合為Ω = Ωst+ { lt,Yt+}，其中， 是在 下一筆報價之前，只有造市者知道的資訊所成的集合，例如：下 單量、買（賣）…。 t Y+ 5. Ωlt+1為在報價後，造市者握有之資訊集合。t+強調的是造市者在兩 筆交易之間如何訂定價差的過程。 6. ，但是當價差並未充分地反應出證券的真實價值時，造市 者將盡可能利用 自 萃取出資訊內涵，使其所遭受到的損失最 小。 t t G ⊄Y+ t Y+ Gt
資訊交易者只有在利用所握有之私人資訊下進行交易才能獲 利，亦即是當造市者的報價並不能充反應基本價格時，資訊交易者才 進行交易。因此資訊交易者並需在以下狀況中交易才能獲利： ° 2 t t S V >M + ，證券價格被低估時 ° 2 t t S V <M − ，證券價格被高估時 (1) 其中， V° 為資產的基本（真實）價值；Mt為價差中點； 為報 價價差。 t S 就造市者的觀點來說，在時點 t 時面對每一筆交易所可能發生的 損失( )λt 可以機率表示如下： ° ° ° ° ( ) ( | 2 2 ( ) ( | , ) 2 2 l s t t t t t t t t t l s t t t t t t S S M V P V M S S M V P V M λ , ) t t + + = + − ⋅ > + Ω Ω − − − ⋅ < − Ω Ω (2) 當造市者意識到有驅使資訊交易者交易的動機時（如第(1)式所 述的狀況），造市者將會在損失最小化（min λt）的考量下，進行以 下的動作： ° ° 1 if ( | , ) 0.5 2 2 <- if ( | , ) 0.5 2 2 l s t t t t t t t l s t t t t t t S S P V M M S S P V M + + + ⎧ > > + Ω Ω ⎪⎪ ⎨ ⎪ < − Ω Ω > ⎪⎩ V > (3) 其中VMt+1 ：報價中點的修正幅度（mid-quote revision） 當交易被造市者認定可能來自於流動性交易者，則： ° ° 1 if ( | , ) 0.5 2 2 >- if ( | , ) 0.5 2 2 l s t t t t t t t l s t t t t t t S S P V M M S S P V M + + + ⎧< > + Ω Ω ⎪⎪ ⎨ ⎪ < − Ω Ω < ⎪⎩ V < (4)
為了適當地求算價差中點的修正幅度，本研究引入指標變數
（I），使第（3）式和第（4）式得以擴充為如下之交易指標迴歸式（the
trade indicator regression equation）：
(0) (1) 1 1 1 ( ) 2 t t t S M = α +α I− − Qt− + t V ε (5) 其中，對於計量經濟學家而言，I 是未知的；但對於造市者而言，它 卻是已知的資訊。當 t-1 時的交易被判斷來自流動性交易者，I＝0； 當 t-1 時的交易被判斷來自資訊交易者，I＝1。當交易為造市者之賣 方，Qt−1=1；當交易為買方，則Qt−1 = −1。為公開訊息的衝擊則歸為誤 差項。 模型的重心即在指標函數的估計，其所使用的方法為 Regime switching model（Hamilton，1994）。首先定義 為 母體參數的向量，而狀態轉換（state-transition）的機率矩陣為： (0) (1) 00 11 ( , , ,P P, ) θ = α α σ ' 00 11 00 11 1 1 P P P P P − ⎡ ⎤ = ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦ 其中， 和 表示狀態一直持續到下一次交易的機率，例如： ： 連續兩筆交易之 state=0 的機率。同時，我們假設此狀態轉換滿足馬 可夫過程。因此得知，當狀態「由 0 到 1」或是由「1 到 0」，其機 率分別為 1- 和 1- 。 00 P P11 P00 00 P P11 而時間 t 時的條件機率密度函數： (0) 1 2 1 2 2 1 1 1 (0) (1) 2 1 1 1 1 1 2 2 ( ) 1 2 exp( ) 2 ( | 0, , ; ) 2 ( | 1, , ; ) ( ( ) ) 1 2 exp( ) 2 2 t t t t t t t t t t t t t t t S M Q f M I S Q f M I S Q S M Q α σ θ πσ η θ α α σ πσ − − − − − − − − − − ⎡ − ∆ − ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∆ = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢= ⎥ ∆ = ⎣ ⎦ ⎢ − ∆ − + ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 最後，即可求得資訊交易機率（PIN）: 1 T t t t I PIN T = =
∑
$模型估計： t t t s t y =xβ +e ， ~ (0, 2) t t s e N σ 0(1 ) 1 t s St St β =β − +β ， 2 2 2 0(1 ) 1 t s St St σ =σ − +σ ， 1 1 Pr[St =1|St− = =1] p1 Pr[St =0 |St−1=0]= p00 將參數分成兩群， ' ' ' 1 2 [ ] , θ = θ θ 其中θ1 =[β β σ σ0' 1' 02 12]'，θ2 =[ 00 p p11]'。 1 2 3 [ .... ] T T S = S S S S 2 . 定義聯合分配 以及 '，則概似函數可寫 成： % ' 1 2 3 [ .... T] T y = y y y y % %% % % % %% 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ( , ; ) ( | ; ) ( ; ) ( | ; ) ( | ; ) ln[ ( , ; )] ln[ ( | ; )] ln[ ( | ; )] T T T T T t t t t T T t t T T T t t t t T t t p y S p y S p S p y S p S S p y S p y S p S S θ θ θ θ θ θ θ − = = − = = = × = × = +
∏
∏
∑
∑
θ Algorithm: 0 ( ) 0 Pr( ) ( Pr .) j l S Steady State ob θ π = = − ⇓ 1 1 1 1 1 1 1 1 Pr( , | ) Pr( | ) Pr( | ) ( | ) ( | , , ) t t t t t t t t t t t t t S S S S S S f y f y S S ψ ψ ψ ψ − − − − − − − − ⇓ = ⇓ = 1 1 1 1 Pr( , | ) { ( ) ( ) ln( ( | ))} Pr( t t t t t S t t S S l l f y ψ θ θ ψ − − − − ⇓ = + ⇓∑∑
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , , | ) ( | , , ) Pr( , | ) , | ) ( | ) ( | ) Pr( | ) Pr( , | t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t f y S S f y S S S S S S f y f y S S S ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ − − − − − − − − − − − = = ⇓ = 1 1 1 1 ) ( ) ln( ( | )) t S T t t t lθ f y ψ − − = ⇓ ⇓ ⎧ = ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭∑
∑
t-1=t使用EM演算法：(請參考第三章) % %° %° ° % ° ° ° %° 1 1 1 1 2 ( ; , ) ln[ ( , ; )] ( , ; ) ln[ ( | ; )] ( ; ) ( , ; ), T T k k T T T S T T k T T T T T S Q y p y S p y S p y S p S p y S θ θ θ θ θ θ θ − − − = =
∫
∫
其中，期望值是條件於θk−1和 %T s1 s1.... T S =Σ Σ Σs∫
。 對條件期望值取極大， % % ° %° ° 1 1 1 1 1 ( ; , ) ln[ ( | ; )] ( , ; ) 0 T k T k T T T T S Q y p y S p y S θ θ θ θ θ θ − − ∂ ∂ = = ∂∫
∂ 同除於 % 1 可得： ( T; k ), p y θ − % ° ° %° % % ° ° ° % ° ° % % 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 ln[ ( | ; )] ( , ; ) 0, ( ; ) ln[ ( | ; )] ( | ; ) 0 ln[ ( | )] ( | ; ) 0, ln[ ( | )] ( | ; ) 0, T T T t k T T T T k S T T k T T T S T k t t T T S t T k t t t T t S p y S p y S p y p y S p S y p y S p S y p y S p S y θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − − − − = − = = ∂ = ∂ ∂ ==> = ∂ ∂ ==> = ∂ ∂ ==> = ∂∫
∫
∑
∫
∑ ∑
, 0 1 0 1 [ k k] k k k θ = β β σ σ j其中 % 1 可透過 Kim’s Smoothing Algorithm 求得。
( t | T; k ) p S y θ − (更廣義模型請參考 3.3.1 馬可夫轉換狀態空間模型) 在第 k 次迭代過程當中， ' ' 2 2 '，給定 t S = 時： ' 2 2 1 2 ( ) 1 1 1 ln[ ( | ; )] log(2 ) ln( ) . 2 2 2 t t j t t j j y x p y S j θ π σ β σ − = = − − −
對於參數求極大， % % % % 1 1 1 0 ' 1 2 1 1 1 2 1 0 ' 2 1 2 4 1 ln[ ( | )] ( | ; ) ( ) ( | ; ) 0, ln[ ( | )] ( | ; ) ( ) 1 1 1 ( | ; ) 2 2 t t T k t t t T t S j T t t t j k t T t j T k t t t T t S j T t t j k t T t j j p y S p S y x y x p S j y p y S p S y y x p S j y θ β β θ σ θ σ β θ σ σ − = = − = − = = − = ∂ = ∂ − = = ∂ ∂ ⎧ − ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨− + ⎬ = = ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
∑ ∑
∑
∑ ∑
∑
0, 因此， % % % % 1 ' 1 1 ' 2 1 2 1 ( | ; ) ( | ; ) , 0 ( ) ( | ; ) , 0,1. ( | ; ) k k k k j t t t T t t t T t t k k t t j t T t j k t T t x x p S j y x y p S j y j y x p S j y j p S j y β θ θ β θ σ θ − − − − − ⎛ ⎞ ⎛ =⎜ = ⎟ ⎜ = ⎝ ⎠ ⎝ − = = = =∑
∑
∑
∑
,1, ⎞ = ⎟ ⎠ % % 1 1 1 1 ( , | ; ) , 0,1. ( | ; ) k t t T k t jj k t T t p S j S j y P j p S j y θ θ − − − − = = = = =∑
∑
重複以上過程，直到參數收斂為止。2.2.3 Lei and Wu (2004)
該篇文章主要是延續 Easley, Hvidkjaer and O’Hara（2002），進行 資訊交易的實證分析，並且將模型推廣。非資訊交易者在個股的報酬 率較高時，可能採取逆勢策略；而在市場大盤的報酬率較高時，可能 採取動能策略。在研究中指出，非資訊交易的下單流量是會隨著時間 變動，並非保持不變。
該文也將放寬模型限制後所估計的資訊交易機率，與 Easley, Hvidkjaer and O’Hara（2002）模型設定下的資訊交易機率進行比較。 結論指出，在眾多測度資訊不對稱的指標下，隨著時間變動的資訊交 易機率(time-varying probability of informed trading) 在預測買賣價 差上有較好的表現。
模型設定:
1. 非資訊交易者：
在每個交易日，非資訊交易者的訂單流量服從兩狀態馬可夫轉換 (Two-State Markov Switching)，而轉移機率(transition probability)是個 股報酬率以及市場大盤報酬率的函數。非資訊交易者在每個交易日的 訂單量，可能為較高狀態 h t ε ，或者是較低狀態 l t ε 。因此，放寬在 Easley,
Hvidkjaer and O’Hara（2002）模型設定中，ε不變的假設。為了模型 估計可行性，僅假設買單流量服從兩狀態馬可夫轉換： ** ** * * 1 1 t t t t t π π π π π ⎡ − ⎤ ≡ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦ 其中， * , , ** , , ， 1 1 t 1 2 Pr( l B| l B) ( 'z ) , Pr( h B| h B) ( 'z ) t t t f t t t f π ≡ ε ε− = β π ≡ ε ε− = β t t z =個股累積報酬率以及市場大盤累積報酬率。 另外， , , ， t exp( 'z ) l S l B t t l ε =ε γ , , t exp( 'z ) h S h B t t h ε =ε γ
2. 資訊交易者： 在 Kyle(1985)指出資訊交易者的策略性交易會受到非資訊交易 者的影響，另外，在放寬只能交易一單位的限制後，資訊交易者的策 略性交易將會隨著消息到達而帶來大量的買賣單。然而，資訊交易者 將如何進行交易，一直是實證上關注的焦點，該文提出四種行為組合 來描述資訊交易者的交易策略： ( , ) b h t t s = ε µtl ，sta =(ε µth, th)，stc =( ,ε µtl th)，std =( ,ε µtl tl) 因此， 是資訊交易者行為與非資訊交易者行為配合狀態；而 是不配合狀態。 , a d t t s s s stb, tc 定義變數ρ為反應配合機率，ρ=Pr(µ εth| th)=Pr(µ εtl| tl) 因此，在條件Pr( | , 1, 1)= Pr( | h h h h h h t t t t t t) µ ε ε µ− − µ ε 之下： ** 1 1 1 1 1 1 Pr(sta |sta−)=Pr(ε µ ε µth, th| th−, th−)=Pr( |ε εth th− ) * Pr(µ ε ε µth| th, th−, th−)=π ρt 模型估計： 透過資訊交易者的反應配合機率ρ，改寫轉移機率 成為： vt ** ** ** ** t t t t ** ** ** ** t t t t t * * * * t t t t * * * * t t t t (1- ) (1- )(1- ) (1- ) (1- ) (1- )(1- ) (1- ) v = (1- ) (1- )(1- ) (1- ) (1- ) (1- )(1- ) (1- ) π ρ π ρ π ρ π ρ π ρ π ρ π ρ π π ρ π ρ π ρ π ρ π ρ π ρ π ρ π ρ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ρ d t 定義pts ≡[ ( ) ( ) ( ) (p sta p stb p stc p s )] 因此，狀態演化過程為： -1 0 1 , 1 t s s s t t t m m p p v p v t = = =
∏
∀ ≥資訊交易機率： 透過 s t p ，可得p(εth) , ( ) , (p εtl p µth) , (p µtl) t 。 定義資訊交易者以及非資訊交易者下單流量的期望值： , , , ( ) ( ) e S h S h l S l t t p t t p ε =ε ε +ε ε , , , ( ) ( ) e B h B h l B l t t p t t p t ε =ε ε +ε ε ( ) ( ) e h h l l t t p t tp t µ =µ µ +µ µ 最後，可求得資訊交易機率： , , e t e e S e t t t TPIN αµ B αµ ε ε = + + 概似函數： 給定在交易日 t 時，狀態為 ，買單為 ，賣單為 之下： a t s Bt St , , , , , , , , , , , , ( ) ( ) ( ) (1 ) exp( ) ! ! ( ) ( ) exp( ) ! ! ( ) ( (1 ) exp( ) . ! ! t t t t t t B S h B h S a h B h S t t t t t t t B S h B h S h h B h S h t t t t t t t t B S h B h h S h B h S h t t t t t t t t g s B S B S B S ε ε α ε ε ε ε µ αδ ε ε µ ε µ ε α δ ε ε µ = − − − + + − − − + + − − − − ) 由於在函數中，存在指數，階乘，以及次方，在電腦運算時非常容易 造成上溢位以及下溢位，因此，將函數整理： ( )ta t ( )ta ( ) /(ta t! !),t g s = +c m s ⋅h s B S
其中： *, *, * *, *, , , , *, , *, * *, *, , , exp( )( ) ( ) , ( ) exp[ ( ) ( ) ( )] , ( ) (1 ) exp( ) 1 (1 ) 1 t t t t St t B S B S B S t t t t t t B S h B h S a h B B h S S h t t t t t t t t t B S t t B h h a h t t t t h S h B t t c m S h S ε ε µ ε ε ε ε ε ε ε ε µ µ ε ε µ µ δ µ αδ α δ ε ε ≡ − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ≡ − − − − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ≡ − + ⎜ + ⎟ + − ⎜ + ⎟ ⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ *, , , *, , , * , 1 ( ), 2 1 ( ), 2 1 ( ). 2 B h B l B t t S h S l S t t h l t t ε ε ε ε ε ε µ µ µ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ≡ + ≡ + ≡ + 可得概似函數： 1 *, *, * *, *, 1 1 { , , , } ( ) ln { | , } [ ln( ) ln( )] ln ( ) ( ) ( ) . T t t t T B S B S t t t t t t t t T k k k t t t t k a b c d L L B S B S m s h s p s ε ε µ ε ε = = = ∈ ⎡ ⎤ Θ = ⎢ Θ ⎥ ⎣ ⎦ = − − − + + ⎡ ⎤ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
∏
∑
∑
∑
第三章 有限混合分配模型與隱藏馬可夫模型
在資訊交易機率的實證模型中，Easley, Hvidkjaer and O’Hara （2002）將每日分成沒有消息、壞消息、好消息三種狀況，其實是波 松有限混合分配模型（Finite mixture model）的特例；而 Lei and Wu (2004)將模型推廣至馬可夫轉換，則是隱藏馬可夫模型(HiddenMarkov Model)的特例。本文為了比較資訊交易機率的各種測度，在 實證上提出更為容易而穩健的估計方法。
由於近年來交易量大增，根據 Easley, Hvidkjaer and O’Hara
(2002)，大型股因為交易量頻繁，往往無法求得資訊交易機率。例如， 以下為 2000 年 12 月 AT&T 的買單以及賣單數量:
Date Buy Sell Date Buy Sell
20001201 484 645 20001215 461 684 20001204 608 957 20001218 623 884 20001205 674 805 20001219 621 974 20001206 673 931 20001220 540 1158 20001207 615 963 20001221 651 1187 20001208 488 695 20001222 474 1022 20001211 661 1000 20001226 568 1560 20001212 812 1093 20001227 688 1976 20001213 671 1062 20001228 914 2955 20001214 632 1060 20001229 1068 2342 在 12 月 28 日賣單為 2955，若假設平時的密集度為 1000，則發生的 機率為 2.59395e-544，為小數點後 544 位，而造成電腦計算時的下溢 位。因此，本章分別對兩模型提出 EM 演算法，使得參數估計可以得 到較為穩健的估計值，並且解決買賣單不平衡問題。 除此之外，藉由 EM 演算法，將資訊交易者的行為放寬至在好消 息與壞消息時有不同的訂單流量更是自然而然的。
第一節 EM 演算法
3.1.1 概似函數的下界: ( ) log ( | ) log ( , | ) Lθ = p O θ =∫
p O X θ dX 1 其中，Ｏ是觀測值，而Ｘ是隱藏變數，X ={ ,...,x xN}。 使用 Jensen 不等式可得: ( , | ) ( , | ) ( ) log ( ) ( ) log ( ) ( ) ( ) log ( , | ) ( ) log ( ) ( , ( )) p O X p O X L q X dX q X q X q X q X p O X dX q X q X dX B q X dX θ θ θ θ θ = ≥ = − =∫
∫
∫
∫
， $ ( ) ( ) ( , ( )) ( , k ) ( k ) B θ q X =Q θ θ +H θ Q( ,θ θ( )k )=E{log ( ,p O X | ) | ,θ Oθ( )k } 因此，若 在迭代過程中為單調遞增，可同時使概似函數的下 界遞增。 ( ) ( , k ) Qθ θ 3.1.2 EM 演算法 Algorithm: Initialize: θ(1) ,k=0 Repeat: k=k+1 $ ( ) ( ) ( | , k ) q X = p X Oθ $ θ= ( ) arg maxθQ( ,θ θ k ) $ (k1) θ + ←θ Until ( 1) ( ) ( k ) ( k ) Lθ + −Lθ <δ第二節 波松有限混合分配模型
假設母體的分配為 g 種波松(Poisson)混合分配: 1 ( | ) ( | ) g t m t m f o θ c f o λm = =∑
其中, m m ( ) m m m m m ( | ) ( , | , ) ! ! B S Bt S B S t t t B S t t e f o f B S B S λ λ λ λ λ = λ λ = − + t 定義，隱藏的指標變數Znm: 1 , { 0 , n nm o m Z = 是來自分配 其他 則完整資料概似函數可寫成: 1 ( , | ) ( , | ) N n n n p O Z θ p o z θ = =∏
其中， 1 ( , | ) [ ( | )] nm Z g n n m n m m p o z θ c f o λ = =∏
使用EM演算法: 參數更新過程: µ(k) (k+1) nm m 1 N c = Z ， µ µ N (k) nm n (k+1) n=1 Bm N (k) nm n=1 B Z Z λ =∑
∑
， µ µ N (k) nm n (k+1) n=1 Sm N (k) nm n=1 S Z Z λ =∑
∑
其中， µ (k) (k) (k) m nm (k) (k) m 1 ( | ) ( | ) n m g t m m c f o Z c f o λ λ = =∑
重複以上過程，直到參數收斂為止。第三節 隱藏馬可夫模型
假設給定隨機樣本序列O=(O1,...,OT)，以及隱藏狀態Q=(Q1,...,QT)。隱 藏狀態取值在集合S={1,2,..., }n 。 目標：估計參數λ=( , , )A Bπ 使得p o q( , | )λ 極大。 其中， ， 是轉移機率，服從馬可夫過程。 ( ij n n) A= a × aij =P Q( t = j Q| t−1= )i 1 ( )i n π = π × ，πi =P Q( 1=i)是起始機率。 ， 1 1 ( )i n B= b × ( | ) ( , ) g i t t m t i m b f o Q i c Poisson o λm = = = =∑
× 是觀測值的機率分 配，在此為波松混合分配。 EM演算法估計程序： 完整資料之概似函數: 1 1 1 1 2 ( , | ) ( ) ( ) t t t T q q q q q t i P o q λ π b o a − b o = =∏
令λ'目前的參數值， * ( , ') log ( , | ) ( , | ') T q S G λ λ P o q λ p o q λ ∈ =∑
，S 為狀態序列所 構成的集合。 * T 1 * 1 * * 2 1 ( , ') log ( , | ') ( log ) ( , | ') [ log ( )] ( , | ') T t t T t T q q S T q q t q S T q t t q S G P o q a P o q b o P o q λ λ π λ λ λ − ∈ = ∈ = ∈ = + +∑
∑ ∑
∑ ∑
(*) 1. 計算G( , ')λ λ 2. 找出arg max ( , ')G λ λ λπ 估計 : 在(*)中的第一項: 1 * 1 1 log ( , | ') log ( , | ') T n q i i q S P o q P o q i π λ π = ∈ = =
∑
∑
λ 使用 Langrange 乘數法，解： 1 1 1 log ( , | ') ( 1) 0 n n i i i i i P o q i π λ η π π = = ∂ ⎡ = + − ⎤= ⎢ ⎥ ∂ ⎣∑
∑
⎦ 可得估計值π =( ,...,π1 πn)， $ 1 1 ( , | ') ( | , ( | ') i P o q i P q i o P o ') λ π λ λ = = = = 定義γt( )i =P q( t =i o| , ')λ ，則$πi =γt(1)。 估計A : 在(*)中的第二項： 1 * 1 2 1 1 2 ( log ) ( , | ') log ( , , | ') t t T T n n T q q ij t t t i j t q S a − P o q λ a P o q− i q j λ = = = = ∈ = =∑ ∑
∑ ∑ ∑
= 使用 Langrange 乘數法，可得： $ 2 1 2 1 2 ( , , | ') ( , ) ( , | ') ( ) T T t t t t t ij T t t t P o q i q j i j a P o q i i λ ξ λ γ − = = − = = = = = =∑
∑
∑
其中，ξt( , )i j =P q( t−1=i q, t = j o| , ')λ 。估計B : 在(*)中的第三項： * 1 1 1 [ log ( )] ( , | ') log ( ) ( , | ') t T T n T q t i t t i t q S b o P o q λ b o P o q λ = = = ∈ =
∑ ∑
∑∑
估計參數: 1 1 1 ( , ) ( , ) T t t jm g T t m t j m c j m γ γ = = = =∑
∑∑
， 1 1 ( , ) ( , ) T t t t jm T t t j m o j m γ λ γ = = =∑
∑
其中， 1 1 ( ) Pr( ,..., , | ) t j O o Ot o Qt t j α = = = = λ 1 1 ( ) Pr( ,..., | , ) t j Ot ot OT oT Qt j β = + = + = = λ 1 1 ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) jm t jm t t t T g t t jm t jm t m c Poisson o j j j m j j c Poisson o λ α β γ α β λ = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣∑
⎦ ⎣∑
⎦ 使用Baum-Welch演算法： 計算αt( )j ，βt( )j ，ξt( , )i j ，γt( )i ： 1. 向前程序： (1) αi(1)=πi ib o( )1 j ot (2) 1 1 ( 1) ( ) ( ) n j i ij i t t a b α α + = ⎡ ⎤ + = ⎢⎣∑
⎥⎦ (3) 1 ( | ) ( ) n i i P O λ α T = =∑
2.向後程序： (1) βi( )T =1 + = =
∑
+ b o λ β π = =∑
t (2) β 1 β 1 ( ) ( ) ( 1) n i ij j t j j t a b o t (3) P O 1 1 ( | ) (1) ( ) n i i i i 3.計算ξ ( , )i j ： 1 ( , ) ( , | , ') t i j P qt i qt j o ξ = − = = λ i S Sj 1 ( ) ij j t a b o+ ( ) i t α βj(t+1) 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( 1) ( , , | ') ( , ) ( , | , ') ( | ') ( | ') ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) i ij j t j t t t t t i ij j t j n n i ij j t j i j t a b o t P o q i q j i j P q i q j O P O P O t a b o t t a b o t α β λ ξ λ λ λ α β α β + − − + + = = + = = = = = = = + = +∑ ∑
4. 計算γt( )i : ( ) ( | , ') t i P qt i o γ = = λ 1 1 ( ) ( , ) T t t t i i γ − ξ = =∑
j t t+1第四章 日內市場動態模型文獻回顧
傳統上，關於金融市場中財務經濟之研究，往往以固定的時間間 隔作為資料分析的基礎，例如每五分鐘取一筆交易資料的資料結構。 但是，這種交易資料的分析可能會造成金融資產市場上部分的訊息流 入沒有充分被衡量的缺失，如果選取的時間間隔過短，可能會造成在 許多區間內，價格並沒有改變；而若選取的區間過長，可能造成資料 過度平滑的特性，在區間中有些訊息的流入會被忽略。Engle and Russell(1998)發展一個研究不規則時間間隔的交易資 料之模型，探討每一筆交易資料之間的相關性，例如，針對價格改變 所做的研究，不再以每五分鐘作為時間間隔來選取交易資料，而是記 錄每一筆價格改變的交易資料作為研究的基礎，因此每筆交易發生的 時間間距被定義成交易時距。 由於電腦科技及儲存記憶空間的快速發展，資料出現的頻率即使 在非常高的情況下仍舊可以被逐一記錄下來，加上資訊傳遞的管道多 元化，使得訊息傳遞的速度大幅提昇，不論距離多遠的消息，都可以 在極短的時間內被傳達，所以在投資的市場中，由於訊息的流入速度 越來越快，訊息很容易就在市場上揭露，所以反應此一新訊息所需的 時間越來越短，市場中的經濟活動也就越活絡，所以透過每筆交易所 花費的時間，可以用來瞭解訊息進入金融市場的狀況。 若以價格改變作為研究的目的，則交易時距則為連續兩個價格改 變的時間間距，意即價格改變所需要的時間。若研究的目的為流動 性，則交易時距則為交易量改變所需要的時間。
4.1 Engle and Russell(1998)
Engle and Russell 提出 Autoregressive Conditional Duration (ACD) 模型應用於高頻率的財務日內資料。在此模型架構中，分析等待時間 是相當直觀的。 令xi =ti-ti-1，為兩個事件到達所需的時間，也就是所謂的交易時 距。而交易時距的分配可以參數化成與過去的交易時距相關。令ψi為 交易時距的條件期望值，可以表達成： 1 2 1 1 2 1 ( i| i , i ,..., ) i( i , i ,..., ; ) i E x x− x− x =ψ x− x− x θ =ψ 更進一步，可令 i i x =ψ εi 其中，εi ~ . . p( ; )i i d ε φ ，取值為正。 相對應的基本危險函數（Baseline Hazard）,λ0定義為： 0 0 p( ; ) S ( ; ) ε φ λ ε φ = 其中， 0 S ( ; )= p(u; )du ε ε φ ∞
∫
φ 0 S 為存活函數(Survivor function)， 概似函數可以表示成: 0 ( ) 0 1 1 ( ) 0 1 0 1 1 log ( | ,..., ) log ( | ,..., ) ( | ( ), ,..., ) N T i i i i T N T i i i i t L p t t t L λ t t t λ u N t t t − = − − = = = −∑
∑
∫
du若εi的分配為p0，則 ACD 的條件密集度（conditional intensity function）可表示成： ( ) 1 1 2 0 0 ( ) ( ) 1 ( | ( ), i , i ,..., ) N t N t N t t t t N t t t t λ λ ψ ψ − − − ⎛ − ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ 因此，過去的歷史將透過相乘的方式以及平移基本危險函數來影響條 件密集度。 若εi的條件分配為指數分配，則基本危險函數=1，而條件密集度 為： 1 2 0 ( ) 1 ( | ( ), i , i ,..., ) N t t N t t t t λ ψ − − = 可得 EACD(p,q)模型: 1 1 p q i j i j j j x j i j ψ ω α − β ψ − = = = +
∑
+∑
另外，若誤差項的分配為韋伯(Weibull)分配，則條件密集度為：(
)
1 1 2 0 ( ) ( ) 1 1 ( | ( ), i , i ,..., ) N t N t t N t t t t t t γ γ γ λ γ ψ − − − ⎛Γ +⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 同樣可得 WACD(p,q)。 而指數分配是韋伯分配當γ=1 時的特例。EACD模型,引用Lee and Hansen(1994)的推論:
若：1. Ei−1( )xi =ψi = +ω αxi−1+βψi−1,
2. 誤差項為:
(a)嚴格定態(strictly stationary)
(b)非退化的(nondegenerate)
(c)二階條件動差存在(bounded conditional second moments)
(d) supiEi−1[ln(β αε+ i)]<0 3. θ0 ≡( , , )ω α β ，為參數空間的內點(interior) 4. ( ) 1 ( ) log( ) N T i i i i x L θ ψ ψ = ⎛ = − ⎜ + ⎝ ⎠
∑
⎞⎟ 則: (1) QMLE，即使用常態分配做為誤差項，估計式將具有一致性。 (2) 只要將 xi 作為應變數，並且將平均值設為 0，就可使用 ARCH 的套裝軟體來估計參數。4.2 Bauwens and Veredas (2004)
該文章提出 SCD(Stochastic Conditional Duration)模型，主要是假 設在事件到達的過程中，存在ㄧ個隱藏的變數驅使等待時間的隨機過 程。 觀測值等待時間 是隱藏變數di Ψi與誤差項εi相乘，定義 i i e ψ Ψ = ， 而ψi服從ㄧ階自我相關過程（AR(1)），模型可表示為： -1 , ( 1), i i i i i i i i d where u eψ ε ψ ω βψ β = Ψ Ψ = = + + < 其中，分配的假設為： 2 1 1 1 | ~ (0, )
| ~ some distribution with positive support
independent of | , , . i i i i i j i u I N I u I i j σ ε ε − − − ∀ -1 i I 代表由直到di-1為止所產生的資訊集合。 相對於 ACD 模型， SCD 模型在給定於過去資訊下，條件期望值 是隨機的。 模型估計： 概似函數： 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 ( | ) ( , , , ) ( | , ) ( | ) ( , | , ) ( | , ) ( | , ). N i i i i i p d p d d p d p p d p d p d θ ψ θ θ ψ ψ θ ψ θ ψ ψ θ θ ψ θ ψ ψ θ− = = = =
∫
∫
∏∫
其中，θ θ1 , 2 為分配中的參數。在建構概似函數的過程中，必須對於隱藏變數積分，而數值積分 技巧多維度的情形下並不可行，因此必須擁有熟練的貝氏估計能力， 使用馬可夫鏈蒙地卡羅模擬（Markov Chain Monte Carlo ; MCMC）技 巧在多維度的分配中抽樣。相對於 MCMC，QML 的估計法在計算上 較為省時，在市場微結構的應用中，面對於高頻率資料，就顯得較吸 引人了。 QML參數估計法： 透過對數轉換，SCD 可以下狀態空間(State Space)表示: 1 ln , , i i i i d u i i µ ψ ξ ψ ω βψ − = + + = + + 其中，ξi =ln -ε µi ，而µ =E[ln ]εi ，使得ξi的期望值為零。 若ε分配為 Weibull(γ,1)，經由變數變換， ( ) e . f e e ξγ ξγ ξ =γ − 因此，期望值為-0.57722/γ，變異數為 2 /6 2 π γ 。 令 2 2 2 ~ (0, ) , / 6 i i i N ξ ξ 2 ξ σ σ =π γ ，得到狀態空間表示法，可透過 Kalman Filter 的迭代過程建構出概似函數。 另外，若假設ε分配為 Gamma，亦可用相同方法估計參數。 蒙地卡羅試驗:
第五章 馬可夫轉換狀態空間模型與
動態資訊交易機率模型
Kim(1994)提出馬可夫轉換狀態空間模型(State Space Model with Regime Switching)。由於狀態數目將隨著樣本觀察次數呈現指數方式 增加，因此提出合併的方式，且透過 Kalman Filter 建構概似函數，接 著使用數值最佳化的程序解出參數。由於數值最佳化的方法，相當容 易受到起始值的影響，而且是收斂到局部解；在馬可夫狀態轉換的情 形下，概似函數變得更為複雜，收斂問題顯得相當嚴重。 近年來在工程領域中，由於訊號處理以及聲控辨識技術的進步， 已經將馬可夫轉換狀態空間模型導出 EM 演算法。EM 演算法可以得 到較為穩健的參數估計。
本文提出 MSSCD 模型 (Markov Switching Stochastic Conditional Duation)，使用馬可夫轉換狀態空間模型估計參數，並融入與測度資 訊不對稱模型，提出更為完善模型以做為應用。而馬可夫轉換狀態空 間模型也可應用於隨機波動模型。 本章第一節先介紹狀態空間模型的 EM 演算法。第二節介紹馬可 夫轉換狀態空間模型的 EM 演算法。在第三節，則將馬可夫轉換狀態 空間模型應用於市場微結構動態交易時距模型，並融合資訊不對稱模 型測度資訊交易機率。
第一節 狀態空間模型
線性動態系統: ( ) ( ) 1 ( ) ( ) , ~ ( , ) , ~ ( , ) x x t t o o t t x Ax N o Cx N ω ω µ υ υ µ − = + Σ = + Σ 其中，第一式稱為狀態方程式(State Equation)，而第二式稱為觀測方 程式(Measurement Equation)，w 與 v 獨立。 第一個狀態的分配為: ( ) ( ) 1~ ( , ) i i x N µ Σ 變數定義: 1| 1 | 1| 1 1: | 1: ' ' 1 1: 1: { | } { | } { | } { | } t t t t t t t t t t t t t t t t t x E x o x E x o E x x o E x x o + + + + + = = Σ = Σ = t EM演算法之MLE: 1.Kalman Filtering: Prediction: ( ) 1| | ( ) 1| | ' x t t t t x t t t t x Ax A A µ + + = + Σ = Σ + Σ Update: | 1 | 1 ( ) 1 | | 1 | 1 | 1 ( ) 1 ( ) | | 1 | 1 | 1 '( ' ) '( ' ) ( ) t t t t o t t t t t t t t o o t t t t t t t t t C C C C x x C C C o Cx µ − − − − − − − − − − Σ = Σ − Σ Σ + Σ Σ = + Σ Σ + Σ − − 建立概似函數: | 1 ( ) ( ) 1: 1 | 1 1 2 1: 1 ( | ) ( ; , ' ) ( ) ( ) ( | ). t t o o t t t t t T t t t p o o N o Cx C C p O p o p o o µ − − − − = = + Σ + =∏
Σ2.Kalman Smoothing: $ $ $ $ $ $ $ $ 1 1 1 | | 1| 1| 1| | 1 1 | | 1| 1| 1 , 1 1 1| | ( | ) ( ; , ), = + A' ( ) = + A' ( ) = t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t p x O N x x A x x x x A − − + + + + − + + + − + + + = Σ Σ Σ Σ Σ Σ − Σ Σ Σ Σ Σ − Σ Σ Σ Σ 3.參數更新: µ $ $ µ $ $ µ µ $ $ µ µ $ µ µ $ $ µ $ $ 1 1 1 ' ' ' 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) ' ' 1 ' ' 1, 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) 1 ( [ ][ ]') 1 1 1 1 t t t T T T T T T t t t t t t t t t t t t t T o t t t T o o t t t t t T T T T T t t t t t t t t t t t C o x o x R x x T T o C x T o o C o x o T R x x R x T T µ µ − − − = = = = = = = = − − − = = = = = ⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ − ⎟⎜ − ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = − Σ = − ⎛ ⎞ Α =⎜ − ⎟ − − − ⎝ ⎠
∑
∑ ∑
∑
∑ ∑
∑
∑
∑
∑ ∑
∑ ∑
µ x $ µ $ $ µ µ µ µ $ µ $ $ µ µ µ 1 2 ( ) 1 2 ( ) ( ) 1 2 ( ) 1 ( ) ( )' ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( [ ][ ]') 1 T T x t t t T x x t t t t i i i i x x T R R x T x R µ µ µ µ µ − = − = − = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − Α − Σ = − Α − = Σ = −∑
∑
∑
4. 重複以上 1.2.3.過程，直到參數收斂為止。第二節 馬可夫轉換狀態空間模型
動態系統: 1 t t t t t t t t x x v y C x w − = Α + = + 其中，At =A S( )t ，vt =v S( )t ，Ct =C S( )t ，wt =w S( )t 變數定義: ( ) | 1: 1 ( ) | 1: 1 | 1: | 1: , 1| 1 1: ( ) , 1| 1 1: 1 1, | [ | , , ] [ | , , ] [ | , ] [ | , ] [ , | , ] [ , | , , ( , ) Pr( i j t t t t j k t t t t j t t t j t t t j t t t t t i j t t t t t t t t t x E y S i S j x E y S j S k x E y S j V Cov y S j V Cov y S j V Cov y S i S j i j S τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ − + − − − − − − − = Χ = = = Χ = = = Χ = = Χ = = Χ Χ = = Χ Χ = = Μ = 1 1: | 1: 1: 1 , | ) ( ) Pr( | ) Pr( | , ) t t t j t t t t i S j y j S j y L y y S j τ τ τ − = = Μ = = = = ] 1.Filtering:(
( ) ( ) ( ) ( ))
(
)
| | , 1| 1| 1 1| 1 , 1| 1 1, | 1 1: 1| 1 | 1, | | 1 , , , Filter , , ; , , ( , ) ( , ) ( ) ( , ) Pr( , | ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) Pr( i j i j i j i j i i t t t t t t t t t t t t t j j j j t t t t t t t t t t i j t t t t t i i j t x V V L V y F H Q R L i j Z i j i i j S i S j y L i j Z i j i j i j W S τ − − − − − − − − − − − − − = Χ Μ Μ = = = = Μ Μ = Μ =∑ ∑
∑
t(
)
(
|)
1: 1, | | ( ) ( ) | | | | | , ) ( , ) ( ) , Collapse , , i j t t t t t t t j j i j i j t t t t t t t t t i S j y i j j x V x V W − = = = Μ Μ =2.Smoothing:
