3-3-3圓與球面方程式-球面方程式

全文

(1)第三冊 3-3 圓與球面方程式-球面方程式【定義】 1. 球面的定義：在空間中與一個定點 O 的距離為一定數 r 的所有點所形成的圖形，稱為球面。其中的定點 O 稱為球心，距離的定值 r 稱為半徑。. z P ( x, y , z ). r O ( x0 , y 0 , z 0 ). y. x 2.. 球面的方程式—標準式：給定球心 O( x0 , y0 , z 0 ) ，半徑為正數 r ，則球面方程式為 ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = r 2 。. 3.. 4.. 註：當球心在原點 O (0,0,0) 且半徑為 r 時，球面方程式為 x 2 + y 2 + z 2 = r 2 。球面的方程式—一般式：球面方程式 ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = r 2 均可化成形如 x 2 + y 2 + z 2 + dx + ey + fz + g = 0 ，稱為球面的一般式。註：注意此種形式並不一定為球面。若球面 x 2 + y 2 + z 2 + dx + ey + fz + g = 0 ，可以用配方法，將方程式化為 d e f d 2 + e2 + f 2 − 4g (x + )2 + ( y + )2 + (z + )2 = 的形式， 2 2 2 4 (1)若 d 2 + e 2 + f 2 − 4 g > 0 ，則圖形為球面，球心在 ( x0 , y0 , z0 ) ， d 2 + e2 + f 2 − 4g 。半徑為 2 (2)若 d 2 + e 2 + f 2 − 4 g = 0 ，則圖形為一點，即點 ( x0 , y0 , z0 ) 。. 5.. (3)若 d 2 + e 2 + f 2 − 4 g < 0 ，則沒有圖形。球面的方程式—參數式：球面 ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = r 2 的參數式為. ⎧ x = x0 + r cos θ cos φ ⎪ ⎨ y = y0 + r sin θ cos φ ,0 ≤ θ < 2π ,0 ≤ φ < 2π ，其中 θ 表經度， φ 表緯度。 ⎪ z = z + r sin φ 0 ⎩.

(2) 球面的方程式—直徑式：以 A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y 2 , z 2 ) 為直徑之球面方程式為 ( x − x1 )( x − x2 ) + ( y − y1 )( y − y 2 ) + ( z − z1 )( z − z 2 ) = 0 。 7. 球面的方程式—球面系：過兩球面 S1 : x 2 + y 2 + z 2 + d1 x + e1 y + f1 z + g1 = 0, S 2 : x 2 + y 2 + z 2 + d 2 x + e2 y + f 2 z + g 2 = 0 交點之球面之方程式可以表為 m( x 2 + y 2 + z 2 + d1 x + e1 y + f1 z + g1 ) + n( x 2 + y 2 + z 2 + d 2 x + e2 y + f 2 z + g 2 ) = 0, m 2 + n 2 ≠ 0，即 m( S1 ) + n( S2 ) = 0。當取 ( S1 ) − ( S 2 ) = 0 時，表示兩球面 S1 , S 2 的根平面。【問題】 1. 從球外一點可以作出幾條切線？切平面？所有切點的集合形成何種圖形？ 2. 已知方程式 ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = r 2 的圖形為空間中的球面，而. 6.. ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2 的圖形為平面上的圓，那麼 ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2 的圖形為空間中的何種形狀？ 3. 空間中的圓要用何種方程式表示？ 4. 任兩相異點，決定平面上一直線。任不共線三點，決定平面上一圓。任給空間中的四個相異點，何種條件之下，可以求出過此四點的球面方程式？ 5. 給四平面，如何求出此四平面所圍四面體的內切球面方程式？【性質】 1. 點與球面的關係：設球面 S 的球心為 K ，半徑為 r ， P 為空間中一點，則. 2.. 3.. (1) KP < r ⇔ 點 P 在球面 S 的內部。 (2) KP = r ⇔ 點 P 在球面 S 上。 (3) KP > r ⇔ 點 P 在球面 S 的外部。直線與球面的關係：球面 S 與直線 L (空間中)的關係有三種： (1)交兩點。 (2)交一點。 (3)無交點。註：利用直線參數式代入球面方程式中求解即可得球面與直線的交點。平面與球面的關係：設球面 S 的球心為 O ，半徑為 r ，平面 E ，球心在平面 E 上的投影點為 T ，且球心 O 到平面 E 的距離以 d (O , E ) 表示。則： (1)當 d (O, E ) = OT < r 時，球面 S 與平面 E 相交於一圓，稱平面 E 與球面 S 相割，此時交圓的半徑為 r 2 − (d (O, E )) 2 。. (2)當 d (O, E ) = OT = r 時，球面 S 與平面 E 恰交於一點，稱平面 E 與球面 S 相切，此時平面 E 是球面 S 的切平面，點 T 為切點。 (3)當 d (O, E ) = OT > r 時，球面 S 與平面 E 沒有交點，稱平面 E 與球面 S 相離。. 1.

(3) 【公式】 1. 截面圓的性質：. O. d. r. O'. (1)球面被平面切割的截痕是一個圓，這個圓稱為截面圓。 (2)截面圓的圓心 O' 與球心 O 之連線必垂直於截平面。 (3)設球的半徑為 r ，球心與截面的距離為 d = OO' ，則截面圓的半徑為 r 2 − d 2 。【問題】 1. 若球面與直線有交點，試問如何求出交點坐標？ 2. 過球面外一點與球面的最大距離與最小距離分別為何？ 2. 3.. 點 A( 2,1,3) 在球面 S : ( x + 1) 2 + ( y − 3) 2 + ( z ) 2 = 10 外部，則 (1)從點 A 可引出多少條直線與球面 S 相切(恰交於一點)？ (2)這些從 A 引出的切線，可以形成何種幾何形體？ (3)這些切點(在 S 上)，可以形成何種幾何圖形？ (4)如何計算 A 點到球面 S 的切線長？. 4.. S : ( x + 1) 2 + ( y − 3) 2 + ( z ) 2 = 10 在空間中的圖形是球面，則. 2. 2. (1) ( x + 1) 2 + ( y − 3) 2 = 10 在坐標平面上的圖形為何？ 2. 5.. (2) ( x + 1) 2 + ( y − 3) 2 = 10 在空間中的圖形為何？ (3)空間中的圓要如何表示呢？空間中兩球面的關係有哪些？試分成內離、內切、相交兩點、外切、外離等情形分別討論此兩球面半徑之間的關係。解：設兩球面 S1 , S2 球心分別為 O1 ,O2 ，半徑分別為 r1 ,r2 ，連心線長 O1O2 = d ，則 (1)兩球面內離： d <| r1 − r2 | 。 (2)兩球面內切： d =| r1 − r2 | 。 (3)兩球面相交兩點： | r1 − r2 |< d < r1 + r2 。 (4)兩球面外切： d = r1 + r2 。 (5)兩球面外離： d > r1 + r2 。. 2.

(4) 【定義】 1. 大圓：通過球心的平面與球面的交圓，稱為大圓。註：大圓的半徑就是球的半徑。 2. 小圓：不過球心的平面與球面的交圓，稱為小圓。 3. 地軸：地球自轉的軸，稱為地軸，是通過南極與北極的線段。 4. 經線：在球面上，過南北極的半個大圓，稱為經線，規定以通過英國倫敦的格林威治天文台的經線為 0 度經線，又稱本初子午線。 5. 經度：球面上某一點的經度，就是經過這一點的經線和地軸所決定的平面，與 0 度經線及地軸所決定的平面，此兩平面之夾角度數。通常以 0 度經線以西的經線，叫西經線； 0 度經線以東的經線，叫東經線，其中度數的取值範圍為 0 度至 180 度。 6. 緯線：在球面上與赤道平行的圓(或與地軸垂直的原)，稱為緯線。 7. 赤道：垂直於地軸的大圓，叫做赤道，是 0 度緯線。 8. 緯度：球面上某一點的緯度，就是球半徑與赤道所在平面的夾角。赤道以北為北緯 ( 0 度至 90 度)，赤道以南為南緯( 0 度至 90 度)。【性質】 1. 球面上相異兩點最短的距離：任何兩地點 A, B (不與球心 O 在同一直線上)，則 A, B, O 三點決定一平面，此平面與地球相交之圓是一個大圓，此大圓上連接 A, B 較短的圓弧，即為地表上 A, B 兩地間的最短距離。註：球面上相異兩點最短的距離稱為劣弧長，最長的距離稱為優弧長。【公式】 1. 一代、一不代公式： (1)設圓 C : ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2 ，過已知切點 T ( x1 , y1 ) 的切線為 ( x1 − x0 )( x1 − x) + ( y1 − y0 )( y1 − y ) = 0 ⇒ ( x1 − x0 )( x1 − x0 + x0 − x) + ( y1 − y0 )( y1 − y0 + y0 − y ) = 0 ⇒ ( x1 − x0 ) 2 + ( x1 − x0 )( x0 − x ) + ( y1 − y0 ) 2 + ( y1 − y0 )( y0 − y ) = 0 ⇒ r 2 + ( x1 − x0 )( x0 − x ) + ( y1 − y0 )( y0 − y ) = 0 ⇒ ( x1 − x0 )( x − x0 ) + ( y1 − y0 )( y − y0 ) = r 2. 3.

(5) 【公式】 1. 切平面(一代、一不代公式)：當平面 E 和球面 S 只有一個公共點時，我們稱平面 E 和球面 S 相切且平面 E 稱為球的切平面，此公共點稱為切點。 (1)通過球面 ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 = r 2 上一點 P( x1 , y1 , z1 ) 的切平面 E 之方程式為 ( x1 − x0 )( x − x0 ) + ( y1 − y0 )( y − y0 ) + ( z1 − z0 )( z − z0 ) = r 2 。. (2)通過球面 x 2 + y 2 + z 2 + dx + ey + fz + g = 0 上一點 P( x1 , y1 , z1 ) 的切平面 E x + x1 y + y1 z + z1 之方程式為 x1 x + y1 y + z1 z + d ( ) + e( )+ f( ) + g = 0。 2 2 2 2. 過球面外一點求切線段長：設 P( x1 , y1 , z1 ) 為球面 S 外一點， (1)若球面 ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 = r 2 ，則過 P 點的切線段長為 ( x1 − x0 ) 2 + ( y1 − y0 ) 2 + ( z1 − z0 ) 2 − r 2 。. (2)若球面 x 2 + y 2 + z 2 + dx + ey + fz + g = 0 ，則過 P 點的切線段長為 x1 + y1 + z1 + dx1 + ey1 + fz1 + g 。註：利用商高定理即可證明，注意平方項係數要為 1 才能代此公式。【問題】 1. 如何求出地表上兩點 A, B 間的最短距離？ 2. 過球面外一點可作多少切線？ 3. 過球面外一點可作多少切平面？ 4. 過球面外一點作切平面，則所有切點之軌跡在球面上形成截痕，截痕會是什麼圖形呢？會不會是圓呢？ 2. 2. 2. 4.

(6)