148
由圖
1的算式得知：
23除以
5的商是
4，餘數是3。根據
整數的除法原理，可以寫成
23 =
5 # 4 + 3。
（被除數） = （除數）#（商） + （餘數）
同樣的，多項式不但可以作四則運算也滿足除法原理，這是
本單元的主要內容。
多項式的除法原理
9
▲
圖1
甲
多項式的基本概念
在國中時，我們學過：凡是形如
a xn n+
an-1xn-1+g+
a x1 +
a0
的式子，稱為
x的多項式，其中
n為正整數或零， an,
an 1- ,…,
a1,
a0為實數，而
且常用 f x^ h,
g x^ h等符號來代表
x的多項式。我們以多項式
f x^ h=5
x3+
x2-2
x+4
為例，複習一些名詞：
1 項： f x^ h的3次項，2次項，1
次項，與常數項分別為 x5 3,
x2, -2
x與4。
9
多項式的除法原理
149
2 係數： f x^ h
的 x3
項， x2
項，x項的係數分別為5,1,-2。
3 次數： 因 為 x5 3 是
x 次 數 最 高 的 非 零 項 ， 所 以 f x^ h的 次 數 為 3 ， 以 符 號
deg f x^ h=3
表示，並稱 f x^ h為三次多項式，5
為 f x^ h的首項係數。
4 多項式的值： 當 f x^ h中 的
x 代 表 特 定 數 值
a 時 ， 稱 f a^ h
為 f x^ h
在 x =
a的
值。例如 f 1^ h=5#13+12-2#1+4=8。
特別地， f x^ h=
a0也是一個多項式，稱為常數多項式。當 a
0!0
時， f x^ h=
a0
是一個零次多項式。而 f x^ h=0稱為零多項式，我們不規定它的次數。
當兩多項式的次數及同次項的係數都相等時，稱這兩多項式相等。
關於多項式 f x^ h=3
x5-2
x4+
x2+5，選出正確的選項。
1
f x^ h為五次多項式 2
deg f x^ h=5 3
x2的係數為0
4
x3的係數為
0 5
f^ h-1 =3。
隨堂練習
乙
多項式的四則運算
多項式可以做加、減、乘、除等四則運算，介紹如下：
(一)加法與減法
兩多項式相加或相減，就是把同次項的係數相加或相減。
150
已知 f x^ h= 3
x3+4
x-5,
g x^ h=
x2+3
x+1，求
1
f x^ h+
g x^ h。 2
f x^ h-
g x^ h。
解
1 f x^ h+
g x^ h=_3
x3+4
x-5i+_
x2+3
x+1i
x x x x
3 3 2 4 3 5 1
= + +^ + h+ - +^ h
x x x
3 3 2 7 4
= + + - 。
2 f x^ h-
g x^ h=_3
x3+4
x-5i-_
x2+3
x+1i
x x x x
3 3 2 4 3 5 1
= - +^ - h+ - -^ h
x x x
3 3 2 6
= - + - 。
例題
1
已知 f x^ h=2
x3+
x2-1,
g x^ h=2
x3-3
x+4
，求 f x^ h+
g x^ h
與 f x^ h-
g x^ h
。
隨堂練習
(二)乘法
兩個單項的多項式之乘積為係數相乘而次方相加，例如
x x
2 5 # 3 4 = 2#3 #
x5 4+ =6
x9
_ i _ i ^ h 。
而兩多項式相乘，可以利用乘法對加法的分配律來計算。
9
多項式的除法原理
151
求多項式 f x^ h=3
x2-2
x+1
與 g x^ h= 2
x-1的乘積。
解
x x
3 -2 +1
f x^ h:
g x^ h=_ 2 i^2
x-1h
x x x x
3 2-2 +1 # 2
x 3 2-2 +1 # 1
=_ i ^ h+_ i ^- h
x x x x x
6 3-4 2+2 -3 2+2 -1
=_ i+_ i
x x x
6 3 7 2 4 1
= - + - 。
除了上述的「橫式算法」外，還有「直式算法」：
x
3 2-2
x+1
#h 2
x-1
x
3 2
- +2
x-1
x
6 3-4
x2+2
x
x
6 3-7
x2+4
x-1
例題
2
已知 f x^ h= 3
x+2
, g x^ h=
x2-2
x+1
，求 f x g x^ h: ^ h。
隨堂練習
(三)除法
我 們 仿 照 整 數 的 除 法 ， 進 行 多 項 式 的 除 法 運 算 ， 以 x2 3+3
x2+8
x+5除 以
x2+ +
x 3為例（前者稱為被除式，後者稱為除式），計算如下：
152
g
2
x +1
x2+ +
x 3 2
x3 +3
x2 +8
x +5
x
2 3 +2
x2 +6
x
x2 +2
x +5
x2 +
x +3
x +2
因為 x2 3'
x2=2
x，所以放 x2 。
次數小於除式的次數，停止計算。
因為 x2'
x2= 1，所以放1。
得商式為 x2 +1，餘式為 x 2+ 。這種演算法稱為多項式的長除法。
從這演算式中所得的商式與餘式都是唯一的，如同整數的除法原理，被除
式、除式、商式與餘式會有如下的關係：
x + +
x 3
x x x x x
2 3+3 2+8 +5=_ 2 i : ^2 +1h + ^ +2h
（被除式） = （除式） # （商式） + （餘式）
這就是多項式的除法原理。敘述如下。
設 f x^ h
與 g x^ h
為兩個多項式且 g x^ h!0
，在計算「 f x^ h
除以 g x^ h」時，
可求得唯一的一組 q x^ h
及 r x^ h，滿足
f x^ h=
g x^ h:
q x^ h+
r x^ h，
其 中 r x^ h=0或 deg
r x^ h1deg
g x^ h
， 此 時 q x^ h
與 r x^ h分 別 稱 為 商 式 與 餘
式。
除法原理
9
多項式的除法原理
153
底下練習長除法與除法原理。
設 f x^ h=2
x3-3
x2+ +
x 4
除以 g x^ h=2
x+1
的商式為 q x^ h
，餘式為 r x^ h。
選出正確的選項。
1
q x^ h
為二次多項式 2
q x^ h
的係數都是整數 3
r x^ h=3
4
f x^ h=
g x^ h
:q x^ h+
r x^ h 5
g x
f x
q x
g x
r x
= +
^
^
^ ^
^
h
h
h h
h 。
隨堂練習
當兩多項式 f x^ h
與 g x^ h相等時，無論
x用任何數 a 代入，恆有 f^
ah=
g^
ah。
已知 x3+
x2+
ax+2
除以 x2+2
x+
b的商式為 x-1
，餘式為 x+5，求實
數
a,b的值。
解
由除法原理，得
x +2
x+
b
x3+
x2+
ax+2=_ 2 i^
x-1h+^
x+5h 。
將
x分別用0,1代入，得
b
a
2 5
4 6
=- +
+ =
* ，
。
解得 a = ,2
b=3。
例題
3
事實上，在上例的解答中，我們也可以將等號右邊的多項式乘開，再比較等
號左右兩多項式的係數，也可求得
a,b的值。
154
已知 x2 3+
ax2-8
x+7
除以 x2+2
x-3的餘式為4，求實數
a的值及商式。
隨堂練習
(四)綜合除法
當除式為一次式 x-
a時，有一種稱為綜合除法的演算法較為簡便。介紹如
下：先觀察 x3 3-4
x2-2
x+5
除以 x-2的長除法演算式：
g
3
x
2
x
2
+ +2 ←商式
x-2 3
x3 -4
x2 -2
x +5 ←被除式
x
3 3 -6
x2
x
2 2 -2
x
x
2 2 -4
x
x
2 +5
x
2 -4
9 ←餘式
發現有些數字重複出現，例如紅色數字3,2,2就是商式的各項係數（因為除式的
一次項係數為1的關係）；藍色數字2,2是商式的末兩項係數；而綠色數字-2,
5
+ 是被除式的末兩項係數。為了簡化運算，以紅、藍與綠三色數字為係數的單
項式都省略不寫，如下：
g
3
x
2
x
2
+ +2 ←商式
x-2 3
x3 -4
x2 -2
x +5 ←被除式
x
6 2
-x
4
-4
-9 ←餘式
再將-4
x, -4往上提升，把商式與餘式9
放到第三列，除式移到右邊，並把x的
次方省略，只寫出其係數：
9
多項式的除法原理
155
3 -4 -2 +5 1-2 （第一列）
-h -6 -4 -4 （第二列）
3 +2 +2 +9 （第三列）
餘式
商式
被除式
V
1444444 4444442 3
6444444444 4444444447 8
這式中的第二列 6- , - ,4 -4是商式係數3,2,2分別乘以除式的常數項 2- 所得到
的。此時第一列減去第二列等於第三列。
為了將上述演算式中的減法改為加法，我們將除式的常數項 2- 變號成2就
可達成，如下：
被除式→ 3 -4 -2 +5 2 ←乘數 （第一列）
+h +6 +4 +4 （第二列）
商式→ 3 +2 +2 +9 ←餘式 （第三列）
這種簡化長除法的演算法稱為綜合除法。
1 除式方面：
當除式為
x-
a時，算式的右側要用
a當乘數。
2 操作方面：
第一列與第二列相加得第三列。
綜合除法的注意事項
舉一個例題。
使用綜合除法求 x4+2
x3+5
x-7
除以 x+3的商式及餘式。
解
由綜合除法（缺項要補0）：
1 +2 +0 +5 -7 -3
+h -3 +3 -9 +12
商式→ 1 -1 +3 -4 +5 ←餘式
得商式為 x3-
x2+3
x-4，餘式為5。
例題
4
156
隨堂練習
使用綜合除法，求
1 x3+2
x-1
除以 x+4的商式及餘式。
2 x2 4-3
x3-5
x2+8
x-3
除以 x-2的商式及餘式。
透過綜合除法的連續使用，可以將多項式 f x^ h
表成 x^ -
ah 的多項式。以例
題5作說明：
設 f x^ h=
x3-
x2- +
x 1。
1 已知 f x^ h
表成 x^ -2h 的多項式之形式為
f x^ h=
a x^ -2h3+
b x^ -2h2+
c x^ -2h+
d，
求實數
a,b,c,d的值。
2 求 f 1 99^ . h的近似值到小數點以下第二位（第三位四捨五入）。
解
1 在右式中，第一層計算 f x^ h'^
x-2h ，得
x + +
x 1
f x^ h=^
x-2h_ 2 i+3。
第二層計算 x_ 2+ +
x 1i'^
x-2h ，得
x2+ +
x 1 =
x-2
x+3 +7
_ i ^ h^ h 。
第三層計算 x^ +3h'^
x-2h ，得
x+3 =
x-2 1 +5
^ h ^ h^ h 。
合併以上三個等式，得
例題
5
1 -1 -1 +1 2
2
+ +2 +2
1 +1 +1 +3 ←
d
2
+ +6
1 +3
+ ←7 c
2
+
1 + ←5
b
1 ←
a
9
多項式的除法原理
157
隨堂練習
將 f x^ h=2
x3-5
x2+6
x+3
表 示 為 a x^ -1h3+
b x^ -1h2+
c x^ -1h+
d 的 形
式，並計算
f 0 99^ . h的近似值到小數點以下第二位（第三位四捨五入）。
x + +
x 1
f x^ h=^
x-2h_ 2 i+3
x 2
x 2
x 3 7 3
=^ - h7^ - h^ + h+ A+
x 2 2
x 3 7
x 2 3
=^ - h ^ + h+ ^ - h+
x 2 2
x 2 1 5 7
x 2 3
=^ - h 7^ - h^ h+ A+ ^ - h+
x 2 3 5
x 2 2 7
x 2 3
=^ - h + ^ - h + ^ - h+ 。
故 a= ,1
b= ,5
c = ,7
d=3。
2 因為 f x^ h=^
x-2h3+5^
x-2h2+7^
x-2h+3，所以
. . . .
f 1 99^ h= -^ 0 01h3+5^-0 01h2+7^-0 01h+3
644444444444 44444444444數值太小，忽略不計7 8
.
2 93
. 。
丙
餘式定理
想 求 多 項 式 f x^ h=
x4-5
x+3
除 以 x-2的 商 式 與 餘 式 ， 可 以 使 用 綜 合 除
法：
1 +0 +0 -5 +3 2
+h +2 +4 +8 +6
1 +2 +4 +3 +9
得商式為 x3+2
x2+4
x+3，餘式為9。但是如果只要求餘式，而不求商式時，還
有另一種較簡捷的方法：
158
根據除法原理，設 f x^ h
除以 x-2
的商式為 q x^ h，餘式為常數
r，且滿足
f x^ h=^
x-2h
q x^ h+
r。
將 x= 2代入上式，得
f^2h=^2-2h
q^2h+ =
r r，
因此，餘式 r=
f 2^ h=24-5#2+ =3 9。
一般而言，仿照這簡捷的方法，可以推得餘式定理。
多項式 f x^ h
除以一次式 ax-
b的餘式等於 f
a
b
e o。
餘式定理
有了餘式定理，求除式為一次式的餘式就方便多了。
已知 f x^ h= 64
x6-4
x+5
，分別求 f x^ h
除以 x+1
與 x2 -1的餘式。
解
由餘式定理知， f x^ h
除以 x+ 與 x1 2
- 的餘式分別為 f1
^ h 與 f-1
2
1
e o。
因為
f^-1h=64^-1h6-4^-1h+5=73;
f
2
1
64
2
1
4
2
1
5 4
6
= - + =
e o e o e o ，
所以 f x^ h
除以 x 1+
與 x2 -1的餘式分別為73與4。
例題
6
求 f x^ h=128
x7+4
x2-2
x+3
除以 x2 +1的餘式。
隨堂練習
9
多項式的除法原理
159
多項式 f x^ h
除以 x-
c所得的餘式可由 f x^ h
在 x=
c時的值 f c^ h求得。反過
來說， f c^ h
的值也可以由 f x^ h
除以 x-
c所得的餘式求得。
已知 f x^ h= 123
x4-389
x3+68
x2-32
x-19
，求 f 3^ h的值。
解
如果直接將 x=3
代入 f x^ h
求 f 3^ h的值，數目較大，不容易計算；但由
餘式定理知：「 f 3^ h
」可視為「 f x^ h
除以 x-3的餘式」。因此使用綜
合除法來計算餘式 f 3^ h：由
123 -389 +68 -32 -19 3
+h +369 -60 +24 -24
123 - 20 + 8 - 8 -43
得 f 3^ h=-43。
例題
7
已知 f x^ h= 3
x5-22
x4-12
x3-33
x2+10
x+5
，求 f 8^ h的值。
隨堂練習
即使多項式 f x^ h
未給定，只要知道它除以 x-
a及 x-
b（ a!
b）的餘式，
就可求出 f x^ h
除以 x^ -
a xh^ -
bh 的餘式。
160
已知多項式 f x^ h
除以 x-1的餘式為
6，且除以 x-2的餘式為
4，求 f x^ h
除以 x^ -1h^
x-2h 的餘式。
解
因為 x^ -1h^
x-2h 的次數為
2，所以餘式可設為 ax+
b。由除法原理知，
恰有一多項式 q x^ h使得
f x^ h=^
x-1h^
x-2h
q x^ h+^
ax+
bh 。
因為 f x^ h
除以 x-1
與 x-2的餘式分別為6與
4，所以由餘式定理知 f 1^ h=6
與 f 2^ h=4
。將 x= ,1 2
分別代入 f x^ h，得
f a b
f a b
1 6
2 2 4
= + =
= + =
^
^
h
h
* ，
，
解得 a =- ,2
b=8。故所求餘式為-2
x+8。
例題
8
已 知 多 項 式 f x^ h
除 以 x 3- 的 餘 式 為
1 6 ； 除 以 x+4的 餘 式 為 19- ， 求
f x^ h
除以 x2+ -
x 12的餘式。
隨堂練習
丁
因式定理
當多項式 f x^ h
除以非零多項式 g x^ h的餘式為
0，即有一多項式 q x^ h滿足
f x^ h=
g x^ h:
q x^ h
時，我們說 f x^ h
可被 g x^ h整除，稱 g x^ h
為 f x^ h的因式。例如，由
x 1
x 1
x 1
x x
2
1
2 2 1
2
- =^ - h^ + h= ^ - h^ + h
知 x-1
與 x2 -2
都是 x2-1的因式。
9
多項式的除法原理
161
不經除法運算，可以判定一次式 ax-
b是否為多項式 f x^ h的因式嗎？根據餘
式定理， f x^ h
除以 ax-
b的餘式為 f
a
b
e o
，即 f x^ h可以表成
f x ax b q x f
a
b
= - +
^ h ^ h ^ h e o。
利用此式得知：若 ax-
b是 f x^ h
的因式，則 f
a
b
0
=
e o
；反之，若 f
a
b
0
=
e o ，則
f x^ h
可被 ax-
b整除，即 ax-
b是 f x^ h的因式。因此，我們有
設 f x^ h
為多項式， ax-
b為一次多項式。
1 若 f
a
b
0
=
e o
，則 ax-
b是 f x^ h的因式。
2 若 ax b-
是 f x^ h
的因式，則 f
a
b
0
=
e o 。
因式定理
利用因式定理可以判定一次因式。
選出 f x^ h= 2
x4-
x3-2
x+1的因式。
1
x+1 2
x-1 32
x-1 4 6
x-3。
解
利用因式定理判定：
1 因為 f^-1h=2^-1h4- -^ 1h3-2^-1h+ =1 6 !0
，所以 x+1不是因式。
2 因為 f 1^ h=2- - + =1 2 1 0
，所以 x 1- 是因式。
3 因為 f
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1 0
4 3
= - - + =
e o e o e o e o
，所以 x2 - 是因式。1
4 因為 f f
6
3
2
1
0
= =
e o e o
，所以 x6 - 是因式。3
故選234。
例題
9
9
多項式的除法原理
163
做一道這個推廣的應用。
已 知 三 次 多 項 式 f x^ h
滿 足 f^1h=
f^2h=0,
f 3^ h=2
與 f 4^ h=18 ， 求
f x^ h。
解
因為 f^1h=
f^2h=0
，所以 x^ -1h^
x-2
h 是 f x^ h
的因式。又因為 f x^ h是
三 次 多 項 式 ， 所 以 設 f x^ h=^
x-1h^
x-2h^
ax+
bh 。 又 由 f 3^ h= 2 與
f 4^ h=18，得
f a b
f a b
3 2 1 3 2
4 3 2 4 18
# #
# #
= + =
= + =
^
^
^
^
h
h
h
h
* ，
，即 ，
。
a b
a b
3 1
4 3
+ =
+ =
*
解得 a= ,2
b=-5。
故 f x^ h=^
x-1h^
x-2 2h^
x-5h=2
x3-11
x2+19
x-10。
例題
10
已 知 f x^ h
是 三 次 多 項 式 ， 滿 足 f^0h=
f^1h=
f^2h= 0
且 f 3^ h=24， 求
f x^ h。
隨堂練習
164
164
最後，練習一題應用問題。
下圖左右兩個算式是某生使用綜合除法，計算一個三次多項式除以 x-2
與 x+1的算式，其中灰色區塊是打翻飲料在計算紙上，導致不能辨識數
字的區塊。
已知某生沒有計算錯誤，求此三次多項式。
解
設此三次多項式為 f x^ h=2
x3+
ax2+
bx+1
。因為 f x^ h
除以 x-2的餘式
為
5；除以 x+1的餘式為8，所以由餘式定理，得
f a b
f a b
2 16 4 2 1 5
1 2 1 8
= + + + =
- =- + - + =
^
^
h
h
* ，
， 即
，
，
a b
a b
2 6
9
+
=-- =
*
解得 a = ,1
b=-8
，即 f x^ h=2
x3+
x2-8
x+1。
例題
11
下圖是老師使用綜合除法，計算完一個八次多項式除以 x 2+ 的算式後，
用立可帶及黑筆遮掉部分算式的有獎徵答題。已知老師沒有計算錯誤，
請問：黑圈圈蓋掉的數字為何？
隨堂練習
165
165
9
一、觀念題
以下各小題對的打「○」，錯的打「×」。
1 若 f x^ h=^
x-2h_
x5+2
x-1i+^
x+1
h ， 則 f x^ h
除 以 x-2的 餘 式 為
x+1。
2 多項式 f x^ h
除以 x 1+
的餘式與 f x^ h
除以 x3 +3的餘式相同。
3 多項式 f x^ h
除以 x 1+
的商式與 f x^ h
除以 x3 +3的商式相同。
4 若 f x^ h=
x5+1
，則 f x^ h
可被 x+1整除。
5 若多項式 f x^ h
滿足 f 1
f
2
1
0
- = =
^ h e o
，則 x^ +1 2h^
x-1
h 是 f x^ h的因
式。
二、基礎題
已知 f x^ h= 3
x2+2
x-1,
g x^ h=-3
x2- +
x 2,
h x^ h=3
x4-5
x3-6，求
1 f x^ h+
g x^ h。
2 f x^ h-
g x^ h。
3 f x g x^ h: ^ h。
4 h x^ h
除以 g x^ h的商式與餘式。
已知 x2 3-
x2+
ax+
b可被 x2-2
x-1整除，求實數
a,b的值及商式。
利用綜合除法求下列各小題的商式及餘式：
1 以 x 3-
除 x3-5
x2+7
x-5。
2 以 x 2+
除 x2 4+5
x3+8
x-7。
9
166
已知 x3+4
x2+5
x-3
除以 g x^ h
的商式為 x+2
，餘式為 x2 -1
，求 g x^ h。
已知 f x^ h=
x3+3
ax2+
bx-2
可被 x-1
整除，且 f x^ h
除以 x-2的餘式為2，
求實數
a,b的值。
計算125-7#124-58#123+16#122-465#12+100的值。
已知多項式 f x^ h
除以 x 2- 的餘式為
8；除以 x+1的餘式為
2，求 f x^ h除以
x-2
x+1
^ h^ h 的餘式。
設
f x^ h=_
x3+2
x2+1i_
x2+ -
x 1i+2
x2+1。選出正確的選項。
1 f x^ h
除以 x 1+ 的餘式為3
2 x 2-
是 f x^ h的因式
3 f x^ h
除以 x3+2
x2
+ 的餘式為 x1 2 2+1
4 f x^ h
除以 x2 3+4
x2
+ 的餘式為 x2
2
1
2
+
5 f x^ h
除以 x2+ -
x 1
的商式為 x3+2
x2+3。
三、進階題
已知 f x^ h
滿足 x^ +1h
f x^ h=
x5+
a，求實數
a及 f x^ h。
167
設 f x^ h為三次多項式。
1 已知 f^-1h=
f^-2h=0,
f 1^ h=6,
f 2^ h=48
，求 f x^ h。
2 已知 f^-1h=
f^-2h=
f^-3h=5
, f^ h-4 =-7
，求 f x^ h。
已知多項式 f x^ h
除以 x2-4
x-5
的餘式為 x3 -2
；除以 x-2的餘式為4，
求 f x^ h
除以 x2- - 的餘式。
x 2
設三次多項式 f x^ h
除以 x2+ +
x 2
的餘式為 x+2
；除以 x2+ -
x 2的餘式為
x
5 -2
，求 f x^ h。
已知多項式 f x^ h
除以 x^ -1h^
x-2h^
x-3
h 的餘式為 x3^ -1h^
x-2h+
g x^ h，其
中 g x^ h
為一次多項式，且 f 1^ h=-3,
f 3^ h=7，求
1 g x^ h。
2 f x^ h
除以 x^ -1h^
x-2h 的餘式。
設 f x^ h=8
x3+4
x2-4
x+7。
1 連續使用綜合除法，將 f x^ h表示成以下的形式：
f x a x b x c x d
2
1
2
1
2
1
3 2
= - + - + - +
^ h e o e o e o ，
求實數
a,b,c,d的值。
2 求 f 0 505^ . h的近似值到小數點以下第二位（第三位四捨五入）。
