《一元一次方程》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】 1．理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系； 2．会解一元一次方程，并理解每步变形的依据； 3．会根据实际问题列方程解应用题． 【知识网络】 【要点梳理】 知识点一、一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，这样的方程叫做一元 一次方程． 要点诠释：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为 1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 知识点二、等式的性质与去括号法则 1．等式的性质： 等式的性质 1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等． 2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变． 3．去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 知识点三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为 ax＝ b(a≠0)的形式． (5)系数化为 1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解
x
b
a
(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左 右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：abcd
a
10
3
b
10
2
c
10
d
. 【典型例题】 类型一、一元一次方程的相关概念 1．已知方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m 是关于 x 的一元一次方程，求 m 和 x 的 值． 【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都 是 1，系数不为 0，则这个方程是一元一次方程． 【答案与解析】 解：因为方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m 是关于 x 的一元一次方程， 所以 3m-4＝0 且 5-3m≠0． 由 3m-4＝0 解得4
3
m
，又4
3
m
能使 5-3m≠0，所以 m 的值是4
3
． 将4
3
m
代入原方程，则原方程变为5 3
4
8
3
x
3
，解得8
3
x
． 所以4
3
m
，8
3
x
． 【总结升华】解答这类问题，一定要严格按照一元一次方程的定义．方程 (3m-4)x2 -(5-3m)x-4m＝-2m2是关于 x 的一元一次方程，就是说 x 的二次项系数 3m-4＝0，而 x 的一次项系数 5-3m≠0，m 的值必须同时符合这两个条件． 举一反三：
【变式】下面方程变形中，错在哪里：
(1)方程 2x=2y 两边都减去 x+y，得 2x-(x+y)=2y-(x+y), 即 x-y=-(x-y). 方程 x-y=-(x-y)两边都除以 x-y, 得 1=-1. （ 2 ）
3 7
2
1
2
2
3
x
x
x
， 去 分 母 ， 得 3(3-7x)=2(2x+1)+2x ， 去 括 号 得 ： 9-21x=4x+2+2x. 【答案】（1）答：错在第二步，方程两边都除以 x-y. （2）答：错在第一步，去分母时 2x 项没乘以公分母 6. 2. 如果 5(x+2)＝2a+3 与(3
1)
(5
3)
3
5
a
x
a x
的解相同，那么 a 的值是________． 【答案】7
11
【解析】 由 5(x+2)＝2a+3，解得2
7
5
a
x
． 由(3
1)
(5
3)
3
5
a
x
a x
，解得9
5
x
a
． 所以2
7
9
5
5
a
a
，解得7
11
a
． 【总结升华】因为两方程的解相同，可把 a 看做已知数，分别求出它们的解，令其相等， 转化为求关于 a 的一元一次方程． 举一反三： 【变式】（2015•温州模拟）已知 3x=4y，则 = ． 【答案】 ． 解：根据等式性质 2，等式 3x=4y 两边同时除以 3y， 得： = ．类型二、一元一次方程的解法
3．（2016 春 淅川县期中）解方程• ﹣ = ． 【思路点拨】方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解． 【答案与解析】 解：原方程可化为 6x﹣ = ， 两边同乘以 6 得 36x 21x=5x 7﹣ ﹣ ， 解得：x= 0.7﹣ ．【总结升华】此题考查了解一元一次方程，注意第一步用到的是分数的基本性质：分子和 分母扩大相同的倍数，分数的值不变. 举一反三： 【变式 1】解方程
2 6 7
5 2
2
5
4
4
3
6
z
z
z
z
z
【答案】 解：把方程两边含有分母的项化整为零，得2 6 7
5 2
2
5
4 4 4
4
3
3
6
6
z
z
z
z
z
． 移项，合并同类项得：1
1
2
z
2
，系数化为 1 得：z＝1． 【变式 2】解方程：0.1
0.05 0.2
0.05 5
0
0.2
0.5
4
x
x
.
【答案】 解：把方程可化为：0.5 2
0.5 5
0
2
5
4
x
x
，
再去分母得：2x 32 解得：x 16 4．解方程 3{2x-1-[3(2x-1)+3]}＝5． 【答案与解析】 解：把 2x-1 看做一个整体．去括号，得： 3(2x-1)-9(2x-1)-9＝5． 合并同类项，得-6(2x-1)＝14． 系数化为 1 得：2
1
7
3
x
，解得2
3
x
． 【总结升华】把题目中的 2x-1 看作一个整体，从而简化了计算过程．本题也可以考虑换 元法：设 2x-1＝a，则原方程化为 3[a-(3a+3)]＝5．类型三、特殊的一元一次方程的解法
1．解含字母系数的方程 5.解关于x
的方程：1
(
)
1
(
2 )
3
m x n
4
x
m
【思路点拨】这个方程化为标准形式后，未知数 x 的系数和常数都是以字母形式出现的， 所以方程的解的情况与 x 的系数和常数的取值都有关系． 【答案与解析】 解：原方程可化为：(4
m
3)
x
4
mn
6
m
2 (2
m n
3)
当3
4
m
时，原方程有唯一解：4
6
4
3
mn
m
x
m
； 当3
,
3
4
2
m
n
时，原方程无数个解；当
