6-1-1極限與函數-數列及其極限

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(1)(99 課綱) 選修數學甲下冊第一章極限與函數 1-1 數列及其極限【目標】能直觀比較兩數列﹐並利用數學歸納法證之﹒再者﹐能直觀理解數列極限的意涵﹐ 判定一些基本數列的極限﹐並利用數列極限的四則運算性質及實數完備性處理相關的極限問題；進而利用數列的極限處理無窮等比級數的斂散性及循環小數的問題﹒最後能理解夾擠定理﹐並能應用之﹒ 【討論】微積分（Calculus）是數學的一個重要分支﹐它的問世對近代數學的發展具有深遠的影響﹐更是現代科技日益創新不可或缺的工具﹒在本書一至四冊的基礎數學中﹐我們已經學過許多的代數知識及方法﹐部分佐以幾何的思維；然而牽涉到極值､三次以上的函數或求特殊的面積､體積問題時﹐代數的方法往往是不足的﹐ 有了微積分的工具之後﹐自然就能顯現其價值及廣泛的應用層面﹒微積分所要探討的問題通常是以函數的形式來表現﹐而極限的概念又是微積分的理論基石；因此﹐在學習微積分之前﹐我們需要對函數及直觀的極限概念有充分的瞭解﹐才能進一步探究微積分的精髓﹒ 【討論】 1. 兩數列的比較(利用數學歸納法)：給定兩個無窮數列〈 an 〉及〈 bn 〉﹐若可以證明以下兩個步驟： (1)驗證 a1 ≤ b1 成立﹒ (2)在 ak ≤ bk 成立時﹐可以推得 ak +1 ≤ bk +1 也成立﹒ 則對任意正整數 n﹐不等式 an ≤ bn 都成立﹒ 有許多的不等式 an ≤ bn 並非對每一正整數 n 都成立﹐而僅當 n ≥ k0 時才成立﹐ 其中 k0 為某一正整數﹒這時﹐數學歸納法的兩個步驟可以修正如下： (1)驗證 ak0 ≤ bk0 成立﹒ (2)在 ak ≤ bk （ k ≥ k0 ）成立下﹐可以推得 ak +1 ≤ bk +1 也成立﹒ 【定義】 1. 數列的極限：給定無窮數列〈 an 〉﹐若存在一個實數 l ﹐使得當 n 趨近 ∞ 時﹐其對應的項 an 與 l 的差 | an − l | 可以任意的小﹐亦即 an 會趨近於 l ﹐則稱數列〈 an 〉收斂於 l ；並稱 l 為數列〈 an 〉的極限﹐以符號表示時﹐可記為 lim an = l ﹒對於極 n →∞. 限存在的數列﹐我們統稱為收斂數列﹐當數列〈 an 〉收斂於 l 時﹐我們也可以用 an → l 表示﹐亦即 | an − l | → 0 ﹒ 這些都是以某一定數為極限的數列﹐它們都是收斂數列﹒但有些數列不會收斂到一個定數（亦即數列沒有極限）﹐此種數列稱為發散數列﹒. 1.

(2) 【討論】 1. 當數列〈 an 〉收斂時﹐直觀上﹐我們不難理解以下三件事實： (1)極限 l 是唯一的﹒ (2)刪除〈 an 〉中的有限多項所得到的數列也會收斂於 l ﹒ 例如：刪除第一項後所得數列〈 an +1 〉： a2 ﹐ a3 ﹐ a4 ﹐…也會收斂於 l ﹐ 即 an +1 → l ﹒ (3)刪除〈 an 〉中的無限多項而得到的無窮數列仍然會收斂於 l ﹒ 例如：奇數項所成的數列〈 a2 n −1 〉與偶數項所成的數列〈 a2 n 〉也都會收斂於l ﹒ 2. 直觀上有幾種基本且常見的收斂數列﹐逐一列舉如下： (1)常數數列〈c〉：c﹐c﹐c﹐…﹐收斂於 c﹒ (2)當 r 滿足 | r | < 1 時﹐數列〈 r n 〉收斂於 0﹒ (3)當 p > 0 時﹐數列〈. 1 〉收斂於 0﹒ np. 【性質】 1. 無窮數列〈 ar n −1 〉的極限：設 an = ar n −1 （ n = 1 ﹐2﹐3﹐…）﹐其中 a ≠ 0 ﹒ (1)當 −1 < r < 1 時﹐數列〈 an 〉收斂於 0﹐即 lim an = 0 ﹒ n →∞. (2)當 r = 1 時﹐數列〈 an 〉收斂於 a﹐即 lim an = a ﹒ n →∞. 2.. (3)當 r ≤ −1 或 r > 1 時﹐數列〈 an 〉是發散數列﹒ 數列極限的運算性質：若〈 an 〉與〈 bn 〉都是收斂數列﹐c 是一個常數﹐則 (1) lim(an + bn ) = lim an + lim bn （特別地﹐ lim(an + c) = lim an + c ）﹒ n →∞. n →∞. n →∞. n →∞. n →∞. (2) lim(an − bn ) = lim an − lim bn （特別地﹐ lim(an − c) = lim an − c ）﹒ n →∞. n →∞. n →∞. n →∞. n →∞. (3) lim(an．bn ) = lim an．lim bn （特別地﹐ lim(c．an ) = c．lim an ）﹒ n →∞. n →∞. n →∞. n →∞. an an nlim = →∞ ﹒ n →∞ b lim bn n. (4)當 bn ≠ 0 且 lim bn ≠ 0 時﹐ lim n →∞. n →∞. (5)當 an ≥ 0 且 lim an = l 時﹐ lim an = l ﹒ n →∞. n →∞. 2. n →∞.

(3) 【定義】 1. 上界：由小而大排列的數列稱為遞增數列；當數列〈 an 〉的每一項都不大於某一實數 r 時﹐就稱數列〈 an 〉有上界﹐而實數 r 是〈 an 〉的一個上界﹒具有以上兩項特徵的數列都是收斂數列﹐這就是實數系的完備性公設﹒ 【定理】 1. 實數完備性：在實數系中﹐遞增且有上界的數列都會收斂到某一實數﹒ 同樣地﹐由大而小排列的數列稱為遞減數列；當遞減數列〈 an 〉有下界時（即每一項都不小於某一實數） ﹐則數列〈 an 〉也會收斂﹒. 【定義】 1. 無窮等比級數與循環小數：將一無窮數列〈 an 〉依序以+號連接： a1 + a2 + a3 + L + an + L ﹐就是一個無窮 ∞. ∞. 級數﹐以符號 ∑ an 表示﹐即 ∑ an = a1 + a2 + a3 + L + an + L ﹒若以 Sn 表示其前 n =1. n =1. ∞. n. n 項的級數和﹐即 S n = ∑ ak = a1 + a2 + a3 + L + an ﹐則 S n 稱為無窮級數 ∑ an 的 n =1. k =1. ∞. 部分和﹒若數列〈 Sn 〉收斂﹐則稱級數 ∑ an 為收斂級數；此時﹐數列〈 Sn 〉 n =1. ∞. ∞. n =1. n =1. 的極限 lim Sn = S 稱為無窮級數 ∑ an 的和﹐記為 ∑ an = S ；有時也稱級數 n →∞. ∞. ∑a. n. n =1. ∞. 收斂於 S﹒另一方面﹐若數列〈 S n 〉是發散數列﹐則稱級數 ∑ an 為發 n =1. 散級數﹒ 【定理】 ∞. 1.. 若無窮級數 ∑ an 收斂﹐則 lim an = 0 ﹒ n =1. n →∞. 證明： ∞. 令 ∑ an = S ﹐且 S n = a1 + a2 + L + an ﹐則 lim Sn = S ；又 n ≥ 2 時﹐ n →∞. n =1. an = (a1 + a2 + L + an −1 + an ) − (a1 + a2 + L + an −1 ) = Sn − Sn −1 ﹐ 故 lim an = lim( Sn − Sn −1 ) = lim S n − lim Sn −1 = S − S = 0 ﹒ n →∞. 2.. n →∞. n →∞. n →∞. 數列與級數的關係： ∞. (1)若級數 ∑ an 收斂﹐則 lim an = 0 ﹒ n =1. n →∞. ∞. (2)若數列〈 an 〉發散或不收斂於 0﹐則 ∑ an 發散﹒ n =1. 3.

(4) 【討論】 ∞. 1.. 若〈 an 〉是一個無窮等比數列﹐級數 ∑ an 就稱為無窮等比級數﹒假設等比 n =1. 數列〈 an 〉的首項 a1 = a ≠ 0 ﹐公比為 r﹐則 an = ar n −1 （ n = 1 ﹐2﹐3﹐…） ﹒當 −1 < r < 0 或 0 < r < 1 時﹐考慮其部分和 Sn =. n. ∑ k =1. ar k −1 = a + ar + L + ar n −1 =. a (1 − r n ) ﹐ 1− r. 當 n 趨近無限大時﹐ r n 趨近於 0﹐所以 S n = ∞. 窮等比級數 ∑ ar n −1 收斂﹐其和為 n =1. a(1 − r n ) a 趨近於；此時﹐無 1− r 1− r. a ﹒ 1− r. 另一方面﹐當 | r | ≥ 1 時﹐部分和 S n 可以化簡如下： Sn =. n. ∑ ar. k −1. k =1. = a + ar + L + ar. n −1. ⎧na, 當r = 1 ⎪ ﹒ = ⎨ a(1 − r n ) , 當r ≤ −1或r > 1 ⎪ ⎩ 1− r. 當 n 趨近無限大時﹐數列〈na〉與〈. a (1 − r n ) 〉都是發散數列﹐故當 | r | ≥ 1 時﹐ 1− r ∞. 數列〈 S n 〉發散﹐亦即無窮等比級數 ∑ ar n −1 發散﹒至於 r = 0 的情況﹐級數 n =1. a + ar + ar 2 + L ﹐雖然不是等比級數﹐但也是收斂級數﹐其和也可以寫成. 【結論】 ∞. 1.. 無窮級數 ∑ ar n −1 的和： n =1. ∞. (1)若 | r | < 1 ﹐則級數 ∑ ar n −1 收斂﹐且其和為 n =1 ∞. a ﹒ 1− r. (2)若 | r | ≥ 1 ﹐則級數 ∑ ar n −1 發散﹒ n =1. 【性質】 1. 級數的運算性質： ∞. ∞. 若無窮級數 ∑ an 及 ∑ bn 都收斂﹐c 是一個常數﹐則 n =1. ∞. n =1. ∞. ∞. n =1. n =1. (1) ∑ (an + bn ) = ∑ an + ∑ bn ﹒ n =1 ∞. ∞. n =1. n =1. (2) ∑ can = c．∑ an ﹒. 4. a ﹒ 1− r.

(5) 【討論】 1.. 一個實數如果可以寫成分數理數﹒當分數. 2.. n （m﹐n 為整數且 m ≠ 0 ）﹐這樣的數稱之為有 m. n 表成小數時﹐它可能是有限小數﹐也可能是循環的無限小 m. 數﹐ 反過來﹐每一個有限小數都可容易的化成分數﹐至於循環的無限小數是否也都可以化成分數呢？以 0.3 為例﹐它可以看成以下數列的極限： 0.3﹐0.33﹐0.333﹐0.3333﹐0.33333﹐0.333333﹐…… 此數列遞增且有上界﹐由實數的完備性來看﹐此數列當然會收斂﹐且以 0.3 為極限值﹒另一方面﹐ 0.3 也可以看成無窮等比級數 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + 0.00003 + 0.000003 + LL. 的和﹐透過無窮等比級數的求和公式就可以求出此級數的和﹐我們用下面的例子進一步作說明﹒ 每一個循環小數都可以拆成有限小數及純循環的小數部分﹐例如： 105 1 + ．0.32 ﹒ 1000 1000 又任意的純循環小數 0.c1c2 L cn 都可以化成分數﹐證明如下： 1 1 0.c1c2 L cn = 0.c1c2 L cn + 0.c1c2 L cn． n + 0.c1c2 L cn．( n ) 2 + L 10 10 ∞ 0.c c L cn c1c2 L cn 1 = 0.c1c2 L cn．( n ) k = 1 2 = ﹒ 1 L 99 10 k =0 12 39 1− n n個9 10 0.10532 = 0.105 + 0.00032 =. ∑. 因此﹐每一個循環小數都可以化成分數﹐亦即每一個循環小數都是有理數﹒ 【討論】 1. 夾擠定理：兩個數列〈 an 〉與〈 bn 〉如果滿足「對每一個正整數 n﹐ an ≤ bn 都成立」﹐則當兩數列都收斂時﹐從直觀的極限定義﹐我們不難理解其極限會滿足 lim an ≤ lim bn ﹒此性質推廣到三個數列〈 an 〉 ﹐ 〈 bn 〉﹐ 〈 cn 〉時﹐若 an ≤ cn ≤ bn n →∞. 2.. n →∞. 恆成立﹐且〈 an 〉與〈 bn 〉都收斂到同一極限﹐則〈 cn 〉也會被迫收斂到此一極限﹐這種雙邊夾擠的性質稱為夾擠定理﹐敘述如下：數列的夾擠定理：給定三個數列〈 an 〉﹐〈 bn 〉﹐〈 cn 〉﹐若滿足下列兩條件： (1) an ≤ cn ≤ bn 對每一個正整數 n 都成立﹒ (2)〈 an 〉與〈 bn 〉都收斂﹐且 lim an = lim bn = α ﹒ n →∞. n →∞. 則數列〈 cn 〉也會收斂﹐且 lim cn = α ﹒ n →∞. 由於數列是否收斂與該數列前面幾項的數值大小變化無關﹐因此﹐夾擠定理中的第一個條件也可以調整為「存在一個正整數 k﹐使得 an ≤ cn ≤ bn 對每一個正整數 n ≥ k 都成立」﹒. 5.

(6) 【範例】 1. 試求 lim n 2 ﹒ n →∞. 解：令 an = n 2 − 1 （ n = 2 ﹐3﹐4﹐…）﹐ 則由白努利不等式﹐可得 2 = (1 + an )n ≥ 1 + nan ﹐ 1 n. 於是﹐ 0 ≤ an ≤ （ n = 2 ﹐3﹐4﹐…）﹐ 1 = 0 ﹐故由夾擠定理﹐可知 lim an = 0 ﹐即 lim n 2 = 1 ﹒ n →∞ n n →∞ n→∞ 高中數學第一冊曾引用十分逼近法來求近似值﹐以 2 = 1.4142135L 為例﹐我. 又 lim. 2.. 們可以逐步推得： 1< 2 < 2 1.4 < 2 < 1.5 1.41 < 2 < 1.42 1.414 < 2 < 1.415 1.4142 < 2 < 1.4143. …… 其中 1﹐1.4﹐1.41﹐1.414﹐1.4142﹐…所成的數列〈 an 〉是遞增數列﹐而 2﹐ 1.5﹐1.42﹐1.415﹐1.4143﹐…所成的數列〈 bn 〉是遞減數列﹐且 an < 2 < bn ﹒ 1 趨近於 0﹐ 10n −1 得知 lim an = lim bn ﹒因此﹐由夾擠關係可以得到 lim an = lim bn = 2 ﹒. 依實數完備性﹐兩數列都收斂；又當 n 趨近 ∞ 時﹐ bn − an = n →∞. n →∞. n →∞. 6. n →∞.

(7) 3.. 關於圓面積的求法﹐典型的作法就是透過圓的內接正 n 邊形與外切正 n 邊形的面積夾擠而得﹐當 n 趨近 ∞ 時﹐兩者會趨近於同一極限值﹐此極限值就是圓的面積﹒三國時代劉徽的割圓術﹐就是利用圓內接正多邊形的面積來逼近圓的面積﹐進而求出圓周率 π 的近似值﹒以下我們利用夾擠定理來推導圓的面積公式：我們知道：圓周率 π 就是圓的周長 s 與直徑 2r 的比值﹐即 π =. s ﹐所以﹐ 2r. 圓的周長 s = 2π r ﹒給定一半徑 r 的圓 O﹐我們可將圓 n 等分得到內接正 n 邊形 A1 A2 L An 及外切正 n 邊形 B1 B2 L Bn ﹐如圖 1-5 為 n = 6 的情形：. 設內接正 n 邊形 A1 A2 L An 的面積及周長分別為 an ﹐ sn ﹐且圓心 O 到 A1 A2 的垂直距離為 hn ﹒由於正 n 邊形 A1 A2 L An 的面積為△ OA1 A2 面積的 n 倍﹐於是﹐ 1 1 s 1 an = ( ．A1 A2．hn )．n = ( ． n．hn )．n = sn hn ﹒ 2 2 n 2 1 2. 同理﹐外切正 n 邊形 B1 B2 L Bn 的面積 bn 及周長 tn 也會滿足 bn = tn r ﹒ 另一方面﹐圓 O 的面積 A(r ) 滿足以下的關係： an ≤ A( r ) ≤ bn 對任意 n ≥ 3 都成立﹒ 當 n 趨近 ∞ 時﹐ sn 與 tn 都會趨近於圓 O 的周長 2π r ﹐即 lim sn = lim tn = 2π r ； n →∞. n →∞. 又 hn 也會趨近於圓 O 的半徑﹐即 lim hn = r ﹐進一步可得： n →∞. 1 1 1 lim an = lim( sn hn ) = ．lim sn．lim hn = ．2π r．r = π r 2 ﹐ n →∞ n →∞ 2 n →∞ 2 n→∞ 2 1 1 1 lim bn = lim( tn r ) = ．lim tn．r = ．2π r．r = π r 2 ﹒ n →∞ n →∞ 2 n →∞ 2 2 因此﹐利用夾擠關係可以得到： A(r ) = π r 2 ﹐即半徑 r 的圓面積等於 π r 2 ﹒. 7.

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