5-2-3平面上的坐標變換-二元二次方程式的圖形

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(1)5-2-3 平面上的坐標變換-二元二次方程式的圖形【討論】試證明 ax 2 + cy 2 + dx + ey + f = 0 ，其中 a, c 不全為 0 時： (1)橢圓時， ac > 0 。 (2)拋物線時， ac = 0 。 (3)雙曲線時， ac < 0 。證明：設 a, c 不全為 0 ： (1) ac > 0 ：設 a > 0, c > 0 1.. 配方得 a ( x +. d 2 e d 2 e2 ) + c( y + ) 2 = + −f 2a 2c 4 a 4c. d 2 e2 令k = + −f 4a 4c. d 2 e ) ( y + )2 2a + 2c = 1 (a) k > 0 時，方程式化為 k k a c 圖形為圓( a = c )或橢圓( a ≠ c )。 d e (b) k = 0 時，圖形為一點 (− ,− ) 。 2a 2c (c) k < 0 時，方程式無實數解，故圖形為空集合。以上圖形統稱為橢圓類圖形。 (2) ac = 0 ：設 a ≠ 0, c = 0 得 ax 2 + dx + ey + f = 0 (a) e ≠ 0 d f d2 ) 得 a ( x + ) 2 = −e( y + − e 4ae 2a 圖形為拋物線。 (b) e = 0 時，得 ax 2 + dx + f = 0 。 (i) d 2 − 4af > 0 ， x 有兩實根 α , β ，圖形為兩平行直線 x = α , x = β 。 (ii) d 2 − 4af = 0 ， x 有一實根 α ，圖形為一直線 x = α 。 (iii) d 2 − 4af < 0 ， x 無實根，為空集合。以上圖形統稱為拋物線類圖形。 (3) ac < 0 ：設 a > 0, c < 0 (x +. 配方得 a ( x +. d 2 e d 2 e2 ) + c( y + ) 2 = + −f 2a 2c 4a 4c.

(2) 令k =. d 2 e2 + −f 4 a 4c. (a) k ≠ 0 時，方程式化為. (x +. d 2 e ) ( y + )2 2a − 2c = 1 k k − a c. 圖形為雙曲線。 d 2 e ) − (−c)( y + ) 2 = 0 。 2a 2c d e d e 得 ( a ( x + ) − − c ( y + ))( a ( x + ) + − c ( y + )) = 0 2a 2c 2a 2c d e d e 得 ( a ( x + ) − − c ( y + )) = 0 或 ( a ( x + ) + − c ( y + )) = 0 2a 2c 2a 2c 圖形為兩相交直線(斜率不同)。以上圖形統稱為雙曲線類圖形。【結論】. (b) k = 0 時，方程式為 a ( x +. 對於 Γ : ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0(b ≠ 0) 將原坐標系 S 旋轉一個角度得到新坐標系 S ' ' 時恆有 b' ' 2 −4a ' ' c' ' = b 2 − 4ac 必有一適當角度 θ 使得新方程式中交叉項係數 b' ' = 0 旋轉後得新方程式 Γ' ': a' ' x' ' 2 +c' ' y ' ' 2 + d ' ' x' '+e' ' y ' '+ f ' ' = 0 且 − 4a ' ' c ' ' = b 2 − 4ac 當 1. b 2 − 4ac < 0 時(即 a' ' c' ' > 0 )，圖形為橢圓類。 2. b 2 − 4ac = 0 時(即 a' ' c' ' = 0 )，圖形為拋物線類。 3. b 2 − 4ac > 0 時(即 a' ' c' ' < 0 )，圖形為雙曲線類。其中 b 2 − 4ac 稱為二元二次方程式 Γ : ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0(b ≠ 0) 的判別式.

(3) 【問題】化簡原則：對 Γ : g ( x, y ) = ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0(b ≠ 0) 令 δ = b 2 − 4ac 1. δ ≠ 0 (a)先移軸至新原點 O ' ( h, k ) ⎧2ah + bk + d = 0 其中 ( h, k ) 滿足 ⎨ ⎩bh + 2ck + e = 0. ⇒ Γ': ax' 2 +bx' y '+ cy' 2 + f ' = 0, ( f ' = g (h, k )) (b)再轉軸 θ 角 0 < θ < 其中 cot 2θ =. π 2. a−c (b ≠ 0 ) b. ⇒ Γ' ': a ' ' x' ' 2 + c' ' y ' ' 2 + f ' ' = 0 2.. δ =0 (a)先轉軸 θ 角. ⇒ Γ': ax' 2 +bx' y '+ cy' 2 + f ' = 0 a ' , c' 中必有一為 0 設 c'= 0. ⇒ Γ': ax' 2 + d ' x'+e' y ' 2 + f ' = 0.

(4) 【問題】移軸、轉軸有哪些不變量？ (a)移軸：將方程式 Γ : ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 移軸 ⎧ x = x'+ h 以⎨ 代入 ⎩ y = y '+ k 得 Γ': a( x'+ h) 2 + b( x'+ h)( y '+ k ) + c( y '+ k ) 2 + d ( x'+ h) + e( y '+ k ) + f = 0 新方程式 Γ': a' x'2 +b' x' y '+ c' y '2 + d ' x'+ e' y '+ f ' = 0 故 1. a' = a 2. b' = b 3. c' = c 4. d ' = 2ah + bk + d 5. e' = bh + 2ck + e 6. f ' = ah 2 + bhk + ck 2 + dh + ek + f 由上可得以下不變量： 1. a'+c' = a + c 。 2. b' 2 −4a ' c ' = b 2 − 4ac 。 3. b' 2 +(a'−c' ) 2 = b 2 + (a − c) 2 。 1 1 4. a ' 2 + b' 2 + c ' 2 = a 2 + b 2 + c 2 。 2 2 2a b d 2a ' b' d ' 1 1 5. ∆' = b' 2c' e' = b 2c e = ∆ 。 2 2 d ' e' 2 f ' d e 2f 證明 1～4：因 a' = a 、 b' = b 、 c' = c ，直接代入即可。證明 5：. 2a ' b' d ' 1 ∆' = b' 2c' e' 2 d ' e' 2 f ' 1 = 2. 2a b 2ah + bk + d. b 2ah + bk + d 2c bh + 2ck + e bh + 2ck + e ah 2 + bhk + ck 2 + dh + ek + f. 1 = 2. 2a b 2ah + bk + d. b d 2c e bh + 2ck + e dh + ek + 2 f. 2a b d 1 = b 2c e = ∆ 2 d e 2f.

(5) (b)轉軸：將方程式 Γ : ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 轉軸 ⎧ x = x' ' cosθ − y ' ' sin θ 以⎨ 代入，得 ⎩ y = x' ' sin θ + y ' ' cosθ. Γ' ': a ( x' ' cosθ − y ' ' sin θ ) 2 + b( x' ' cosθ − y ' ' sin θ )( x' ' sin θ + y ' ' cosθ ) + c( x' ' sin θ + y ' ' cosθ ) 2 + d ( x' ' cosθ − y ' ' sin θ ) + e( x' ' sin θ + y ' ' cosθ ) + f = 0 新方程式為 Γ' ': a' ' x' '2 +b' ' x' ' y ' '+c' ' y ' '2 + d ' ' x' '+e' ' y ' '+ f ' ' = 0 故 1.. 2. 3.. a ' ' = a cos 2 θ + b sin θ cos θ + c sin 2 θ (1 + cos 2θ ) 1 (1 − cos 2θ ) =a + b sin 2θ + c 2 2 2 2 2 b' ' = −2a sin θ cosθ + b(cos θ − sin θ ) + 2 sin θ cosθ = b cos 2θ − (a − c) sin 2θ. c ' ' = a sin 2 θ − b sin θ cos θ + c cos 2 θ (1 − cos 2θ ) 1 (1 + cos 2θ ) =a − b sin 2θ + c 2 2 2 4. d ' ' = d cosθ + e sin θ 5. e' ' = −d sinθ + e cosθ 6. f ' ' = f 由上可得以下不變量： 1. a' '+c' ' = a + c 。 2. b' ' 2 −4a ' ' c ' ' = b 2 − 4ac 。. 3. 4. 5.. 6.. b' ' 2 +(a' '−c' ' ) 2 = b 2 + (a − c) 2 。 1 1 a ' ' 2 + b' ' 2 + c' ' 2 = a 2 + b 2 + c 2 。 2 2 f ''= f 。. 2a ' ' b ' ' d ' ' 2a b d 1 1 ∆' ' = b' ' 2c' ' e' ' = b 2c e = ∆ 。 2 2 d ' ' e' ' 2 f ' ' d e 2f. 證明 1： a' '+c' ' = (a cos 2 θ + b sin θ cosθ + c sin 2 θ ) + (a sin 2 θ − b sin θ cosθ + c cos 2 θ ) = a+c 證明 2： b ' ' 2 −4 a ' ' c ' ' = (b cos 2θ − (a − c) sin 2θ ) 2 a+c a−c 1 a+c a−c 1 − 4( + cos 2θ + b sin 2θ )( − cos 2θ − b sin 2θ ) 2 2 2 2 2 2 = (c − a) 2 sin 2 2θ + b(c − a) sin 4θ + b 2 cos 2 2θ. − (a + c) 2 + (a − c) 2 cos 2 2θ + b 2 sin 2 2θ + b(a − c) sin 4θ = ( a − c) 2 − ( a + c) 2 + b 2.

(6) = b 2 − 4ac 證明 3：. b' '2 +(a' '−c' ' ) 2 = (b' '2 −4a' ' c' ' ) + (a' '+c' ' ) 2 = (b 2 − 4ac) + (a + c) 2 = b 2 + ( a − c) 2 證明 4： 1 1 1 a ' ' 2 + b' ' 2 + c' ' 2 = ( a ' '+ c ' ' ) 2 − 2a ' ' c ' '+ b' ' 2 = ( a ' '+ c ' ' ) 2 + (b' ' 2 −4a ' ' c ' ' ) 2 2 2 1 1 = ( a + c ) 2 + (b 2 − 4ac ) = a 2 + b 2 + c 2 2 2 證明 5： 2a ' ' b' ' d ' ' 1 ∆' ' = b' ' 2c' ' e' ' 2 d ' ' e' ' 2 f ' '. b' ' d ' ' 2a ' ' d ' ' 2a ' ' b ' ' ⎞ 1⎛ ⎟ = ⎜⎜ d ' ' − e' ' + 2 f '' b ' ' e' ' b' ' 2c' ⎟⎠ 2 ⎝ 2c' ' e' ' 2a b b 2c 1⎛ = ⎜⎜ (d cosθ + e sin θ )( cosθ − sin θ ) d e d e 2⎝ + (−d sin θ + e cosθ )(−. 1⎛ b = ⎜⎜ 2⎝ d =. 2c e. b d. 2a b ⎞ 2c 2a b ⎟ sin θ − cosθ ) + 2 f b 2c ⎟⎠ e d e. (d cosθ − e sin θ ) −. 2a b d. e. (d cosθ + e sin θ ) + 2 f. 2a b 2a b ⎞ 1⎛ b d ⎜d ⎟ − e + 2 f b e b 2c ⎟⎠ 2 ⎜⎝ 2c e. 2a b d 1 = b 2c e 2 d e 2f. 2a b. b ⎞ ⎟ 2c ⎟⎠.

(7) 【問題】 1. 轉軸如何求得 a ' , c' ？解答：轉軸 θ (設 b ≠ 0 ). π a−c , (0 < θ < ) b 2 ⇒ 轉軸 θ 角後，去掉 xy 項. ⇒ cot 2θ =. 因 b' 2 +(a'−c' ) 2 = b 2 + (a − c) 2 又 b'= 0 得 a '−c' = ± b 2 + ( a − c ) 2 又 a '−c' = (a − c ) cos 2θ + b sin 2θ = (b sin 2θ )(. a−c cot 2θ + 1) b. a−c 2 ) + 1) b 其中 sin 2θ > 0 = (b sin 2θ )((. 則 a'−c' 與 b 同號故可以下式解出 a ' , c'. ⎧⎪a'+c' = a + c ( ± 與 b 同號) ⎨ ⎪⎩a'−c' = ± b 2 + (a − c) 2 【性質】. π. 時,則 0 < 2θ < π ，即 0 < θ <. 1.. 計算上當 0 < θ <. 2. 3.. cot 2θ 同號的性質常會用到。 b' ' = 0 。 a' '+c' ' = a + c 。. 4.. b' ' 2 +(a ' '−c' ' ) 2 = b 2 + (a − c) 2 。. 5. 6.. b' ' 2 −4a ' ' c ' ' = b 2 − 4ac 。 f ''= f 。. 7.. a ' '−c ' ' = ± b 2 + ( a − c) 2 ( ± 與 b 同號)。. 8.. 可以由 3 及 7 求出 a' ' 及 c' ' 。. 2. π 2. 必為銳角，此時 cos 2θ 與.

(8) 【例題】 1. 試討論 Γ : ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 的圖形？解： (1)當 δ = b 2 − 4ac ≠ 0 時， Γ : ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 先移軸 ⇒ Γ': ax' 2 +bx' y '+cy' 2 + f ' = 0 再轉軸 ⇒ Γ' ': a' x' ' 2 +c' y ' ' 2 + f ' = 0 又 b' 2 −4a ' c ' = b 2 − 4ac (a)若 b 2 − 4ac < 0 ⇒ a' c' > 0. ⎧橢圓或圓(當a' (-f' ) > 0) ⎪ ⇒ Γ 為 ⎨一點(當f' = 0) ⎪φ (當a' (-f' ) < 0) ⎩ (b)若 b 2 − 4ac > 0 ⇒ a' c' < 0 ⎧雙曲線(當f ' ≠ 0) ⇒ Γ 為⎨ ⎩兩相交直線(當f' = 0) (2)若 δ = b 2 − 4ac = 0 時 Γ : ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 先轉軸 ⇒ Γ': a' x' 2 +c' y ' 2 + d ' x'+e' y '+ f = 0 又 − 4a ' c' = b' 2 −4a ' c' = b 2 − 4ac = 0 ⇒ a' c' = 0 但 a ' , c ' 不同時為 0 (a)若 c'= 0 ⇒ Γ : a' x' 2 + d ' x'+e' y '+ f = 0 (i)若 e'≠ 0 ，則 Γ 為拋物線。. ⎧兩平行直線(當d ' 2 −4a' f > 0) ⎪ (ii)若 e'= 0 ，則 Γ : a' x'2 + d ' x'+ f = 0 ⇒ Γ 為 ⎨兩重合線(當d ' 2 −4a' f = 0) ⎪φ (當d ' 2 −4a' f < 0) ⎩.

(9) 【問題】 1. 比較移軸前的原方程式與移軸後的新方程式，試問那些項的係數不會改變？ (移軸後二次項係數不變，即 x 2 , xy, y 2 等的係數，兩點距離) 2. 比較轉軸前的原方程式與轉軸後的新方程式，試問那些項的係數不會改變？ (轉軸後常數項不變，原點、單位長、與原點距離、兩點距離、內積) 3. 先移軸(去 x, y 項)，再轉軸(去 xy 項)還是先轉軸(去 xy 項)，再移軸(去 x, y 項) 比較好呢？(有心二次曲線先移軸(去 x, y 項),再轉軸(去 xy 項)，無心二次曲線先轉軸(去 xy 項),再移軸(去 x, y 項)比較簡便) 4.. 兩點距離是否為旋轉坐標軸變換的不變量？. 即 (a1 '−b1 ' ) 2 + (a2 '−b2 ' ) 2 = (a1 − b1 ) 2 + (a2 − b2 ) 2 是否成立？ 5. 兩個向量的內積是否為旋轉坐標軸變換的不變量？即 a1 ' b1 '+ a2 ' b2 ' = a1b1 + a2b2 是否成立? 6.. 平行四邊形的有項面積是否為旋轉坐標軸變換的不變量？即. a1 ' a2 ' a1 = b1 ' b2 ' b1. a2 是否成立？ b2. 【定義】有心錐線：當 b 2 − 4ac ≠ 0 時，稱有心錐線。將 Γ : a' x' ' 2 +c' y ' ' 2 = − f ' 代 (− x' ' ,− y ' ' ) ，原方程式不變。(或有確定的對稱中心)(對稱於新原點 ( h, k ) ) 無心錐線：當 b 2 − 4ac = 0 時，稱無心錐線。將 Γ : a' x' 2 + d ' x'+e' y ' 2 + f = 0 (或 Γ : c' y ' 2 + d ' x'+e' y ' 2 + f = 0 )代 (− x' ' ,− y ' ' ) ，原方程式會變。(或無確定的對稱中心) 若 e'≠ 0 ，則為拋物線。若 e'= 0 ，則為兩平行線或兩重合直線。【定義】判別式. 對稱中心. 類型. 非退化曲線. 退化曲線. 變數變換. b 2 − 4ac < 0. 有心錐線. 橢圓型. 橢圓或圓. 一點或空集合. 先移軸再轉軸. b 2 − 4ac > 0. 有心錐線雙曲線型. 雙曲線. 兩條相交直線. 先移軸再轉軸. 拋物線. 兩條平行線或兩條重合直線或空集合. 先轉軸再移軸. b − 4ac = 0 2. 無心錐線拋物線型.

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