迷思次序分析法於概念診斷上之應用
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(3) . 中文摘要 次序理論（Ordering theory, OT）是依據受試者在二元計分（dichotomous）試 題的反應，呈現試題的先後順序性（ordering）或試題階層性（Item hierarchy）， 而試題關聯結構（Item relational structure, IRS）是依據學生施測結果，透過試題 通過率與反應，繪製出試題關聯結構圖，兩者皆為測驗統計上常用之結構分析圖， 然而此兩種結構分析圖，皆為判斷測驗試題之結構分析圖，對於學習概念之結構 分析圖的診斷尚有部分限制。近年來，認知心理學、人工智慧、心理計量學等領 域的學者專家，極力探究較佳且適當教學與評量方法，期能診斷學生的學習認知 與迷思概念（misconception）。本論文旨在於運用灰色理論方法，診斷測驗試題 的迷思次序（Misconceptions’ order）與其概念結構圖，而能了解試題與學生學習 成效等問題，透過 Rasch Model GSP 表、詮釋結構模式（Interpretive structural model, ISM）與灰色結構模式（Grey structural Mmodel, GSM）等工具的解析；將教師所 建立的概念-概念表，透過 ISM 產生概念結構圖，與透過 GSM 所產生學生作答的 試題-概念結構圖進行分析，可以清楚了解試題與學習概念之間的分群狀態，與其 關聯性等問題，根據研究分析之結果，實際驗證了以下的貢獻：. 一、以數理公式進行推論出 Rasch Model GSP 表與迷思次序分析法，兩者皆為創 新之研究方法。 二、不同於以往心理計量的研究方式，突破試題反應理論（Item response theory, IRT） 需要以大樣本來推估學生能力，本研究方法嘗試以少量人數與試題數的分析 下，建立 Rasch Model GSP 表，進行學生試題參數（難度、鑑別度與猜測度） 之推估。研究之數據，採用 Cronbach α 係數，檢驗數據的一致性。 三、有別於次序理論與試題關聯結構僅可建構出試題結構分析圖，本研究透過詮. I .
(4) . 釋結構模式（ISM）明確的指出學科專家所建構學習概念的順序。搭配灰色 結構模型（GSM）的分析方法，檢視學習者迷思試題之概念結構圖，與概念 之間的分群結構關聯性。 四、實例驗證 Rasch Model GSP 表與迷思次序（Misconceptions’ order）分析法的 研究組合，可以明顯提升學生的測驗成效，顯示這是一種提供教師進行測驗 後補救教學的創新方法。. 關鍵字：次序理論、迷思概念、Rasch Model GSP 表、詮釋結構模式、灰色結構 模式、迷思次序分析法、試題反應理論. II .
(5) . Abstract The Ordering Theory（OT）is based on the responses of subjects toward dichotomous test items, and it can present the ordering or item hierarchy of the test item. On the other hand, the Item Relational Structure（IRS）is based on students’ test results and passing rate to draw the IRS diagram. Both of them are common used structural analysis diagrams in educational measurement statistic fields. However, these two diagrams focus on the judgment of test item structures, and they have some limitations of learning concept structural analysis diagnosis. In recent years, experts of cognitive psychology, artificial intelligence and psychometrics all put effort on exploring better and appropriate teaching and evaluation methods in diagnosing students’ cognitive misconceptions. Hence, this research is about using grey theory methods to diagnosis the structural and misconceptions’ order of test items. Through the use of Rash Model GSP chart, Interpretive Structural Modeling（ISM）, and Grey Structural Modeling（GSM）, it is possible to establish Problem-Concept chart. Then the concept structural diagram can be generated by using ISM. Finally, GSM is applied to analyze students’ responses and concepts, which also presents the clustering of test items and learning concepts. The results can be shown as follows:. 1. Using mathematical equations to infer the Rasch Model GSP chart and the misconceptions’ order analysis method, and both of them are innovative research methods. 2. Unlike previous psychometric research and breakthrough the Item Response Theory（IRT）which needs large sample to estimate the students’ ability, this paper. III .
(6) . tries to use small numbers of data and test items to establish Rasch Model GSP chart which is able to estimate the difficulty, discrimination and guessing parameters of test items. Also, the research uses the Cronbach α coefficient to test the consistency of the data. 3. Different from the OT/IRS which only create item structural analysis diagrams, this paper uses Interpretive Structural Model（ISM）to indicate the sequence of the learning concept established by experts. Accompany with the Grey Structural Modeling（GSM）, the misconceptions of learners and the structural relationship between the clustering concepts can be obtained. 4. Using Matlab to code the Rasch Model GSP chart and the misconceptions’ order of analysis method can verify that the combination of the Rasch Model GSP chart and the misconceptions’ order analysis. It is proved to enhance the effectiveness of the student’s test significantly, which is also an innovative approach for teachers to provide remedial teaching.. Keywords: Ordering Theory, Misconception, Rasch Model GSP Chart, Interpretive Structural Model, Grey Structure Model, Misconceptions’ Order Analysis Method, Item Response Theory.. IV .
(7) . 目錄 中文摘要............................................................................................................... Abstract................................................................................................................ 目錄....................................................................................................................... 表目錄................................................................................................................... 圖目錄................................................................................................................... 參數符號表............................................................................................................ 頁次 I III V VIII X XII. 第一章 緒論......................................................................................................... 第一節 前言................................................................................................. 第二節 研究動機......................................................................................... 第三節 研究目的與研究範圍..................................................................... 第四節 研究對象與內容.............................................................................. 1 1 2 5 6. 第二章 相關文獻與基礎理論............................................................................. 第一節 迷思概念......................................................................................... 第二節 ISM（詮釋結構模式）.................................................................. 第三節 S-P 表分析理論...……………....................................................... 第四節 GRA（灰關聯分析法）................................................................ 第五節 Rasch Model GSP 表分析理論...................................................... 第六節 GSM （灰色結構模式）............................................................... 9 9 13 16 19 20 24. 第三章 迷思次序演算法之流程…………......................................................... 第一節 迷思次序演算法之流程………..................................................... 第二節 迷思次序演算法步驟與基礎理論.................................................. 29 29 31. 第四章 Rasch Model GSP 表的製作與分析..................................................... 第一節 數據信效度分析與 GSP 表製作.................................................... 第二節 Rasch Model GSP 表的形成與分析.............................................. 第三節 Rasch Model GSP 表的樣本數限制問題分析.............................. 第四節 GSP 表與 Rasch Model GSP 表之比較....................................... 第五節 本章小結.......................................................................................... 43 43 45 50 51 54. 第五章 Rasch Model GSP 表與 GSM 灰色結構模式之結合分析.................. 55. V .
(8) . 範例一:研究方法課程的作答反應................................................ 範例二:國小學生對於文字符號概念的作答反應....................... 範例三:企業倫理與職業道德試題的作答反應............................ 本章小結.......................................................................................... 56 64 70 79. 第六章 迷思次序分析法的形成與分析............................................................. 第一節 數據信度分析................................................................................. 第二節 102 班級（實驗組）範例.............................................................. 第三節 104 班級（控制組）範例.............................................................. 第四節 ISM 結構圖..................................................................................... 第五節 迷思概念表..................................................................................... 第六節 前後測兩個班級迷思概念表與 ISM 結構分析圖....................... 第七節 前後測兩個班級迷思概念試題表與 GSM 結構圖..................... 第八節 本章小結.......................................................................................... 81 81 82 86 91 94 96 99 103. 第七章 迷思次序分析法結合 GSM 結構圖進行班級程度概念分析............. 第一節 前測學生測驗之三等第分群......................................................... 第二節 後測學生測驗之三等第分群......................................................... 第三節 本章小結.......................................................................................... 105 105 112 121. 第八章 迷思次序分析法與診斷概念法之比對................................................. 第一節 概念結構圖之建立......................................................................... 第二節 試題概念表之建立......................................................................... 第三節 迷思概念結構圖之建立................................................................. 第四節 本章小結.......................................................................................... 123 123 125 126 128. 第九章 結論......................................................................................................... 第一節 Rasch Model GSP 表之研究貢獻.................................................. 第二節 Rasch Model GSP 表與 GSM 圖結合之研究貢獻....................... 第三節 迷思次序分析法之研究貢獻......................................................... 第四節 迷思次序分析法結合 GSM 圖進行程度分析之研究貢獻......... 第五節 未來研究與建議.............................................................................. 129 129 130 131 132 133. 參考文獻............................................................................................................... 中文部分....................................................................................................... 英文部分....................................................................................................... 日文部分........................................................................................................ 135 135 140 149. 第一節 第二節 第三節 第四節. VI .
(9) 附錄一................................................................................................................... 字詞索引....................................................................................................... 附錄二................................................................................................................... 個人簡歷....................................................................................................... 學術論文著作............................................................................................... 獲獎暨榮譽.................................................................................................... VII. 150 150 151 151 152 159.
(10) . 表 目 錄 表 2-1 表 2-3 表 2-4 表 4-1 表 4-2 表 4-3 表 4-4 表 5-1 表 5-2 表 5-3 表 5-4 表 5-5 表 5-6 表 5-7 表 5-8 表 5-9 表 5-10 表 5-11 表 5-12 表 5-13 表 5-14 表 5-15 表 6-1 表 6-2 表 6-3 表 6-4 表 6-5 表 6-6 表 6-7 表 6-8 表 6-9 表 6-10 表 6-11. 迷思概念的特性……………………………………………………... S-P 表…………………………………………………………………. LGRA-S 與 LGRA-P 的排序……………………………………….... 微積分高階導數之雙向細目表……………………………………... 誤差參數……………………………………………………………... 表 2-3 答對題數八至十題之得分率與 LGRA-S 值……………….... S-P 表、GSP 表與 Rasch Model GSP 表之比較表………………...... 原始數據……………………………………………………………... S-P 表………………………………………………………………... LGRA-S 與排序……………………………………………………… LGRA-P 與排序…………………………………………………….... 得分率與答對率……………………………………………………... 學生（S）之 Gamma 值…………………………………………….. 問題（P）之 Gamma 值…………………………………………….. S-P 表…………………………………………………………………. 文字符號概念之雙向細目表………………………………………... 企業倫理與職業道德之雙向細目表………………………………... LGRA-S 受測者答題之矩陣圖…………………………………….... LGRA-S 之 Gamma 值與排序…………………………………….. LGRA-P 試題作答矩陣圖…………………………………………... LGRA-P 之 Gamma 值與排序…………………………………….. 得分率與答對率……………………………………………………... 二元一次方程式前測雙向細目表…………………………………... 二元一次方程式後測雙向細目表…………………………………... 102 班級迷思學生與試題表(前測)………………………………….. 102 班級平均答對題數、人數、S 與 P (前後測)…………………… 102 班級迷思學生與試題表(後測)………………………………….. 104 班級迷思學生與試題表(前測)………………………………….. 兩個班級前後測平均答對題數、人數、S 與 P (前後測)………....... 104 班級之迷思學生與試題表(後測)……………………………...... 單元概念表…………………………………………………………... 概念-概念表…………………………………………………………. 前測試題-概念表……………………………………………………. VIII . . 頁次 10 17 23 44 46 53 53 56 57 57 58 61 62 63 64 65 71 72 73 73 74 76 82 82 84 86 86 88 90 91 91 92 93.
(11) . 表 6-12 表 6-13 表 6-14 表 6-15 表 6-16 表 6-17 表 6-18 表 6-19 表 6-20 表 6-21 表 6-22 表 7-1 表 7-2 表 7-3 表 7-4 表 7-5 表 7-6 表 7-7 表 7-8 表 7-9 表 7-10 表 8-1 表 8-2 表 8-3. 後測試題-概念表……………………………………………………. 102 班級學生前測迷思概念表…………………………………….... 102 班級學生後測迷思概念表…………………………………….... 104 班級學生前測迷思概念表…………………………………….... 104 班級學生後測迷思概念表…………………………………….... 前測兩個班級學生之迷思概念表…………………………………... 後測兩個班級學生之迷思概念表…………………………………... 前測兩個班級之迷思學生與試題表………………………………... 前測兩個班級迷思試題之迷思概念表……………………………... 後測兩個班級之迷思學生與試題表………………………………... 後測兩個班級迷思試題之迷思概念表……………………………... 102 班級學生作答反應與 LGRA-S 值(前測)……………………...... 104 班級前測學生作答反應與 LGRA-S 值…………………………. 兩個班級程度較高區域試題-概念表(前測)……………………....... 兩個班級程度中間區域試題-概念表(前測)………………………... 兩個班級程度較低區域試題-概念表(前測)………………………... 102 班級學生作答反應與 LGRA-S 值(後測)……………………….. 104 班級學生作答反應與 LGRA-S 值(後測)……………………….. 兩個班級程度較高區域試題-概念表(後測)………………………... 兩個班級程度中間區域試題-概念表(後測)………………………... 後測兩個班級程度較低區域試題-概念表…………………………. 整數之概念-概念表…………………………………………………. 試題概念關係表……………………………………………………... 學生迷思試題概念表……………………………………………….... IX . 93 94 95 95 96 97 98 99 99 101 101 106 109 112 112 112 113 116 119 119 120 123 125 127.
(12) . 圖 目 錄 圖 1-1 圖 2-1 圖 2-2 圖 2-3 圖 2-4 圖 3-1 圖 3-2 圖 3-3 圖 3-4 圖 3-5 圖 3-6 圖 3-7 圖 4-1 圖 4-2 圖 4-3 圖 4-4 圖 4-5 圖 4-6 圖 4-7 圖 4-8 圖 4-9 圖 4-10 圖 5-1 圖 5-2 圖 5-3 圖 5-4 圖 5-5 圖 5-6 圖 5-7 圖 5-8 圖 5-9 圖 5-10 圖 5-11 圖 5-12. 研究架構圖…………………………………………………………... ISM 結構圖………………………………………………………….. 三參數試題特徵曲線………………………………………………... 十二試題 GSM 結構圖………………………………………………. 四十位學生 GSM 結構圖…………………………………………..... 迷思次序演算法之流程……………………………………………... S-P 表結構圖（本研究整理）……………………………………......... Rasch Model GSP 表學生問題表矩陣（本研究整理）……………... M-S 迷思學生矩陣（本研究整理）…………………………………... M-SP 迷思學生試題矩陣（本研究整理）……………………............. P-C 問題概念矩陣（本研究整理）……………………………............ M-C 迷思概念矩陣 （本研究整理）…………………………………... GSP 表………………………………………………………………... Rasch Model GSP 表…………………………………………………. 全體學生的鑑別度與全部試題的鑑別度…………………………... 全體測驗平均值與全部試題難度平均值…………………………... 全體學生測驗猜測度………………………………………………... 分佈圖…………………………………………………………….... 學生三人，試題三題之 Rasch Model GSP 表……………………... 學生三九七三人，試題四十題之 Rasch Model GSP 表…………... S-P 表答對率與得分率之百分比分佈……………………………..... GSP 表及其學生測驗平均值與試題難度平均值…………………... Rasch Model GSP 表………………………………………………... 學生的鑑別度與試題的鑑別度……………………………………... 學生測驗平均值與試題難度平均值………………………………... 分佈圖…………………………………………………………….... 十位學生（S）的排序結構………………………………………......... 十個問題（P）的排序結構……………………………………………. Rasch Model GSP 表………………………………………………... 學生鑑別度與試題鑑別度…………………………………………... 學生測驗平均值與試題難度平均值………………………………... 分佈圖…………………………………………………………….... 六十位學生（S）的排序結構…………………………………………. 二十題問題（P）的排序結構……………………………………......... X . . 頁次 7 15 21 27 27 30 31 33 36 37 39 40 44 45 47 48 48 49 50 51 52 52 59 59 60 61 63 63 66 67 67 68 69 70.
(13) . 圖 5-13 圖 5-14 圖 5-15 圖 5-16 圖 5-17 圖 5-18 圖 5-19 圖 6-1 圖 6-2 圖 6-3 圖 6-4 圖 6-5 圖 6-6 圖 6-7 圖 6-8 圖 6-9 圖 6-10 圖 6-11 圖 6-12 圖 6-13 圖 7-1 圖 7-2 圖 7-3 圖 7-4 圖 7-5 圖 7-6 圖 7-7 圖 7-8 圖 7-9 圖 7-10 圖 7-11 圖 7-12 圖 8-1 圖 8-2 圖 8-3 圖 8-4. S-P 表…………………………………………………………………. Rasch Model GSP 表………………………………………………... 受測者的鑑別度與試題的鑑別度…………………………………... 測驗平均值與試題難度平均值……………………………………... 分佈圖…………………………………………………………….... 六十位受測者（S）的排序結構………………………………………. 四十項試題（P）的排序結構…………………………………………. 102 班級 LGRA-S 與 LGRA-P(前測)………………………………... 102 班級 Rasch Model GSP 表(前測)………………………………... 102 班級 LGRA-S 與 LGRA-P(後測)……………………………....... 102 班級 Rasch Model GSP 表(後測)………………………………... 104 班級 LGRA-S 與 LGRA-P(前測)………………………………... 104 班級之 Rasch Model GSP 表(前測)……………………………... 104 班級後測之 LGRA-S 與 LGRA-P……………………………...... 104 班級 Rasch Model GSP 表(後測)………………………………... ISM 概念結構圖……………………………………………………... 前測兩個班級迷思序之 ISM 結構分析圖………………………....... 後測兩個班級迷思序之 ISM 結構分析圖…………………………... 兩個班級前測迷思概念表之 GSM 結構分析圖………………….. 兩個班級後測迷思概念表之 GSM 結構分析圖……………………. 102 班級程度較高區域試題 GSM 結構圖(前測)…………………… 102 班級程度中間區域試題 GSM 結構圖(前測)…………………… 102 班級程度較低區域試題 GSM 結構圖(前測)…………………… 104 班級程度較高區域試題 GSM 結構圖(前測)………………….... 104 班級程度中間區域試題 GSM 結構圖(前測)…………………… 104 班級程度較低區域試題 GSM 結構圖(前測)…………………… 102 班級程度較高區域試題 GSM 結構圖(後測)…………………… 102 班級程度中間區域試題 GSM 結構圖(後測)…………………… 102 班級程度較低區域試題 GSM 結構圖(後測)…………………… 104 班級程度較高區域試題 GSM 結構圖(後測)…………………… 104 班級程度中間區域試題 GSM 結構圖(後測)…………………… 104 班級程度較低區域試題 GSM 結構圖(後測)…………………… 整數之概念結構圖…………………………………………………... 整數之概念 ISM 結構圖……………………………………………... 學生整數之迷思概念結構圖………………………………………... 學生迷思序之整數概念結構圖…………………………………….... XI . 71 74 75 76 77 78 78 83 83 84 85 87 88 89 90 92 97 98 100 102 107 107 108 110 110 111 114 115 115 117 118 118 124 124 126 127.
(14) . 參數對照表 本研究迷思次序演算法之使用參數，依參數於論文出現之順序所排序。 Cj. P-C（試題概念）表中，概念編號， j 1,2,3, , l 。. si. S-P 表中，學生編號， i 1, 2 ,3, , n 。. Sˆ. M-SP（迷思學生問題表）中，迷思學生編號。. pk. S-P 表中，問題編號， k 1, 2 ,3, , m 。. Pˆ. M-SP（迷思學生問題表）中，迷思問題編號。. U. M-C（迷思概念）表中，迷思概念矩陣。. u. M-C（迷思概念）表中，迷思概念數列。. x0. GRA 系統中，參考數列。. xi. GRA 系統中，第 i 個比較數列。. xi (k ). S-P 表中，第 i 人、第 k 題答題狀況， i 1, 2 ,3, , n ， k 1, 2 ,3, , m 。. xˆ i ( k ). M-SP（迷思學生問題表）中，第 i 人、第 k 題答題狀況， i 1,2,3, , nˆ ， k 1,2,3,, mˆ 。. X. S-P 表中，學生答題狀況矩陣。. X. M-SP（迷思學生問題表）中，答題狀況矩陣。. Y. M-S 表（迷思學生表）中，迷思學生矩陣。. z kj. P-C（試題-概念）表中，第 j 題、第 k 個概念狀況， j 1,2,3, , l，k 1, 2 ,3, , m 。. Z. P-C（試題概念）表中，試題概念矩陣。. . 學生、試題的鑑別度。. . 學生測驗平均值、試題的平均難度。. XII .
(15) . . 得分最低的學生成績或答對最低的試題答對率。. oi. GSM 結構圖中，兩比較數列之局部灰關聯度。. ij. GSM 結構圖中，兩比較數列之整體灰關聯度。. S. Rasch Model GSP 表中，學生的 LGRA-S（學生局部關聯度）。. P. Rasch Model GSP 表中，試題的 LGRA-P（試題局部關聯度）。. . 迷思半徑。. . 共同（路徑）係數。. 0i. GRA 系統中，兩比較數列之絕對差。. . 迷思率數列。. ˆ . 迷思序數列。. . 迷思率最大值。. . GSM 結構圖中，學生試題結構矩陣。. . XIII .
(16) . 第一章. 緒論. 本章分成七節，第一節為前言，第二節為研究動機，第三節為研究目的與研 究範圍，第四節為研究對象與內容。本章針對研究主題進行相關研究內容的執行 說明，藉由前言與研究動機明確指出，迷思次序分析法與傳統測驗模式不同之處 與其貢獻，並且針對研究動機提出研究目的，帶出研究範圍、研究對象與內容， 最後說明研究限制，並描述研究架構圖。. 第一節. 前言. 教育目的在於培養學生學習能力，無論受教對象的年齡層是由小到大，教師 於教學任務都離不開「教學」與「評量」這兩件事。任何評量均須要依照學生的 學習狀況、性向等需求來加以設計（余民寧，2012）。對於學生學習的評量，以 往較多集中在成就性的評量，因為教師最關心的是學生學會了多少；但從另一角 度來看，認知診斷的評量能使人了解學生哪些地方不會，可提供教學評鑑回饋或 補救教學之參考（林原宏，2010）。診斷教學的重要性在這幾年已被科學教育界 普遍接受，國內外也有相當多的教學實驗是依據診斷教學的理念執行（Bell, 1993； Kerslake, 1987；陳琪瑤，2005；楊德清、洪素敏，2008；溫世展，2011）。 認知診斷的方式很多，從質的方法言，較常見的是晤談（interview）方式； 從量的方法言，目前盛行於測驗界的試題反應理論（Item response theory）常為一 般人所討論。除此之外，尚有次序理論 （Ordering theory）、試題關聯結構（Item relational structure）、潛在類別分析（Latent class analysis）等（林原宏、羅友任， 2009）。配合人工智慧、神經網路等學科的興起，診斷測驗成為測驗界一項有待 探究的領域。余民寧（2009）亦認為，未來認知診斷測驗新的走向，是「根據某 種認知科學的理論為基礎，以該理論設計診斷測驗試題，再提出評量該理論的可 1 .
(17) . 能試題反應理論模式，以驗證該理論下的評量是否成立」。. 第二節. 研究動機. 一般而言，許多學者對於「迷思概念」有著不同的描述，有人將其譯為「錯 誤概念」 （Erroneous ideas） ，或是「另有概念」 （Alternative conceptions） （邱美 虹，1998；劉子鍵, 林怡均，2011）。在教育領域中，「迷思概念」最常被用來表 示學習者與專家相異之概念（Liu, Lin and Tsai, 2009）。其意指學習者用來解釋特 定事件或情境時採用之概念，該概念卻與當前廣被接受之概念相互衝突（Cohen, Smith, Chechile, Burns and Tasi, 1996） 。Brown 與 Burton（1978）的研究中發現學 生在解答數學問題時出現多種迷思，而這些迷思正是造成學生學習困擾的障礙 （Brown and Burton, 1978），Hewson 與 Hewson（1983）則認為要改變學生的迷 思，必須先找出學生具有的迷思，再利用概念改變策略進行教學（Hewson and Hewson, 1983） 。除此之外，許多國內外學者（余民寧、林曉芳、蔡佳燕，2001； 李青春、胡學誠，2009；蔡興國、陳錦章、張惠博，2010）為了找出學生各方面 的迷思，編製了各種診斷測驗，然而發展可靠的、有效的診斷測驗需要經過晤談、 設計紙筆測驗題目、預試、修正等過程，整個過程既耗時又耗工，這樣的方式雖 然能夠詳細的診斷出學生的問題，但教師卻無法應用在教學現場。 認知診斷的方式很多，從質的方法而言，較常見的是晤談方式，個別化認知 診斷的結果雖有其效益，但礙於教師的人力有限，仍然很難進行一對一之個別補 救教學。從量的方法而言，試題反應理論所採用的試題參數（Item parameters）（如： 難度、鑑別度、猜測度等），是一種不受樣本影響的指標；也就是說，這些參數 的獲得，不會因為所選出接受測驗的受試者樣本的不同而有所不同。從統計理論 來講，樣本數越大，試題反應理論參數估計就越精確，由於少子化的影響，在實 際測驗中小樣本的測驗情況已經常出現，其中一個解決辦法就是把若干個小樣本 2 .
(18) . 結合起來匯整成大樣本，然而在實際測驗中卻難以實現，比如專業測驗中，然而 專業學生人數很少，大樣本幾乎是可遇不可求，若將幾年的測驗數據匯聚在一起， 又無法保證受試者之群體能力分佈穩定。余民寧（2009）指出，礙於嚴苛的基本 假設，試題反應理論所能適用的教育與心理測驗資料有限，並且需要大樣本的配 合，因此使得它的應用性大打折扣，未獲一般測驗使用者的全力擁護。 灰色系統理論是由鄧聚龍 1982 年所提出，其理論主要是針對系統模型的不 明確性或不完整性進行關聯分析（Relational analysis） （溫坤禮、趙忠賢、張宏 志、陳曉瑩、溫惠筑，2009）。因此本研究利用灰色理論的特性，將已知的最少 訊息量，透過小樣本、貧乏訊息量等不確定性問題，以所獲得的訊息量進行灰與 非灰的判別，與時間序列分析 、多元分析等概率統計模型要求較大樣本是不一樣 的，因此，對於某些只有少量觀測數據的樣本來說，灰色系統是一個有用的工具 （劉思峰，黨耀國，2010）。 佐藤隆博於 1970 年提出了 S-P 表，此方法依據學生在試題上的作答反應組 型（Response pattern）加以分析排序，藉以獲得試題品值與學生的診斷訊息（林 原宏，2007），然而 S-P 表在實際的應用中，雖能指出某些問題的特異性，但不 能判別試題間的關係，在使用時受到了限制。針對這些問題，因此提出了次序理 論（Ordering theory）與試題關聯結構法（Item relational structure, IRS） （Lin, Bart and Huang, 2006） 。Bart and Krus（1973）提出了次序理論，次序理論是依據應試 者在二元計分（dichotomous）試題的反應，表示成列聯表資料，再透過次序理論 的分析，可呈現試題的先後順序性（ordering）或試題階層性（Item hierarchy）。 竹谷誠於 1980 年代提出試題關聯結構，此理論是依據學生施測結果，透過試題 通過率與反應，繪製出試題關聯結構圖，兩者皆為測驗統計上常用之結構分析圖 （Lin, Yih and Ko, 2012; 許天維，1995） 。 然而此兩種結構分析圖，皆為判斷測驗試題之結構分析圖，對於學習概念的 判斷尚有部分限制。林原宏應用 S-P 表的注意係數進行試題和學生分類，並以次 3 .
(19) . 序理論探討學生試題之階層結構，整理出各種學習類型學生的試題的階層性和次 序性（Lin and Chen, 2006a, 2006b） ，然而其指出依 S-P 表分析將受試者分成六種 不同學習狀況之類型，且其代表之解題規則階層結構頗具差異，無法明顯分辨出 各受試者類型之認知結構，這是因其所使用之規則次序卻有其差異，顯示其認知 結構之不同（陳敏彥、林原宏，2007；黃資貴、陳惠萍、林原宏，2009），此種 分析方式僅依照學生試題進行結構分析，對於學習概念的結構化分析，有待研究 探討。 一般迷思概念之想法，是指問題之概念的答誤，但尚有學者指出，迷思概念 之想法不一定是指概念全部錯誤（Driver and Easley, 1978; Driver, 1981），因此本 文迷思概念之想法，並非一般所指錯誤程度越高，迷思概念就越高。迷思概念對 於大多數學者的觀點，係指學生在進行概念學習時，常受個人具有的內化概念的 影響，產生有別於專家學者擁有的概念，此種概念稱為學生的迷思概念。教師在 班級進行學生迷思概念的補救教學，一般係優先選擇中間難度區域的試題概念， 主要因為試題難度過低，學生大都答對，僅有少數學生答錯而需補救教學，不符 合時間經濟；若試題難度過高，造成學生大都答錯，此時需進行的不是補救教學 而是重新教學。職是之故，在有限的補救教學時間內為最宜優先選擇的是難度適 中試題的概念，進行補救。因此本研究選擇需優先補救教學的幾個迷思概念，依 概念上下位結構圖的關係，將其排列為先後補救教學順序，在此特稱為補救教學 迷思次序，簡稱迷思序（The order of misconceptions 或 of misconceptions order） 。 為了克服上述問題，本研究在分析方面不同於以往心理計量的研究方式，突 破試題反應理論需要以大樣本來推估學生能力，嘗試以灰色理論針對小樣本班級 學生之作答反應進行分析，藉由灰色系統之關聯度分析法，建立 Rasch Model GSP 表，藉以進行學生試題參數（難度、鑑別度與猜測度）之推估（許天維、曾建維、 梁榮進、王柏婷、永井正武，2011b，2012；Tzeng, Sheu, Liang, Wang and Nagai, 2012a, 2012b），搭配 Rasch Model GSP 表來推導出迷思次序分析法，採用詮釋結構模式 4 .
(20) . （Interpretive structural model）分析教師測驗試卷概念結構，並以灰色結構模式 （Grey structural model）分析學生測驗試卷之概念結構，進而互相比對概念學習 問題之所在，期望能夠提供教師進行教學診斷時一個客觀且有效的工具（Sheu, Chen, Tzeng, Tsai and Nagai, 2012a, 2012b；Sheu, Tzeng, Tsai and Chen, 2012；Sheu, Tzeng, Tsai, Chen and Nagai, 2012；許天維、陳姿良、蔡清斌、曾建維、劉維玲、 永井正武，2012；許天維、曾建維、蔡清斌、陳姿良、永井正武，2012a，2012b， 2012c；許天維、鄭百成、梁榮進、曾建維、永井正武，2011）。. 第三節. 研究目的與研究範圍. 依據上述研究動機，本研究藉由 Rasch Model GSP 表搭配迷思次序分析法， 探究學生學習迷思所在，研究範圍為達成前述之研究目的，先進行相關理論及文 獻之分析，所有施測試卷皆以教師自編測驗施測以作探究。本研究的研究目的如 下： 一、 有別於傳統試題反應理論（Item response theory）需要大量的實驗數據，嘗 試以少量人數與試題數的分析下，藉由灰色理論針對小樣本班級學生之作 答反應進行分析，是否能進行學生試題參數之推估? 二、 採用 Rasch Model GSP 表結合迷思次序分析法，是否可提供教師進行測驗 後的教學參考，並驗證此研究組合是否提供教師進行補救教學之效用性? 三、 有別於次序理論（Ordering theory）與試題關聯結構（Item relational structure） 僅可建構出試題結構分析圖，透過詮釋結構模式（Interpretive structural model）是否能明確的指出學科專家所建構學習概念的順序? 搭配灰色結構 模型（Grey structural model）的分析方法，是否能分析其與專家概念之間 的分群結構關聯性?. 5 .
(21) . 第四節. 研究對象與內容. 本研究 Rasch Model GSP 表之範例，採以中部某大學一年級學生為對象，實 際應用教師所自編的試卷，分析學生對於「微積分高階導數」的單元進行探討分 析。而 Rasch Model GSP 表結合 GSM 結構圖之範例，是以三個範例，第一個 為研究所學生對於「研究方法課程」之答題反應，第二個範例是以中部某國小三 年級學生為對象，從學生對於「文字符號」的概念之了解進行探討分析，第三個 範例是依據台灣某上市公司，內部員工之「職業教育訓練課程-企業倫理與職業道 德」之試題，進行分析研究。 而迷思次序分析法之範例，以中部某國中一年級兩個班級，施測單元以數學 二元一次方程式作答所呈現之數據，教師依照迷思次序分析法所篩選出迷思序較 高之試題進行補救教學。而迷思次序分析法結合 GSM 結構圖，進行班級程度概 念分析之範例，同樣採用迷思次序分析法之範例之數據，將班級畫分為程度較高、 中間與較低三等第，其分類標準採人數之三分之一，搭配最接近之局部灰關聯度 值為標準，依序繪製出三等第之試題 GSM 結構圖，本研究雖在研究方法中力求 嚴謹，但因受限於研究時間與人力等客觀因素，仍有未盡周延之處，茲將本研究 可能之限制陳列如下： 一、 研究對象：本研究以迷思次序分析法進行班級程度概念分析之範例，係以 中部某國中一年級兩個班級為研究對象，而兩班級皆為同一導師所教導， 可說是一種檢定教師教學穩定性之研究方式，進行其他研究及推論時，如 兩班級是不同導師所教導，是否對於班級程度有所影響，有待商確與探究。 二、 研究方法：本研究係以 Rasch Model GSP 表搭配迷思次序分析法為研究工 具，探究學生學習迷思概念之所在，對於學生之學習策略與思考過程，需 仰賴其他相關研究的輔佐。. 6 .
(22) . 本研究透過不同的研究範例，驗證研究結果的可行性與信賴性，相關研究架 構圖如圖 1-1 所示。 研究動機與目的. 相關文獻整理與探討. ISM（詮釋結構模式）分析圖. 迷思次序分析法之形成 S-P 表分析理論. 灰關聯分析法. Rasch Model. Rasch Model GSP 表分析理論. 迷思次序分析法之流程. GSM（灰色結構模式）分析圖. ISM 與 GSM 是否一致? 是 結論. 圖 1-1 研究架構圖 7 . 否.
(23) . . 8 .
(24) . 第二章. 相關文獻與基礎理論. 電腦化測驗是近年來的重要議題，其產生許多創新的教學方式與測驗模式， 本章探討如何利用各種理論建構系統性的迷思次序分析法，回顧相關的理論及其 應用，本章共分成八節，第一節為迷思概念，第二節為 ISM（詮釋結構模式）， 第三節為 S-P 表分析理論，第四節為GRA（灰關聯理論） ，第五節為 Rasch Model GSP 表分析理論，第六節為 GSM（灰色結構模式）。研究針對以上的方法、特 質及其應用方法進行文獻探討，並且成為本研究執行的基礎理論與研究方法。. 第一節. 迷思概念. 迷思概念（misconception）一詞最早出現在 1940 年的 Science Education 期 刊之中，其文章名為 An Evaluation of Certain Popular Science Misconception 一文 （陳啓明，1991）。 「迷思」又稱為「另有概念」（Alternative conception）或「另 有架構」 （Alternative frame）（Paradhan and Bano, 2001） ，Driver and Easley （1978） 認為另有架構是指，學生在教學前對於描述與解釋其想法，是一種學生的幻想結 果。在多位學者的研究中指出，學生在正式學習科學之前，就已經具備描述及解 釋科學現象的系統架構，然而這些系統架構與課程知識結構有基本上的差異，這 正是造成學生學習困擾的障礙（Driver and Easley, 1978；Brown and Burton, 1978； Bar and Travis, 1991; Clement, 1993；Gorodetsky and Gussarsky, 1986；Garnett, Garnett and Hackling, 1995； Settlage, 1995；Nicoll, 2001；郭重吉和吳武雄，1989； 邱美虹，1998）。 迷思概念產生的原因主要是當個人企圖去解釋、合理化與瞭解這個世界的時. 9 .
(25) . 候，學生會發展出未經協調或不一致的概念結構，而這些通常是片段的、不完整 的和錯誤的。學生的迷思概念會妨礙它們學習新的概念，因為，一些迷思概念雖 然是錯誤的、不正確的，而且它們明顯受到每天的生活經驗所支持，所以它們是 很難改變的（蔡春來，2002） 。然而迷思概念在於科學知識的不足，或思考問題不夠 周詳，所代表不是認知之概念一定是錯誤的，在同一問題在不同的情境中，會出現不一 致、相互矛盾的想法（邱照麟，2000；林楷植，2002；陳淑筠，2002）。有別於一般. 學科所認定錯誤越多，代表迷思程度愈高之情形，本論文之迷思概念考量於學生 對於相同試題中，出現不相同作答反應之情形，代表為學生之迷思概念。下表 2-1 彙整出國內外有關迷思概念來源的文獻，來說明本文認定學生迷思概念之特性 （張容君，2001；蔡鐵權、姜旭英、胡玫 ，2009）。 表2-1 迷思概念的特性 研究者. 年代. Driver. 1981. Fisher. 1985. 概念特性 . 鍾聖校. 1994 . 邱照麟. 林楷植. 陳淑筠. 2000. 2002. 2002. . 迷思概念的想法是個人的 學生迷思概念的想法有時並不一致 迷思概念和專家所擁有概念存在差異性 大部分的迷思概念很難改變，由傳統的教學方式很難改變迷 思概念。 迷思概念是在概念發展或概念學習中出現 許多迷思概念是相當特別的，屬個人特有，是學習者將訊息 內化，用自己的經驗來建構事物的意義。 學生缺乏正確概念時，其迷思概念具有相當的不穩定性，容 易出現，也容易拋棄。 因科學知識的不足或思考問題不夠周詳，同一問題在不同的 情境中，會出現相互矛盾的想法。 不是完全錯誤 先前知識不是孤立存在，而是某一概念生態的一部份。 學生的概念與試題之概念，與一般接受的科學與論不一致或 是不相同。 迷思概念是頑固的 學習者因學科知識的不足，產生概念學習的不穩定性，對於 思考不夠周密，因此在相同的情境下，產生互相矛盾的相法。. 10 .
(26) . 表 2-2 電腦化測驗診斷迷思概念相關研究（本研究整理） 研究者. 年代. 黃國禎. 2002 至 2012. 范瑞君. 2006. 林彥佑. 2006. 張文齊. 2006. 劉志輝. 2007. 許惠芳. 2008. 黃婷鈺. 2011. 李彩瑞. 2011. 迷思概念之電腦化診斷 針對每位學生進行電腦輔助測驗（CAT），透過其單元學科概念 表，建立每位學生之問題概念表，搭配研究理論，如模糊理論、 類神經網路、灰預測模式與專家系統等等…，並建立一套可透 過網路來執行的線上測驗與診斷系統。 以機率推理為基礎的貝氏網路作為分析工具，來探討應用貝氏 網路診斷學生錯誤類型的可行性，從樣本中對學生錯誤類型與 能力指標判斷發生機率的辨識率高低，依據子技能及錯誤類型 製作 FLASH 補救教學動畫元件，並探討電腦診斷測驗及概念是 否達到預期的成效。 由研究者編製三角形面積概念測驗試題，並藉由試題關聯結構 分析法（IRS）對施測結果加以進行分析形成三角形面積概念結 構圖，以探究國小六年級學童在三角形面積概念的知識結構， 並進一步針對其迷思概念來作補救教學。 利用迷思概念診斷（Misconception diagnosis）方式，從答題的 結果中，找出使用者較為迷思的概念，並且導入本體論 （ontology）的理念來分析使用者所迷思的概念及概念之間的關 係，進而提供使用者更為有效的學習補救路徑。 以資料探勘（Data mining）技術，分析不同學習成就的學生在 小數概念評量的結果、發現學習概念之間的關係，教師及學生 可以利用這些資料進行補救教學。 應用模糊取向的詮釋結構模式，分析國小二年級學童的數與量 分年細目概念結構圖。此分析法乃結合察覺的模糊邏輯模式與 詮釋結構模式，可分析出個人化的概念結構，有助於教師了解 學童在學習數與量分年細目概念時的認知連結情形，研究結果 可提供教師進行認知診斷、補教教學與課程設計之參考。 以概念詮釋結構模式（CAISM）分析學生錯誤類型，從高、中、 低不同能力值受試者的概念階層結構圖，了解學生解題時的想 法，並進一步針對迷思概念來作補救教學。 應用多元計分概念詮釋結構模式（Polytomous concept advanced interpretive sructural modeling, PCAISM ） 與 模 糊 集 群 分 析 （Fuzzy clustering），依其測驗結果繪製學童之分數加減概念詮 釋結構圖，分析其分數加減概念的階層結構，並在分群後挑選 各群的學童進行訪談及補救教學，以了解其概念結構，糾正學 童錯誤概念。研究發現運用概念詮釋結構圖可進行個別化的教 學診斷，以作為補救教學之參考依據。. （續後頁）. 11 .
(27) . 表 2-2 電腦化測驗診斷迷思概念相關研究（本研究整理） （續前頁）. 許珊珊. 2012. 李思綺. 2012. 探討進行認知診斷測驗編製時，採取不同的 Q 矩陣設計，對於 DINA 模型概念辨識率之影響。使用結合不同的專家知識結構之 Q 矩陣、以及分別以「次序理論 OT）」與「試題關聯結構分析 法（IRS）」為基礎，經由「詮釋結構模型 （ISM）」轉換而成的 結合學生概念結構之 Q 矩陣，探討這些不同的 Q 矩陣設計及校 正後 Q 矩陣對 DINA 模型概念診斷辨識率之影響，最後以表現 最佳的 Q 矩陣，所獲得的 DINA 模型診斷結果，分析學生在國 小四年級「分數」之學習表現情形。 測驗工具檢視國小四年級學童在經過小數概念的教學歷程後， 其小數概念學習的成效，再使用 G-DINA 模式與 IRS 模式來分 析學童在小數概念的學習精熟程度情形，及探討學童在學習小 數概念過後可能產生的迷思概念，以提供教學者進行個別化補 救教學之參考。. 一般探究迷思概念之相關研究較少之原因，實與迷思概念多採用質性研究有 關，由於缺乏量化數據，遂無法進行相關與教學效果之比較研究（鐘聖校，1994）。 但近年來由於研究方法的改進，透過質性的訪談結果，與電腦化測驗的方式，可 解決以上的問題，茲將近年來電腦化測驗診斷迷思概念的相關研究，整理如表 2-2。 由表 2-2 電腦化測驗診斷迷思概念相關研究可知，近年有許多學者嘗試以電腦化 診斷工具，發展迷思概念補救之相關測驗工具與軟體，是以模糊理論（fuzzy）、 類神經網路（Neural network）、專家系統（Expert system）、灰預測模式（Grey prediction model ） 、貝式網路（Bayesian network） 、次序理論（OT） 、試題關聯結 構模式（IRS）、本體論（ontology）、詮釋結構模式（ISM）等工具，進行迷思概 念之診斷。 迷思概念對於大多數學者的觀點，係指學生在進行概念學習時，常受個人具 有的內化概念的影響，產生有別於專家學者擁有的概念，此種概念稱為學生的迷 思概念（Driver, 1985；鍾聖校，1994）。然而此種迷思概念之想法，是指問題之概 念回答全部錯誤，但尚有學者指出，迷思概念之想法不一定是指概念學習全部錯 ，因此本論文提案之迷思概念，並非一般 誤（Driver, 1981; Driver and Easley, 1978）. 12 .
(28) . 所指錯誤程度越高，迷思概念程度就越高，是指優先選擇中間難度區域的試題概 念，在有限的補救教學時間內為最宜優先選擇試題的概念，進行補救教學的動作， 為本文定義之迷思概念。本論文提案這些需優先補救教學的迷思概念，依概念上 下位結構圖的關係，將其排列為先後補救教學順序，有別於傳統定義迷思概念之 想法，在此定義其為補救教學迷思次序，簡稱迷思序（The order of misconceptions 或 of misconceptions order） 。因此本論文嘗試結合不同領域之研究方法，以S-P表、 Rasch Model、灰色關聯法（GRA） 、詮釋結構模式（ISM）與灰色結構模式（GSM）， 進行迷思概念之診斷。. 第二節. ISM（詮釋結構模式）. 詮釋結構模式（ISM）是由 J.N.Warfield 於1968 所提出的數理分析方法，是 將複雜系統中，不同類型元素之間的關係，轉變為關聯構造階層圖的數理方法 （Warfield, 1976）。運用在分析上，係利用圖解理論（Graphic theory）中的階層 有向圖（Hierarchical digraph），來描述不同類型元素之間的關係。可使複雜系統 中片段、抽象化的不同元素，轉變為具體化、全面化的關聯構造階層圖（蔡秉燁、 鍾靜蓉，2003）。在複雜的系統中可以將不同類型元素之間的關係，由片段、抽 象化的要素，轉變為具體化、全面化的關聯構造階層圖，可以釐清複雜事態的結 構（Warfield, 1982）。尤其對於子系統與母系統之間的關聯性研究應用，可以得 到重要的結論。當計畫的擬定需要選擇一個可行性較高的行動基準時，以 ISM 的 研究模式為發展，可以讓事態在有系統的結構中找到認知。藉以感性設計語彙藉 由 ISM 的圖形結構，也能夠提供可行性的設計策略方案，成為鑑別最佳化設計 策略提供的方法（Liang, Lee and Chen, 2009）。 ISM 執行步驟如下所示： ISM 主要是將複雜的系統，以構造的方式加以分 類，在系統中有 n 個元素構成一個集合 S （Janes, 1988； Shui and Lin, 1994） 13 .
(29) . S ( s1, s2 ,, sn ). （2-1）. 接著定義 S 的直積（Cross product）為. . S S ( si , s j ) si , s j S. . （2-2）. 步驟 一 矩陣轉化：如果 si 與 s j 存在一因果關係，則形成序對 si , s j R ，其 中集合 R 為 S S 的部分集合。此時將有序對轉化成矩陣之型式，如式 （2-3）所示。 a11 a1n A aij an1 ann . a 1. 若 ( si , s j ) R. . 若 ( si , s j ) R. 此時 ij a 0 ij. （2-3）. 步驟 二 根據式（2-3）建立關係矩陣，如式（2-4）為鄰接矩陣：. A. s1 s2 sn. s1. s2. . sn. a11 a 21 a n1. a12 a 22 a n2. a1n a 2 n a nn . （2-4）. 步驟 三 建構可達矩陣（Reachable matrix） ：利用 A I 得到如式（2-5）演算法 中的新矩陣，其中 I 為單位矩陣，如範例所示。. A I . a11 a 21 a n1. a12 a 22 a n2. a1n 1 a 2 n 0 a nn 0. 0 0 1 0 0 1. （2-5）. 步驟 四 將式（2-5）重覆運算，直到矩陣結果不產生變化為止，此時矩陣稱為 可達矩陣，亦即. A I n2 A I n1 A I n T. （2-6）. 步驟 五 於式（2-6）中，對 T 矩陣而言，稱列（row）的集合稱為可達（reachable） 集合，以 R(s) 表示，而稱行（column）的集合稱為先行（antecedent）集 合，以 Q(s) 表示，兩者之交集稱為共通集合，如式（2-7）所示，即可建 立系統的多層級結構模型，因此完成 ISM 圖表之階層範例，如圖 2-1 所示。. （2-7）. R(s) Q(s) 14 .
(30) . 範例： 1 0 A 0 0 0. 0 1 0 0 1 1 0 0 ：鄰接矩形 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1. 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0. 1 0 ( A I ) 0 0 0. 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0. 0 1 0 0 0. 1 0 ( A I ) 2 0 0 0. 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0. 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0. 1 0 ( A I ) 3 0 0 0. 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0. 0 0 1 0 0. 0 0 0 1 0. 1 1 1 0 0. 0 0 0 1 0. 0 0 ：演算中矩陣 1 1 1 . 1. 1 0 1 1 0 1 ：演算中矩陣 1 0 1 ( A I ) 0 1 1 0 0 1. 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0. 2. 1 0 1 1 0 1 ：可達矩陣 1 0 1 ( A I ) 2 T 0 1 1 0 0 1. 如範例的可達矩陣為下列的圖 2-1 ISM 結構圖。計算方法可以採用永井正武 開發的 ISM 軟體工具（永井正武，2001）。. 圖 2-1 ISM 結構圖. 15 .
(31) . 第三節. S-P 表分析理論. 所謂的S-P表（Student-Problem chart），是指英文Student（受測者），以及 Problem（問題）的兩個字母簡稱，S-P 表是由佐藤隆博（Takahiro Sato）於1969 年代所創造（Sato, 1969, 1980, 1985；Sato and Kurata, 1977 ），S-P表可以進行調 查資料的分析處理，進行數量化分析、排序比和學習程度判斷等事項，此方法是 依據受測者在試題上的作答反應組型（Response pattern）進行分析排序，藉以獲 得試題品質與受測者的診斷訊息，同時可以將受測者區分為適當的學習類型，提 供教師進行有效的學習參考（何英奇，1989；游森期、余民寧，2006）。 如何繪製S-P表的方法如下： 步驟 一 對於第 i 個學生回答第 j 個問題的得分，規定答對的得分為“ 1 ”，答 錯的為“ 0 ”，即矩陣 xij ，僅有兩種情況： 0, x ij 1,. 若第 i 個學生於第 j 題答錯。 若第 i 個學生於第 j 題答對。. 步驟 二 學生按照所得分數的順序，由上而下排序，如表 2-3 所示，表中列出四 十位學生對於 「微積分高階導數」 單元的作答結果，試題按照學生答對人數的 順序，由左而右排序，表中列出十二題問題的答對順序，縱軸為學生 i，交叉點 為學生 i 對問題. j 的得分。. 步驟 三 學生按照所得分數的順序，由上而下排序，如表 2-3 所示，表中列出四 十位學生對於 「微積分高階導數」 單元的作答結果，試題按照學生答對人數的 順序，由左而右排序，表中列出十二題問題的答對順序，縱軸為學生 i，交叉點 為學生 i 對問題 步驟 四. j 的得分。. S 線是學生得分分佈折線，由“ S ”組成的階梯狀線，即表 2-3 中的實. 線，對於第 i 個學生，使實線左方的數字個數等於該學生得分總分數 xi 。. 16 .
(32) . 步驟 五 P 線是問題答對分佈折線，是由“ P ”組成的階梯狀線，即表 2-3 中虛線，對 於第 j 個問題，使得虛線上方的數字個數等於該題被答對的總個數 x j 。. 表2-3 S-P表 問題 題號 P3-1 P2-1 P1-4 P1-2 P1-6 P1-5 P1-3 P1-1 P3-2 P2-3 P2-2 P2-4 學生 學號 名次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S22 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S16 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S20 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S30 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S33 6 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 S7 7 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 S35 8 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 S23 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 S1 10 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S5 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 S13 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 S14 13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 S18 14 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 S32 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 S28 16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 S2 17 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 S3 18 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 S6 19 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 S12 20 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 S15 21 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 S21 22 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 S24 23 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 S27 24 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 S40 25 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 S25 26 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 S34 27 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 S26 28 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 S31 29 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 S11 30 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 S29 31 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 S10 32 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 S9 33 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 S39 34 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 S17 35 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 S19 36 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S36 37 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 S8 38 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S38 39 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 S4 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S37 答對人數 33 33 32 31 31 28 28 25 23 21 21 19 答對率%. 83% 83% 80% 78% 78% 70% 70% 63% 58% 53% 53% 48% 17 . . 答對 題數 12 12 12 12 12 11 11 11 11 11 11 11 11 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 9 8 8 8 7 5 5 3 3 3 2 2 2 1 1 0 325. 得分率% 100% 100% 100% 100% 100% 92% 92% 92% 92% 92% 92% 92% 92% 83% 83% 83% 83% 83% 83% 83% 83% 83% 83% 83% 75% 67% 67% 67% 58% 42% 42% 25% 25% 25% 17% 17% 17% 8% 8% 0%. S=40, P=12.
(33) . 步驟 六 S-P 表藉由試題注意係數（Item caution index） 、受測者注意係數（Student caution index）與差異係數（Disparity index） ，可以判斷不尋常的反應組型， 提供診斷訊息（Dinero and Blixt, 1988；Chen, Lai and Liu, 2005；Lin and Chen, 2006a, 2006b），試題注意係數可以檢視試題適當性，也可以藉由受測者注 意係數，將受測者學習成果區分成不同的學習類型（Lin and Liu, 2010）， 差異係數則是表示 S 曲線與 P 曲線的差異程度（Yih and Lin, 2010） 。S-P 表 不但可以使用於學習中的診斷評量，對於已經成形的課程進行評量更能發 揮其改進效用（余民寧，2002）。 步驟 七 對 於 一 個 資 料 矩 陣 而 言 ， 假 設 共 有. N (i 1,2,, N ). 位學生與. M ( j 1,2,, M ) 的試題，矩陣 Y [ yij ] NM 為 N 位學生在 M 題試題上的 M. 反應資料矩陣，令 yi yij 為第 i 位學生的總分，且學生已經過排序 j 1. N. 為 y1 y2 y N 。同理，令 y j yij 為第 j 題試題的答對人數，且試 i1. 題已經過排序為 y1 y2 yM 。以下為學生與試題之注意係數公式，則 第 i 位學生的注意係數 CSi 如下式（2-8） ，第 j 題試題的注意係數 CPj 如式（2-9）所示。 步驟 八 計算第 i 位學生的注意係數 CSi ： M. ( y )(y. j. ij. CSi 1 . ) ( yi )(u' ). j 1. yi. y. j. （2-8）. ( yi )(u ) '. j 1. 1 M y j 。 M j1 步驟 九 計算第 j 題試題的注意係數 CPj ： ' 其中 u . 18 .
(34) . N. ( y )(y ) ( y i. ij. CPj 1 . j. )(u). i 1. y j. y. i. （2-9） ( y j )(u). i 1. 1 N yi 。 N i1 步驟 十 S-P 表適用於形成性評量資料的分析與診斷，最適於班級人數四十至五. 其中 u . 十人，試題數二十至三十題的測驗，而注意係數超過 0.5 便需要注意，但 並不一定表示學生成績較低，只是對於學生與問題存在某種不正常的情況， 應由教師進行判斷與解釋。當學生人數與試題數目太少時，試題注意係數 與受測者注意係數則不具代表性，且注意係數值可以大於 1，在實際使用 上亦會受到限制（余民寧，2011）。. 第四節. GRA（灰關聯分析法）. 灰色系統理論是由鄧聚龍1982年所提出，其理論主要是針對系統模型的不明 確性或不完整性進行關聯分析（Relational analysis） ，藉由預測（prediction）與決 策（decision）等方法來探究整體系統，灰色系統理論是研究灰色系統分析、建模、 預測、決策和控制的理論，結合數學方法，發展出一套解決信息不完全系統的理 論和方法（永井正武、山口大輔，2004；溫坤禮、張簡士琨、葉鎮愷、王建文、 林慧珊，2006；溫坤禮等人，2009，永井正武，2010）。 本研究 GRA 算式的計算步驟如下： 步驟 一 建 立 原 始 數 列 ： 建 立 原 始 數 據 之 參 考 數 列. x0. 和比較數列. xi. （ i 1,2,3, , n ）原始數據之參考數列 x 0 為： x 0 ( x 0 (1), x 0 ( 2 ), , x 0 ( k ), , x 0 ( m )) . . . . xi 為原始數據之第 i 個比較數列，如下式（2-11）所示：. 19 . . . （2-10）.
(35) . x1 ( x1 (1), x1 ( 2 ), , x1 ( m )) x 2 ( x 2 (1), x 2 ( 2 ), , x 2 ( m )) x i ( x i (1), x i ( 2 ), , x i ( m )). （2-11）. x n ( x n (1), x n ( 2 ), , x n ( m )) i 1, 2 ,3, , n. 步驟 二 數列（數據）正規化：將原始數列之數據正規化。其中建立序列之比較 性必須滿足三個條件：無因次性（Non-dimension）、同等級性（scaling）、 同級性（polarization） 。接著進行「生成」與「數據標準化」處理，包含望 大、望目、望小三種方法。 步驟 三 灰關聯度計算：採用永井正武所提出的公式，如式（2-12）所示:. 0i ( x0 (k ), xi (k )) . max 0i max min. （2-12）. 其優點以敏考斯基（Minkowski）的數學方式執行計算，計算的結果，數 值會介於 0 至 1 之間，此方式是以原點為座標的絕對距離，數值可以正確 定位以及進行評比；至於其它的灰關聯法的公式並非如此。因此，永井正 武的灰關聯度公式，優於其它的公式（Yamaguchi, Li and Nagai, 2005, 2007）， 其中局部灰關聯度（Local GRA）的參考序列為 x 0 ，比較序列 xi ，當 0i 愈趨近於 1 時，表示 x 0 與 xi 關聯程度越高。反之趨近於 0 時，表示 關聯程度愈低。 步驟 四 灰關聯之排序（Grey relational ordinal）：整個決策的依據是依照灰關聯 度 0i 值進行比較，透過排序可明辨各因素的重要程度，進而找出最大或 最小的影響因素，成為系統中的關聯準則。. 20 .
(36) . 第五節. Rasch Model GSP 表分析理論. 試題反應理論 IRT（Item response theory）單參數模式即為 Rasch 模式，Rasch 模式的參數為試題困難度（difficulty） ，利用試題困難度探討受測者能力（ability） ， 而能力及困難度的差異即為受測者在試題上之表現情況（Rasch, 1960）。IRT 常 見的模式有單參數、二參數及三參數等模式，如圖 2-2 為三參數試題特徵曲線 （Item characteristic curve, ICC）之範例，此模式的數學公式如下式（2-13）所示。 Pi ( ) Ci (1 Ci ). 其中 . e ai ( bi ) 1 e ai ( bi ). , i 1,2,..., n. （ 2-13 ）. 表 示 受 試 者 能 力 值 ， ai 表 示 第 i 題 試 題 鑑 別 度 參 數 （ Item. discrimination parameter），用來描述試題 i 所具有鑑別力大小的特性， bi 表示 第i題試題難度參數（Item difficulty parameter）， ci 表示第 i 題試題猜測度參數 （Item guessing parameter），參數提供試題特徵曲線一個大於零的下限，它代表 著能力很低的考生答對某試題的機率（余民寧，2009）。. 正 確 反 應 的 機 率. 試題. 能力 圖 2-2 三參數試題特徵曲線 （資料來源：余民寧，2009，試題反應理論及其應用，頁 12） 21 .
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