固定比例債務憑證之研究:考量動態價差與信用傳染模型 - 政大學術集成
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(2) 謝辭 要感謝的人太多了, 不如謝天吧! 只打一句話有點偷懶。. 研究之路上不像以前總有人可以給條大致明確的道路, 很多時候必須自行探索要往何 處走, 很幸運帥氣的指導教授江彌修老師讓我挑戰兩合一的論文方向, 且在重要時刻總能 給出精確的建議, 但在私底下又像朋友一樣, 感謝老師這一年來的辛勞, 希望老師有空記 得要多運動 (笑)。 而在這裡一同創造許多回憶的同學們, 尤其是常出現在研究室與宿舍的各位, 很高興. 政 治 大. 在這兩年能遇見大家, 說太多感覺就像以後見不著面一樣, 希望以後有機會大家能來弄個 分享屋也不錯!. 立. 一路上也遇到許多學長姐, 包括金融所淑芳助教, 感謝大家不管在學業上或是人生方. ‧ 國. 學. 向上都給了我許多意見與幫助, 希望以後還有機會能常碰面!. 最後感謝願意支持我繼續念研究所的家人們, 我終於完成碩士學位了!. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. 陳哲偉謹致於. 國立政治大學金融學系研究所 中華民國 101 年 7 月.
(3) 中文摘要 本研究以 Variance-Gamma 動態信用價差模型與 Giesecke et al. (2011) 之動態違 約傳染模型為基礎, 同時利用 Dorn (2010) 之固定比例債務憑證評價公式, 分析利用不同 時期下 iTraxx Europe 市場報價進行校準下, 固定比例債務憑證評價與風險分析結果有 何變動。 研究結果發現, 在僅考慮價差風險下利用金融風暴前之信用指數市價校準, 此商品所 得評價結果低於原先承諾之票面利息, 但所得風險程度仍高於以往部分文獻與發行商原先 宣稱之低風險。 而在考慮至今包含金融風暴時期之信用指數市價校準下, 則顯露出此商品 不管是評價或風險表現皆迅速變差, 代表以往部分文獻與發行商可能因無法預期信用指數. 政 治 大 同時考慮價差風險與違約風險下, 利用至今包含金融風暴之信用指數市價校準後, 可 立 得到固定比例債務憑證評價結果遠高於其所承諾之票面利息, 同時此產品違約機率等風險. 市場會有大幅度波動下, 而低估了固定比例債務憑證之風險。. ‧ 國. 學. 指標皆顯示相當高之違約與損失可能性, 代表固定比例債務憑證在考慮較為波動之信用市 價校準, 同時考慮較為完整之風險面後, 呈現出相當高之風險程度, 並不如原先發行機構. ‧. 所承諾之高報酬低風險之產品。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i. i Un. v.
(4) 目錄 1 第一章. 前言. 1. 2 第二章. 基本假設與模型設定. 政 治 大 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.1.1. 符號定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.1.2. 基本模型定義. 9. 立. 信用指數價差風險模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 學. 符號定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 2.2.2. L´evy過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. 2.2.3. Variance-Gamma過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. ‧. 2.2.1. y. Nat. 信用違約風險模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. sit. 2.3. 7. 符號定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. 2.3.2. 模型設定 . . .l . . . . . . . . . . . . . . .i v. . . . . . . . . . . . 18. 2.3.3. 模擬方法 . . . . . .. io. 2.3.1. n. a. er. 2.2. 固定比例債務憑證基本模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ‧ 國. 2.1. 7. 2.4. 2.5. n U .e. n . .g. c. h . .i . . . .. Ch. . . . . . . . . . . . . 20. 固定比例債務憑證之評價 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.1. 分券之期望損失 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. 2.4.2. 溢酬收入端 (Premium Leg) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. 2.4.3. 違約支出端 (Default Leg) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 2.4.4. 合理信用價差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 校準方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5.1. 信用指數價差校準 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. 2.5.2. 信用違約風險模型校準 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. ii.
(5) 3 第三章. 數值結果與分析. 27. 3.1. 信用指數價差模型參數估計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. 3.2. 信用違約損失模型參數校準 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. 3.3. 固定比例債務憑證評價與風險分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 考慮價差風險下之評價與風險分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 3.3.2. 考慮價差風險與違約風險下之評價與風險分析 . . . . . . . . . . . 40. 敏感度分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4.1. 信用價差模型偏態參數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46. 3.4.2. 信用價差模型峰態參數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. 3.4.3. 48. 3.4.4. 政 治 大 信用價差模型波動度參數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 立. 個體違約強度均數回歸速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48. 學. ‧ 國. 個體長期平均違約強度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49. 3.4.6. 個體違約強度波動度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50. 3.4.7. 系統性風險波動度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. 3.4.8. 系統性風險長期平均強度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. 3.4.9. 系統性風險均數回歸速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. ‧. 3.4.5. io. sit. y. Nat. n. al. er. 3.4. 3.3.1. i Un. v. 3.4.10 系統性風險敏感係數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. Ch. engchi. 3.4.11 傳染性風險敏感係數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4.12 起始信用指數價差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4.13 無風險利率敏感度分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4 第四章. 結論與後續研究建議. 56. 4.1. 結論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56. 4.2. 後續研究建議 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57. 5 參考文獻. 58. iii.
(6) 表目次 1.1. 早期固定比例債務憑證評價模型比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.2. S&P調降固定比例債務憑證評等變化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 2.1. Variance-Gamma 各階中央動差. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 2.2. Variance-Gamma 分配位置參數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 3.1. iTraxx Europe 10 年期市場價格 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. 3.2. iTraxx Europe 指數報酬樣本敘述與統計量 . . . . . . . . . . . . . . . . 29. 3.3. Variance-Gamma 最大概似法估計參數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. 3.4. 信用傳染違約模型校準參數結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. 3.5. 信用違約傳染模型擔保債務憑證價格與開根均方誤 . . . . . . . . . . . . 31. 3.6. 固定比例債務憑證基本假設 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 3.7. 固定比例債務憑證利用2007 年前市價校準之評價結果-以五個子分券為例 . 35. 3.8. 固定比例債務憑證利用2007 年前市價校準之風險指標 . . . . . . . . . . . 36. 3.9. 固定比例債務憑證利用至今所有市價校準之評價結果 a v-以五個子分券為例 . 37. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. 3.10. 立. 政 治 大. i l C n U 固定比例債務憑證利用至今所有市價校準之風險指標 hengchi. . . . . . . . . . . . 38. 3.11 考慮違約風險下 利用2007 年前市價校準評價結果-以五個子分券為例 . . . 40 3.12 考慮違約風險下利用2007 年前市價校準之風險指標 . . . . . . . . . . . . 41 3.13 考慮違約風險下 利用至今所有市價校準評價結果-以五個子分券為例 . . . 43 3.14 考慮違約風險下利用至今所有市價校準之風險指標 . . . . . . . . . . . . 44 3.15 偏態參數敏感度分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.16 峰態參數敏感度分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.17 信用價差波動度敏感度分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.18 個體違約強度均數回歸速度敏感度分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.19 個體長期平均違約強度敏感度分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49. iv.
(7) 3.20 個體違約強度波動度敏感度分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.21 系統性風險波動度敏感度分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.22 系統性風險長期平均強度敏感度分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.23 系統性風險均數回歸速度敏感度分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.24 系統性風險敏感係數敏感度分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.25 傳染性風險敏感係數敏感度分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.26 起始信用指數價差敏感度分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.27 無風險利率敏感度分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. v. i Un. v.
(8) 圖目次 1.1. 固定比例投資保險投資機制示意圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. 固定比例債務憑證投資機制示意圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 2.1. 固定比例債務憑證運作機制示意圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.2. Compensator 示意圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. 3.1. iTraxx Europe 指數 04/6-07/6 走勢 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. 3.2. iTraxx Europe 指數 歷史走勢 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. 3.3. iTraxx Europe 指數 04/6-07/6 報酬率分配圖 . . . . . . . . . . . . . . . 29. 3.4. iTraxx Europe 指數歷史報酬率分配圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. 3.5. 不同時點之iTraxx Europe 信用組合期望損失 . . . . . . . . . . . . . . . 31. 3.6. iTraxx Europe 2007/1/31 隱含信用組合損失分配 . . . . . . . . . . . . 32. 3.7. iTraxx Europe 2012/3/30 隱含信用組合損失分配 . . . . . . . . . . . . 32. 3.8. iTraxx Europe 不同時點隱含信用組合損失分配 . . . . . . . . . . . . . 33. 3.9. 固定比例債務憑證利用 a 2007 年前市價校準之期望損失v . . . . . . . . . . . 35. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. 3.10. 立. 政 治 大. i l C n U 固定比例債務憑證利用2007h 年前市價校準之 e n g c h i Cash-in 分配. . . . . . . . . 36. 3.11 固定比例債務憑證利用至今所有市價校準之期望損失 . . . . . . . . . . . 38 3.12 固定比例債務憑證利用至今所有市價校準之Cash-in 分配 . . . . . . . . . 39 3.13 考慮違約風險下利用2007 年前市價校準之期望損失 . . . . . . . . . . . . 41 3.14 考慮違約風險下利用2007 年前市價校準之 Cash-in 分配 . . . . . . . . . 42 3.15 考慮違約風險下利用至今所有市價校準之期望損失 . . . . . . . . . . . . 43 3.16 考慮違約風險下利用至今所有市價校準之Cash-in 分配 . . . . . . . . . . 44. vi.
(9) 第一章 前言 自從亞洲金融風暴以來, 投資市場對於信用風險避險之需求逐漸應加, 使得近年來信 用衍生性商品發展迅速, 各式商品應運而生。 由原先單一資產目標之信用違約交換 (Credit Default Swaps)、 信用連結債券 (Credit Link Notes), 至多資產組合之擔保債權憑證 (Collateralized Debt Obligations), 可見到信用衍生性商品市場蓬勃發展與日益複雜化。. 而近來市場上出現新一代兼具傳統擔保債權憑證結構化信用組合與考量投資組合市. 治 政 大 tional Portfolio Insurances ; Credit CPPIs) 與固定比例債務憑證 (Constant Propor立 tional Debt Obligations ; CPDOs)。 值高低特色之槓桿化信用組合商品, 為信用固定比例組合保險 (Credit Constant Propor-. ‧ 國. 學. 其中固定比例組合保險類似保本型基金或投資型保單之概念, 利用投資組合管理技 巧, 設定一保本金額以保證此票券到期時之價值, 並保有潛在向上獲利空間, 同時將投資. ‧. 人投入之資金分為風險性資產與無風險資產兩部分, 其撥出一定比例之本金投入無風險帳 戶中以滿足保本目標, 此稱為被動式部位。 而剩餘比例資金為追逐極大化報酬, 則投入股. y. Nat. sit. 票或期權市場, 於信用固定比例組合保險內則為賣出信用指數以收取溢酬, 並利用槓桿機. n. 失來調整此一部位之規模, 此則為主動式部位。 a. er. io. 制, 當此部位市值上升時放大槓桿程度以追求進一步獲利, 反之則縮小槓桿程度以降低損. iv l C n hengchi U. 圖 1.1: 固定比例投資保險投資機制示意圖. 1.
(10) 本研究在此探討目標則為荷蘭銀行 (ABN AMRO) 於 2006 年發行之另一種槓桿化 信用組合商品: 固定比例債務憑證。 此商品同樣利用與固定比例組合保險之投資組合概 念, 將所得資金分別投資於風險性與無風險資產兩大部位, 但取消固定比例投資保險之保 本承諾, 改以給付高於商品淨現值之本金及票面利息, 並利用與固定比例組合保險相反之 買低賣高槓桿策略, 當主動式部位市值上升時縮小槓桿程度以獲利了結, 而市值下降時則 放大槓桿程度以彌補損失, 以追逐高票息造成之資金缺口目標。 當提前達成此負債目標時, 則主動式部位全數獲利了結, 將所有資金投入無風險帳戶中, 此為獲利了結事件 (Cash-in Event)。 但倘若主動式部分產生過多損失, 導致資產淨額不足時, 也將會結清所有主動式. 部位, 以確保投資人仍能回收一定程度之本金, 此則為停損事件 (Cash-out Event)。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學 er. io. sit. y. Nat. a. n. iv l 圖 1.2: 固定比例債務憑證投資機制示意圖. Ch. n U engchi. 固定比例債務憑證推出後, 各大信評機構與研究單位各自提出評價此槓桿化信用組 合商品之方法, 以分析其績效表現與風險面構成。 首先 Wong and Chanlder (2007) 指 出固定比例債務憑證主要風險面為違約風險 (Default Risk)、 信用指數價差風險 (Spread Risk)、 利率風險 (Interest-Rate Risk)。 違約風險為信用指數曝險部位中若有公司發生違. 約, 由於此部位為信用賣方須賠償損失而造成商品淨值損失之風險。 信用指數價差風險為 信用指數價差若上升造成主動式部位市值損失之風險, 利率風險則為無風險利率上升造成 所需給付之票面利息上升與產品淨現值下降之風險。 此文獻並利用高斯聯繫模型 (Gaussian Copula Model)、Black-Karasinski 動態過程 與單因子 HJM 模型分別評估此三種風險。 加拿大權威評等信用公司 (DBRS (2007))、Linden,Neugebauer and Bund(2007) 與 Marjolin and Toutain(2008) 等文獻於相近時間. 也得到類似推論, 其差異主要於採用不同動態價差過程評估價差風險, 比較於表 1.1:. 2.
(11) 表 1.1: 早期固定比例債務憑證評價模型比較 作者 相異處 Wong et al. (2007) Black-Karasinski 過程 DBRS (2007) CIR 過程 Linden et al. (2007) Exponential Vasicek 過程 Marjolin & Toutain (2008) CEV 過程. 另外為了加快評價速度, 瑞士銀行 (UBS (2007)) 提出了固定比例債務憑證評價公式 之封閉解。 其將主動式信用曝險部位 (Risky Exposure) 之報酬率設為服從具有飄浮項之 布朗運動 (Brownian Motion), 經由數學推導後, 則可將固定比例債務憑證之淨現值變動. 政 治 大 之指數函數, 進而得到任一時點下資產淨值累積機率分配之封閉解。 立. 表示為信用曝險部位金額、 槓桿率 (Leverage Ratio) 與承諾給付投資人票面利息等參數. ‧ 國. 學. 但固定比例債務憑證於 2007 年開始之金融海嘯時期表現卻不盡理想,UBS 於 2007 年 3 月發行 Series 103 之固定比例債務憑證, 在同年 11 月因為淨現值低於本金 10% 發停損出. ‧. 場機制違約1 ,Gordy and Willemann (2010) 也整理 S&P 對於荷蘭銀行發行之第一批固 定比例債務憑證 Surf 評等變化如表 1.2:. sit. y. Nat. io. n. al. er. 表 1.2: S&P調降固定比例債務憑證評等變化. Ch. i Un. 29-Aug-2006 AAA 20-Dec-2007 AAA/負向展望 20-Feb-2008 BBB+ 10-Mar-2008 BBB-/負向展望 19-Sep-2008 B/負向展望 23-Oct-2008 B 23-Oct-2008 Not Rated. engchi. v. 由上表可得知, 固定比例債務憑證發行初期, 信評公司利用其評價模型評估此商品具 有與美國公債同等級之風險程度, 同時部分學術研究如 Cont and Jessen (2012), 也指出 此商品違約可能性不高, 但實際上部分固定比例債務憑證卻於前幾年金融風暴時期違約出 場, 遠超過早期多數研究評估此商品之風險程度。 1. Bloomberg(2007),CPDO Sold by UBS Fails as Value Drops, Moody’s Says. 3.
(12) 因此於金融風暴之後, 各方學者也開始針對固定比例債務憑證違約現象進行研究, 試 圖剖析先前模型之問題點。 其中相當多的文獻考量到先前其他研究所採用之信用指數價差 模型, 可能無法詮釋極端信用指數價差變動之情形, 而著眼於改善動態指數價差過程之配 適度問題。 Dorn (2010) 利用 Cont and Tankov (2009) 評價固定比例投資組合之模型, 提 出 Merton 跳躍擴散模型 (Jump-diffusion Model) 作為信用指數價差之動態過程, 利用 跳躍過程模擬瞬間指數向上跳躍之情形, 進而推導出固定比例債務憑證封閉解評價公式, 改善了 UBS(2007) 未考量到指數受到叢聚違約風險影響瞬間向上跳躍之情形。 而 Jossens and Schoutens (2008) 則提出利用 Variance-Gamma 動態過程可調整 峰態與偏態係數之特性, 試圖配適信用指數價差報酬之厚尾現象。 同時 Gordy and Willemann (2010) 等研究中也提及, 由於 iTraxx 或 CDX 等信用指數於 2004 年才正式商品. 標準化, 其可回溯之歷史報價資料時間長度不足導致先前模型校準結果產生誤差, 也可能. 政 治 大 以上文獻考慮不同信用指數價差動態以圖準確評估價差風險 , 但違約風險部分則大多 立. 是造成先前研究風險評估結果失常之原因。. 續運用高斯聯繫模型來評估信用資產群組中個別資產違約情形與彼此間之違約相關性, 此. ‧ 國. 學. 一違約相關性模型起始於 Li (2000), 其模型中之信用資產群組聯合違約時點分配, 為利 用聯繫結構函數 (Copula Function) 連結個別標的資產之邊際違約分配求得, 並透過蒙. ‧. 地卡羅模擬法 (Monte Carlo Simulation) 進行資產群組之違約時點模擬。. y. Nat. Li (2000) 內可假設資產群組中各資產之相關性等參數均不相同, 為具有相當彈性之. io. sit. 模型設定, 但其有當資產數目過多時之高維度問題, 造成模擬時間費時, 因此後來具有條. er. 件獨立 (conditional independence) 之因子聯繫模型 (factor copula model) 便逐漸替. n. al 代傳統聯繫模型。 因子聯繫模型在假設違約機率強度會受個體與系統性風險影響下 , 利用 iv C. n. h e n (conditional 條件違約機率建構資產群組之條件損失分配 h i U loss distribution), 再對系統. gc. 性風險因子積分後, 求得資產群組之非條件損失分配 (unconditional loss distribution)。. 此類型模型包括了 Laurent and Gregory (2003)、Anderson et al. (2003), 其分別利用 快速傅立葉法 (fast Fourier transform method) 與遞迴法則 (recursive method) 計算 資產群組之條件損失分配,Hull and White (2004) 則改良前述方法, 以利用機率杓斗法 (probability bucketing method) 建構資產群組之損失分配, 為因子聯繫模型集大成之作。. 但近年來條件獨立假設受到許多研究挑戰, 如 Das,Duffie,Kapadia and Saita (2007) 在條件獨立假設模型下, 利用時間轉換檢定研究美國 1970 年至 2004 年之公司違約資料進 行檢定, 發現此期間美國公司違約相關性因某些未觀察之因子 (frailty factor) 具有違約叢 聚現象而拒絕條件獨立假設。 而 Duffie,Eckner,Horel and Saita (2009) 則利用考量產業 面之違約機率密度下違約時點模型, 發現未觀察因子對於一家公司之違約機率密度具有相 當大之影響。 又 Jorion and Zhang (2007) 利用信用違約交換市場資料實證發現, 同一產. 4.
(13) 業領域中若有公司發生違約, 則會使得相同領域中其他公司違約機率強度提升, 而 Jorion and Zhang (2009) 進一步指出任兩家公司可能受交易對手傳染途徑影響而違約, 此為交. 易對手風險 (counterparty risk)。 最後 Azizpour et al. (2011a) 綜合前述研究, 擴大考 慮包含金融產業之 1970 年至 2010 年美國整體經濟體樣本後, 進一步指出除了未觀察因子 外, 單一公司違約時將會影響其他公司之傳染現象顯著。 以上研究發現代表因子聯繫模型之條件獨立假設並不符合實際市場現象, 其損失分配 無法描述因未觀察因子或傳染效果導致之違約叢聚現象, 同時聯繫模型無論為傳統聯繫模 型或因子聯繫模型, 其皆為靜態模型 (static model), 代表我們無法得知其違約時點期間 結構。 因而有其必要發展其他具有違約期間結構與傳染效果之全新模型, 以準確評估信用 資產群組部位中個別資產違約情形所帶來之影響。 而違約傳染效果由 Davis and Lo (2001) 首先應用於信用風險模型, 其利用伯努力. 政 治 大 響所致,Cousin,Dorobantu, D. 立and Rulli`e (2011) 則將此傳染模型擴展為跨期模型。 此. 隨機變數 (Bernoulli random variable) 描述公司違約可為自身或外來公司違約傳染影 外 R¨osch and Winterfeldt(2008) 改良因子聯繫模型, 在此基礎上額外考慮傳染效果導. ‧ 國. 學. 致額外之違約風險。 Giesecke,Spiliopoulos and Sowers (2011) 也重新改良 Duffie and Garleanu (2001) 提出之仿射跳躍擴散模型 (Affine jump diffusion model), 將原先違約. ‧. 強度動態過程中, 考量違約叢聚現象之單一跳躍項改為同時考量系統性與傳染性風險之動. y. Nat. 態跳躍擴散違約模型,Brigo,Pallaviciniz and Torresetti (2006) 提出利用一般化普瓦松. io. sit. 叢聚損失模型來評估信用違約情形。. er. 而固定比例債務憑證部分後續也有研究利用信用違約傳染模型評估主動式部位中信. n. a l and Pallavicini (2009) 利用 用資產群組之違約風險。 Torresetti i v Brigo et al. (2007) 之 C. n. h e n , 得到此產品違約與風險程度情形較先前模 模型進行固定比例債務憑證之評價與風險分析 hi U. gc. 型評估結果顯著許多, 但其校準資料期間為金融風暴前, 並無考慮到金融風暴時期之後信 用指數價差波動之情勢, 同時其信用指數價差風險仍採用傳統 Exponential Vasicek 模型 評估, 可能忽略了信用指數價差大幅波動時造成之鉅額損失。 由上述文獻可知,2007 年金融風暴發生前之研究評估固定比例債務憑證時, 可能未考 量極端風險之可能性而採用風險變動程度較低之模型, 導致產生此商品理論與實際表現差 距懸殊之情況。 而即使於 2007 年金融風暴發生後, 多數研究可能僅考慮單一極端風險發生 之可能性, 未考量到違約與信用指數價差風險為同一來源之情形。 同時又由於信用指數歷 史報價資料不足, 導致研究模型校準結果產生誤差, 也可能影響到模型實際評估風險時之 數據。 因此為何固定比例債務憑證實際績效與風險程度, 會與金融風暴前各大研究單位提 出之理論模型評估結果相差如此懸殊, 其中是否有尚未考量或不周全之處, 即為本研究之 研究動機。. 5.
(14) 而綜合以上結論, 本研究中將採用 Variance-Gamma 動態價差模型評估信用指數價 差變動, 利用其可調整峰態與偏態係數之特色, 以配適信用指數價差瞬間變動極大之現象, 試圖改善以往文獻研究固定比例債務憑證時, 因使用了信用指數價差大幅變動可能性較低 之模型, 而低估了信用價差劇烈變動下造成主動式部位大幅損失之可能性, 進而低估此商 品之績效與風險程度。 同時本研究將藉由 Giesecke et al. (2011) 之信用違約傳染模型, 利用其同時考慮系 統性風險與傳染性風險之違約機率強度動態過程, 以求準確評估主動式部位中信用群組內 含公司之違約情形, 試圖改善先前研究因採用早期信用違約風險模型, 而低估信用傳染等 叢聚違約風險造成信用群組內之違約情形, 進而使得低估此商品之績效與風險程度。 最後我們將區分不同情境, 分別利用 2004 年開始至 2007 年 7 月金融風暴前之歷史 iTraxx Europe 指數價差市價, 與至 2012 年 5 月底之歷史 iTraxx Europe 指數價差市價. 政 治 大 同風險程度下, 固定比例債務憑證之評價結果與風險表現將有何種變化 , 以企準確剖析實 立 資料, 以及不同時點之 iTraxx Europe 分券市價進行模型校準, 觀察在不同資料期間與不 際固定比例債務憑證之價格與風險層面。. ‧ 國. 學. 本研究後續結構安排如下, 第二章為基本假設與模型設定, 將介紹固定比例債務憑證 之評價、 風險評估與校準方法之理論架構, 並詳盡介紹信用指數價差模型與信用違約傳染. ‧. 模型之基本定義與模擬方法。 第三章為數值結果與分析, 本研究將比較利用不同時期之歷. y. Nat. 史信用市價資料進行校準時, 考量不同程度風險下之評價與風險表現分析。 第四章為結論. n. al. er. io. sit. 與後續研究建議, 我們將總結全文論述並提出後續研究可能之方向。. Ch. engchi. 6. i Un. v.
(15) 第二章 基本假設與模型設定 本模型以建構信用指數價差之動態過程與信用組合之損失時點, 來進行固定比例債務 憑證之評價與風險評估。 模型假設固定比例債務憑證違約可能性, 主要受到信用指數價差 變動與信用組合資產違約之影響, 其中信用指數價差由一動態過程所描述, 而信用組合資 產違約之可能性, 則由信用事件發生之有無所驅動。 本章一共分為五節, 首先第一節先介 紹固定比例債務憑證模型, 定義基本符號、 評價流程、 槓桿設定與主要風險面。 第二節我. 政 治 大. 們進一步介紹主要風險面其中之一, 當信用指數價差不斷擴大時, 信用組合部位市值將蒙 受損失, 此即為價差風險, 因此本節將介紹如何利用模型評估與模擬此一風險。 第三節則. 立. 介紹另一主要風險, 當信用組合內有公司違約時, 主動式部位因為信用賣方而必須賠償買. ‧ 國. 學. 方損失, 此則為違約風險, 所以本節也將介紹違約風險將如何評估與模擬。 第四節則介紹 固定比例債務憑證之定價模型。 最後第五節將介紹此兩個模型如何進行校準估計。. a. er. io. sit. y. ‧. Nat. 2.1 固定比例債務憑證基本模型. n. v 此節我們介紹固定比例債務憑證基本評價流程 , 特殊目的機構i (Special Purpose Vehicle) l n U 發行固定比例債務憑證, 承諾每期支付投資人高於無風險利率之票面利息。 而特殊目的機 engchi. Ch. 構在向投資人收取名目本金後, 將會把本金切割為兩大部分進行投資。 其中絕大部分將投 入無風險帳戶以獲得無風險報酬, 稱為被動式部位。 但通常被動式部位並無法完全支付此債券目標總值, 而產生一資金缺口, 此時本金另 一部分則進行賣出信用指數保護之動作稱為主動式部位, 以獲得額外報酬。 同時固定比例 債務憑證將使用一槓桿策略放大主動式部位曝險程度, 以求達成此商品負債目標。 而若此一負債目標提前達成, 所有主動式部位即刻獲利了結, 將所有資產投入無風險 帳戶中。 但倘若主動式部分產生過多損失, 導致資產淨額不足時, 也將會結清所有主動式 部位, 以確保投資人仍能收到一定程度之本金。 以下我們先介紹固定比例債務憑證模型之基本符號定義, 再介紹其模型設定與評價流 程。. 7.
(16) 圖 2.1: 固定比例債務憑證運作機制示意圖. 政 治 大. 2.1.1 符號定義. 立. ‧ 國. 學. P Vliabilities (i): 時點 i 時的負債總額 P Vassets (i): 時點 i 時的信用保護賣方之收益現值. ‧. B(i, j): 時點 i 至 j 的零息債券價格 H(i, j): 時點 i 至 j 的風險折現因子. Nat. sit. y. C(Tj ): 第 j 個付息時點所需支付之票息. io. al. n. N : 名目本金. er. Cash(i): 時點 i 時的現金帳戶價值 N AV (t): 時點 i 時的資產淨值 G: 槓桿負載係數. Ch. engchi. cushion: 緩衝比例 Levopt (t): 最適槓桿倍數 Levimp (t): 隱含槓桿倍數 REprebalancing (t): 槓桿調整前之信用曝險金額 REpostbalancing (t): 槓桿調整後之信用曝險金額 W (t): 新增信用曝險部位比例 Spread(t): 時點 i 之信用指數價差 {Spreadt }t>0 :Variance-Gamma 過程 Spreadcont (t): 時點 i 時信用指數價差成本 M tM (t): 時點 i 時信用曝險金額之市值變動 Def ault(i): 時點 i 時信用違約損失金額. 8. i Un. v.
(17) τ in : 第一次觸及負債目標價之時點 τ out : 第一次觸及資產不足條件之時點 dWt ∼ N (0, dt): 瞬時布朗運動. 2.1.2 基本模型定義. 由前言中所介紹, 我們可知固定比例債務憑證中投資人所給付之本金將會分為兩大部分進 行投資, 其中主動式部位是為滿足目標債券價格而賣出信用保護以追求高額報酬, 而被動 式部位則將剩餘資金存入無風險帳戶中, 因此以下我們定義目標債券價格等基本帳戶之動 態過程如下:. 學. ‧ 國. 立. 政 治 大. 定義 2.1 時點 i 之負債目標總額. ‧. P Vliabilities (i) =. Tn X. B(i, j) × C(Tj ) × N otional + B(i, Tn ) ∗ N otional. (2.1). sit. y. Nat. j=1. er. io. 其中B (i, j)為時點 i 至 j 之零息債券價格,C (Tj )為發行機構所承諾之票面利息, 因此由 上式可知某一時點之目標債券價格, 為其剩餘應付利息折現與到期時應償還本金之加總。. n. al. Ch. engchi 定義 2.2 時點 i 之信用指數賣方收益現值 P Vassets (i) = Spreadcontracted (i) × N otional ×. i Un Tn X. v. B(i, j) × H(i, j). (2.2). j>i. 時點 i 至 j 之風險折現因子 H(i, j) = exp(. −Spread(i) × tj−i ) 1−R. (2.3). 其中B (i, j)為時點 i 至 j 之零息債券價格,H (i, j)為時點 i 至 j 之風險折現因子如 2.3 式,R為發生違約損失時之回復率, 由此定義可知某一時點下信用指數部位市值, 為其考慮 風險折現下剩餘可收到信用價差之加總。. 9.
(18) 定義 2.3 時點 i 之資產淨值 N AV (t) = Cash(t) + M tM (t). (2.4). 時點 i 之信用曝險金額市值變動 M tM (t) = (Sc (t) − S(t)) × REp rebalancing(t) ×. n X. B(t, j) × H(t, j). (2.5). j>t. 時點 i 之無風險帳戶價值. 政 治 大. Cash(t) = Cash(t − 1)(1 + LIBOR(t)) + Sc × REp rebalancing(t) − Loss(t) − C(t). 立. (2.6). ‧ 國. 學 ‧. 其中Sc (t)為時點 t 下之契約信用價差,S(t)為目前市場信用價差, 由以上定義可知, 當 期之資產淨值為無風險帳戶價值加上信用組合部位之市值變動。 而信用組合之市值變動,. sit. y. Nat. 則為現今市場指數價差變動所造成剩餘可收到信用價差價值變動。. er. io. 由式 2.5 可得知, 若市場信用指數價差因為信用市場風險增加而上升, 將導致信用指數 部位市值產生損失。 因此若信用指數價差遭遇類似金融風暴規模之風險而大幅上升, 將會. n. a. v. l C , 進而使得固定比例債務憑證之資產淨值大幅減損 使信用指數部位蒙受大幅度市值損失 , ni. U. h. engchi 此即為價差風險 (Spread Risk)。 因此如何利用動態過程模型評估價差風險即為重要議題 , 我們將於 2.2 小節介紹信用價差模型。 而無風險部位則為上期部位複利計算後, 加上本期信用指數部位賣方收入, 最後扣除 本期應付利息與信用指數組合造成之損失。 其中由式 2.6 可知, 若信用指數組合內有公司發生違約, 因信用指數部位身為信用保 護賣方, 此刻須賠償違約損失, 此即為違約風險 (Default risk), 我們將於 2.3 小節進一步 介紹信用違約風險模型。. 10.
(19) 定義 2.4 固定比例債務憑證之出場條件 τ in = inf{t : N AV (t) ≥ P Vliabilities (t)}. (2.7). τ out = inf{t : N AV (t) ≤ T hreshold}. (2.8). 定義固定比例債務憑證之基本帳戶後, 接著我們定義此產品之提前出場條件。 當本期 損益計算後之資產淨值高於債券目標價值時, 代表我們已完成此產品所需負債目標, 則可 提前出清所有具有風險之信用指數賣方部位, 將所得資金全數轉入無風險帳戶中。 此即為 獲利了結事件 (Cash-in Event), 而本產品此時則可視為無風險之高收益債券。 但若經本期損益計算後此債券資產淨值低於某一水準, 通常為低於本金之百分之十, 則啟動停損機制, 同樣將所有主動式部位結清, 並還與投資人剩餘資產淨值。 此則為停損. 政 治 大. 事件 (Cash-out Event), 視為一種嚴重違約情形。. 立. 性質 2.1 信用曝險金額. ‧ 國. 學. REp ostbalancing(t) = Levopt (t) × N otional. (2.9). ‧. 而若經由損益計算後並無觸及任何提前出場事件發生, 則接續我們需要計算下期信用曝險. y. Nat. 程度。 由性質 2.1 可知, 信用指數部位之信用曝險部位大小由每期最適槓桿比例決定, 又目. sit. 前信用指數部位之實際槓桿與最適槓桿有一定差距時, 則需要依照最適槓桿比例新增或減. n. al. er. io. 少信用曝險部位。 因此以下我們定義槓桿比例與新增信用風險比例。 定義 2.5 最適槓桿比例 Levopt =. Ch. engchi. i Un. v. P Vliabilities(t) − N AV (t) Shortf all(t) ×G= ×G P Vassets (t) P Vassets (t). (2.10). REp rebalancing(t) N otional. (2.11). 定義 2.6 隱含槓桿比例 Levimp =. 11.
(20) 由定義 2.5 可知, 最適槓桿比例為負債目標價缺額與當期信用組合淨現值之比例, 意即 此商品試圖利用較少之風險性資產去賺取數倍於它之負債目標缺額。 而此比例將乘上負載 係數以進一步拉大槓桿程度。 從最適槓桿比例中可見其調整機制如下: 當資產淨值因任何 部位產生損失時, 會造成負債目標缺額增加, 此時發行機構將賣出更多信用指數保護以提 高槓桿比例, 望由信用指數部位獲利彌補整體損失; 而若負債目標缺額因獲利縮小時, 則 縮小槓桿比例以減低信用曝險程度。 而隱含槓桿比例則為目前信用曝險金額與固定比例債務憑證本金之比例, 為當期實際 槓桿比例, 而為不過於頻繁進行槓桿調整而多付出手續費用, 通常當最適槓桿與隱含槓桿 有一定差距時才進行信用曝險部位調整, 同時此商品一般會設置一定槓桿比例上限, 使得 主動式部位不因過度進行槓桿操作而承擔過多風險。 定義 2.7 新增信用曝險部位比例. 政 治 大. 立 RE rebalancing(t) W (t) = p. (2.12). ‧. ‧ 國. 學. REpostbalancing (t). 而信用曝險部位調整完畢, 我們需要計算目前主動式部位之加權契約信用指數價差,. sit. y. Nat. 以進行下一期主動式部位市值變化之計算。. io. er. 基本固定比例債務憑證評價流程如以上定義所示, 模擬流程即為迭代以上流程直到觸 及出場條件或到期日結束為止。. n. al. Ch. engchi. 12. i Un. v.
(21) 2.2 信用指數價差風險模型. 由上一小節我們可以得知, 當信用指數價差不斷上升時, 將導致賣出信用指數部位市值產 生損失, 因此如何評估信用指數價差變動將為一重要議題。 而又從文獻回顧中可以得知, 過去文獻模型評估信用指數價差變動時, 通常缺乏考慮波動度極大之情形, 同時也忽略了 信用價差報酬分配偏態與峰態之變動, 因此在本小節我們將介紹 Variance-Gamma 信用 指數價差模型, 利用其分配可調整高階中央動差之特性, 以符合實際信用指數價差之變動。 以下我們於 2.2.2 小節進行 Variance-Gamma 基礎 L´evy 過程之定義, 接著於 2.2.3 小節介紹 Variance-Gamma 過程與分配基本性質, 最後 2.2.4 小節介紹如何利用此模型模 擬隨時間變動之信用指數價差。. 立. ‧ 國. y. sit er. al. n. `(dx):L0 evy 測度. io. ν: 波動度參數. Nat. b: 漂浮項. ‧. ϕ(ω): 特徵指數. 2.2.1 符號定義. 學. φX (w) : 特徵函數. 政 治 大. Ch. X (t; σ, ν, θ):Variance-Gamma 過程 κν (x):Bessel function. engchi. σ: 布朗運動之波動度 θ: 布朗運動之漂移項. 13. i Un. v.
(22) 2.2.2 L´evy過程. 一個定義在機率濾網空間(Ω, F, )之隨機過程X = {Xt , t ≥ 0} 若符合以下條件則為 L´evy 過程 1. X0 = 0 2. 此過程具有獨立增量 3. 此過程具有穩定增量 4. 此過程具有隨機連續性. 政 治 大 的特徵函數 (Characteristic Function) 時, 則φ 立. 而由 Cont and Tankov(2004) 可得知 L´evy 具有無限切割性 (Infinite Divisibility), 意即φX (w) 為Xt. 的特徵函數則. 學. ‧ 國. 為φX (w)t 。. t X (w). 因此, 當為一 L´evy 過程時, 其特徵函數可表示如下式 2.13:. ‧. io. 其中ϕ(ω) 為特徵指數 (Characteristic Exponent)。. n. al. sit. y. (2.13). er. Nat. E(exp(iωX(t)) = exp(tϕ(ω)). i Un. Ch. v. i , 若 L´evy 的特徵參數為(ν, `, b), e n1996) 而又由 L´evy-Khinchin 公式 (Bertoin g c h可知 則可以表示如下式 2.14: ν 2ω2 ϕ(ω) = ibω − + 2. Z∞. (eiωx − 1 − iωx1{|x|<1} )`(dx). (2.14). −∞. 其中b 為漂浮項,ν 為波動度參數, 為 L´evy 測度 (measure), 其滿足下式 2.15: Z∞. Z∞ 1{|x≥1|} `(dx) < ∞ &. −∞. −∞. 14. x2 1{|x|<1} `(dx) < ∞. (2.15).
(23) 2.2.3 Variance-Gamma過程. 實際上建立一個 L´evy 過程共有三種方式: 布朗次屬化 (Brownian Subordination)、 指 定 L´evy 測度、 指定特定時間區間之機率密度。 其中布朗次屬化又可稱為時間轉換之布朗 運動 (Time-Changed Brownian Motion), 其在於將連續之布朗運動, 藉由另一動態過程 轉換為間斷的一般交易時間, 是富有經濟意涵之作法。 而目前主要有 Gamma 過程與 Inverse Gaussian 過程可作為時間轉換之動態過程。 在此若以 Gamma 過程作為時間轉換之過程, 則稱為 Variance-Gamma 過程, 其定義如 下: t≥0. X (t; σ, ν, θ) = θGt + σWGt ,. (2.16). 政 治 大. 立. 其中σ 與θ為布朗運動之波動度與漂移項,ν 為 Gamma 過程之波動度. ‧ 國. 學. 而透過 L´evy 過程之次屬化定理,Variance-Gamma 之特徵函數可表示為下式: (2.17). er. io. sit. y. Nat. 其中. ‧. φX (ω) = E[exp(iωXt )] = exp(tψX (ω)). σ2ω2κ 1 − iθωκ) ψX (ω) = − log(1 + κ 2. n. al. Ch. 經過代入整理後可得下列簡潔形式. engchi. i Un. v. φV G (ω; σ, υ, θ) = (1 − iωθυ + 1/2σ 2 υω 2 )−1/υ. (2.18). (2.19). 而機率密度函數則為下式型態: θx σ2. 2 exp fX (x) = 1 √ ν ν 2πσ Γ. . 2. (x − µ) 2σ2 1 + θ2 ν ν. ! 2ν1 − 14 κ1−1 v. 其中κ為第二類 Bessel function 如下式:. 15. 2. 1 σ2. ! 2 2σ (x − µ)2 ( + θ2 ) (2.20) ν. r.
(24) 1 κν (x) = 2. Z∞ y. ν−1. 1 −1 exp − x(y + y ) dy 2. (2.21). 0. 由於動差母函數為特徵函數一特殊形式, 因此對特徵函數微分後, 我們可推得 VarianceGamma 過程中央動差如下表:. 表 2.1: Variance-Gamma 各階中央動差 一階中央動差 二階中央動差 三階中央動差 四階中央動差. E(X) = θt ¯ 2 ) = (νθ2 + σ 2 )t E((X − X) ¯ 3 ) = (2θ3 ν 2 + 3σ 2 νθ)t E((X − X) ¯ 4 ) = (3νσ 4 + 12θσ 2 ν 2 + 6θ4 ν 3 )t + (3σ 4 + 6θ2 σ 2 ν + 3θ4 ν 2 )t2 E((X − X). 立. 政 治 大. 而藉由各階中央動差, 可推導出 Variance-Gamma 位置參數如下表:. ‧ 國. 學. 表 2.2: Variance-Gamma 分配位置參數. ‧. y. sit. io. n. 參數 θt (σ 2 + υθ2 )t θυ(3σ 2 + 2υθ2 )/(σ 2 + υθ2 )3/2 t1/2 3(1 + 2υ − υσ 4 (σ 2 + υθ2 )−2 ). er. Nat. 位置 平均數 變異數 偏態係數 峰態係數a. iv l C n hengchi U. 由上表, 我們可以得知藉由改變係數, 達到改變分配偏態與峰態之目的, 以滿足我們 捕捉市場上信用指數價差報酬右偏厚尾現象。 接著我們假設信用指數價差服從 Variance-Gamma 過程V G(σ, υ, θ) , 而由 Madan, Carr and Chang(1998) 可知,Variance-Gamma 信用價差動態過程, 可以用下式 2.22 表. 示: St = S0 exp(ωt + X (t; σ, ν, θ) + rt). (2.22). 其中X (t; σ, ν, θ)同 2.15 式, 為 Variance-Gamma 過程。 以下我們便可利用 2.22 式進行信 用指數價差之模擬, 以評估當信用指數價差變動時, 固定比例債務憑證資產淨值之變化, 進 而使得其價格與風險之變動. 16.
(25) 2.3 信用違約風險模型. 固定比例債務憑證風險面, 除了信用指數價差上升造成主動式部位市值下降, 進而導致此 債券最後無法達成負債目標而違約, 此為價差風險。 此外另有一風險面, 為信用指數之成分公司違約時, 由於主動式部位為賣出信用保護, 此時必須賠償公司違約損失, 造成固定比例債務憑證之淨現值降低。 而前述槓桿比例越高 時, 所需賠償之違約損失越高, 此即為違約風險。 而從文獻回顧上可知, 以往評估投資組合之違約風險主要可利用聯合聯繫函數 (Copula function) 或機率強度基礎 (Intensity-based) 等模型。 而經由金融風暴可發現, 過往. 模型假設似乎無法完全解釋叢聚違約現象, 因此近來許多改良模型或全新模型已發展出來. 治 政 大 al.(2011) 之信用傳染模型來評估當賣出信用組合保護時可能產生之違約風險。 立 以下我們先介紹 Giesecke et al.(2011) 基礎假設, 接著定義此模型數學架構, 最後解 以解釋此一現象, 其中一支即為考量傳染風險之信用模型, 本文在此則利用 Giesecke et. ‧ 國. 學. 釋此模型之模擬流程。. ‧ sit. n. al. er. io. W n : 布朗運動. y. Nat. 2.3.1 符號定義. dλt : 違約強度動態過程 dXt : 系統性風險動態過程. Ch. engchi. χ(.): 指標函數 α: 個體違約強度均數回歸速度 θ: 個體長期平均違約強度 σ: 個體違約強度波動度 κ: 系統性風險均數回歸速度 θsys : 系統性風險長期平均強度 σsys : 系統性風險波動度 βs : 系統性風險敏感係數 βc : 傳染性風險敏感係數 τ N,n : 違約時點 Ln : 累積違約家數. 17. i Un. v.
(26) 2.3.2 模型設定. 由 Giesecke et al. (2011), 我們建立信用組合相關違約時點之動態過程如下: 定義一 個機率濾網空間(Ω, F,N), 令{W n }n∈N 為一標準布朗運動之可數集合,{εn }n∈N 為一符合 i.i.d 標準指數隨機變數之集合, 令V 為一獨立於W n 與εn 之標準布朗運動。 由經濟意義來. 解釋, 每一個W n 代表個別公司之個體風險來源,εn 代表每一公司之標準化違約時點, 而隨 機過程V 則為所有公司所暴露之系統風險動態過程。. 而在固定N ∈ N,n ∈ {1, 2, ..., N }下, 我們考慮以下系統: ˜ N,n )dt + σN,n −λ = −αN,n (λN,n dλN,n t t. 立. q N,n C S dWtn + βN,n λN,n dLN dXt (2.23) t t + βN,n λt. 政 治 大. λN,n = λ0,N,n 0. dXt = b0 (Xt )dt + σ0 (Xt )dVt. (2.24). t>0. (2.25) (2.26) (2.27). Nat. sit. y. ‧. ‧ 國. 學. X0 = x 0 Z t N 1 X N,n N χ[εn , ∞) λs ds Lt = N n=1 s=0. n. al. er. io. 在此我們使用χ(.)代表指標函數。 而其中Ln 若經定義違約時點後, 可得到更簡潔之表 示法。 定義 2.8 違約時點 τ. N,n ∆. Ch. engchi Z. i Un. v. t. = inf{t ≥ 0 :. λN,n s ds ≥ εn }. (2.28). s=0. 此定義即為 Compensator 法, 用以判斷標的公司在某時點是否已違約。 由 Duffie and Singleton(2003) 可知, 若標的公司第一次違約時點服從期望值為1/λ之普瓦松分配 (Poisson Distribution),λ為違約強度 (hazard rate), 則其能存活至第 t 年之機率則為下式: p(t) = e−λt. 18. (2.29).
(27) 而若違約強度由固定轉為因時間而變動之變數時, 藉由貝氏法則 (Bayes’s Rule) 則 可知存活率變為下列形式: p(t) = e−. Rt 0. λ(t)dt. (2.30). 又一服從標準指數分配之隨機變數 Z, 由其累積分配函數可得下式: P (Z > z) = e−z. (2.31). 因此 Compensator 法即為隨機抽出一個服從標準指數分配之亂數, 經由計算 2.31 式做為 此時點之實際存活機率, 再由 2.30 式計算由違約強度模型模擬出標的公司此時點之存活機. 政 治 大. 率, 若實際存活機率小於標的公司之存活機率時, 則此公司發生違約, 其示意圖如下圖:. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. i Un. Ch. v. i e n g c h 示意圖 圖 2.2: Compensator 而我們定義違約時點後, 則可得到下式: Z. t. χ[εn, ∞). λN,n s ds. . = χ{τ N,n ≤ t}. (2.32). s=0. 最後則可將 (5) 式更改為下列簡單形式: LN t. N 1 X χ{τ N,n ≤ t} = N n=1. (2.33). 動態過程LN 代表具有 N 家公司之信用組合之損失率, 同時在此λ為違約強度, 或可稱為 條件違約發生率。 由定義 2.8 可知,λ對 2.28 式而言為瞬時 Doob-Meyer compensator。. 19.
(28) 此模型下個別公司之違約強度λN,n 會受幾項風險因子所驅動, 首先違約強度會受個 體本身之特質風險因素影響, 由 2.23 式可知驅動個體風險為布朗運動Wn 之動態過程。 而從本研究前言中可知, 個別公司之違約強度同時也會受到能影響所有公司之違約風 險因素所驅動, 其即為系統性風險。 而在此模型下以動態過程X 代表系統性風險之來源, 同 時βs 控制此風險之敏感度大小, 在 Giesecke et al.(2011) 中僅假設此動態過程為一穩定 Ornstein-Uhlenbeck 過程, 如同 3.25 式。 而在 Giesecke et al.(2012) 中, 則進一步假設. 此動態過程為 CIR 過程如下式: dXt = κ(θ − Xt )dt + σ. p. Xt dVt. (2.34). 政 治 大. 最後由本研究前言可知, 個別公司之違約強度除了會同時受系統性風險所影響而上升. 立. 外, 此外也有機會受其他公司違約強度增加所影響而一同上升, 此即為傳染效果 (Conta-. ‧ 國. 學. C gion effect)。 在此模型中以β C dLN t 代表傳染性風險之來源, 其中以β 控制模型對於傳染. 性風險之敏感程度, 而由 2.32 式可知此模型中傳染性風險大小取決於上期違約之嚴重程. ‧. 度, 意即上期若有越多公司發生違約時, 則會使得本期剩餘存活公司之違約機率強度上升, 進而使得存活公司之違約可能性上升。. Nat. sit. y. 而同時從 2.23 式前半部可以看出, 此違約強度動態過程與 CIR 過程相似, 代表其具. io. er. 有均數回歸之特性, 意即個別公司之違約強度若因任一風險因素上升後, 並不會永久維持 於高檔狀態, 而會隨時間逐漸下降, 以符合實際市場上波動狀況, 此為本模型另一特色。. n. al. Ch. engchi. i Un. v. 2.3.3 模擬方法. 由 Giesecke et al.(2012) 可知, 此一模型在βs ,βc 不為零下, 並不具有封閉解性質, 因此我 們需要利用尤拉性質 (Euler-Scheme), 將 2.3.2 小節所介紹之模型動態過程作時間間斷化 進行蒙地卡羅模擬, 以得到信用組合內成分公司可能損失時點, 進而得到不同時點下之期 望損失, 以利進行後續市價校準。 藉由前述定義 2.8 之 Compensator 方法與 Giesecke et al.(2012) 中描述之時間間斷 化模型, 我們可進行實際違約時點之模擬, 以下為詳細模擬步驟:. 20.
(29) 1. 隨機抽取一個服從平均數為 1 之指數分配 2. 計算下式以得到此時點下公司 i 之違約強度 √ N,n N,n 12 ˜ N,n ¯ ∆N (0, 1) + β S λN,n λ tj (Xtj+1 − Xtj )] (2.35) tj+1 = max[0, α(λ − λtj )∆ + σ(λtj ) 3. 利用定義 2.8 判斷此時點下公司 i 是否違約 4. 迭代以上步驟直到此時點下所有公司違約情況判斷完畢 5. 依照當期違約情況, 計算其傳染效果造成違約強度改變之程度如下式 XN C 1 ˜ N,n λN,n χ{τ N,n = tj+1 } tj+1 = λtj+1 + β n=1 N 6. 迭代以上步驟到模擬到期日結束. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 21. i Un. v. (2.36).
(30) 2.4 固定比例債務憑證之評價. 根據 Dorn(2010), 固定比例債務憑證類似於合成型擔保債務憑證, 其可利用 2.10 式中, 負 債目標金額缺額作為整體本金之期望損失來進行其分券評價。 以下我們介紹如何計算各分 券期望損失, 進而計算各分券之溢酬收入與違約支出端, 最後得到各分券之信用價差。. 2.4.1 分券之期望損失. 政 治 大. 我們利用前述模型可得知固定比例債務憑證每期之期望負債目標缺口, 並將其作為期望損 失, 因此各分券之期望損失可利用下式進行計算:. 立. ELti = EQ (max(min(Shortf all(ti ), aH ) − aL , 0)). (2.37). ‧ 國. 學. 其中EQ (.)為風險中立下之期望值,aL 為分券止賠點,aH 為分券之起賠點. ‧. Nat. er. io. sit. y. 2.4.2 溢酬收入端 (Premium Leg). n. a. v. l C 我們得知各分券之期望損失後, 接著則可利用其計算溢酬收入端。 n i 由於信用保護買方每期. U. h. engchi 需支付賣方固定信用價差溢酬乘上其剩餘本金作為信用保費 , 由於隨著時間推移其剩餘本. 金將有所變動, 因此溢酬收入端之經濟意義為計算信用保護賣方在時間變動下之期望收入 金額。 則令t1 ,t2 , ,tk 為付息日下, 各分券之溢酬風險則如下式: PL =. m X. ∆tk−1 ,tk × B(tk ) × (aH − aL − EL(tk )) + accruals. (2.38). k=1. 其中 Accrual 為應計保費, 表示若分券於付息日中間發生違約時, 買方仍須支付分券尚未 違約時其之保費, 其計算方式則為下式: accurals = ∆tk−1 ,tk × 0.5 × B(t∗k ) × (EL(tk ) − EL(tk−1 )). 22. (2.39).
(31) 2.4.3 違約支出端 (Default Leg). 計算完溢酬收入後, 我們也可由期望損失計算違約支出端。 當分券因損失超出止賠點而發 生違約時, 此時信用保護賣方則須賠償買方分券可能產生之損失, 同時由於剩餘本金隨著 時間推移會有所變動, 因此違約支出端之經濟意義為則為計算信用保護賣方預期因損失造 成之支出總和, 其計算方式如下式: DL =. m X. (EL(tk ) − EL(tk−1 ))B(t∗k ). (2.40). k=1. 立. 政 治 大 2.4.4 合理信用價差. ‧ 國. 學. 而合理信用價差則應使預期支出和預期收入相等, 即為合理信用價差乘以溢酬收入應等於. ‧. 違約支出, 則合理信用價差應如下式:. y. (2.41). sit. Nat. S tranche = DLtranche /P Ltranche. er. io. 因此我們可利用以上評價過程, 進行固定比例債務憑證分券價格之計算, 其結果與原先固. n. 定比例債務憑證承諾之票面利息比較 a , 則可得知此商品實際風險與其預先承諾之差距, 詳. l C 細評價結果與分析將於第三章介紹。. hengchi. 23. i Un. v.
(32) 2.5 校準方法 2.5.1 信用指數價差校準. 在此小節, 我們將介紹兩種信用指數價差動態過程之參數估計法: 動差估計法 (Method of Moment Estimation) 與最大概似估計法 (Method of Maximum Likelihood Estimation), 以利由歷史信用指數市場價格獲得 Variance-Gamma 信用價差模型所需參數。. 1. 動差估計法 (Method of Moment Estimation). 立. 政 治 大. 在使用最大概似法估計 Variance-Gamma 分配參數前, 由於進行最大概似法之數值運算. ‧ 國. 學. 通常需要一組參數作為起始猜解, 以確保所得參數能極大化概似函數。 而以往文獻提出, 此組參數先利用動差法求得, 較能加快後續數值運算之速度與準確性, 因此在此介紹動差 法之估計過程。 由表 2.2 可知 Variance-Gamma 之偏態係數與峰態係數, 從 Seneta(2004). ‧. n. ν K = 3(1 + ) t. Ch. engchi U. sit. io. al. er. Nat. 3νθ S= √ σ t. y. 可知, 假設θ很小下可忽略係數中 θ2 , θ3 ,θ4 , 進而得到以下近似之偏態與峰態係數:. v ni. (2.42) (2.43). 接著利用以上近似係數與表 3.1 之一階與二階中央動差, 我們則可推導出以下 VarianceGamma 參數作為起始猜解, 此即為動差估計法參數: r. V σ= t K −1 t ν= 3 √ Sσ t θ= 3ν ¯ X −θ µ= t. 24. (2.44) (2.45) (2.46) (2.47).
(33) 2. 最大概似估計法 (Method of Maximum Likelihood Estimation). 在給定具有參數為θ = (θ1 , ..., θn )之機率密度函數f (·|θ)的母體分配, 由其抽出之隨機樣 ˆ 能極大化概似函數 (likeki本x = (x1 , ..., xn )下, 最大概似估計法為估計參數θˆ = θ(x) hood function) 如下式: L(θ|x) ∼=. n Y. f (xi |θ). (2.48). i=1. 而最大概似估計法之數值方法如下列敘述:. 政 治 大 1. 由動差估計法得到一組參數作為起始猜解 立 2. 引入 Variance-Gamma 之機率密度函數 (2.20 式) 以建構概似函數. ‧ 國. 學. 3. 利用 MATLAB 內建之 MLE 函式進行數值運算即得解. ‧. 在 3.2 節我們將利用最大概似估計法, 針對不同時期歷史信用指數價差資料, 進行 VarianceGamma 信用指數價差模型之參數估計, 以利後續評價與分析固定比例債務憑證之風險構. er. io. sit. y. Nat. 面。. n. al. i n 2.5.2C信用違約風險模型校準 U hengchi. v. 由 2.3 節介紹之違約風險模型, 我們可得到信用組合內組成公司可能之違約時點。 接續我 們可利用評價合成型擔保債權憑證 (Synthetic Collateral Debt Obligations) 來進行 iTraxx Europe 分券市價校準, 以得到此模型所需參數。. 首先我們由 2.3 節產生之違約時點與下式 2.45, 產生不同時點下分券之期望損失: ELT ranche (Tj ) = EQ (max (min (L (Tj ) , aH ) − aL , 0)). 25. (2.49).
(34) N P. 其中L (Tj ) =. χ{τ N,n ≤j}×(1−R). 為第 j 期累積違約公司造成之損失. n=1. Nportf olio. 求得分券期望損失後, 後續計算分券溢酬收入與違約支出端以評價合理信用價差等步 驟, 均與 2.4 節相同在此不再贅述。. 而由 2.3.2 小節可以得知, 此模型主要具有八個參數,α為個體違約強度均數回歸速度,θ為 個體長期平均違約強度,σ 為個體違約強度之波動度,κ為系統風險強度均數回歸速度,θsys 為 系統風險長期平均強度,σsys 為系統風險強度之波動度,βs 為系統風險參數,βc 為傳染風險參 數。 而在此我們利用模型所得各分券價格, 計算開根均方誤 (Root Mean Square Error) 來進行校準程序, 以下為詳細校準步驟:. 政 治 大 1. 固定除α以外之參數值, 隨機抽取亂數作為α之值, 並將此參數組合帶入擔保債權 立 憑證之評價模型中求算每一分券價格。. ‧ 國. 學. 2. 迭代步驟 1 並計算每次分券模型價格與市價之開根均方誤, 找出使開根均方誤最小. ‧. 之參數組合。. sit. y. Nat. 3. 紀錄此參數組合之 作為固定值後, 利用迭代前二步驟依序校準剩餘參數, 得到一. io. n. al. er. 組開根均方誤最小之參數組合。. Ch. engchi. i Un. v. 4. 使用 MATLAB 內建 Nelder-Mead Simplex 演算法, 利用步驟 3 所得參數組合作. 為猜解起始值, 求解開根均方誤之全域極小值 (global minimum) 以得到精確校準。. 以上為信用違約風險模型之詳細校準過程, 我們將於第四章利用此校準方法, 針對金 融風暴前後 iTraxx Europe 分券價格進行校準, 以比較不同程度違約事件之信用市場對 於固定比例債務憑證評價與風險構面之影響。. 26.
(35) 第三章 數值結果與分析 本章利用第二章所介紹之 Variance-Gamma 過程模型模擬信用指數價差與考慮傳 染效果之信用違約模型建立信用群組損失分配, 來進行固定比例債務憑證之評價與風險分 析。. 首先信用指數價差部分, 模型可利用 iTraxx 與 CDX 兩大信用指數歷史報價, 藉由. 治 政 大 與所有歷史報價兩個情境校準, 再進行評價與風險分析, 來比較風暴前後固定比例債務憑 立 證之表現。 上一章介紹之最大概似法進行校準, 在此我們利用 iTraxx Europe 指數, 分為金融風暴前. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. i Un. Ch. v. i 圖 3.1: iTraxx Europe 走勢 e n g指數 c h04/6-07/6. 圖 3.2: iTraxx Europe 指數 歷史走勢. 27.
(36) 而損失分配部分, 此信用違約模型同樣也可利用 iTraxx 與 CDX 信用產品市價校準, 在此我們利用 iTraxx Europe 10 年期分券, 分別針對 2007 年金融風暴前與現今 2012 年 之市場分券報價進行校準, 搭配前述不同時期價差變動風險, 以比較風暴前後固定比例債 務憑證之表現。. 表 3.1: iTraxx Europe 10 年期市場價格 起賠點 止賠點 2007/1/31 2012/3/30 0 0.03 43.25(%) 73.86(%) 0.03 0.06 556.80 41.42(%) 0.06 0.09 316.96 30.85(%) 0.09 0.12 190.35 620.67 0.12 0.22 96.23 308.67 index 23.02 124.93. 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. 表 3.1 中 2007 年部分, 除了 0-3% 之權益分券, 其餘分券價格皆以基本點 (base point). ‧. 表示。 權益分券報價為信用保護買方期初需交還該分券本金之比例, 此外買方每期需支付. y. Nat. 賣方 500 基本點。. sit. 2012 年部分, 所有分券皆為信用保護買方期初需交還該分券本金之比例, 此外 0-3%. al. n. 則需支付 100 基本點。. er. io. 、3-6% 分券買方需支付賣方 500 基本點,6-9% 分券需支付 300 基本點,9-12% 、12-22% 分券. Ch. engchi. i Un. v. 以下 3.1 節為信用指數價差模型之參數估計,3.2 節為違約損失模型之參數校準估計,3.3 節為固定比例債務憑證評價與風險分析, 其中 3.3.1 小節為僅考慮價差風險下, 固定比例債 務憑證之評價與風險分析,3.3.2 小節為同時考慮價差與違約風險下, 固定比例債務憑證之 評價與分析,3.4 節則針對模型參數進行敏感度分析。. 28.
(37) 3.1 信用指數價差模型參數估計. 如同第二章信用價差模型部分所述,Variance-Gamma 過程具有三個主要參數:σ 代表此 分配中布朗 subordination 之波動度,υ 代表分配之偏態參數,θ 代表分配之峰態參數, 故 本節利用第三章介紹之最大概似法, 進行 Variance-Gamma 過程參數估計。 在此我們使用兩組不同時間區間之歷史 iTraxx Europe 指數週報價, 求算其對數報 酬率後進行參數估計, 以比較金融風暴前後, 固定比例債務憑證之評價與風險分析。 下表 為參數估計樣本敘述: 表 3.2: iTraxx Europe 指數報酬樣本敘述與統計量. 政 治 大. 資料期間 個數 平均數 變異數 偏態係數 峰態係數 04/6 ∼ 07/6 167 -0.0009 0.004 0.761 1.363 04/6 ∼ 12/5 429 0.0038 0.008 0.657 4.039. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. 圖 3.3: iTraxx Europe 指數 04/6-07/6 報酬率分配圖 從樣本報酬統計量中, 可觀察出金融風暴前,iTraxx Europe 指數平均而言有下降趨 勢, 變動程度較低且報酬分配為低闊峰。 而在考量 2008 年金融風暴與 2011 歐債危機後, 則 可看到 iTraxx Europe 指數平均有上升趨勢, 變動程度變得較大且報酬分配呈現高狹峰。. 29.
(38) 圖 3.4: iTraxx Europe 指數歷史報酬率分配圖. 政 治 大. 透過第二章介紹之最大概似法, 可得以下參數估計結果:. 立. 表 3.3: Variance-Gamma 最大概似法估計參數. ‧ 國. 學. ‧. 資料期間 θ υ σ ω 04/6 ∼ 07/6 0.065949 0.454302 0.112981 -0.02131 04/6 ∼ 12/5 0.293521 0.537475 0.278278 -0.02129. sit. y. Nat. er. io. 由上表我們可以看到, 利用金融風暴前 iTraxx Europe 指數歷史報價進行校準之. n. 參數, 無論是峰態、 偏態或是波動度參數 , 皆低於考量金融風暴與 2011 歐債危機時期之 a. iv l C n hengchi U. iTraxx Europe 指數歷史報價校準結果。. 3.2 信用違約損失模型參數校準. 本節透過第二章介紹之信用傳染模型校準與信用擔保債權憑證分券評價方法, 針對表 3.1 所述 iTraxx Europe 10 年期市場價格校準後進行分券評價。 校準結果如下表 3.4: 表 3.4 中, 可以特別注意到於不同時間下βs ,βc 校準結果之差異。 我們可以看到利用 2012/3/30 之 iTraxx Europe 分券報價校準得到之βs ,βc 等代表叢聚違約風險參數結果, 相較於利用 2007/1/31 分券報價所得之校準結果, 無論是系統性風險程度或是傳染性風險程度皆高出. 不少, 可見近期歐洲受到歐債危機之影響, 市場對於叢聚違約風險之擔憂比起金融風暴前 之平穩時期高出不少。. 30.
(39) 表 3.4: 信用傳染違約模型校準參數結果 資料期間 α θ 2007/1/31 8.05235 0.02642 2012/3/30 1.98047 0.05770 θsys σsys 2007/1/31 0.59797 0.23687 2012/3/30 0.49048 0.49907. σ 0.20375 0.50610 βs 0.48027 3.03662. κ 8.86801 1.98926 βc 1.70173 1.86697. 同時我們從以上校準結果, 又可得到此信用違約傳染模型推算之擔保債務憑證分券價 格與其跟市價之開根均方誤, 如下表 3.5: 表 3.5: 信用違約傳染模型擔保債務憑證價格與開根均方誤. 政 治 大 起賠點 止賠點 2007/1/31 2012/3/30 立 0.03 45.08% 71.97% 0. ‧ 國. 42.01% 31.44% 326.89 17.73 102.52 0.0186. er. io. sit. y. Nat. 411.35 135.80 38.65 3.51 42.18 0.0120. ‧. 0.06 0.09 0.12 0.22. 學. 0.03 0.06 0.09 0.12 index RMSE. 同時, 在推導模型價格時, 可得到 iTraxx Europe 信用組合不同時點下之期望損失,. al. n. 如下圖 3.5:. Ch. engchi. i Un. v. 圖 3.5: 不同時點之iTraxx Europe 信用組合期望損失. 31.
(40) 由圖 3.5 可見,2007 年市場價格隱含之信用組合期望損失, 整體而言較 2012 年市場價 格隱含之期望損失為低, 同時隨時間過去, 此兩時點之期望損失差距逐漸變大, 可知長期 下 2012 年市場價格隱含之平均損失率不容小覷。 此外我們也可由 2.3 節所介紹之信用違約損失模型, 針對不同時期下之校準參數推導 出 iTraxx Europe 信用組合之隱含損失分配, 如下圖 3.6 與 3.7:. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學 y. Nat. n. al. er. io. sit. 圖 3.6: iTraxx Europe 2007/1/31 隱含信用組合損失分配. Ch. engchi. i Un. v. 圖 3.7: iTraxx Europe 2012/3/30 隱含信用組合損失分配. 32.
(41) 由上圖 3.6 與 3.7 可知,2012 年 iTraxx Europe 市場價格校準隱含之損失情形, 比起 2007 年市場價格校準隱含之損失情形更為嚴重。 而為仔細觀察兩時期不同時點下之損失. 分配, 我們將兩時期之損失分配各取出第一年、 第五年與第十年之損失分配, 以比較兩者 之差異如下圖 3.7:. 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. 圖 3.8: iTraxx Europe 不同時點隱含信用組合損失分配. ‧. 由上圖可見,2012 年市場價格校準參數之隱含損失分配, 損失情形都較 2007 年市價校. sit. y. Nat. 準結果更為嚴重, 分配皆更向右方移動。 平均而言,2012 年市價校準所產生之平均損失為. io. n. al. er. 2007 年市價校準平均損失的兩倍。. Ch. engchi. 33. i Un. v.
(42) 3.3 固定比例債務憑證評價與風險分析. 在此節中, 我們將前兩節所得之校準參數, 代入 2.2 節與 2.3 節所述之信用指數價差與信用 違約損失模型, 再利用 3.1 節之固定比例債務憑證基礎模型, 進行評價與風險分析。 在此, 我們將討論在不同時點下之歷史信用市場資料所得校準參數, 其評價結果有何 不同, 同時兩者風險分析結果將會有何種差異。 因此以下將分為兩小節, 首先 3.3.1 小節為 僅考慮價差風險下之評價與風險分析結果,3.3.2 小節則為同時考慮價差與違約風險下之評 價與風險分析結果。 在進行固定比例債務憑證評價前, 在此先介紹此產品所需基本假設, 固定比例債務憑 證到期日為十年, 名目本金為十億美元, 其餘設定如下表 3.5:. n. y. sit. er. io. 十年 十億美元 0.035 1% 本金 無風險利率+200bp 每季 10% 本金 iTraxx Europe 正負 25% 1.7 iv n 15 U. ‧. Nat. 到期日 本金 無風險利率 手續費 票面利率 付息頻率 Cash-out 門檻 連結信用指數 槓桿調整容忍範圍 al 槓桿倍數 Ch 槓桿倍數上限. 學. ‧ 國. 政 治 大 表 3.6: 固定比例債務憑證基本假設 立. engchi. 3.3.1 考慮價差風險下之評價與風險分析. 在此小節中, 首先我們進行以金融風暴前 iTraxx Europe 指數市價進行校準估計之評價 與風險分析。 利用第二章介紹之 Variance-Gamma 信用價差模型與固定比例債務憑證評 價公式, 代入 3.1 節所得之校準結果進行蒙地卡羅模擬, 下表為評價結果:. 34.
(43) 表 3.7: 固定比例債務憑證利用2007 年 前市價校準之評價結果-以五個子分券為 例. *. 分券. 價格. 0-3% 3-6%. 77.19% 391.71(b.p.). 6-9%. 221.78(b.p). 9-12%. 122.46(b.p). 12-22% index. 15.59(b.p) 30.19(b.p.). 其中校準資料時點為 2004/6-2007/6, 模型模擬次數為 10000 次. 政 治 大. 由表 3.6 內固定比例債務憑證指數價格, 可以見模型評價此產品價格較實際票面利率. 立. 為低, 代表在僅考慮價差風險下, 利用 2007 年之校準資料進行評價, 實際風險貼水較商品. ‧ 國. 學. 給付的為低。 同時由各分券價格可知, 固定比例債務憑證之期望損失應如預期縮減, 使得 高風險之權益分券價格仍有意義。. ‧. 而進行固定比例債務憑證評價時, 同時會得到此商品不同時點下之期望損失, 如下圖:. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. 圖 3.9: 固定比例債務憑證利用2007 年前市價校準之期望損失 由圖 3.8 可見期望損失隨著時間經過逐漸減低, 代表債券之價格目標缺口隨著時間順 利縮小, 平均而言完成商品承諾價值之比例相當高。 而為進一步分析商品是否能達成承諾 目標, 我們在此進行各項風險分析如下表:. 35.
(44) 表 3.8: 固定比例債務憑證利用2007 年 前市價校準之風險指標. *. 風險指標. 數值. 平均 Cash-in 時間 違約機率 停損機率 違約時之本金損失率 VaR99% CVarR99% 年化報酬率. 5.43 年 7.46% 0.25% 2.141% 50.95% 72.55% 6.395%. 上表 VaR99% 為於 99% 信心水準下之 風險值。 CVaR99% 為給定 VaR99% 下, 尾端 1% 平均風險值。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. 圖 3.10: 固定比例債務憑證利用2007 年前市價校準之 Cash-in 分配 而由表 3.8 可發現, 利用 2007 年市場資料校準參數所得之模擬結果, 固定比例債務憑 證平均而言會於第六年前獲利了結, 將主動式部位全數平倉轉入無風險帳戶, 而無法達成 到期時約定價值之違約機率為 7.46%, 若以 S&P CDO 評價分級表進行分類, 此產品應為 BBB-。 同時平均而言違約時本金損失率僅有 2.141%, 代表即使到期時無法達成負債目標,. 但距目標金額並不遠。. 36.
(45) 而由風險值與條件風險值來看, 當市場處於極端 1% 情況時, 本金之風險值為 50.75%, 即為本金會損失 50.75%。 而在超越極端 1% 情況下, 平均而言本金將會損失 72.55%。 此代 表以金融風暴前校準資料進行風險評估時, 固定比例債務憑證之下方風險仍在可容忍範圍 內, 並未觸及到 10% 本金之 Cash-out 門檻。 而由年化報酬率來看, 也可得到考慮違約風 險下, 此產品實際報酬率如同其保證票面利率之結果。 而以 2007 年前 iTraxx Europe 指數市價校準參數進行評價後, 從各項數據我們皆可 得到此產品雖有一定風險, 但整體而言其獲利會達到其承諾。 因此接續我們利用包含金融 風暴時期之 iTraxx Europe 指數價差校準參數, 試圖解析考慮市場變動相當大之情況下, 固定比例債務憑證之評價與風險分析。 在此我們同樣利用第三章 Variance-Gamma 價差 模型, 代入 3.1 節所得歷史校準資料進行蒙地卡羅模擬, 下表為評價結果:. 立. 政 治 大. n. 價格. 0-3%. 99.64(%). 3-6% 6-9%. 99.72(%) 99.72(%). 9-12%. 99.81(%). 12-22%. 99.31(%). index. 1709.8(b.p.). Ch. y. sit er. io *. 分券. ‧. Nat. al. 學. ‧ 國. 表 3.9: 固定比例債務憑證利用至今所有 市價校準之評價結果-以五個子分券為例. i Un. v. 其中校準資料時點為 2004/6-2012/5, 模型模擬次數為 10000 次. engchi. 由表 3.9 可見考慮金融風暴時期價差變動下, 模型評價固定比例債務憑證價格將會比實際 票面利率為高, 代表在考慮高價差波動下, 實際風險貼水將會較商品給付票面利息為高。 同時又由其他分券價格可知, 此產品之期望損失應不會如預期般回落, 導致幾乎所有分券 全數違約, 產生極高之分券價格。. 而在此情境下固定比例債務憑證之期望損失, 可由下圖 3.11 得知:. 37.
(46) 圖 3.11: 固定比例債務憑證利用至今所有市價校準之期望損失. 政 治 大 而由利用至今所有 iTraxx Europe 指數市價校準資料產生固定比例債務憑證之期望 立. 損失來看, 可見其與僅校準金融風暴前價差資料之期望損失之差異。 原先圖 3.8 可見期望. ‧ 國. 學. 損失穩定下降之情況, 在圖 3.10 則變為期望損失持續擴大, 代表在此情境下固定比例債務 憑證在期末時將有很高的機率違約。 若進一步分析其他風險指標, 可見下表:. ‧ sit. y. Nat. er. io. 表 3.10: 固定比例債務憑證利用至今所有市 價校準之風險指標. n. al. 風險指標 數值 n i C h e n時間 i U年 平均 Cash-in g c h 5.62. v. 違約機率 85.42% 停損機率 79.41% 違約時之本金損失率 94.03% VaR99% 243.67% CVarR99% 321.12% 年化報酬率 -0.10% *. 上表 VaR99% 為於 99% 信心水準下之風險 值。 CVaR99% 為給定 VaR99% 下, 尾端 1% 平 均風險值。. 38.
(47) 圖 3.12: 固定比例債務憑證利用至今所有市價校準之Cash-in 分配. 治 政 大 由表 3.8 則可發現, 利用 2012 年市場資料校準參數所得之模擬結果 , 固定比例債務憑 立 證雖然平均而言仍會於第六年前獲利了結, 但由於無法達成到期時約定價值之違約機率高. ‧ 國. 學. 達 85.42%, 其中有 79.41% 之機率會觸及本金不足 10% 之 Cash-out 門檻而提前違約, 這 代表僅有 14.58% 之機率能獲利了結的情況下, 平均 Cash-in 時間在此並無多大意義。 而. ‧. 此時以 S&P CDO 評價分級表進行分類, 此產品應為 D。. 同時平均而言違約時本金損失率為 94.03%, 代表違約時幾乎為大量損失導致 Cash-. y. Nat. sit. out 之情形。 而由風險值與條件風險值來看, 當市場處於極端 1% 情況時, 本金之風險值. al. er. io. 為 243.67%, 即為本金會損失 243.67%。 而在超越極端 1% 情況下, 平均而言本金將會損失. n. 321.12%。 此代表以包含金融風暴時期校準資料進行風險評估時, 固定比例債務憑證之下. iv. 方風險非常巨大。 此現象與前幾個月 C J.P Morgan 於 CDX U n 信用指數部位大幅損失之情. he. i. n g c h, 而導致賣方部位產生大幅損失, 同時 況相同, 皆作為信用指數賣方因信用指數大幅上升 又因此商品信用指數部位最多可放大槓桿至本金之 15 倍, 進而使得損失難以估計。 而由年. 化報酬率來看, 也可得到-0.10% 之負報酬。 以上結果皆顯示出, 即使在僅考慮價差風險下, 劇烈的信用價差波動即會導致固定比 例債務憑證大幅的提前違約, 同時下方風險十分之可觀。 也顯示出金融風暴前, 各方金融 機構與學術單位, 對於固定比例債務憑證之價差變動評估過於保守, 導致給予此產品時過 高之評價。 而完成考慮僅價差風險之評價與風險分析後, 下一小節我們將分析同時考慮價差風險 與違約風險下, 固定比例債務憑證之評價與風險將會如何變動。. 39.
(48) 3.3.2 考慮價差風險與違約風險下之評價與風險分析. 結束上一小節後, 接著我們除了考慮信用指數波動產生之價差風險外, 另額外考慮第二章 介紹之違約傳染模型模擬信用指數組合產生違約之情形, 以符合此商品實際可能產生之風 險面, 進而進行固定比例債務憑證之評價與風險分析。 在此同樣我們先以金融風暴前 iTraxx Europe 指數市價歷史時間序列, 進行價差模 型參數校準估計, 另外再以 2007/1/31 之 iTraxx Europe10 年期分券報價進行信用違約 傳染模型參數之校準, 其結果如同 3.1 與 3.2 節所示, 最後代入第二章所介紹之評價模型進 行蒙地卡羅模擬, 下表為評價結果:. 政 治 大. 表 3.11: 考慮違約風險下 利用2007 年前市價校準評價結果-以五個子分券為例. 0-3%. 99.64(%). 3-6%. 99.72(%). 6-9% 9-12%. 99.72(%) 99.81(%). 12-22%. 97.27(%). 指數. 649.81(b.p.). sit. y. ‧. Nat. n. al. er. 其中信用價差校準資料時點為 2004/6-2007/6 分券資料時點為 2007/1/31 模型模擬次數為 10000 次. io. *. 價格. 學. ‧ 國. 立 分券. Ch. engchi. i Un. v. 而由表 3.11 中, 可以見到雖然模型評價固定比例債務憑證價格較實際票面利率相差 不大, 但在多考慮違約風險下, 價格由原先僅考慮價差風險下之 30 個基本點上升至 649 個 基本點, 差異超過 20 倍, 此現象意味著原先僅考慮價差風險之模型大幅低估了此產品之風 險。 同時各個分券價格由於期望損失不會回落, 導致其價格居高不下。. 同樣地, 進行固定比例債務憑證評價時, 會得到此商品不同時點下之期望損失, 如下 圖 3.13:. 40.
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