應用模糊詮釋結構分析國小一年級數與量分年細目之概念次序結構

國立台中教育大學教育測驗統計研究所理學碩士論文

指 導 教 授：

林原宏

博士

應用模糊詮釋結構分析國小一年級數

與量分年細目之概念次序結構

研 究 生：李玉貞 撰

中 華 民 國 九 十 七 年 六 月

謝辭

經歷了幾年穩定的教職生涯，很希望能多充實自己的生活，因此決定 重拾書本，重新體驗學生活。 由衷的感謝我的指導教授林原宏老師，在這兩年的學習生涯中，耐心 的指正與教導。而林老師追求學問嚴謹的態度，是我們學習的典範。也謝 謝口試委員楊敏生教授與洪文良教授給予懇切的建議，使論文內容更加充 實。也謝謝這兩年中所有的授課老師，你們的傾囊相授，令我銘記於心。 也很感謝所有協助施測的班級教師與學生們，使本研究能順利進行。 感謝測驗統計研究所的同學們彼此之間的相互扶持，在這兩年中，有 你們的幫助與包容，使我辛苦的研究生活，有著最快樂的回憶。也感謝學 校的同仁好友，有你們的體諒與支持，讓我能順利的完成我的學業。 生活就是不斷面對挑戰與學習，這兩年雖然辛苦，但生活中也獲得許 多充實與喜悅。願將這份喜悅與所有默默關心我的人共同分享。

中文摘要

本研究旨在應用模糊詮釋結構模式分析法，根據察覺模糊邏輯模式 (fuzzy

logic model of perception, FLMP) 測量和試題反應理論 (item response theory,

IRT) ，以模糊截矩陣 (alpha cut) 之 ISM 演算，分析個人化知識的階層結構，此

分析方法不受二元計分所限制。本研究針對台灣省中部台中縣、台中市、彰化縣、 雲林縣和苗栗縣的國小共 1007 名ㄧ年級學童為研究對象，探討個人化的數學學 習領域數與量分年細目知識之概念階層結構，研究者比較總分相同但反應組型不 同的受試者之概念階層結構異同；並檢定不同能力值學童的概念結構圖與專家的 概念結構圖間差異性。研究結果臚列於下數點： 一、模糊詮釋結構模式分析法可有效的分析個人化的概念結構。 二、學童的概念結構圖會因其能力值的不同而異。 三、試題概念屬性的 ISM 圖會因受試者能力值之不同而異。 四、總分相同但反應組型不同的受試者，其知識結構不盡相同。 五、概念間的連結關係分析，可提供教學者做教材呈現、認知診斷的參考。 六、不同能力組別的相似性係數均有顯著差異。 本研究之結果與發現，有助於教學者瞭解一年級學童在數學學習領域數與量 分年細目的知識結構，以及實施補救教學或小組教學之參考。最後，根據研究心 得，研究者提出對未來研究相關建議。 關鍵字：數與量、詮釋結構模式、試題反應理論、模糊理論

Abstract

The purpose of this study was to apply the Fuzzy Approach of Interpretive Structural Model (FAISM) , based on Fuzzy Logic Model of Perception (FLMP) , Item Response Theory (IRT) and the algorithm of Interpretive Structural Model (ISM) of fuzzy alpha-cut, to the analysis of the individualized concept structure. In order to explore the individualized structure of Numbers and Quantities, the researcher first tested 1007 first graders of elementary schools by using self-designed Numbers and Quantities test. Secondly, the researcher compared the ISM graphs of the examinees who got the same scores with different response patterns.

Through the procedures of the analysis, the following conclusions were found. 1. The FAISM was a feasible way for analyzing the concepts structures.

2. The ISM graphs of examinees varied based on different abilities. 3. The concept structures in each item varied with different-ability.

4. The ISM graphs were different for those who have the same total scores but different response patterns.

5. The links among concepts could be as references for group teaching and remedial instruction.

6.The similarity indices of ISM graphs of examinees with different-ability were significantly different.

The findings of this study should be helpful for understanding the learning process of Numbers and Quantities and as references for remedial instruction or group teaching. Finally, some recommendations and suggestions for future research are provided.

Keyword: Numbers and Quantities, fuzzy theory, interpretive structural modeling, item response theory.

目錄

第一章 緒論... 1

第一節 研究動機...1 第二節 研究目的...3 第三節 名詞解釋...3

第二章 文獻探討...5

第一節 模糊理論與模糊集群分析...5 第二節 模糊詮釋結構模式分析法...10 第三節 試題反應理論...18 第四節 知識結構的測量理論...22

第三章 研究方法... 39

第一節 研究架構...39 第二節 研究對象...40 第三節 研究工具...41 第四節 資料分析...46

第四章 研究結果與討論…... 49

第一節 不同能力值的 ISM 圖之比較 ...49 第二節 分析不同能力值受試者在試題內概念屬性的 ISM 圖之比較 ...57 第三節 模糊集群分析法分析數與量分年細目之概念 ISM 圖...61 第四節 答對題數相同但反應組型不同的概念 ISM 圖之比較 ...64 第五節 不同能力值受試者的 ISM 圖之相似性係數之比較 ...70

第五章 結論與建議... 73

第二節 研究限制...75 第三節 建議...76

參考文獻 ... 79

壹、中文部分...79 貳、日文部分...82 參、英文部分...82

附錄一 正式施測工具...89

附錄二 不同能力受試者代表的模糊關係矩陣...91

附錄三 不同集群受試者代表的模糊關係矩陣...92

附錄四 答對題數相同但反應組型不同受試者代表的模糊關係矩

陣...93

附錄五 計算個人化 ISM 圖的 SAS/IML 原始碼...95

附錄六 計算個人化 ISM 圖相似性係數的 SAS/IML 原始碼...99

表目錄

表 2-1 試題反應理論常用之模式 ………... 20 表 2-2 三個網路中部分節點的圖形理論距離值 ... 27 表 2-3 網路一和網路二的 PFC 指數之計算 ... 28 表 3-1 施測學校資料一覽表 ………...40 表 3-2 一年級數與量分年細目 ………...41 表 3-3 預試資料之難度與鑑別度分析一覽表...42 表 3-4 試題與概念屬性之關係矩陣 ...43 表 3-5 正式施測工具之分析 ...45 表 4-1 不同能力值的受試者代表之答題情形 ...49 表 4-2 A、B、C 三受試者之概念屬性截矩陣 (α= .60) …...50 表 4-3 不同能力值組在每一分年細目之平均通過率 ...53 表 4-4 個人化的試題內概念屬性階層結構 ... 58 表 4-5 模糊集群分析法-各分年細目之群中心...61 表 4-6 D、E 二位受試者之答題情形 ...62 表 4-7 D、E 二位受試者之概念屬性截矩陣 (α= .60)...62 表 4-8 依能力值分群與模糊集群分群之人數關係表...64 表 4-9 答對題數相同但反應組型不同的受試者之答題情形 ...65 表 4-10 答對題數相同但反應組型不同的受試者之概念屬性截矩陣 ...65 表 4-11 不同能力值組的相似性係數之 t 檢定摘要表 ...70 表 4-12 相似性係數之二因子變異數分析摘要表 ...71 表 4-13 不同組別 ISM 圖之相似性係數事後比較摘要表 ...71

圖目錄

圖 2-1 ISM 圖的繪製 ... 14 圖 2-2 概念圖計分例子.. .... ...25 圖 2-3 接近性矩陣與徑路搜尋法 ... 27 圖 2-4 網路一和網路二、網路三之 PFC 和 GTD 指數... 27 圖 2-5 知識空間 K 的學習路徑圖... 35 圖 3-1 研究架構圖... 39 圖 4-1 A 受試者分年細目之概念 ISM 圖 ... 52 圖 4-2 B 受試者分年細目之概念 ISM 圖... 52 圖 4-3 C 受試者分年細目之概念 ISM 圖... 52 圖 4-4 不同能力值組在每一分年細目之概念精熟度...52 圖 4-5 模糊分群之各組在每一分年細目之概念精熟度...62 圖 4-6 D 受試者分年細目之概念 ISM 圖...63 圖 4-7 E 受試者分年細目之概念 ISM 圖...63 圖 4-8 F1、F2 受試者分年細目之概念 ISM 圖 (低能力組) ...68 圖 4-9 G1、G2 受試者分年細目之概念 ISM 圖 (中能力組)...68 圖 4-10 H1、H2 受試者分年細目之概念 ISM 圖 (高能力組) ...68

第一章 緒論

知識的本質是概念結構，若學習者將知識予以有效的組織和分析，就會獲得 有效及意義化的學習。教學者若能掌握學習者的概念結構，引導學習者產生完整 的概念結構，則有助於瞭解學生思考歷程、提高學生學習效果、激發學生學習興 趣。本研究欲探討國小一年級學生在數學學習領域數與量分年細目個別化概念結 構，以提供教學者在此分年細目的教學效果和學習者增進學習效果之參考。 本章旨在闡述本研究之研究動機、目的並對本研究所提及之相關名詞作釋 義。

第一節 研究動機

我國國民中小學九年一貫課程綱要中，將數學學習領域的教學內容分為數與 量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題。數與量在國民教育的數學課程 中具有最重要的位置，其主要概念的形成以及演算能力的培養均奠基於國小階段 (教育部，2003) 。 既然數與量概念學習在國小數學課程的學習上是如此重要，故教學者就必須 選用適切的評量方法來了解學習者是否具有正確的概念。此種評量方法，一方面 應能測量出學習者的學習現況外，另一方面也必須提供學習者學習缺失的診斷訊 息，以利教學者進行有效的補救教學。 而概念結構分析方法不但能評量出學習者的學習現況，也能提供教學者有關 學習者學習缺失的診斷訊息，對於學習者在學習上具有正向的幫助 (Holley & Danserean, 1984) 。故作為了解學習者是否具備完整正確的概念不失為一種可行

而模糊集群分析法，是「根據元素之間的類似或相似程度，加以分類」，即 相似度高的元素歸為同一個集群。所以，其終極目標，是希望「集群內元素同質 性高，而集群間的元素異質性高」。藉由模糊集群分析法，將學生依其概念精熟 度分群，可將學童分成數群，以利教學者進行有效的補救教學。

在心理計量領域，有關測量學生學習知識後的概念階層結構之分析方法很 多，常見的有概念構圖 (concept mapping) 、次序理論 (ordering theory, 簡稱

OT) 、詮釋結構模式 (interpretive structural modeling, 簡稱 ISM) 、徑路搜尋法

(pathfinder) 、試題關聯結構 (item relational structure, 簡稱 IRS) 和規則空間 (rule

space) 等。這些研究方法的主要目的是欲從元素或試題間關係的資料中，試圖找

出有意義的上下從屬關係，來說明整體受試者的概念特性。其中，ISM 是一個相 當重要又有效的方法。ISM 方法是由 Warfield (1976) 根據元素之間的關係矩陣， 所提出一種將元素階層化表示的方法。它原是被運用在社會系統工學 (social

system engineering) 中，彙整訊息的建模方法。數年後，Warfield (1982) 進而提

出了 ISM 在社會學、人類學、心理學及哲學等其他領域的應用。有關 ISM 分析 法的實證研究，國內亦有許多教育學者提出 ISM 運用在教育領域中課程與學習的 應用之實例 (許天維、林原宏，1994；鍾靜蓉，2002) ，發現 ISM 分析法不但可 以讓教學者將腦裡抽象的教學內容轉變為具體的關聯結構階層圖，還能透過學習 者學習知識後的概念間之關係，知悉其整體概念的階層結構。 不過 ISM 分析法中的元素關係只限於二元關係，並且只能得到整體受試者的 概念結構圖，使其在應用上大受限制。阮亨中、吳柏林 (2000) 認為在人文與社 會科學的測度裡，以模糊相關性來描述概念或解題能力單位元素的階層結構關 係，是一個較為合理並能充分的分析與解釋複雜關係的方法。 基於上述，本研究欲以數學學習領域數與量分年細目為例，運用林原宏 (2005) 所提出的模糊詮釋結構模式分析法，基於模糊觀點的察覺的模糊邏輯模式

資料，進行模糊關係矩陣詮釋結構模式分析，繪製出受試者個別化的 ISM 圖， 並分析與比較個別受試者的數與量知識之模糊概念結構。

第二節 研究目的

基於上述，本研究的主要目的包含： 一、探討國小一年級學童在數與量分年細目知識上的模糊概念結構特徵。 二、探討國小一年級學童在不同能力值下，其數與量分年細目的模糊概念結構圖 之特徵與異同。 三、分析不同能力值的受試者，其試題內概念結構圖之異同。 四、比較不同能力組間，其數與量分年細目概念結構圖的相似性係數之差異。 五、分析傳統計分相同但反應組型不同之受試者，其模糊概念結構圖與試題內概 念結構圖之異同。

第三節 名詞解釋

本研究中所涉及的名詞，分別說明與界定如下： 一、試題反應理論

試題反應理論 (item response theory, 簡稱 IRT) 又稱為潛在特質理論 (latent

trait theory) ，是將受試者在試題上的作答情形與其在潛在特質，藉由一條連續遞

增的曲線來加以說明試題內在特性 (難度、鑑別度、猜測度) 和受試者個人潛在 特質 (能力值) 的關係。

的結果無法符合傳統的二元邏輯，並非在「是」與「非」之間選擇其一，而是介 於是與非之間。因此，處理實際問題時，主要是將普通集合「非此即彼」的絕對 隸屬關係加以擴充，是利用隸屬函數 (membership function) 的觀念，以具有某種 程度的真實性來描述該集合之屬性，進而實現定量刻畫不確定性問題之模糊性 質。 三、詮釋結構模式

詮釋結構模式 (interpretive structural model, 簡稱 ISM) 是由 J. N. Warfield 於

1976 年提出，原本是社會工學上的一種系統結構模型法 (structure modeling) ，

只適用於二元資料的分析，它衍生自圖形理論和離散數學，再和數學概念、行為 科學結合，透過二維矩陣 (binary matrices) 的數學運算，將各元素間看似非常複 雜的關係，系統的、扼要地呈現出全部元素間的關聯性。

四、模糊詮釋結構模式

模糊詮釋結構模式 (fuzzy approach of interpretive structure modeling) 法係由 林原宏 (2005) 所提出，主要是應用察覺的模糊邏輯模式 (fuzzy logic model of

perception) ， 並 結 合 試 題 反 應 理 論 (IRT) ， 來 計 算 概 念 間 上 下 從 屬 關 係

(subordination relation) 之機率，其機率構成一模糊關係矩陣，透過 AISM 軟體進

行 α-cut 截矩陣分析，並同時繪製出個別受試者概念階層結構圖，優點是利用模 糊理論的截矩陣和察覺的模糊邏輯模式來改進傳統詮釋結構模式無法圖繪出個 人化概念結構和只能處理二元資料之限制。 五、專家概念結構圖 以所有試題全部答對的受試者之概念結構圖做為專家參照。 六、低、中、高三組能力值 以全體受試者能力值的平均值之上下一個標準差做為臨界點，將受試者依其 能力值區分低、中、高三組。

第二章 文獻探討

第一節 模糊理論與模糊集群分析

壹、模糊理論之基本定義

「模糊」一詞乃是指「不分明」、「不明確」、「界線不清」之意 (九章編輯部， 1989) ，人類的思維、語言和決策，因為它們都有模糊和非定量化的特質，故不 適用於傳統二元邏輯的分析，若硬要把不是十分確定的現象用傳統二元邏輯強行 分類，就容易產生謬誤的結論。因此美國加州大學柏克萊分校教授 L. A. Zadeh (1965) 提出了模糊理論的概念。 模糊理論 (fuzzy theory) 是近代數學理論的一支。其所描述的模糊性乃是隸 屬度上的不確定 (楊敏生，1994) 。其主要原理是將輸入值依照預定的隸屬度函 數給予一個0 到1 的隸屬度。使得邏輯的輸出值不只是0 與1 兩種選擇。自從 Zadeh (1965) 提出模糊理論以來，打破了二元的現象描述方法，以隸屬度的觀點來描 述現象，模糊集合不僅跳出了傳統集合的排中律限制，可將人類思維和概念過渡邊 界以數學方式表達及運算；另一方面，也擴展了不確定性的現象，將隨機性所無法 表達的另一種稱之為模糊性的不確定性呈現出來 (楊敏生，1996) 。因此，模糊理 論成為工程、人工智慧、統計方法論等領域的新秀，近年來，更逐漸影響社會 科學的資料分析 (Law, 1996; Law, 1997) 。在教育與心理上，亦有逐漸興起之勢 (何偉雲，1996；劉湘川、簡茂發，1992) 。 模糊理論是將元素 x 和集合 A 之間關係用介於[0,1]的隸屬度來描述，而隸屬 度函數A

 

x 和截集 ( -cut) 的定義說明如下： 【定義 2-1】令 U 表示全域 (universal set) ，

 

x 表示 0 到 1 之間的函數，則 U

的程度。可表示成： X=



x₁,x₂,...,x_n



A=

 

 

 

n n A A A x x x x x x       ... 2 2 1 1 【定義 2-2】模糊子集 A 的 截集定義為：

 







,0 1      x x A A A 的截集的隸屬度函數_A

 

x 為：          ) ( , 0 ) ( , 1 ) ( A A x u x u x uA 貳、模糊關係矩陣與模糊截矩陣 兩個集合元素之間的相似程度，稱之為模糊關係，可用模糊矩陣 (fuzzy matrix) 來表示。假設論域 X 有 m 個元素，論域 Y 有 n 個元素，則用來描述 X

與 Y 兩集合元素間關係模糊關係矩陣 (fuzzy relation matrix) 可表示為：

 

ij _{m n} mn m m n n r r r r r r r r r r R  _                     2 1 2 22 21 1 12 11 其中r_ij  f_R

 

x,y :X Y 

 

0,1 在給定 值之情形下，可進行模糊關係矩陣之截矩陣運算，亦即： J I ij r R ( ) _ 且             ij ij ij r r r , 0 , 1 ， 其中 0 1 參、模糊集群分析 集群分析又稱聚類分析，其主要目的是「根據元素之間的類似或相似程度，

所以，其終極目標是希望「集群內元素同質性高，而集群間的元素異質性高」。 傳統的集群分析常以「距離」 (distance) 來表示元素之間的相似度，而距離的定 義方式亦頗多，如歐氏距離 (Euclidean distance) 、明可夫斯基距離 (Minkowski

distance) 、馬氏距離 (Mahalanobis distance) 等。而依其目的之不同，又可區分

為 階 層 集 群 分 析 (hierarchical clustering method) 和 非 階 層 集 群 分 析

(non-hierarchical clustering method) 。 階 層 集 群 分 析 基 本 上 又 可 分 為 分 裂 法

(division method) 和凝聚法 (agglomerative method) ，一般較常見的是凝聚法；而

非階層集群分析則以 k 平均法 (k-means) 較為常見 (林原宏，1996) 。階層集群 分析中，要決定集群與集群 (或樣本) 之間的距離，其方法並不唯一，常見的方 法 如 最 短 距 離 法 (nearest neighbor method) 、 最長矩離法 (furthest neighbor

method) 、群平均法 (group average method) 、Ward 法 (Ward's method) 。

把集群分析和模糊理論兩者的概念結合起來，即為模糊集群分析。在模糊集 群分析中，隸屬度是決定元素之間距離的重要因素。根據模糊理論所進行的集群 分析方法很多，其方法各有其特性，最常見的目標函數法(FCM)是應用性很廣的 方法，可描述每位個體的隸屬度。以下敘述目標函數法的計算方式。 基本上，目標函數法是非線性最佳化 (non-linear optimality) 的數學規劃方 法，Dunn (1974) 首先以目標函數的極小值方法，引入模糊集群之概念。其後， 致力於此領域研究的學者已導出多種不同的目標函數，但其基本的準則是不變 的。 假設欲分析之個體有N位，以n1,2,3,,N表示，每位個體有M 個變項，以 M m1,2,3,, 表示。資料矩陣表示如下：

 

nm N M NM N N M M x x x x x x x x x x X                       2 1 2 22 21 1 12 11

             u u u u u u u u u U CN C C N N        2 1 2 22 21 1 12 11 =

 

cn _C_N 各類別之中心為：

 

cm C M CM C C M M v v v v v v v v v v V                       2 1 2 22 21 1 12 11 定義一個目標函數，根據此目標函數求其極小值。在目標函數法中，目標函 數有數種的定義方式，而使用最廣的是下列的目標函數 (Lin, Wang, & Chen,

2006) ： ) , ( ) ( ) , ( 1 1 2 n c d u V U J N n C c cn q q



   其中：



   M m cm nm v x n c d 1 2 2 ) ( ) , (

q值影響隸屬度值，即硬分割 (hard partition) 或軟分割 (soft partition) 的程

度，q值愈大，則分割愈模糊；q值愈小，則分割愈明確 (Zimmermann, 1991) 。 q值在經驗上取q



1.25,5



較佳。 以 Lagrange’s multipliers 方法，求Jq(U,V)之極小值。令：















               _        _        _   N n C c cn n N n C c M m cm nm cn q N n C c cn n N n C c cn q u v x u u n c d u F 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) , ( ) (   針對參數進行偏微分求極值，得到：



      C c cn n u F 1 0 1 ) (  0 ) , ( ) ( 1 2       n cn q cn n c d u q u F



2( )



2 ( ) ( ) 0 ) ( 1 1         

_

_

  v x u v x u v F cm nm N n cn q cm nm N n cn q cm 上述三個方程式所求得的參數ucn、vcm之關係式為：

 









































           C l M m lm nm q M m cm nm q C l q cn v x v x n l d n c d u 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 ₁ 1 ) ( 1 ) ( 1 ) , ( ) , ( 1





   _N n cn q N n nm cn q cm u x u v 1 1 ) ( ) ( ) ( 若： 0 ) ( 1 2_ 



 M m cm nm v x 則： 1  ucn 且 uc'n0 ,  c'c

利用迭代法 (iteration) ，選擇ucn、vcm的起始點 (initial value) 和決定收歛的

標準，並進行迭代，直到_ucn、vcm收歛。最後所得的隸屬度矩陣U和類別之中心 矩 陣V 即 為 所 求 。 目 標 函 數 所 求 得 之 極 小 值 ， 可 能 是 局 部 極 小 值 (local minimum) ，因此可考慮由不同之起始值來估計參數。 以上是在類別數為C的情況下，至於類別數之選擇，則需研究者根據有意義 的外在標準；或參考適當之指標，根據指標以決定最佳之類別數。對於最佳類別 數之決定，為效度測量 (validity measure) 的問題，是模糊集群方法論上的重要議 題 之 一 。 近 年 來 有 許 多 新 的 指 標 出 現 ， 例 如 ， 模 糊 超 體 積 _FHV (fuzzy

(partition density) 、側影係數SC (silhouette coefficient) (Kaufman & Rousseeuw, 1990) 。使用較廣的兩個指標如下： (一) 分割係數 分割係數 (partition coefficient) F(U;C)定義為：



   N n C c cn u N C U F 1 1 2 ) ( 1 ) ; ( 此數值的範圍是 1  F(U;C)1 C 。在實際應用中，當其較大值時，為較佳的分割數。 (二) 分割亂度 分割亂度 (partition entropy) H(U;C)定義為： ) ( 1 ) ; ( 1 1 cn N n C c cnlnu u N C U H



    ，ucn0 此數值的範圍是0 H(U;C)ln(C)。在實際應用中，當其較小值時，為較佳的分 割數。

第二節 模糊詮釋結構模式分析法

本節首先扼要介紹詮釋結構模式，接著說明其在分析概念之間關係時的限 制，最後闡釋模糊詮釋結構模式的內涵、分析方法及其在分析概念之間關係時的 優點。

壹、詮釋結構模式

詮釋結構模式 (interpretive structural modeling, ISM) 係由 Warfield (1976) 所 提出的，它原是社會學的一種系統構造模型，用來分析一群元素之間的階層順序 關係，藉由 ISM 的分析可以降低結構的複雜度，ISM 透過二維矩陣的數學運算， 產生一個完整的多層級結構化階層 (multilevel structural hierarchy) (Warfield,

1973, 1974, 1977) 。運用在教學上時係利用圖形的階層有向圖，來描述課程中各 教材要素間的前後順序、教學者腦中各教材要素間的前後順序以及學習者認知結 構中各教材要素間的前後順序，並可比較三者之異同以做為課程設計、教學安排 和補救教學的參考。 一、ISM 分析法 佐藤隆博 (1987) 在「構造學習法」一書中，使用 ISM 分析法來探討學科內 容的知識架構和其結構表現，首先將學習單元內的教材要素依學習目標明確地細 分出來，接著精確決定全部學習項目間彼此的兩兩相關性，最後透過 ISM 法數學 運算之後，產生構造化教材的一種設計方法。 ISM 分析法推廣至國際間後，鍾靜蓉 (2002) 就經濟學中「需求與供給」單 元為實例，以 ISM 方法進行學習單元的結構分析，渠以電腦軟體迅速建構出學習 單元的「學習地圖」 (learning map) 與「學習路徑」 (learning path) 。劉新萍、 賈勇、胡知、李炳軍、應紀來 (2003) 利用投入產出表中的投入產出關係，分析 研究各產業部門結構，並據以建立 ISM 模型，並利用此 ISM 模型對河南省 1987、

1992 和 1997 年投入產出表中的各工業部門進行實徵研究。林輝泉 (2004) 運用

ISM 在教材設計、教育視導網路化以及國小資訊業務的發展。盧承德、蔡宗潔

(2005) 利用 ISM 方法及模糊集合理論 (fuzzy set theory) ，透過問卷調查方式進

行彙整分析，獲致土方爭議類型與相關因素階層構造，作為土石爭議之參考。王 熙松、劉述舜、張睦雄、梁樾 (2005) 使用 ISM 分析法，透過相互關聯的考量， 建立影響公路邊坡穩定相關資訊與整治方式的層級架構。Saxena, Sushil, and Vrat

(1992) 應用 ISM 法分析印度水泥工業之能源保護 (energy conservation) 計畫中

各元素間的分類和階層結構化。Ravi, Shankar, and Tiwari (2005) 使用 ISM 方法， 將電腦硬體企業逆向物流 (reverse logistics) 的生產性爭議 (productivity issue) 模式化。Lin, Wang, and Chen (2006) 顧客對產品的許多要求項目間的相互依賴

若欲分析的系統內有 K 個元素，且已知其中任意兩元素Ai與Aj的二元關係，

 

aij _{K K} A _ 表示。若a_ij 1，表示A_i從屬於A_j，即A_i為A_j的下階元素；若a_ij 0， 表示A_i不為A_j之下階元素。ISM 分析方法的要點為 (許天維、林原宏，1994) ： 1.矩陣的運算 兩個矩陣A的運算的結果定義為

 

_ij K K KK K K K K a a a a a a a a a a A                (2) ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( 22 ) 2 ( 21 ) 2 ( 1 ) 2 ( 12 ) 2 ( 11 2        2 A 矩陣內的元素 K _{i j iK Kj} k j i kj ik ij a a a a a a a a a 



         2 2 1 1 1 ) 2 ( 上式中和的運算，定義如下：      1 = and 1 = if else 1 0 y x y x      else 0 = and 0 = if 1 0 x y y x 2.傳遞閉包 定義 P A A A A A_ˆ   2  3

，且矩陣 Aˆ 稱為傳遞閉包 (transitive closure) 。

3.可到達矩陣 定義 P P I A I A A A A I Aˆ   2 3  (  ) ，其中I 表示KK 階的單位矩 陣。把如下的矩陣R，稱為可到達矩陣 (reachability matrix) 。 I A A A A A I A I A A A A I A I A R P P P P P                   1 2 3 1 3 2 ) ( ) ( ˆ   4. ISM 圖的繪製 以_A1至A5元素為例 (佐籐隆博，1987) 。這五個元素之關係，假設可用矩陣 A表示；經過上述的傳遞閉包運算後，則相對應的可到達矩陣為R，分別為：

                 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 A                 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 R= 為便於繪製 ISM 圖 ，將矩陣整理如下： k A R(Ak) M(Ak) R(Ak)M(Ak) 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 1 A 0 0 0 0 1 A A2 A3 A4 A5 1 A 0 A3 A4 A5 1 A 0 A3 A4 A5 1 A 0 0 0 A5 1 A A2 A3 A4 A5 0 A2 0 0 0 0 A2 A3 A4 0 0 A2 A3 A4 0 0 A2 A3 A4 A5 1 A 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 A3 A4 0 0 0 A3 A4 0 0 0 0 0 A5 ) (Ak R ：是A的可到達矩陣，在可到達矩陣中，若元素為 1，則填上表示被指向的 元素代號；在可到達矩陣中，若元素為 0，則保持為 0。 ) (Ak M ：就R(Ak)矩陣中，M(Ak)的每一列，表示指向該列元素的所有其它元素。 ) ( ) (Ak M Ak R  ：是R(Ak)和M(Ak)兩矩陣的交集，兩矩陣相對應位置若同時存在該 元素，則填出該元素；否則填上 0。 而製作圖 2-1 的 ISM 的方法步驟為： 【步驟一】針對R(Ak)和R(Ak)M(Ak)的每一列，找出列相等的元素。在上表中， 先找到相對應的第 1 列A1，則在R(Ak)、R(Ak)M(Ak)中A1所在的行 (column) 與列 (row) 全部刪掉，刪除後的列與行則不再比較和尋找。 【步驟二】以相同方法再找到第 5 列A5，以此類推，我們再次得到A3、A4一組 元素和A2元素。 【步驟三】將找到的元素依序列出高低層級，並依A中的元素關係，劃上箭頭， 如圖 2-1 所示，圖 2-1 中A3、A4是對等元素。在此，完成 ISM 圖的繪 製。若 ISM 圖形元素多而箭頭關係複雜，則可視研究者所需而進行圖

圖 2-1 ISM 圖的繪製 ISM 分析法在教育上的主要用途如下 (許天維、林原宏，1994)： 1.教材內容的結構化：分析教學目標，再界定次要目標，最後決定出各單元之 間教材內容的結構。 2.編授教材內容：由教學者決定教材內容的目標層次關係，已由下往上累積元 素關係的方式，此方式可幫助教學者檢視教學目標之間的順序關係。 3.學習者知識的結構化：以學習者本身的概念結構為主，在已知學習者概念元 素彼此之間的關係時，可利用 ISM 分析法，以得到整體概念的結構圖。 在教材內容的結構化方面，吳信義 (1998) 應用 ISM 法分析職業教育「基本 電學」科目教學單元中之要素階層關係，據以建立其單元內容，並以電腦化進行 分析以減輕課程設計之負擔。鄭麗娜 (2004) 在九年一貫課程社會領域地理概念 的研究中，應用 ISM 法畫出課程領域的地理概念階層圖，並據以規劃地理概念學 習的最佳路徑與群組概念。在編授教材方面，蔡曉信 (1993) 應用 ISM 法，針對 在職進修老師對於清潔劑所表達的開放性觀點和看法進行分析，結果顯示 ISM 法 能有效的提升有關 STS (Science-Technology Society ) 教學的看法和觀念。彭淑珍 (2004) 應用 ISM 法，將特殊教育高職部職業教育課程「洗車」和「廁所清潔」 中之職業認知、職業技能、及職業態度，規劃結構化的課程。在學習者學習內容 的結構化方面，蔡秉燁 (2004) 利用 ISM 法，將高中數學教學之補救教材進行結 A1 A5 A3 A4 A2 A1 A5 A3 A4 A2

構化教材之設計，研究結果顯示，圖像式的階層結構教材內容，有助於教學者確 切掌握教材呈現的順序，以及增進補救教學的效果。Tatsuoka (1995) 利用 ISM 法 分析出具階層性的知識結構。此外在教育決策上，亦有 ISM 法之相關研究，如

Hawthorme and Sage (1975) 應用 ISM 法於五種不同團體成員在高等教育課程計

畫的意見整合，此研究結果顯示 ISM 法能有效的呈現計畫中實施方案的階層順序 性。

貳、模糊詮釋結構模式分析法

從認知心理學的觀點來看，人的思維具有多元邏輯的特性，難以用非對即錯 的二元的明確數值來加以描述，若以二元化觀點評量人的認知結構，其結果易過 於粗略。 詮釋結構模式所定義的元素關係是二元關係，並不宜直接應用於教育領域中 之概念研究，因為以認知心理學的觀點來看，概念和概念之間的指向並非是絕對 的二元結構，也就是說概念之間沒有指向關係並不代表彼此毫無關聯，有指向關 係也不表示有 100%的關聯性。

Yamashita (1997) 根據模糊結構模式和模糊推理 (fuzzy reasoning) ，發展了

有 關 高 中 畢 業 生 的 升 學 與 就 業 輔 導 的 生 涯 決 定 模 式 (career decision-making modeling) 量表。溫坤禮 (2000) 藉由模糊理論的模糊集，將 ISM 法的二值關係 改為 0 到 1 之間的集合，並取 0 至 1 之間的任意值為元素的特徵值，即為模糊集 合的隸屬度 (membership) ，以精確掌握不確定的因素。 林原宏 (2005) 提出模糊詮釋結構模式分析法，是利用模糊理論的截矩陣和 察覺的模糊邏輯模式來改進詮釋結構模式只適用於二元資料的限制，此法是根據 模糊觀點之察覺的模糊邏輯模式，計算出配對刺激屬於某一種典型的機率，再以 模糊理論的截矩陣，衡量概念間的從屬程度。

(speech perception) (Massaro, 1987; Massaro & Oden, 1980; Oden & Massaro, 1978)

和字母知覺 (letter speech) (Massaro and Harry, 1986; Oden,1979) ，甚至被拿來 和 其 他 模 式 作 比 較 (Cohen and Massaro, 1992; Massaro, 1989; Massaro and

Friedman, 1990; Oden, 1988) 。 模糊詮釋結構模式分析法可針對模糊關係元素，計算其為上下從屬關係 (subordination relation) 機率計算，進行模糊詮釋結構模式分析，呈現個人化的概 念屬性矩陣。其分析方法如下 (引自林原宏，2005) ： 【步驟一】確定所分析的元素單位為試題或概念，假設共有M 個試題或所有試題 所測量的概念總數為L個。 【步驟二】在選定的試題反應理論模式下，能力值_k受試者在第m題的答對機率 為P_m(_k)，依察覺的模糊邏輯模式，計算該受試者的模糊關係矩陣如下： 1. 若 所 分 析 的 元 素 單 位 為 試 題 ， 則 能 力 值k 受 試 者 的 模 糊 關 係 矩 陣 為 M M k ij k p D( )[ ( )] _ ，pij(k)為符合試題i指向試題 j的機率。依察覺的模糊邏輯 模式意義，令ci  Pi(k) 且oj 1Pj(k)，所以可得： ) ( )] ( 1 [ )] ( 1 [ ) ( )] ( 1 [ ) ( ) 1 )( 1 ( ) , ( ) ( k j k i k j k i k j k i j i j i j i j i k ij P P P P P P o c o c o c o c p p                  2. 若 所 分 析 的 元 素 單 位 為 概 念 ， 則 能 力 值k 受 試 者 的 模 糊 關 係 矩 陣 為 L L k ij k p D( )[ ( )] _ ， p_ij(_k)為符合概念i指向概念 j的機率。依每一試題測得該 概念與否的關係，設概念個數為L個，可形成一個二元關係的概念屬性矩陣 (attribute matrix) A(aml)ML，aml 1表示第m題包含概念l，亦即有測到概念 l ； a_ml 0 表 示 第 m 題 沒 有 包 含 概 念 l ， 亦 即 沒 有 測 到 概 念 l 。 令 L l L M m ml a a SA _{  }   



1 1 1 ) ( ) ( 表示每一概念被測得出現的總數之矩陣。因此，能力值k 之受試者在每個概念精熟的機率為 _{M L l k L} l ml M k m k _a ma a P MA _{ }    [ ( )]1 [ ] [ ( )]1 ) (   。 依察覺的模糊邏輯模式意義，令c_i ma_i(_k)且o_j 1ma_j(_k)，所以可得：

) ( )] ( 1 [ )] ( 1 [ ) ( )] ( 1 [ ) ( ) 1 )( 1 ( ) , ( ) ( k j k i k j k i k j k i j i j i j i j i k ij ma ma ma ma ma ma o c o c o c o c p p                  【 步 驟 三 】 選 定 值 且 0 1， 將 模 糊 關 係 矩 陣 為 D(_k)[p_ij(_k)]_MM 或 L L k ij k p D( )[ ( )] _ 進行截矩陣分析。例如分析的單位為試題，則： M M k ij k p D( )[ ( )] _ 且             ) ( , 0 ) ( , 1 ) ( k ij k ij k ij p p p ，其中0 1 【步驟四】將步驟三所得的模糊關係截矩陣進行 ISM 分析，為提供圖形可讀性， 可進行 ISM 圖簡化，假設元素Ai指向Aj有多條路徑 (path) ，則去除直 接指向並保留間接指向的路徑。例如： 簡化 【步驟五】在給定值，可獲得能力值k之受試者的 ISM 圖。因此，可獲得不同 能力值之個人化試題或概念的 ISM 圖。 林原宏 (2005) 以網路化分數減法施測系統所取得的 825 名高年級學童之施 測結果，進行資料分析，發現不同能力值的學童之概念結構各有其特徵；傳統計 分相同情形下，學童的分數減法之概念結構亦有所不同。陳紹銘 (2006) 應用模 糊詮釋結構模式分析國小六年級學童的等量公理概念之階層結構，結果發現：(1) 國小六年級學童等量公理的知識結構具有階層性；(2)學童的等量公理概念結構圖 因能力值的不同而有明顯的差異存在；(3)筆式測驗總分相同但反應組型不同的學 童，其知識結構不盡相同。 綜合上述可知，模糊詮釋結構模式是將心理學上對於刺激之察覺的模糊邏輯

A

j

A

k

A

l

A

i

A

m

A

j

A

k

A

l

A

i

A

m

第三節 試題反應理論

測驗與評量理論是一種解釋資料間實證關係 (empirical relationships) 的有系 統的理論學說。從 Binet-Simon 所發展的第一個智力測驗開始算起，測驗與評量 的發展至今已約有一百多元年的歷史。測驗理論學者將測驗與評量理論依其基本 的理論觀點劃分成古典測驗理論 (classical test theory, CTT) 和現代測驗理論

(modern test theory) 。由於古典測驗有一些缺點：樣本依賴的測驗指標 (難度、

信度、鑑別度) 特性、相同的測量標準誤、總分即是受試者能力的表示。此外古 典測驗亦難以進行題庫建立 (item bank building) 、試題等化 (item equating) 與試 題偏誤 (item bias) 等分析 (陳英豪、吳裕益，1986；Hambleton & Swanminathan,

1985) 。現代測驗為克服古典測驗諸項之缺失而興起，而現代測驗理論又以試題

反應理論 (item response theory, IRT) 為其主要發展架構，目前試題反應理論的發 展已有凌駕古典測驗理論之勢。

壹、基本概念

試題反應理論 (IRT) 是透過一條連續性遞增的函數來預測或解釋受試者的 潛在特質 (latent traits) 或能力 (ability) 與其在某一測驗試題上反應機率之間的 關係，所以試題反應理論亦稱潛在特質理論 (latent trait theory) 。這一數學函數 便叫作試題特徵曲線 (item characteristic curve, ICC) ，若是把能力不同的受試者 得分點連接起來所構成的曲線，即是能力不同的受試者在某一測驗試題上的試題 特徵曲線，把各試題的試題特徵曲線加總起來，便構成所謂的測驗特徵曲線 (test

characteristic curve, TCC) (余民寧，1993) 。

當試題反應模式適用於某一測驗資料時，它能提供每一受試者個別的測量標 準誤，而較精確的推估個別受試者的能力估計值。它具有兩項「不變性」 (invariant)

的特性，一為試題獨立 (item-independent) 的能力估計值：從不同組的試題估計 而得的受試者能力估計值不會測驗種類的不同而有所不同；另一是樣本獨立 (sample-independent) 的試題參數：從不同族群的受試者估計而得的試題參數估計 值不會因參與測驗的受試者族群不同而改變。

貳、試題反應模式

試題反應理論以機率的觀點來說明受試者能力或心理特質與試題反應間的 非線性關係，並以數學式表示受試者能力與試題難易度、鑑別度及猜測度等參數 間的關係，稱為「試題特徵曲線」 (item characteristic curve, ICC) 。常用的試題 反應模式，依照使用參數的多寡，大致可分為單參數對數模式 (one-parameter

logistic model) 、雙參數對數模式 (two-parameter logistic model) 、三參數對數模

式 (three-parameter logistic model) ，其模式類型、公式和符號說明如表 2-1。

在單參數模式中只有難易度一個參數，通常以b_i表示。難易度用來表示試題 的困難程度。當能力值大於試題難易度，則受試者答對第 i 題的機率 pi

 

 大 於 .5；反之，若受試者能力值小於試題難易度，則受試者答對第 i 題的機率pi

 

 小於 .5。因此，試題的難易度值愈大，代表著受試者須具備較高的能力值才能夠 答對該試題。理論上，難易度值介於-∞到+ ∞，但實際應用上，通常只取-3 到+3 之間的範圍。 在雙參數模式中的二個參數為鑑別度與難易度。鑑別度是試題內容對於不同 能力的受試者在測驗時，是否能反應出答題差異的依據指標，通常以a_i表示。鑑 別力愈大的試題，代表越能區分受試者的能力高低。理論上，鑑別度參數的值介 於-∞到+ ∞，但實際應用上，通常只取 0 到+2 之間的範圍。而難易度與上述單參 數模式之內容相同。

在三參數模式中的三個參數分別為：猜測度、難易度、鑑別度。所謂猜測 度，通常用c_i來表示，是指將能力極低或能力參數值為 0 的受試者考慮到模式裡， 計算出此類受試者答對試題的機率。猜測度值愈大代表測驗的困難愈多，三參數 對數模式即是針對ci參數做有效處理；在單參數及雙參數模式中均將其假定為 0 或接近 0 而忽略不計。因此，理想的試題情況應是猜測度為 0，不過常常因為測 驗的題型而很難避免受試者的猜測行為，致使測驗產生猜測度值。至於難易度、 鑑別度與單參數或雙參數模式所指的相同。 表 2-1 試題反應理論常用之模式 模式類型 公 式 符 號 說 明

 

 i p _{：能力值為之受試者答對第 i} 題的機率 ：受試者能力值 i b ：第 i 題的難易度 單 參 數 對數模式

 

_{ } n i e P i b i ..., 3 , 2 , 1 1 1    _  n：測驗的題目數

 

 i p _{：能力值為之受試者答對第 i} 題的機率 i a ：第 i 題的鑑別度 ：受試者能力值 i b ：第 i 題的難易度 雙 參 數 對數模式

 

_{ } n i e P i i b a i ..., 3 , 2 , 1 1 1    _{ }  n：測驗的題目數

 

 i p _{：能力值為之受試者答對第 i} 題的機率 i c ：第 i 題的猜測度 i a ：第 i 題的鑑別度 ：受試者能力值 i b ：第 i 題的難易度 三 參 數 對數模式

 





_{ } n i e c c P i i b a i i i ..., 3 , 2 , 1 1 1 1      _{ }  n：測驗的題目數

參、基本假設

試題反應理論具有下列幾項基本假設，只有在這些假設都成立的前提下， 試題反應理論模式方能被用來分析所有的測驗資料 (余民寧，1993) 。 一、單維度 所謂單維度 (unidimensionality) 的假設是同一測驗中的各試題皆在測量同一 種能力或是潛在特質。但在測驗的實際情境中，很難完全達到此一假設，例如受 試者的語文能力會影響其數學文字題的解題能力，所以在單維度的假設下，則把 影響受試者測驗表現的其他因素歸為測驗誤差。 二、局部獨立性 局部獨立性 (local independence) 指受試者在測驗上某一試題的作答情形，不 受前後其他試題的影響。亦即受試者在測驗上的反應組型機率，等於他在單獨試 題上反應機率的連乘積。 三、非速度測驗 受試者的答題表現，完全是由其能力為何所決定，並非因時間不足而無法完 成作答的情形所影響。 四、「知道-正確」假設 這個假設是強調受試者在作答時，每一試題皆是受試者誠實作答的結果，受 試者若知道正確答案，必定答對該試題，沒有任何作弊、粗心大意、故意答錯或 不寫的情形。 由於近年電腦計算科學發展迅速，加快試題反應理論模式的演進，以及其相 關應用軟體的研發。但在運用試題反應理論模式分析測驗資料時，應同時注意該 模式所適用的情境與限制，如此才不會造成錯用誤解的分析結果。

第四節 知識結構之測量理論

知識結構是指在某個特定學科領域中，由該學科的概念和原則所形成相互連 結的知識組織。知識結構的研究與探討有助於了解個體如何獲得知識的心理歷 程，幫助個體找出迷失概念和迷思概念，以提高學習的成效，故它一直是認知心 理學研究的重要主題。知識結構分析法的種類大致可分為三大類，即圖形理論取 向的知識結構分析法、IRT 理論取向的知識結構分析法和集合論取向的知識結構 分析法。圖形理論取向的知識結構分析法主要有概念構圖 (concept mapping) 和 徑路搜尋網路分析法 (pathfinder network analysis) 兩種；IRT 理論取向的知識結 構分析法大致上有規則空間理論 (rule space theory) 和線性邏輯測驗模式 (linear

logistic test model) 兩種，集合論取向的知識結構分析法則以知識空間 (knowledge

space) 為代表。

壹、圖形理論取向的知識結構分析法

知 識 結 構 的 測 量 可 以 分 成 三 步 驟 ： 一 是 「 引 出 知 識 結 構 」 (knowledge

elictation) 、二是「表徵知識結構」 (knowledge representation) 、三是「評量知

識結構」 (evaluation of knowledge representation) 。「引出知識結構」是評量者以

某種方式讓個體表現出某種概念，其主要目的是要了解每個概念間的接近程度或

取得接近性資料 (proximity data) 以作進一步分析；「表徵知識結構」是將引出的

知識以某種具結構性的方式呈現，例如 Goldsmith, Johnson, and Acton (1991) 以 「徑路搜尋法」找出知識結構；「評量知識結構」則是將所獲得的知識結構和專 家知識結構作比較，以評價知識結構的表徵，而最普遍的兩種比較的方法，一是

Novak and Gowin (1984) 依據概念構圖的原理，發展出概念圖比對時的計分標

準，以量化方式比較兩個概念結構圖的異同；二是 Goldsmith et al. (1991) 依據集 合理論 (set theory) 發展出相似性係數 (looseness index, 簡稱 C 指數) 來作為評 量兩個知識結構差異的指標。茲扼要介紹概念構圖與徑路搜尋法於下：

一、概念構圖

概念構圖 (concept mapping) 植基於 Ausubel (1963) 的認知學習理論中的 「有意義的學習」為基礎理論，強調在學習新概念時，舊有概念的重要性。也就 是說，「有意義的學習」就是學習者要能將要學的知識和先前已學會的概念

(preexisting concepts) 、命題 (propositions) 連結 (connect) 起來。

概念構圖是建構概念圖 (concept map) 的歷程；概念圖則是經概念構圖歷程 所完成的結果。概念圖是使用命題形式，表徵所欲學習的概念與概念間之連結關 係 (Novak & Gowin,1984; Novak & Musonda,1991) 。

概念構圖是利用概念圖 (concept map) 來表示關於知識主題結構的一種過 程。概念圖由概念節點 (concept nodes) 和概念間的連接語 (relation links) 所組 成，兩個概念節點和節點間的連接語則構成命題 (proposition) ，概念在概念圖中 以階層 (hierarchy) 的關係存在，屬於一般性、概括性的概念在上層，而一些較 特定、較具體的觀念則在下層，處在最下層的則是最具體的範例。 概念構圖可使用在產生概念，例如：腦力激盪、也可用來設計一個複雜的結 構，例如：大型網站、也可用在表達一個複雜的概念、更可藉由新舊概念的結合 來幫助學習以及評量學習和診斷迷思概念 (misconception) 。 概念構圖法符合知識表徵理論、知識建構論、以及有意義學習說，可以促使 學習者反省、組織、重整他們已知的概念和新知識，幫助學習者瞭解知識主題的 內容，同時，因為概念圖表達的是教學的概念和概念間之關係，因此概念圖可當 作是評量學生成績及研究學生知識結構的依據。概念構圖是目前科學教育界及心 理教育界應用頗為廣泛且效果普遍被肯定的一種教學、學習和評量策略。

概念構圖的計分方式大多根據 Novak and Gowin (1984) 所發展出來的計分方 式為藍本，即將學生的概念構圖分成四個結構成份：(一)關係 (relationships) ： 一個有效且有意義的連結關係給一分；(二)階層 (hierarchies) ：每一個有效的階

每 一 個 有 效 但 不 能 指 出 相 關 概 念 之 組 成 的 交 叉 連 結 給 二 分 ； ( 四 ) 舉 例

(examples) ：每一個特定所舉出的事件或物件例子給一分。然而研究者可依其研

究目的來調整概念構圖的加權計分方式 (Markham, Mintzes, and Jones, 1994;

Ruiz-Primo and Shavelson, 1996; Stuart, 1985) 。其計分方式例子說明如下圖 2-2

所示。 階層 重要概念 聯結 聯結 聯結 第一階 一般化概念 一般化概念 一般化概念 聯結 聯結 第二階 聯結 聯結 概念 概念 聯結 聯結 聯結 聯結 例子 例子 第三階 概念 概念 聯結 聯結 聯結 事件 事件 交叉聯結 例子 例子 第四階 物件 物件 聯結 計分：（僅計算有效且重要者） （分數）（個數） 關係： 1×14＝14 階層： 5×4＝20 交叉聯結： 10×2＝20 舉例： 1×4＝ 4 總計： 58分 圖 2-2概念圖計分例子（資料來源：修改自余民寧（1997：486）） 較不一 般化概 念 較不一 般化概 念 特殊化概念 特殊化概念 特殊化概念 交叉

邱上真 (1989) 認為概念構圖技巧：1.可做為一種新的評量方式，以提供有 別於傳統測驗的另一種選擇。2.具有診斷價值，因為藉著它可以呈現學生操作水 準的整體剖面圖。3.可以幫助教師選擇適當的教學策略與教材。4.可以做為學生 的學習策略或讀書技巧的一種。 以概念構圖對學生知識進行評量，大致可分為兩個方向：一是將學生概念圖 與專家概念圖作比較；一是利用概念構圖以了解學生學習時，知識結構的改變情 形 (宋德忠、陳淑芬、張國恩，1998) 。 陳嘉成 (1996) 以概念構圖為學習策略，探討其對於國小學童自然科學習成 效的影響，研究顯示概念構圖策略並未有顯著的效果。李秀娟 (1998) 探討國中 生學習生物知識，發現概念構圖的方式不但無助於學習，還會造成負面的影響。 張俊峰 (2001) 以概念構圖來教導國中生學習排球快攻概念，發現概念構圖的教 學優於傳統講授式的教學。時德平 (2001) 研究發現概念構圖式教導國小學童在 「電與磁」的概念學習上和傳統教學並無顯著差異，然而在記憶保留方面，概念 構圖式的學習方式優於傳統文字敘述的方式。

Surber and Smith (1981) 使 用 概 念 構 圖 的 方 法 研 究 學 童 的 迷 思 概 念 (misconception) 。Wallace and Mintzes (1990) 在其所從事的一個研究中，證明概

念構圖具有同時效度 (concurrent validity) ，並認為概念構圖對教育研究者來說， 是 一 個 有 價 值 的 研 究 工 具 。 Barenholz and Tamir (1992) 和 Trowbridge and

Wandersee (1996) 使用概念構圖為工具來探討科學教學的學習效果。Jay (1995) 發現大學生對細胞生物的學習，概念構圖策略和學習的理解、態度、成就並無顯 著相關。 綜上所述可知，概念構圖對教學者而言，可做為課程規劃、評量、診斷與實 施補救教學的工具；對學生而言，它亦是一種結構化的學習及組織化的複習的學 習方式。概念構圖雖然有其許多優點，但從一些相關研究當中亦可發現其應用效 果不顯著之處，如難以將不同概念構圖作比較。不過概念構圖不失為一種將抽象

二、徑路搜尋法 徑路網路搜尋法 (pathfinder) 係由美國新墨西哥州立大學計算研究實驗室的 領導人 Schvaneveldt 及其研究小組，根據圖解理論和網路模式所發展而成的。發 展之初大多應用在實驗室研究，爾後才逐漸運用教育心理學領域。徑路網路搜尋 法是由一組概念，以節點 (node) 和連結 (linking) 相互連接的概念群所構成的知 識網路結構，藉由量尺化程序來分析專家的知識結構，以專家知識結構做為學習 者學習的鷹架，亦可透過客觀數學的公式計算出生手的知識結構與專家的知識結 構的相似性係數，進而更精確指出各個知識結構圖之間的差異所在 (Jonassen,

Beissner, & Yacci, 1993) 。

徑路搜尋法的主要重點除了知識結構之測量，更重要的是比較不同受試者的 知識結構之差異。它通常是將受試者的知識結構圖和參照的知識結構圖進行比 較，而參照知識結構圖的選取可以依據研究目的以個人或團體平均的知識結構為 參照點。Goldsmith and Davenport (1990) 認為比較兩種不同知識結構圖的相似程 度之方法有二：(一)以集合理論 (set theory) 為基礎，計算相鄰節點的交集與聯集 關係，可得到相似性指數 (closeness index, 簡稱 PFC 或 C 指數) ；(二)以圖形理 論 為 基 礎 ， 計 算 節 點 之 間 距 離 的 相 關 程 度 ， 可 得 到 圖 形 理 論 距 離 指 數

(graph-theoretic distance, 簡 稱 GTD) 和 接 近 性 指 數 (proximity index, 簡 稱

PRX) ，藉由這三種指數來判斷受試者知識結構和參照知識結構的相似程度。

茲以 Goldsmith, Jonson, and Acton (1991) 所舉的例子，如圖 2-3 和圖 2-4 所 示。分別說明這三種相似指數。 GTD 的指數範圍由 0 至 1，數值愈大表示兩個網路愈相近。GTD 指數是以徑 路連結鍊的數目作為計算的單位如表 2-2 所示，表 2-2 清楚呈現圖 2-3 中的 PFNET 之三個網路節點之間距離值得計算方式。 將表 2-2 中網路一和網路二各節點的距離值計算其相關係數，就可得到 GTD 指數值 0.79。

A E C D B 接近性矩陣 PFNET (dissimilarity) A B C D E A 0 1 3 2 3 B 1 0 1 4 6 C 3 1 0 5 5 D 2 4 5 0 4 E 3 6 5 4 0 圖 2-3 接近性矩陣與徑路搜尋法 (Goldsmith et al., 1991) 圖 2-4 網路一和網路二、網路三之 PFC 和 GTD 指數 (改寫自 Goldsmith et al., 1991) 表 2-2 三個網路中部分節點的圖形理論距離值 徑 路 網路一 網路二 網路三 A-B 1 1 1 A-E 2 1 2

PRX 指數是直接計算兩個網路相鄰矩陣 (接近性矩陣) 的相關程度，以相關 係數表示兩個網路的相似程度。即求受試者的接近性矩陣與參照的接近性矩陣相 互對應元素的積差相關係數，就可得到 PRX 指數，其值介於 0 至 1 之間，指數 愈大，表示兩個網路結構愈相似。 PFC 指數的計算要先求出暸個網路各節點的鄰近節點，將鄰近節點的交集除 以聯集，總合其商數加以平均即可獲得 PFC 指數，其計算公式如下：





_

    I i i i i i B A B A n B A PFC , 1 其中 A、B 表示徑路搜尋網路，為共有節點數，I 代表網路所有節點的集合、 i 為網路節點。PFC 的指數計算方式如表 2-3 所示。 表 2-3 網路一和網路二的 PFC 指數之計算 鄰近節點 交集 聯集 節點 網路一 網路二 集合 大小 集合 大小 商數 A ｛B,C｝ ｛B,D,E｝ ｛B｝ 1 ｛B,C,D,E｝ 4 1÷4

B ｛A,D,E｝ ｛A,C｝ ｛A｝ 1 ｛A,C,D,E｝ 4 1÷4

C ｛A,F,G｝ ｛B,F,G｝ ｛F,G｝ 2 ｛A,B,F,G｝ 4 2÷4 D ｛B｝ ｛A｝  0 ｛A,B｝ 2 0÷4 E ｛B｝ ｛A｝  0 ｛A,B｝ 2 0÷4 F ｛C｝ ｛C｝ ｛C｝ 1 ｛C｝ 1 1÷1 G ｛C｝ ｛C｝ ｛C｝ 1 ｛C｝ 1 1÷1 商數總合為 3.0，C 值=3.0/7=.43，表示空集合。 (改寫自 Goldsmith et al., 1991) 徑路搜尋法近年來常被運用在教育和訓練上，用來評估學生的學習成效與訓 練的有效性 (Choo & Curtis, 2000; Curtis & Davis, 2003; Goldsmith & Davenport,

1990; Rowe & Cooke, 1995) 。江淑卿 (1997) 應用徑路搜尋法探討國小六年級學

生和國小自然科教師對「地球的多重屏障」一文的知識結構和文章理解能力，結 果顯示知識結構和科學文章的理解能力有顯著的相關，且知識結構指數對科學性 文章理解能力具有顯著的預測力。宋德忠、林世華、陳淑芬、張國恩 (1998) 應

用徑路搜尋法針對大學生對學習理論的知識結構進行研究，結果發現 PFC 指數 對學生的學習成效有不錯的預測力，且能有效的區別不同學習成就的學生。Gomez and Housner (1992) 應用徑路搜尋法對物理準教師的知識結構和教授的知識結構 進行比較，研究發現 PFC 指數、GTD 指數、PRX 指數皆和準教師的學期成績有 顯著的相關。 綜上所述可知，徑路搜尋法以量化的方式測量受試者的知識結構的方法，不 但可以分析知識結構與學習表現的關係，比較不同能力學習者的知識結構，亦能 根據受試者知識結構圖的特徵，給予學習策略的指導或提供補教教學。

貳、IRT 理論取向的知識結構分析法

IRT 理論取向的知識結構分析法主要以規則空間和線性邏輯測驗模式為代 表，茲分述如下： 一、規則空間

Tatsuoka (1983) 提出規則空間理論 (rule space theory) ，它是結合 S-P 表分

析法和試題反應理論的一種認知診斷評量。藉由評量，找出受試者的試題反應組 型 (item response pattern) ，進而推論受試者所擁有的潛在知識狀態 (latent

knowledge state) ，規則空間大多應用在教育統計領域，它能在大型測驗時作個人 化的認知診斷，應用類型分析 (pattern analysis) 來對學習者的反應歸類、識別學 生的知識結構及診斷學生解題中所犯的錯誤。 教師可以透過有目的、結構化的設計試題，經過規則空間的分析，就能順利 找出或診斷出具有認知失誤、或「錯誤概念」 (misconception) 的學生來，以便 對症下藥進行補救教學。

作規則空間的分析時，有如下的五步驟 (Katz, Martinez, Sheehan, & Tatsuoka,

(一)定義試題的認知屬性

認知屬性 (defining attributes) 包含陳述性知識 (declarative knowledge) 、程 序性知識 (procedural knowledge) 或解題的策略 (problem-solving strategy) 等，認 知屬性之決定通常透過工作分析法，選出該領域的重要成份而作為試題的認知屬 性，認知屬性是構成認知診斷評量的基礎。藉由評量受試者是否擁有該認知屬 性，施測者才能推論受試者可能的知識狀態。 (二)將認知屬性組合成試題 試題的編製過程中，必須考量認知屬性的相關程度與難易程度，每一題試題 至少必須包含一個認知屬性。試題與認知屬性的關係，可藉由關聯矩陣 (incidence matrix,通常以 Q 表示) 表現出來，例如有 j₁、 j₂、 j₃三道試題，有k₁、k₂兩個認 知屬性，其中 j₁與 j₃題各含有認知屬性k₁， j₂題則包含認知屬性k₂，亦即若想答 對 j₁或 j₃題，需具備認知屬性k₁的知識；若想答對 j₂題，需具備認知屬性k₂的知 識。則該關聯矩陣 Q 為 (2×3) 矩陣。如以下矩陣所示 Q matrix = 0 1 0 1 0 1 2 1 3 2 1 k k j j j (三)確定各種知識狀態 知識狀態 (knowledge states) 的類型是透過關聯矩陣 Q 來決定的。以上面矩 陣為例，j、₁ j、₂ j₃這三道試題，可能有八種不同的試題反應組型，分別為 (0,0,0) 、 (1,0,0) 、 (0,1,0) 、 (0,0,1) 、 (1,1,0) 、 (1,0,1) 、 (0,1,1) 、 (1,1,1) ，其中 0 代表答錯，1 代表答對。而 j1題與 j3題皆包含認知屬性k1，j2題包含認知屬性k2， 則由此三道試題與兩個認知屬性，構成了四種的可能知識狀態，分別為： 1.知識狀態一：受試者具備認知屬性k1的知識，而不具備認知屬性k2的知識，則 其知識狀態為 (1,0,1) 。

2.知識狀態二：受試者具備認知屬性k₂的知識，而不具備認知屬性k₁的知識，則 其知識狀態為 (0,1,0) 。 3.知識狀態三：受試者同時不具備認知屬性k₁與k₂的知識，則其知識狀態為 (0,0,0) 。 4.知識狀態四：受試者同時具備認知屬性k₁與k₂的知識，則其知識狀態為 (1,1,1) 。 若受試者的知識狀態是屬於上述四種知識狀態，則屬於典型試題反應組型

(ideal item-response pattern) ， 若 受 試 者 的 知 識 狀 態 屬 於 另 外 的 四 種 類 型 ：

(1,0,0) 、 (0,0,1) 、 (1,1,0) 、 (0,1,1) ，則屬於非典型試題反應組型。由典型試 題反應組型，施測者可以清楚掌握受試者具有或缺乏哪些認知屬性的知識；至於 非典型試題反應組型，其原因可能因猜題或不小心等干擾因素。因此施測者不易 推估受試者具有或缺乏哪些認知屬性的知識。 (四)形成分類的空間 分類的空間 (classification space) 是採兩維的笛卡兒座標，以試題反應理論 之能力參數值作為橫座標；以非典型反應組型(ζ)為縱座標。規則空間中的每個 座標點代表一種反應組型，也就是一種知識狀態。 (五)對受試者的反應進行分類 當所有可能的反應組型都映射到規則空間的笛卡兒座標後，即可根據受試者 的座標值大小來決定受試者可能具有的知識狀態。分類的方法是將受試者的座標 值和最接近它的兩個知識狀態的座標值相比較，依據馬氏距離 (Mahalanobis distance) 大小來決定，受試者的座標值是比較類似哪一種知識狀態。決定出受試 者比較類似的知識狀態後，即能據此瞭解受試者的學習狀況，進而針對受試者的 學習盲點，進行補救教學 (陳紹銘，2006) 。

Tatsuoka (1983, 1990) 以規則空間 (rule space) 的數學模式概念，診斷和偵測

(1995) 運用規則空間模型識別學生解題中的認知錯誤，根據 644 名中學生對 30

個數學題目的反應，識別出其中 86%多的學生可以被劃分入 18 種認知錯誤類型 中。趙育倫 (1997) 利用無參數試題反應理論為基礎的規則空間和自編之分數加 法測驗，測驗臺灣區五年級學生 4465 位學生的分數加法能力，並據以分析學生 的錯誤類型。Buck, Tatsuoka, Tatsuoka, and Kostin (1997) 應用規則空間方法將

2000 位參加多益測驗 (Test of English for International Communication, TOEIC) 的

日本受試者資料，歸納出一些認知屬性和語言屬性，再以此認知屬性和語言屬性 為基礎，和另外一批接受多益測驗的 2000 名韓國受試者資料作比較。Buck and

Tatsuoka (1998) 使用規則空間列出 15 個主要屬性 (prime attributes) 和 14 個交互

作用屬性 (interaction attributes) ，而這 15 個主要屬性和 14 個交互作用屬性可以 解釋一群參加第一外語聽力理解測驗 (listening comprehension) 共 96%的變異 量。Kuramoto, Scott, and Kasai (2003) 以規則空間證實由 Taira, Ono, and Hayashibe 於 1992 年所發展出的日本語字彙測驗 (Japanese vocabulary test) 是有效度的。

Hayashi (2002) 比較規則空間方法 (rule space method) 和神經網路模式 (neural

network model) 在區別個體間差異時的不同。

綜上所述，規則空間的相關研究多用在結構良好 (well-structured) 的學習單 元。因此 Linn (1990) 就曾評論 K. K. Tatsuoka and M. M. Tatsuoka 的規則空間只適 用於結構良好的問題領域，至於適不適用於結構不良 (ill-structured) 的問題領域 則有待日後的證實。

二、線性邏輯測驗模式

此模式由 Fischer (1973, 1974) 所發展出來，為 Rasch 模式的一種延伸，Fischer

以 Scheiblechner (1972) 提出對試題難度 (i) 理論為基礎，將 Rasch 模式中的試

題難度 (i) ，分解成許多認知操作 (cognitive operations) 的線性組合，認知操