1-3-4指數與對數-對數函數

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(1)3-4 指數與對數-對數函數 【目標】 能認識對數函數,並理解同底的對數函數圖形與指數函數圖形對直線 y  x 對 稱,透過指數函數的圖形了解對數函數圖形的凹击性,進而能解簡易的對數方程 式與不等式。 【定義】 1. 對數函數: 設正實數 a  1,函數 f ( x )  loga x 稱為以 a 為底的對數函數,其中 x 可取任 意正實數,此函數的圖形是坐標平面上所有點 ( x, log a x) 所形成。 【性質】 對數函數 y  log a x, a  0, a  1, x  0 圖形的特性: 1. 正 實數 a  1 時,以 a 為底的對數函數 y  loga x 與以 a 為底的指數函數 y  a x ,兩者的圖形對稱於直線 y  x 。 註: 這是因為 y  log 2 x  x  2 y 。對摺翻印時, x 與 y 的角色會互換。所以 x  2 y 就變成 y  2x 。事實上,如果將以 2 為底的指數函數 y  2x 與以 2 為底的對數 函數 y  log2 x ,兩函數圖形畫在同一坐標平面上,則兩者對稱於直線 y  x 。. 2.. y  loga x 圖形的性質: (1) 曲線完全在 y 軸右方,即真數 x 恆正,且過定點 (1,0) 。 (2) 當 a  1 時,曲線為由左到右上升的曲線; 當 0  a  1 時,曲線為由左到右下降的曲線。 (3) 曲線往上、往下都沒有界限,且以 y 軸為漸近直線。 (4) 當 a  1 時,曲線凹口向下; 當 0  a  1 時,曲線凹口向上。. a  1 時, y  loga x 的圖形可由 y  log2 x 的圖形以 x 軸為基準,鉛直方向伸 縮而得。 1 4. 設 正 實 數 a  1 , 則 以 a 為 底 的 對 數 y  loga x 與 以 為 底 的 對 數 函 數 a y  log 1 x ,兩者的圖形對稱於 x 軸。 3.. a. 19.

(2) 5. (對數律)對於任意實數 x, y ,恆有 (1) f ( xy)  f ( x)  f ( y) 。 x (2) f ( )  f ( x)  f ( y) 。 y 6. 遞增、遞減: 設正實數 a  1,對數函數 f ( x)  loga x 。 (1) a  1 時, y  f (x) 是嚴格遞增函數 (即 a  1 : x1  x2  loga x1  loga x2 )。 (2) 0  a  1 時, y  f (x) 是嚴格遞減函數 (即 0  a  1 : x1  x2  loga x1  loga x2 )。 7. 一對一函數: 平行於 x 軸的每一條直線都至多與 y  log a x 的圖形交於一點。 8. 當 a  1 時,圖形由左往右上升,且底數 a 越大,上升的速度越慢,當 x  0 時,圖形趨近 y 軸,稱 y 軸是 y  loga x 圖形的漸近線。 即當 a  1 時,若 x1  x2 ,則 log a x1  log a x 2  f ( x)  log a x 為遞增函數 f ( x)  log a x 的圖形向右上升 9. 當 0  a  1 時,圖形由左往右下降,且底數 a 越小,下降的速度越慢,當 x  0 時,圖形趨近 y 軸,稱 y 軸是 y  loga x 圖形的漸近線。 即當 0  a  1 時,若 x1  x2 ,則 log a x1  log a x 2  f ( x)  log a x 為遞減函數 f ( x)  log a x 的圖形向右下降 10. 對數函數圖形的凹击性: (1) 當 a  1 時, f ( x)  log a x 的圖形為凹向下, 即圖形上任兩點 A, B 的連線段在 A, B 兩點間 f ( x)  log a x 的圖形下方, x  x2 1 因此 (loga x1  log a x 2 )  log a 1 ,其中 x1 , x2 為任意的正實數。 2 2 x  x2  x1 x 2 ,再兩邊取對數即得證) (利用 1 2. y. y  loga x. y 2  log a x 2 x1  x 2 ) 2 log a x1  log a x 2 2 y1  log a x1. log a (. O. B A. x x1. x1  x 2 2. x2. (2) 當 0  a  1 時, f ( x)  log a x 的圖形為凹向上, 即圖形上任兩點 A, B 的連線段在 A, B 兩點間 f ( x)  log a x 的圖形上方, x  x2 1 因此 (loga x1  log a x 2 )  log a 1 ,其中 x1 , x2 為任意的正實數。 2 2 x  x2  x1 x 2 ,再兩邊取對數即得證) (利用 1 2 20.

(3) 【討論】 1. 試利用 y  log2 x 的圖形作出 y  2log2 x 的圖形。 解答: 設點 P( x0 , y0 ) 在 y  log2 x 的圖形上, 則 y0  log2 x0 ,於是 2 y0  2log2 x0 , 故點 Q( x0 , 2 y0 ) 在 y  2log2 x 的圖形上。 所以將 y  log2 x 的圖形以 x 軸為基準伸縮 2 倍, 便得 y  2log2 x 的圖形。. 2. 可知將以 2 為底的對數函數 y  log2 x 的圖形以 x 軸為基準適當伸縮,就可以 分別得到以 2 為底或以 4 為底的對數函數圖形。事實上,對任意實數 a  1 , 只要令正實數 k . log x 1 ,則由換底公式知 log a x  2  k log 2 x ,故以 a 為 log 2 a log 2 a. 底的對數函數 y  loga x 的圖形都可以用 y  log2 x 的圖形以 x 軸為基準伸縮 k 倍得到。當然,要用 y  log10 x 的圖形伸縮也是可以的。 【定義】 1. 點對稱: 給與平面上兩點 P, Q ,如果直線 L 是線段 PQ 的垂直平分線時, 稱 P 與 Q 對稱於 L , Q 稱為 P 對於 L 的對稱點。 2. 圖形對稱: 給與平面上兩圖形 G,G' ,直線 L 是同一平面上的一條直線,如果 (1) G 上的每一點 P 對於 L 的對稱點 P ' 都在圖形 G ' 上。 (2) G ' 上的每一點 P ' 對於 L 的對稱點 P 都在圖形 G 上。 那麼就稱圖形 G 與 G ' 對稱於直線 L , G 與 G ' 稱為對於 L 互相對稱的圖形, L 稱為圖形 G 與 G ' 的對稱軸。 註: 以上兩條件皆須成立,才稱圖形對稱。 【問題】 x. 1. 2. 3.. 1 函數 y  2 的圖形與函數 y    的圖形對稱於那一條直線? 2 x 函數 y  2 的圖形與函數 y  2  x 的圖形對稱於那一條直線? 函數 y  log2 x 的圖形與函數 y  log 1 x 的圖形對稱於那一條直線? x. 2. 4. 函數 y  log2 x 的圖形與函數 y   log2 x 的圖形對稱於那一條直線?. 21.

(4) 【問題】 1. 試畫出 y  log2 x 的圖形。 2. 試畫出 y  log3 x 的圖形。 3. 試畫出 y  log 1 x 的圖形。 2. 4. 試畫出 y  log 1 x 的圖形。 3. 5. 觀察上述幾個圖形中,哪幾個為互相對稱的圖形? 註: 底數互為倒數的兩對數函數,其圖形對稱於 x 軸。 1.8. 1.6. 1.4. 1.2. 1. 0.8. 0.6. 0.4. 0.2. -1.5. -1. -0.5. 0.5. 1. 1.5. 2. -0.2. -0.4. -0.6. -0.8. -1. -1.2. -1.4. -1.6. -1.8. 22. 2.5. 3. 3.5. 4. 4.5. 5.

(5) 【問題】 試利用平移、旋轉、伸縮、對稱等幾何方法畫出下列圖形: 1. 試畫出 y  log x 的圖形。 2. 試畫出 y  log( x) 的圖形。 3. 試畫出 y   log x 的圖形。 4. 試畫出 y   log( x) 的圖形。 5. 試畫出 y  (log x)  1 的圖形。 6. 試畫出 y  log(x  1) 的圖形。 7. 試畫出 y  log | x | 的圖形。 8. 試畫出 y   log | x | 的圖形。 9. 試畫出 y | log x | 的圖形。 10.試畫出 y | log( x) | 的圖形。 11.試畫出 y  log( x 2 ) 的圖形。(註: y  log( x 2 )  2 log | x | ) 12.試畫出 y  log(2x) 的圖形。 1.6. 1.4. 1.2. 1. 0.8. 0.6. 0.4. 0.2. -3. -2.5. -2. -1.5. -1. -0.5. 0.5 -0.2. -0.4. -0.6. -0.8. -1. -1.2. -1.4. -1.6. 23. 1. 1.5. 2. 2.5. 3.

(6) 【方法】 1. 對數形式的問題中,比較大小的常用方法有如下幾種: (1) 化成同底數。 (2) 化成同真數。 (3) 與 0,1比較大小。 (4) 兩兩相比。 (5) 取指數。 【性質】 對數比較大小時所使用的性質: 1. 當 a  1 (嚴格遞增): (1) x  1  log a x  0 。 (2) x  1  log a x  0 。 2. 當 0  a  1 (嚴格遞減): (1) x  1  log a x  0 。 (2) x  1  log a x  0 。 【比較】 同底的指數函數 f ( x)  a x 的圖形與對數函數 g ( x)  log a x 的圖形比較如下: 1. f ( x)  a x 與 g ( x)  log a x 的圖形對稱於直線 L : y  x 。 證明: 點 P(r, s) 在 y  a x 的圖形上.  s  ar  r  loga s  點 Q( s, r ) 在 y  log a x 的圖形上 而點 P(r, s) 與 Q( s, r ) 對稱於直線 y  x , 因此 y  a x 的圖形與 y  log a x 的圖形對稱於直線 L : y  x 。 2. 圖形都為連續,兩者對稱於直線 y  x , 且 y  a x 圖形恆過點 (0,1) , y  loga x 圖形恆過點 (1,0) 。 3. (1)當 a  1 時,都是嚴格遞增, 也就是若 x1  x2 時,則 a x1  a x2 ;若 x1  x2  0 時,則 log a x1  log a x 2 。 (2)當 0  a  1 時,都是嚴格遞減, 也就是若 x1  x2 時,則 a x1  a x2 ;若 x1  x2  0 時,則 loga x1  loga x2 。. 24.

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參考文獻

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