1-3-4指數與對數-對數函數

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(1)3-4 指數與對數-對數函數【目標】能認識對數函數，並理解同底的對數函數圖形與指數函數圖形對直線 y  x 對稱，透過指數函數的圖形了解對數函數圖形的凹击性，進而能解簡易的對數方程式與不等式。【定義】 1. 對數函數：設正實數 a  1，函數 f ( x )  loga x 稱為以 a 為底的對數函數，其中 x 可取任意正實數，此函數的圖形是坐標平面上所有點 ( x, log a x) 所形成。【性質】對數函數 y  log a x, a  0, a  1, x  0 圖形的特性： 1. 正實數 a  1 時，以 a 為底的對數函數 y  loga x 與以 a 為底的指數函數 y  a x ，兩者的圖形對稱於直線 y  x 。註：這是因為 y  log 2 x  x  2 y 。對摺翻印時， x 與 y 的角色會互換。所以 x  2 y 就變成 y  2x 。事實上，如果將以 2 為底的指數函數 y  2x 與以 2 為底的對數函數 y  log2 x ，兩函數圖形畫在同一坐標平面上，則兩者對稱於直線 y  x 。. 2.. y  loga x 圖形的性質： (1) 曲線完全在 y 軸右方，即真數 x 恆正，且過定點 (1,0) 。 (2) 當 a  1 時，曲線為由左到右上升的曲線；當 0  a  1 時，曲線為由左到右下降的曲線。 (3) 曲線往上、往下都沒有界限，且以 y 軸為漸近直線。 (4) 當 a  1 時，曲線凹口向下；當 0  a  1 時，曲線凹口向上。. a  1 時， y  loga x 的圖形可由 y  log2 x 的圖形以 x 軸為基準，鉛直方向伸縮而得。 1 4. 設正實數 a  1 ，則以 a 為底的對數 y  loga x 與以為底的對數函數 a y  log 1 x ，兩者的圖形對稱於 x 軸。 3.. a. 19.

(2) 5. (對數律)對於任意實數 x, y ，恆有 (1) f ( xy)  f ( x)  f ( y) 。 x (2) f ( )  f ( x)  f ( y) 。 y 6. 遞增、遞減：設正實數 a  1，對數函數 f ( x)  loga x 。 (1) a  1 時， y  f (x) 是嚴格遞增函數 (即 a  1 ： x1  x2  loga x1  loga x2 )。 (2) 0  a  1 時， y  f (x) 是嚴格遞減函數 (即 0  a  1 ： x1  x2  loga x1  loga x2 )。 7. 一對一函數：平行於 x 軸的每一條直線都至多與 y  log a x 的圖形交於一點。 8. 當 a  1 時，圖形由左往右上升，且底數 a 越大，上升的速度越慢，當 x  0 時，圖形趨近 y 軸，稱 y 軸是 y  loga x 圖形的漸近線。即當 a  1 時，若 x1  x2 ，則 log a x1  log a x 2  f ( x)  log a x 為遞增函數 f ( x)  log a x 的圖形向右上升 9. 當 0  a  1 時，圖形由左往右下降，且底數 a 越小，下降的速度越慢，當 x  0 時，圖形趨近 y 軸，稱 y 軸是 y  loga x 圖形的漸近線。即當 0  a  1 時，若 x1  x2 ，則 log a x1  log a x 2  f ( x)  log a x 為遞減函數 f ( x)  log a x 的圖形向右下降 10. 對數函數圖形的凹击性： (1) 當 a  1 時， f ( x)  log a x 的圖形為凹向下，即圖形上任兩點 A, B 的連線段在 A, B 兩點間 f ( x)  log a x 的圖形下方， x  x2 1 因此 (loga x1  log a x 2 )  log a 1 ，其中 x1 , x2 為任意的正實數。 2 2 x  x2  x1 x 2 ，再兩邊取對數即得證) (利用 1 2. y. y  loga x. y 2  log a x 2 x1  x 2 ) 2 log a x1  log a x 2 2 y1  log a x1. log a (. O. B A. x x1. x1  x 2 2. x2. (2) 當 0  a  1 時， f ( x)  log a x 的圖形為凹向上，即圖形上任兩點 A, B 的連線段在 A, B 兩點間 f ( x)  log a x 的圖形上方， x  x2 1 因此 (loga x1  log a x 2 )  log a 1 ，其中 x1 , x2 為任意的正實數。 2 2 x  x2  x1 x 2 ，再兩邊取對數即得證) (利用 1 2 20.

(3) 【討論】 1. 試利用 y  log2 x 的圖形作出 y  2log2 x 的圖形。解答：設點 P( x0 , y0 ) 在 y  log2 x 的圖形上，則 y0  log2 x0 ，於是 2 y0  2log2 x0 ，故點 Q( x0 , 2 y0 ) 在 y  2log2 x 的圖形上。所以將 y  log2 x 的圖形以 x 軸為基準伸縮 2 倍，便得 y  2log2 x 的圖形。. 2. 可知將以 2 為底的對數函數 y  log2 x 的圖形以 x 軸為基準適當伸縮，就可以分別得到以 2 為底或以 4 為底的對數函數圖形。事實上，對任意實數 a  1 ，只要令正實數 k . log x 1 ，則由換底公式知 log a x  2  k log 2 x ，故以 a 為 log 2 a log 2 a. 底的對數函數 y  loga x 的圖形都可以用 y  log2 x 的圖形以 x 軸為基準伸縮 k 倍得到。當然，要用 y  log10 x 的圖形伸縮也是可以的。【定義】 1. 點對稱：給與平面上兩點 P, Q ，如果直線 L 是線段 PQ 的垂直平分線時，稱 P 與 Q 對稱於 L ， Q 稱為 P 對於 L 的對稱點。 2. 圖形對稱：給與平面上兩圖形 G,G' ，直線 L 是同一平面上的一條直線，如果 (1) G 上的每一點 P 對於 L 的對稱點 P ' 都在圖形 G ' 上。 (2) G ' 上的每一點 P ' 對於 L 的對稱點 P 都在圖形 G 上。那麼就稱圖形 G 與 G ' 對稱於直線 L ， G 與 G ' 稱為對於 L 互相對稱的圖形， L 稱為圖形 G 與 G ' 的對稱軸。註：以上兩條件皆須成立，才稱圖形對稱。【問題】 x. 1. 2. 3.. 1 函數 y  2 的圖形與函數 y    的圖形對稱於那一條直線？ 2 x 函數 y  2 的圖形與函數 y  2  x 的圖形對稱於那一條直線？函數 y  log2 x 的圖形與函數 y  log 1 x 的圖形對稱於那一條直線？ x. 2. 4. 函數 y  log2 x 的圖形與函數 y   log2 x 的圖形對稱於那一條直線？. 21.

(4) 【問題】 1. 試畫出 y  log2 x 的圖形。 2. 試畫出 y  log3 x 的圖形。 3. 試畫出 y  log 1 x 的圖形。 2. 4. 試畫出 y  log 1 x 的圖形。 3. 5. 觀察上述幾個圖形中，哪幾個為互相對稱的圖形？註：底數互為倒數的兩對數函數，其圖形對稱於 x 軸。 1.8. 1.6. 1.4. 1.2. 1. 0.8. 0.6. 0.4. 0.2. -1.5. -1. -0.5. 0.5. 1. 1.5. 2. -0.2. -0.4. -0.6. -0.8. -1. -1.2. -1.4. -1.6. -1.8. 22. 2.5. 3. 3.5. 4. 4.5. 5.

(5) 【問題】試利用平移、旋轉、伸縮、對稱等幾何方法畫出下列圖形： 1. 試畫出 y  log x 的圖形。 2. 試畫出 y  log( x) 的圖形。 3. 試畫出 y   log x 的圖形。 4. 試畫出 y   log( x) 的圖形。 5. 試畫出 y  (log x)  1 的圖形。 6. 試畫出 y  log(x  1) 的圖形。 7. 試畫出 y  log | x | 的圖形。 8. 試畫出 y   log | x | 的圖形。 9. 試畫出 y | log x | 的圖形。 10.試畫出 y | log( x) | 的圖形。 11.試畫出 y  log( x 2 ) 的圖形。(註： y  log( x 2 )  2 log | x | ) 12.試畫出 y  log(2x) 的圖形。 1.6. 1.4. 1.2. 1. 0.8. 0.6. 0.4. 0.2. -3. -2.5. -2. -1.5. -1. -0.5. 0.5 -0.2. -0.4. -0.6. -0.8. -1. -1.2. -1.4. -1.6. 23. 1. 1.5. 2. 2.5. 3.

(6) 【方法】 1. 對數形式的問題中，比較大小的常用方法有如下幾種： (1) 化成同底數。 (2) 化成同真數。 (3) 與 0,1比較大小。 (4) 兩兩相比。 (5) 取指數。【性質】對數比較大小時所使用的性質： 1. 當 a  1 (嚴格遞增)： (1) x  1  log a x  0 。 (2) x  1  log a x  0 。 2. 當 0  a  1 (嚴格遞減)： (1) x  1  log a x  0 。 (2) x  1  log a x  0 。【比較】同底的指數函數 f ( x)  a x 的圖形與對數函數 g ( x)  log a x 的圖形比較如下： 1. f ( x)  a x 與 g ( x)  log a x 的圖形對稱於直線 L : y  x 。證明：點 P(r, s) 在 y  a x 的圖形上.  s  ar  r  loga s  點 Q( s, r ) 在 y  log a x 的圖形上而點 P(r, s) 與 Q( s, r ) 對稱於直線 y  x ，因此 y  a x 的圖形與 y  log a x 的圖形對稱於直線 L : y  x 。 2. 圖形都為連續，兩者對稱於直線 y  x ，且 y  a x 圖形恆過點 (0,1) ， y  loga x 圖形恆過點 (1,0) 。 3. (1)當 a  1 時，都是嚴格遞增，也就是若 x1  x2 時，則 a x1  a x2 ；若 x1  x2  0 時，則 log a x1  log a x 2 。 (2)當 0  a  1 時，都是嚴格遞減，也就是若 x1  x2 時，則 a x1  a x2 ；若 x1  x2  0 時，則 loga x1  loga x2 。. 24.

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