Contents
1.1 函数的单调性 ... 2 1.2 减函数和增函数 ... 2 1.3 奇偶函数的图象特征 ... 2 1.4 偶函数 ... 2 1.5 函数的对称性 ... 2 1.6 函数的点对称和周期性 ... 2 1.7 多项式函数奇偶性 ... 2 1.8 函数的图象的对称性 ... 3 1.9 两个函数图象的对称性 ... 3 1.10 函数的平移 ... 3 1.11 互为反函数的两个函数的关系 ... 3 1.12 反函数 ... 3 1.13 几个常见的函数方程 ... 3 1.14 几个函数方程的周期(约定 a>0) ... 4 1.15 分数指数幂 ... 4 1.16 根式的性质 ... 4 1.17 有理指数幂的运算性质 ... 4 1.18 指数式与对数式的互化式 ... 4 1.19 对数的换底公式 ... 5 1.20 对数的四则运算法则 ... 5 1.21 Log 函数 ... 5 1.22 对数换底不等式及其推广 ... 51.1
函数的单调性
(1)设
2 1 2 1x
a
,
b
,
x
x
x
那么
1 2 1 2(
x
x
)
f x
( )
f x
(
)
0
f
x
a
b
x
x
x
f
x
f
,
)
(
0
)
(
)
(
2 1 2 1
在
上是增函数；
1 2 1 2(
x
x
)
f x
( )
f x
(
)
0
f
x
a
b
x
x
x
f
x
f
,
)
(
0
)
(
)
(
2 1 2 1
在
上是减函数. (2)设函数y
f
(x
)
在某个区间内可导，如果f
(
x
)
0
，则f
(x
)
为增函数；如果f
(
x
)
0
，则f
(x
)
为减函数.1.2 减函数和增函数
如果函数f
(x
)
和g
(x
)
都是减函数,则在公共定义域内,和函数f
(
x
)
g
(
x
)
也是减函数; 如果函数y
f
(u
)
和u
g
(x
)
在其对 应的定义域上都是减函数,则复合函数y
f
[
g
(
x
)]
是增函数.1.3 奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数．1.4 偶函数
若函数y
f
(x
)
是偶函数，则f
(
x
a
)
f
(
x
a
)
；若函数y
f
(
x
a
)
是偶函数，则f
(
x
a
)
f
(
x
a
)
.1.5 函数的对称性
对于函数y
f
(x
)
(x
R
),f
(
x
a
)
f
(
b
x
)
恒成立,则函数f
(x
)
的对称轴是函数2
b
a
x
; 两个函数y
f
(
x
a
)
与)
(
b
x
f
y
的图象关于直线2
b
a
x
对称.1.6 函数的点对称和周期性
若f
(
x
)
f
(
x
a
)
,则函数y
f
(x
)
的图象关于点,
0
)
2
(
a
对称; 若f
(
x
)
f
(
x
a
)
,则函数y
f
(x
)
为周期为2
a
的周期函数.1.7 多项式函数奇偶性
多项式函数 1 1 0( )
n n n nP x
a x
a
x
L
a
的奇偶性 多项式函数P x
( )
是奇函数
P x
( )
的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
1.8 函数的图象的对称性
(1)函数y
f x
( )
的图象关于直线x
a
对称
f a
(
x
)
f a
(
x
)
(2
)
( )
f
a
x
f x
. (2)函数y
f x
( )
的图象关于直线2
a b
x
对称
f a
(
mx
)
f b
(
mx
)
(
)
(
)
f a
b
mx
f mx
.1.9 两个函数图象的对称性
(1)函数y
f x
( )
与函数y
f
(
x
)
的图象关于直线x
0
(即y
轴)对称. (2)函数y
f mx a
(
)
与函数y
f b mx
(
)
的图象关于直线2
a b
x
m
对称. (3)函数y
f
(x
)
和y
f
1(
x
)
的图象关于直线 y=x 对称.1.10 函数的平移
若将函数y
f
(x
)
的图象右移a
、上移b
个单位，得到函数y
f
(
x
a
)
b
的图象；若将曲线f
(
x
,
y
)
0
的图象右移a
、上 移b
个单位，得到曲线f
(
x
a
,
y
b
)
0
的图象.1.11 互为反函数的两个函数的关系
a
b
f
b
a
f
(
)
1(
)
.1.12 反函数
若函数y
f
(
kx
b
)
存在反函数,则其反函数为1
[
f
1(
x
)
b
]
k
y
,并不是y
[
f
1(
kx
b
)
,而函数y
[
f
1(
kx
b
)
是]
)
(
[
1
b
x
f
k
y
的反函数.1.13 几个常见的函数方程
(1)正比例函数f x
( )
cx
,f x
(
y
)
f x
( )
f y
( ), (1)
f
c
. (2)指数函数f x
( )
a
x,f x
(
y
)
f x f y
( ) ( ), (1)
f
a
0
. (3)对数函数f x
( )
log
ax
,f xy
(
)
f x
( )
f y
( ), ( )
f a
1(
a
0,
a
1)
. (4)幂函数f x
( )
x
, '(
)
( ) ( ),
(1)
f xy
f x f y
f
. (5)余弦函数f x
( )
cos
x
,正弦函数g x
( )
sin
x
，f x
(
y
)
f x f y
( ) ( )
g x g y
( ) ( )
， 0( )
(0)
1, lim
1
xg x
f
x
.1.14 几个函数方程的周期(约定 a>0)
（1）f
(
x
)
f
(
x
a
)
，则f
(x
)
的周期 T=a； （2）f
(
x
)
f
(
x
a
)
0
， 或(
(
)
0
)
)
(
1
)
(
f
x
x
f
a
x
f
，或(
)
1
( )
f x a
f x
( ( ) 0)
f x
, 或1
2
( )
( )
(
), ( ( )
0,1 )
2
f x
f
x
f x
a
f x
,则f
(x
)
的周期 T=2a (3)(
(
)
0
)
)
(
1
1
)
(
f
x
a
x
f
x
f
，则f
(x
)
的周期 T=3a； (4))
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
2 1 2 1 2 1x
f
x
f
x
f
x
f
x
x
f
且f a
( )
1( ( )
f x
1
f x
(
2)
1, 0 |
x
1
x
2| 2 )
a
，则f
(x
)
的周期 T=4a； (5)f x
( )
f x a
(
)
f x
(
2 ) (
a f x
3 )
a
f x
(
4 )
a
f x f x a f x
( ) (
) (
2 ) (
a f x
3 ) (
a f x
4 )
a
,则f
(x
)
的周期 T=5a； (6)f
(
x
a
)
f
(
x
)
f
(
x
a
)
，则f
(x
)
的周期 T=6a.1.15 分数指数幂
(1)1
m n n ma
a
（a
0, ,
m n
N
，且n
1
）. (2)1
m n m na
a
（a
0, ,
m n
N
，且n
1
）.1.16 根式的性质
（1）(
n)
na
a
. （2）当n
为奇数时，n na
a
； 当n
为偶数时，| |
,
0
,
0
n na a
a
a
a a
.1.17 有理指数幂的运算性质
(1)a
r
a
s
a
r s(
a
0, ,
r s
Q
)
. (2)(
a
r)
s
a
rs(
a
0, ,
r s
Q
)
. (3)(
ab
)
r
a b a
r r(
0,
b
0,
r
Q
)
. 注： 若 a＞0，p 是一个无理数，则 ap 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.1.18 指数式与对数式的互化式
log
aN
b
a
b
N
(
a
0,
a
1,
N
0)
.1.19 对数的换底公式
log
log
log
m a mN
N
a
(a
0
,且a
1
,m
0
,且m
1
,N
0
). 推论log
mlog
n a an
b
b
m
(a
0
,且a
1
,m n
,
0
,且m
1
,n
1
,N
0
).1.20 对数的四则运算法则
若 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)log (
aMN
)
log
aM
log
aN
;(2)
log
alog
alog
aM
M
N
N
; (3)log
aM
n
n
log
aM n
(
R
)
.1.21 Log 函数
设函数f
(
x
)
log
m(
ax
2
bx
c
)(
a
0
)
,记
b
2
4
ac
.若f
(x
)
的定义域为R
,则a
0
，且
0
;若f
(x
)
的值域为R
, 则a
0
，且
0
.对于a
0
的情形,需要单独检验.1.22 对数换底不等式及其推广
若a
0
,b
0
,x
0
,x
1
a
,则函数y
log (
axbx
)
(1)当a
b
时,在(0, )
1
a
和1
( ,
)
a
上y
log (
axbx
)
为增函数. ， (2)当a
b
时,在1
(0, )
a
和( ,
1
)
a
上y
log (
axbx
)
为减函数. 推论:设n
m
1
，p
0
，a
0
，且a
1
，则 （1）log
m p(
n
p
)
log
mn
. （2） 2log
log
log
2
a a a
