國中數學5 1 3相似三角形的應用

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1−3 相似三角形的應用

本節課程學習重點： ◎能利用相似性質進行簡易的測量。 ◎兩個相似三角形，其內部對應的線段比，例如：高、角平分線、中線，都與原來三角形的邊長比 相同，而兩個相似三角形的面積比為邊長平方的比。 ◎直角三角形的相似關係。 ◎知道中點連線性質。 ◎知道三角形與四邊形各邊中點依序連接後，新圖形與原圖形周長與面積的關係。一、簡易測量：利用相似三角形對應邊成比例的性質，可以進行簡易測量。練習1 ：麗如的身高 160 公分，如果在下午測得他被太陽照出的影長是 200 公分，同時身旁一棵樹的影長是 5 公尺，那麼這棵樹的高度為多少公尺？練習2 ：小嘉的身高 170 公分，如果在某時刻測得他被太陽照出的影長是 85 公分，同時附近一棟建築物的影長是 15 公尺，則此棟建築物的高度為多少公尺？練習3 ：馬哥站在岸邊的 B 點，看著對岸河邊的一個大石頭 A 點， AB 與河岸垂直。他想測量河的寬度，於是從 B 點順著 河岸走 20 步到達 C 點，做一個記號。由 C 點再繼續往前 走 5 步到 D 點。最後沿著 CD 的垂直方向，朝離開河的 方向前進直到 E 點，使得 A、C、E 在同一條直線上。 若馬哥走的每一步距離都相等，且測量出 DE ＝2 公尺， 則 AB 為多少公尺？ 2 公尺 5 公尺 x 公尺 A B _C _F D E 1.6 公尺 A B C D E

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練習4 ：如右圖，秀紋利用三角形的相似性質測量河寬 DE ， 若他測量出 AB ＝10m、 CD ＝4m， BD ＝9m，那麼 河寬 DE 為多少？ 二、相似三角形的面積與邊長關係： ◎相似三角形的對應線段與面積關係： (1)兩個相似三角形之對應高、對應角平分線、對應中線的比都等於原來三角形對應邊的比。 (2)兩個相似三角形的面積比等於對應邊長平方的比。 例如：若△ABC～△DEF，且其對應邊長比為 2：3，則 (1)對應高的比＝2：3。 (2)對應角平分線的比＝2：3。 (3)對應中線的比＝2：3。 (4)△ABC 面積：△DEF 面積＝22：32＝4：9。【觀念釐清】(1)如右圖，△ABC～△DEF，A、B、C的對應點 分別為D、E、F。若 AP 和 DQ 分別為三角形 的對應高，則 AP ： DQ ＝ AB ： DE 。 【說明】∵△ABC～△DEF，∴∠ABP＝∠DEQ， 又∠APB＝∠DQE＝90°， ∴△ABP～△DEQ (AA 相似)， 得 AP ： DQ ＝ AB ： DE 。 (2)如右圖，△ABC～△DEF，若 → AR 和 → DS 分別為 三角形的對應角平分線，則 AR ： DS ＝ AB ： DE 。 【說明】∵△ABC～△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF，∠BAC＝∠EDF， 又∠BAR＝1_2∠BAC＝1_{2∠EDF＝∠EDS，}

∴△ABR～△DES (AA 相似)， 得 AR ： DS ＝ AB ： DE 。 (3)如右圖，△ABC～△DEF，M、N 分別為 BC 、 EF 中點，則 AM ： DN ＝ AB ： DE 。 【說明】∵△ABC～△DEF， ∴ AB ： DE ＝ BC ： EF ＝2 BM ：2 EN ＝ BM ： EN ， 又∠ABC＝∠DEF，∴△ABM～△DEN (SAS 相似)， 得 AM ： DN ＝ AB ： DE 。 (三角形任一頂點與其對邊中點的連線段稱為中線。例如： AM 為△ABC 的中線。) B A D C E A B P C D E Q F B R C A E S F D B M C A E N F D

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B C A F D E N M (4)如右圖，△ABC～△DEF， 則△ABC面積：△DEF面積＝ BC 2： EF 2。 【說明】∵△ABC～△DEF， 若 AP 和 DQ 分別為三角形的對應高， 則 AP ： DQ ＝ BC ： EF ，即 AP DQ ＝ BC EF ， ∴△ABC 面積_{△DEF 面積}＝ 1 2× BC × AP 1 2× EF × DQ ＝ BC EF × AP DQ ＝ BC EF × BC EF ＝ BC 2 EF 2， 得△ABC面積：△DEF面積＝ BC 2： EF 2。練習5 ：已知△ABC～△DEF， ¯ CM 、 ¯ FN 分別為 ¯ AB 、 ¯ DE 上的高。 若 ¯ CM ： ¯ FN ＝3：2， ¯ BC ＝12，則 ¯ EF 為多少？ 練習6 ：如右圖，△ABC～△DEF，其中 AH 與 DK 是對應高， 且 AH ： DK ＝3：2，若△ABC 的面積為 15， 則△DEF 的面積為多少？ 練習7 ：如右圖，△ABC 中，∠A＝90°， AB ＝8、 AC ＝6， 若從 AB 中點 D 作 DE ⊥ BC ，且與 BC 交於 E 點，則 (1)△EBD 和△ABC 相似嗎？ (2)△EBD 面積：△ABC 面積＝？ D E Q F A B P C A B E K F D C H A B E D C

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三、直角三角形的母子相似關係： 直角△ABC 中，∠BAC＝90°， AD ⊥ BC 於 D 點，則 (1)△ABC～△DBA～△DAC。 (2) AB 2＝ BD × BC 。 (3) AC 2＝ CD × CB 。 (4) AD 2＝ DB × DC 。【說明】(1)在△ABC和△DBA中，∵ ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ ∠BAC＝∠BDA＝90° ∠B＝∠B ( 共用角) ∴△ABC～△DBA(AA相似)。 在△ABC和△DAC中，∵ ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ ∠BAC＝∠ADC＝90° ∠C＝∠C ( 共用角) ∴△ABC～△DAC (AA相似)。 (2)由△ABC～△DBA，得 AB ： BD ＝ BC ： BA ，故 AB 2＝ BD × BC 。 (3)由△ABC～△DAC，得 AC ： DC ＝ BC ： AC ，故 AC 2＝ CD × CB 。 (4)由△DBA～△DAC，得 DB ： DA ＝ DA ： DC ，故 AD 2＝ DB × DC 。 【觀念釐清】可用「直角三角形的相似關係」推論：直角△ABC中， AB 2＋ AC 2＝ BC 2。(畢氏定理) 【說明】 AB 2＋ AC 2＝ BD × BC ＋ CD × CB ＝ BC ×( BD ＋ CD )＝ BC 2。練習8 ：如右圖，△ABC中，∠BAC＝90°， AD ⊥ BC ，且 BD ＝5、 CD ＝4。 則(1) AB ＝？ (2) AC ＝？ (3) AD ＝？ 練習9：△ABC 中，∠BAC＝90°， ¯ AD 為 ¯ BC 上的高，且 ¯ AD ＝6， ¯ BD ＝12，則 (1) ¯ CD ＝？ (2) ¯ AB ＝？ (3) ¯ AC ＝？ 四、多邊形各邊中點連線性質： (1)三角形三邊中點連線所形成的新三角形與原三角形相似，且周長為原三角形周長的1_2，面積為原三角形面積的1_4。 (2)四邊形四邊中點連線所形成的四邊形是平行四邊形，且周長為原四邊形兩對角線的和，面積為原四邊形面積的1_2。 A B D C A B D C A B D C

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B C D F H G E A 【觀念釐清】(1)如右圖，△ABC中，D、E、F分別為三邊中點，則

c

△DEF～△ABC。

d

△DEF周長＝1_{2△ABC周長。}

e

△DEF面積＝1_{4△ABC面積。} 【說明】

c

∵D、E、F分別為 BC 、 AC 、 AB 中點， 得 ED ＝1_{2 AB ， FE ＝}1_{2 BC ， FD ＝}1_{2 AC ，} ∴△DEF～△ABC (SSS相似)。

d

△DEF周長＝ ED ＋ FE ＋ FD ＝1_{2 AB ＋}1_{2 BC ＋}1_{2 AC ，} △DEF周長＝1_{2( AB ＋ BC ＋ AC )＝}1_{2△ABC周長。}

e

∵相似三角形面積比等於對應邊長平方比， ∴△DEF面積：△ABC面積＝12_：22_＝1：4， 所以△DEF面積＝1_{4△ABC面積。} (2)如右圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H為各邊中點， AC 、 DB 為對角線。則

c

四邊形EFGH是平行四邊形。

d

四邊形EFGH周長＝ DB ＋ AC 。

e

四邊形EFGH面積＝1_{2×四邊形ABCD面積。} 【說明】

c

∵E、F、G、H為四邊中點， ∴ EF // DB ， EF ＝1_{2 DB ， HG // DB ， HG ＝}1_{2 DB ，} 得 EF // HG // DB ， EF ＝ HG ＝1_{2 DB ；同理， FG ＝ EH ＝}1_{2 AC ，} 所以四邊形EFGH是平行四邊形。

d

四邊形EFGH周長 ＝( EF ＋ HG )＋( FG ＋ EH )＝2×1_{2 DB ＋2×}1_{2 AC ＝ DB ＋ AC 。}

e

∵ EF // DB ，∴△AEF～△ADB，

即△AEF面積：△ADB面積＝ EF 2： DB 2＝1：4，△AEF面積＝1_{4△ADB面積，} 同理，△BFG面積＝1_{4△BAC面積，△CGH面積＝}1_{4△CBD面積，} △DEH面積＝1_{4△DAC面積，} 得△AEF面積＋△BFG面積＋△CGH面積＋△DEH面積 ＝1_{4(△ADB面積＋△BAC面積＋△CBD面積＋△DAC面積)} ＝1_{4(2×四邊形ABCD面積)＝}1_{2×四邊形ABCD面積，} 即四邊形EFGH面積 ＝四邊形ABCD面積－(△AEF面積＋△BFG面積＋△CGH面積＋△DEH面積) ＝1_{2×四邊形ABCD面積。} B C D F E A

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A B D E F C

練習10：△ABC 中，D、E、F 分別為 BC 、 AC 、 AB 中點，已知 DE ＝3、 DF ＝4、∠FDE＝90°， 試求△ABC 的周長與面積。 練習11：如右圖，菱形 ABCD 中， AC ＝24、 BD ＝10，E、F、G、H 為四邊中點，試問： (1)四邊形 EFGH 是長方形嗎？ (2)四邊形 EFGH 的周長與面積。 自我評量 1. 一群海盜在無名島上藏了三批珠寶，先在島上 A 地藏第一批珠寶，然後向東走 x 公里，再向南 走5 公里到 B 地藏第二批珠寶，再循原路回到 A 地後，向西走 6 公里，再向北走 10 公里到 C 地 藏第三批珠寶，如果 A、B、C 三地恰好在一條直線上，則 x 的值為多少？ 2. 如右圖，四邊形 ABCD 為平行四邊形，E 點在 AD 上，且 → BE 與 → CD 相交於 F 點。 若 BC ＝10、 DE ＝6，則△ABE 面積：△DEF 面積為多少？ 3. 如右圖，在△ABC 中，∠ACB＝∠BPC＝90°。已知¯ AP ＝9，¯ BC ＝20，試求： (1)¯ BP 的長。 (2)¯ PC 的長。 B C D F H G O E A A P C B

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5公尺小翊

爸爸 4. 如右圖，△ABC 為邊長 12 的正三角形，若 D、E、F 為△ABC 各邊中點，

G、H、I 為△DEF 各邊中點，則 (1)圖中所有線段長之和＝？ (2)△DEF 面積＝？ 習作 1. 已知美美的身高為 180 公分，在太陽下，當她的影子長為 100 公分時，量出旗杆的影子長為250 公分，求旗杆長為幾公分？ 2. 小靖設計兩個直角三角形來測量河寬 AB ，如右圖。 DE 、 AB 皆同時 與河岸 AD 垂直，且 C 在 BE 上。已知 DE ＝8 公尺、 CD ＝6 公尺、 AC ＝12 公尺，求河寬 AB 長度為多少？ 3. 已知小翊的眼睛離地面高度為 120 公分，爸爸的眼睛離地面高度為180 公分，兩人相距 5 公尺站立著。若要在兩人之間的地面上平放一面鏡子，使小翊和爸爸可以透過鏡子相視，則鏡子應放在距離爸爸多少公尺處？ G H I A B F C D E ？ 180 250 100 A B E D C

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4. 如右圖，△ABC 中， DE // BC ， AD ： DB ＝4：3，則 (1) AE ： EC ＝？ (2)△ADE 周長：△ABC 周長＝？ (3)若△ABC 面積為 49_{2 平方公分，則△ADE 面積＝？} 5. 如右圖，直角△ABC 中，∠BAC＝90°， ¯ AD 為¯ BC 上的高， 若 ¯ AD ＝6、 ¯ CD ＝4，則¯ AB 、¯ AC 的長度分別為何？ 6. 如右圖，垂直地面且高均為 3 公尺的兩盞路燈¯ AB 、 ¯ CD 相距 15 公尺。 已知小妍身高為120 公分，試求： (1)路燈¯ AB 的光線照射至小妍，所產生的影子恰為¯ CE ， 則¯ CE 為多少公尺？ (2)路燈 ¯ CD 的光線照射至小妍，所產生的影子恰為 ¯ GE ， 則 ¯ GE 為多少公尺？

7. 如右圖，△ABC～△DEF，¯ BP 、¯ ER 分別為∠ABC 與∠DEF 的角平分線， ¯ BQ 、¯ ES 分別為¯ AC 、¯ DF 上的高。若¯ AB ： ¯ DE ＝3：2，試求： (1) ¯ PQ ：¯ RS ＝？ (2)△BPQ 面積：△ERS 面積＝？ A B C E D A B D C A B G E F C D 小妍 A B F D E S R Q P C

(9)

8. 如右圖，E、F、G、H 分別為長方形ABCD四邊的中點，I、J、K、L 分別為四邊形EFGH四邊的中點，若 AB ＝6、 BC ＝8，則四邊形EFG 與四邊形IJKL的面積和為多少？ 類題補充 1. 如右圖，△ABC 中，D、E 分別為 AB 、 AC 的中點，則 (1) DE ： BC ＝？ (2) DF ： FC ＝？ (3)若 AB ＝6、 BC ＝7、 AC ＝8，試求 DE 的長度與△ADE 的周長。 2. 建華從河岸邊觀測河對岸一座高塔，想知道它有多高多遠，因此在地上立了兩根2 公尺的標竿，兩竿相距 30 公尺，且使兩標竿和高塔的位置在一條直線上。其中第一根標竿插在岸邊，後退2 公尺，由地面向上望，觀測得竿頂與塔頂在一直線上；再從第二根標竿後退3 公尺，由地面向上望，觀測 得竿頂與塔頂在一直線上。設塔高 y 公尺，塔與岸邊的距離 是 x 公尺，則 x 與 y 各為多少？ 3. 小翊為測量樹高，站在距樹前 30 公尺處，將其手臂伸直，將一把 有刻度的尺豎在眼睛前方，若小翊的眼睛 O 點和尺上端的 A 點及 樹的頂端 D 點同在一直線上，且 O 點與尺下端的 B 點及樹的底部 C 點同在一直線上，如右圖。若尺的長為 18 公分，小翊的手臂長 54 公分，則樹高為公尺。 A D B E F H L I K J G C D O

30m

A E B C A D E F B C 2 y 3 30 x

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4. 如右圖，四邊形 ABCD 中，E、F、G、H 為各邊中點， 則四邊形 EFGH 是；若四邊形 ABCD 面積為28，則四邊形 EFGH 面積為。 5. 小靖在布幕前 30 公分放一根蠟燭，在蠟燭與布幕間離蠟燭 10 公分處直立一枝鉛筆。已知鉛筆的長度為 12 公分，試求： (1)布幕上鉛筆影子的長度為幾公分？ (2)若鉛筆的影子長度為 45 公分，則鉛筆長幾公分？ 6. 如圖，ABCD 是梯形， AC 與 BD 相交於 E 點， AD // BC ， AD ＝8， BC ＝10，又△BCE 面積為 75 平方公分，則 (1) △ADE 面積＝？ (2) △ABE 面積＝？ (3) 梯形 ABCD 面積＝？ 7. 如圖，□ ABCD 中，若 2 AC ＝5 AE ，且△AEF 面積＝20 平方公分，則 (1) △BCE 面積＝？ (2) 平行四邊形 ABCD 面積＝？ 8. 如圖，△ABC 中，D、E 兩點分別為 AB 、 AC 的中點，且 DF ⊥ BC ， EG ⊥ BC ，若 AB ＝12， AC ＝5，∠A＝90°，則 (1) FG ＝？ (2)四邊形 DFGE 周長＝？ A B C D H E F G 10 30 A D E B C A F E D B C A B C G E F D

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9. 如圖，△ABC 中，D、E 兩點分別為 AB 、 AC 的中點，F、G 兩點 分別為 AD 、 AE 的中點，P、Q 兩點分別為 AF 、 AG 的中點， (1)若 PQ ＝5，則 FG ＋ DE ＋ BC ＝？ (2)若△AFG 面積＝10，則四邊形 BCED 面積＝？ 10. 如圖，E、F、G、H 四點分別為 AB 、 BC 、 CD 、 AD 之中點， (1)若 AC ＝24， BD ＝16，則四邊形 EFGH 周長＝？ (2)若四邊形 ABCD 面積＝50，則四邊形 EFGH 面積＝？ 11. 如圖，△ABC 中，∠B＝90°，D、E、F 三點分別 AB 、 BC 、 AC 的中點，P、Q、R 三點分別為 DE 、 EF 、 FD 的中點， (1)若 PQ ＝3， PR ＝4，則 AC ＝？ (2)若△FRQ 面積＝20，則四邊形 BDFE 面積＝？

12. 如圖，△ABC 中， DE // BC ，若四邊形 DBCE 面積是△ADE 面積的5_{4 倍，} 則 AD ： DB 的比值為何？ 13. 如圖，四邊形 ABCD 中，E、F、G、H 四點分別為 AD 、 BD 、 BC 、 AC 的中點。若 AB ＋ CD ＝20， AD ＋ BC ＝30，則四邊形 EFGH 周長＝？ A B C G P Q E F D A B C G H E F D A B C E Q F R P D A B C E D A D B C E F G H

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A B C D 14. 如圖，在□ ABCD 中，直線 AF 交 BC 的延長線於 E 點， CE ＝1_{3 BC ，} △AFD 面積＝18，則 (1) △CEF 面積＝？ (2) △ABE 面積＝？ 15. 如右圖，△ABC 中， DE // BC ， DC 和 BE 相交於 P 點， DE ： BC ＝2：3， (1)若 BP ＝9， EP ＝？ (2)若△DEP 面積＝4，△ADE 面積＝？ 16. 如右圖，某人為了要測樹高 AB ，於離樹根 B 點 10 公尺的 D 點處 打了一根標竿 CD ，並在 BD 的延長線上找到一點 E，使 A、C、E 三點成一直線。若 CD ＝1 公尺，又測得 DE ＝2 公尺，則樹高 AB ＝？ 17. 若△ABC 中，∠C＝90°， CD ⊥ AB 於 D， AC ＝6， BC ＝8，則 (1) AD ＝？ (2)△ABC 面積：△CBD 面積＝？ B C F E A D B C D E P A B D E C A

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加強練習 1. 如右圖，△ABC 中，∠BAC＝90°， AD ⊥ BC ，已知 CD ＝8， AC ＝10， 下列何者錯誤？ (A) BD ＝4.5 (B) AD ＝6 (C) AB ＝7.5 (D)△ABC 面積：△ACD 面積＝5：4 2. △ABC 中，∠BAC＝90°， AD ⊥ BC ，若 AB ＝6， AC ＝8， 則 BD ＝？ (A) 3.6 (B) 4.2 (C) 4.8 (D) 5.2 3. 如圖，△ABC 中，已知 E 為 AC 的中點，且∠AED＝∠ACB，若 AC ＝10， BC ＝20， BD ＝8，則△ADE 周長＝？ (A) 46 (B) 38 (C) 30 (D) 23 4. 一個斜坡長 40 公尺，它的高為 4 公尺，把重物從斜坡起點推到斜坡上10 公尺處停下來，則停下來的地點高度為多少公尺？ (A) 2.5 (B) 2 (C) 1.5 (D) 1 5. 如圖，有 A 村與一直線型的公路，今以 A 村為基準點，向南走 5 公里 可到達公路。若由 A 村向東走 6 公里到達公路後，繼續向東走 8 公里， 再向北走多少公里之後可到達公路？ 6. 如右圖，P、Q 是湖泊岸邊的兩點， ST // PQ ，並量得 RS ＝24 公尺， ST ＝18 公尺， SP ＝28 公尺，則 PQ ＝？ (A) 26 公尺 (B) 36 公尺 (C) 39 公尺 (D) 42 公尺 7. 如右圖，小棋設計兩個直角三角形來測河寬 AB ，他已量出 AC ＝24 公尺， CD ＝9 公尺， DE ＝12 公尺，則河寬 AB ＝？ (A) 36 公尺 (B) 32 公尺 (C) 28 公尺 (D) 24 公尺 8. 已知平面鏡的成像距離等於物體與鏡的距離。若身高 170 公分的小孟想買一面可看見自己全身像的鏡子，如下圖，則鏡子的長度最少須為公分。 50 公分 10 公分鏡牆 50 公分 170 公分 9. 阿憲看見公園裡有一支點不在正中間的蹺蹺板，如右圖。靜止時蹺蹺板的長端靠在地面上，短端離水平位置高出25 公分；他由短端施了很大的力才使蹺蹺板回到水平位置，此時長端抬高了 50 公分。若蹺蹺板全長為 150 公分，則支點距離短端多少公分？ 10. 如圖，△ABC 中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°， CD ⊥ AB ，試求 AD ： BD 的比值。 A B C D

11. △ABC 的三邊長各為 6、9、12，△DEF 的三邊長各為 2、3、4，若△ABC 的面積為△DEF 面積 的 m 倍，則 m＝？ A B C E D A 公路 R S P Q T B E D C A 50 公分 25 公分 A C B D

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Ans：1.(D)；2.(A)；3.(D)；4.(D)；5. 20_{3 ；6.(C)；7.(B)；8. 85；9. 50 公分；10.}1

3；11. 9。心得筆記