最小化特定風險函數的動能策略 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學應用數學系碩士學位論文. 政治大. 立最小化特定風險函數的動能策略. ‧ 國. 學 ‧. A Momentum Strategy with. n. al. er. io. sit. y. Nat. Minimizing Certain Risk Function Ch. engchi. i Un. v. 碩士班學生：劉宇恩撰指導教授：劉明郎博士中華民國 103 年 1 月 6 日.

(2) 謝辭. 這篇論文能夠順利完成，首先要感謝我的指導教授劉明郎老師，除了在論文撰寫的方面給了我很多的幫助，還教導了我很多財金方面的知識。同時也感謝口試委員吳柏林教授與何曉緯教授的細心聆聽以及許多寶貴的建議。. 感謝我在研究所認識的好夥伴：偉慈、理人、裕哲、宥宥、沛承、老爸、靜如、靜慧、凱翔等等，除了給我很多建議及幫忙，還讓我這兩年的生活過得很開. 政治大. 心，讓我最後的學習階段多采多姿。. 立. ‧ 國. 學. 感謝我的朋友孟謙、師兄澤佑以及很有程式天份的學長們在研究上幫了我很多的忙，讓我對程式的使用及撰寫豁然開朗。. ‧ sit. y. Nat. 感謝我的女朋友芷菱對我不離不棄的陪伴與關懷，一同玩樂、一起努力，讓. n. al. er. io. 我可以適時地傾訴自己的心情。. Ch. engchi. i Un. v. 最後要感謝我的父母能夠在研究所期間無論是精神上或是財務上的支持，讓我能夠無後顧之憂地專心學習。. 劉宇恩. 謹誌. 國立政治大學應用數學系中華民國 103 年 1 月. v.

(3) 最小化特定風險函數的動能策略. 劉宇恩. 摘要. 動能策略的投資選擇方法曾被證實具有超額的報酬，其獲利原因有許多種說. 政治大. 法。本論文首先探討動能策略在台灣股票市場是否同樣具有超額報酬，分析此策. 立. 略在不同形成期與持有期是否能帶來超額利潤。因為動能策略為一個未考慮投資. ‧ 國. 學. 風險且採用均等權重的投資組合，所以我們進一步使用四種不同的資產配置模型對動能策略所選定的股票，在限制各別股票投資權重上限且限制股票種類數下，. ‧. 重新尋求風險最小的投資組合。這些模型考慮四個風險函數：平均絕對偏差、下. y. Nat. sit. 方偏差動差、觀測期間的最大損失以及最小報酬，使得新建構的投資組合兼具動. n. al. er. io. 能效應且考慮投資風險。本論文以台灣股票市場 2008 至 2012 這五年的歷史資料. Ch. i Un. v. 做實證分析，結果顯示台灣股票市場具有動能效應，以及數學規劃模型能有效改. engchi. 良動能策略並降低 VaR 與 CVaR 風險值。. 關鍵字：動能策略、資產配置模型、平均絕對偏差、下方偏差動差、大中取小選股準則、VaR、CVaR. vi.

(4) A Momentum Strategy with Minimizing Certain Risk Function Yu-An Liu Abstract. Momentum strategy has been proved existing excess return.. 政治大. However, there. are many interpretations for the profitability of momentum strategies. This paper. 立. discusses whether momentum strategies in Taiwan stock market can earn excess. ‧ 國. 學. returns and analyzes the strategy in different formation period and holding period. Since momentum strategies did not consider the investment risk and were equal. ‧. weights portfolio, we use four different asset allocation models for the stocks has been. y. Nat. n. al. Ch. These models consider four risk. er. io. risk function and limit the number of stocks.. sit. selected by momentum strategy to construct a new portfolio that minimize the given. i Un. v. functions: mean-absolute deviation, lower partial moments, and the maximum loss. engchi. and minimum return in observation period, the resulting portfolio will have momentum effect as well as minimize the risk. The empirical study is performed by using the Taiwan market data from 2008 to 2012. the Taiwan market has the momentum effect.. The empirical results show that. The portfolio constructed by proposed. models can improve the performance of momentum strategies and reduce the risk in terms of VaR and CVaR.. Keywords: momentum strategies, asset allocation model, mean-absolute deviation, lower partial moments, minimax portfolio selection rule, VaR, CVaR vii.

(5) 目錄摘要 ···························································································. vi. Abstract ······················································································ vii 目錄 ··························································································· viii 表目錄 ························································································. ix. 圖目錄 ························································································. x. 第一章. 緒論 ···············································································. 1. 1.1. 前言 ··············································································. 1. 1.2. 研究目的與架構································································. 3. 第二章. 文獻回顧 ·········································································. 4. 2.1. 動能策略 ········································································. 4. 2.2. 資產配置 ········································································. 8. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 動能策略於台灣股票市場 ···················································· 10. 3.1. 建構價格動能策略····························································· 10. 3.2. 計算策略於持有期之績效 ···················································· 13. 3.3. 動能測略於台灣股票市場的實證表現 ····································· 14. 第四章. 動能策略最佳化 ································································ 18. 4.1. 數學規劃模型探討····························································· 18. 4.2. 模型參數的設定與改良······················································· 30. 4.3. 實證結果 ········································································ 31. 第五章. 結論與建議 ······································································ 44. ‧. 第三章. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. 參考文獻 ····················································································· 46. viii.

(6) 表目錄表一. 動能策略績效比較(一) ··························································· 15. 表二. 動能策略績效比較(二) ··························································· 15. 表三. 各模型報酬率比較( N  10 ) ····················································· 32. 表四. 各模型報酬率比較( N  15 ) ····················································· 32. 表五. 各模型報酬率比較( N  20 ) ····················································· 32. 表六. 模型 A 投資組合與 2/2 策略比較 ·············································· 33. 表七. 模型 B 投資組合與 2/2 策略比較··············································· 34. 表十. 投資風險的比較 ··································································· 36. ‧. ‧ 國. io. sit. y. Nat. n. al. er. 表八. 學. 表九. 治政模型 C 投資組合與 2/2 策略比較··············································· 大立模型 D 投資組合與 2/2 策略比較 ··············································. Ch. engchi. ix. i Un. v. 34 34.

(7) 圖目錄圖一. 研究期間 ············································································ 11. 圖二. 重疊期間法 ········································································· 12. 圖三. 風險值與條件風險值示意圖 ···················································· 35. 圖四. 台灣股市大盤資料 ································································ 37. 圖五. 股市下跌階段 T1 的投資金額波動圖(一) ······································ 40. 圖六. 股市下跌階段 T1 的投資金額波動圖(二) ······································ 40. 圖七. 股市上漲階段 T2 的投資金額波動圖(一) ······································ 41. 圖八. 股市上漲階段 T2 的投資金額波動圖(二) ······································ 41. 圖九. 股市動盪階段 T3 的投資金額波動圖(一) ······································ 42. 圖十. 股市動盪階段 T3 的投資金額波動圖(二) ······································ 42. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 股市盤整階段 T4 的投資金額波動圖(一) ··································· 43. 圖十二. 股市盤整階段 T4 的投資金額波動圖(二) ··································· 43. ‧. 圖十一. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. x. i Un. v.

(8) 第一章. 緒論. . 1.1 前言股票市場除了提供企業籌獲資金外，亦可提供投資人作為投資理財的一項標的。然而在現今 800 多家上市股票中，投資人要如何選擇股票成了一大問題，如果把所有資金都投入單一種股票，雖然有可能獲利驚人，但也有可能一夕之間全都變成沒用的一紙文件。俗話說:「雞蛋不要放在同一個籃子裡」，分散投資為有. 政治大. 效降低風險的投資策略，早在 1952 年 Markowitz 就已經充分說明其中的道理。. 立. ‧ 國. 學. 物理學有一個現象，「動者恆動，靜者恆靜」，也就是知名的牛頓第一運動定律，說明物體在沒有任何摩擦力的情況下可以一直保持原有的初速度。而股票也. ‧. 有類似的持續性，也就是漲的股票繼續漲，跌的股票繼續跌，所以購買過去表現. y. Nat. sit. 良好的股票會帶來較好的報酬。股票的這種現象被稱為「動能效應」，最早是由. n. al. er. io. Jegadeesh 與 Titman (1993)所提出，許多學者試圖為動能效應所帶來的超額報酬. Ch. 尋找原因，但是仍沒有一個完美的解釋。. engchi. i Un. v. 1993 年 Jegadeesh 與 Titman 提出了的一種投資策略，購買過去表現最佳的前 10% 股票，放空過去表現最差的後 10% 股票，也就是買贏家賣輸家策略(buy winner and sell loser)。在完美且不須要手續費的市場中，透過等值的投資與放空，一個零花費的投資組合將帶來高達 12.01% 的年報酬率。自此之後，除了一開始所提出的價格動能策略(price momentum)，陸續有人提出不一樣的選股準則，像盈利動能策略(earning momentum)、盈收動能策略(revenue momentum)以及 52 週高價動能策略等，所得到的獲利情形都有所不同。. 1 .

(9) 1952 年 Markowitz 對投資組合問題提出第一個數學規劃模型，此模型將投資組合報酬率的變異數當作其風險函數，在限制投資組合的報酬率須大於投資者的設定下，找尋風險最小之投資組合，但因為他提出的模型為一個二次規劃問題，其計算較為複雜與不便，所以 Konno 與 Yamazaki (1991)提出了一個新的風險函數，稱為平均絕對偏差，定義為投資組合報酬與其期望報酬率的絕對偏差，成功將資產配置問題改良為線性規劃求解。. 而數學規劃模型中所使用的風險函數也是千變萬化，其中可改寫成線性函數的部分，除了上述報酬率的變異數和平均絕對偏差外，還有 Harlow (1991)所提. 治政出的下方偏差動差，定義為投資組合報酬率不足投資者所設定目標的 n 階動差。大立 Young (1998)提出了大中取小投資組合選擇法，將投資組合在過去的最小報酬定 ‧ 國. 學. 義為風險，楊芯純(民 92)參考了大中取小選擇法，改為將投資組合在過去的最大. ‧. 損失定義為風險，以及 Rockafellar 與 Uryasev (2000)使用投資組合報酬的條件風. sit. y. Nat. 險值等均是可改寫成線性函數的風險函數。不同的風險函數雖然具備著不同的特. io. n. al. er. 性，但是目標都是為了滿足投資人設定的投資報酬率下降低風險。. Ch. engchi. 2 . i Un. v.

(10) 1.2 研究目的與架構. 我們首先要檢視動能效應在台灣的表現，以不同建構方式的動能策略所能得到的報酬狀況，找出最適合台灣股票市場的動能策略。但利用動能策略所購買的股票可能高達六、七十種，甚至一百多種，對於投資人或是投資公司除了造成管理困難，而且所挑選的股票並未考慮到其未來可能帶來的風險。所以本論文將使用動能策略所挑選出來的股票，利用各種資產配置模型，如：平均絕對偏差模型、下方風險模型、大中取小以及小中取大模型，有效的找出最佳的投資組合，一方. 政治大. 面能降低購買的股票種類，另一方面更希望能從中降低投資組合所帶來的風險，. 立. 學. ‧ 國. 或是將獲利最大化。. 此篇論文的主要架構簡述如下：. ‧. 第一章為緒論。介紹本論文及說明此論文的研究目的與架構。 . sit. n. al. er. io. 簡明的發展回顧。 . y. Nat. 第二章為文獻回顧。針對研究動能效應策略、資產配置問題的相關文獻，作. i Un. v. 第三章為動能策略於台灣股票市場。此章節分為三個部分：第一部分介紹動. Ch. engchi. 能策略的建構方式；第二部分說明如何對所建構的策略作績效上的比較；第三部分動能策略於台灣股票市場的實證分析。第四章為動能策略最佳化。此章節分為三個部分：第一部分探討本論文所使用的四個數學規劃模型，並簡單說明其演進及建構方式；第二部分將對模型做參數設定與改良；第三部分為最佳化後的實證結果，包含不同模型的績效討論、最佳化的投資風險以及模擬於不同時期的長期投資。第五章為結論與建議。此章綜合性歸納整理本論文獲得的研究結果，並提出後續相關研究的建議。. 3 .

(11) 第二章. 文獻回顧. 投資過去表現較好的股票將會帶來較好的報酬，這個現象被稱為「動能效應」 (momentum effect)，它不僅表現在一般資產上，同時在數個國家的金融市場也能觀察出此現象，而提出買贏家股票賣輸家股票的人稱這個策略為「動能策略」，之後不斷有人探討動能效應的成因，以及用不同指標所構成的動能策略。. 「資產配置」可以使投資組合在報酬率固定條件下達到風險最小；或是風險. 政治大出第一個數學規劃模型後，資產配置問題便開始蓬勃發展。立. 固定下達到報酬率最大，而測量風險的方法有很多種，自從 Markowitz (1952)提. ‧ 國. 學. 本章節主要將文獻分為動能效應與資產配置兩個部來分別作介紹，藉以闡述. ‧. 這兩種投資方法的發展與不同之處。. n. al. er. io. sit. y. Nat. 2.1 動能效應. Ch. engchi. i Un. v. Jegadeesh 與 Titman (1993)分析紐約證券交易所(NYSE)與美國證券交易所 (AMEX)在 1965 至 1989 年間的上市股票，將其以過去 3、6、9、12 個月的報酬率排序，以均等權重的方式購買報酬率最佳的 10% 的股票，放空最差的 10% 的股票，並將所形成的四種資產配置分別持有 3、6、9、12 個月，結果顯示在 6/6 策略中將可得到 12.01% 的年報酬率，作者的研究顯示購買過去表現較好的股票將會帶來較好的報酬，但在兩年後這個效應將會消失。. 然而此現象對 Fama (1970)的效率市場假說提出了質疑，在假說中的弱式效率(weak form efficiency)提到，目前股票價格已充分反映過去該股票已揭露的各 4.

(12) 項資訊，所以投資人無法透過分析過去股票價格之各種方法來預測未來，因此許多學者就開始探討動能策略獲利的成因，探討的觀點有很多，像是行為財務觀點、效率市場觀點、公司特徵觀點。. Daniel、Hirshleifer 與 Subrahmanyam (1998)對證券市場提出一個理論，他們發現市場時常會有反應不足及過度反應的現象，而這些皆來自於投資人的過度自信(overconfidence)與自我歸因(self-attribution)，其中自我歸因會造成股票報酬在短期產生動能效應。. 治政 Hong、Lim 與 Stein (2000)結合他們在 1999 年的研究發現了三個結果，第一，大立在公司規模較小的股票中有較高的動能報酬；第二，規模固定後，分析師報導 ‧ 國. 學. (analyst coverage)少的股票動能報酬也較好；第三，分析師報導的影響力對過去. ‧. 輸家更勝於過去贏家，這些發現表示企業特有訊息(firm-specific information)只有. er. io. sit. y. Nat. 在投資者之間才會擴散。. Lee 與 Swaminathan (2000)指出交易量是動能效應與價值的重要連結，過去. al. n. iv n C 擁有高(低)週轉率的公司在未來往往賺取較低(高)的報酬，並且在八季後產生更 hengchi U. 大的負(正)成長。過去的交易量也可以預測動能策略的程度與持續性，動能效應. 在五年後會反轉，高的交易量反轉的更快。整體來說，過去的交易量有助於調和中期的反應不足與長期的過度反應。. Jegadeesh 與 Titman (2001)評估了各種對於 1993 年提出的動能策略獲利的解釋，作者的證據指出從 1990 年開始動能獲利就一直存在，1993 年得到的結果絕不是因為資料探勘的誤差所造成，作者的研究認為獲利是由於市場的反應不足及過度反應的行為模型，但還需要進一步小心謹慎證實。. 5.

(13) Cooper、Gutierrez 與 Hameed (2004)認為動能獲利與市場狀態有關，並將市場狀態分成正的市場與負的市場，正的市場是指過去三年的市場平均報酬非負；反之負的市場則是過去三年的市場報酬為負數，研究證實，動能策略在正的市場平均月報酬為 0.93% ，負的則為 0.37% ，並認為投資人的過度反應造成短期的動能效應以及到了長期反轉。. 動能策略除了最初 Jegadeesh 與 Titman (1993)提出的已過去的股票報酬率高低當作選股準則外，也就是價格動能策略。Chan、Jegadeesh 與 Lakonisho (1996) 觀察過去公司的盈利(earning)定義出新的選股準則，藉以分析市場是否因反應不. 治政足帶來動能獲利，股票報酬與盈利間若控制其中一項，考慮另一項仍然會有好的大立效果，這是市場風險、市場大小及市場效率無法解釋的。原因可能是股票分析師 ‧ 國. 學. 的盈利報表對新的資訊緩慢的做出反應，特別是壞的消息，分析結果說明股票市. ‧. 場只會逐漸反應新的訊息。. sit. y. Nat. io. er. Moskowitz 與 Grinblatt (1999)將所有上市公司股票資料依照標準產業分類. al. (SIC)，將所有股票歸類成二十種產業，在以各產業的報酬率為選股準則，被稱. n. iv n C 為產業動能策略，作者透過控制個股價格來觀察產業動能，以及透過控制產業來 hengchi U. 觀察價格動能策略，認為價格動能策略的獲利有相當大的部分來自於產業動能效應，並提出一些為何存在產業動能效應的原因。. George 與 Hwang (2004)採用依照現在股價與過去 52 週內最高價的比來排序，選取排序結果前 10% 與後 10% 作投資，並與傳統的價格動能策略與產業動能策略做比較，作者發現 52 週高價動能策略可以產生更大的動能力量，並說明短期動能效應與長期反轉是兩個分開的現象。. 楊子德(民 97)以台灣證券交易所 1995 年 2 月至 2008 年所有上市公司的資料 6.

(14) 為樣本，比較價格動能策略、產業動能策略以及 52 週高價動能策略之間的獲利能力，並分別進行了月平均報酬比較、元月效果檢視、配對比較、迴歸分析以及加入定錨效果的強韌性檢視。. 周泰成(民 97)使用累積報酬率、夏普比率、穩定尾部調整報酬率及瑞秋比率等四個準則作為股票排序之依據。研究發現，當投資規模為 10 個股票且選股準則為瑞秋比率(99%, 99%)時，有最高的動能報酬，約每個月 7.89% 。動能以及對報酬貢獻較高的投資組合具有負偏之現象，因此動能報酬的產生可能是來自於對偏態風險的補償。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 7. i Un. v.

(15) 2.2 資產配置. 在投資組合規劃模型中，最早是由 Markowitz (1952)所提出的投資組合選擇問題，作者要求所建立的投資組合至少需要超過給定的投資報酬率下，將報酬率的變異數定義為風險，作為數學規劃模型中的目標函數並尋找變異數最小的投資組合，此模型被稱為平均變異數模型(mean variance model, MV model)，這類風險函數為投資報酬與平均報酬偏差的平方，故稱為 L2 函數，自從這個規劃問題被提出後，投資組合最佳化的研究如雨後春筍般蓬勃發展。. 政治大 Konno 與 Yamazaki (1991)提出平均絕對偏差模型(mean absolute deviation 立. ‧ 國. 學. mode, MAD model)，文中使用報酬的絕對偏差為風險函數，這種絕對值函數有別於變異數，稱為 L1 函數用來取代 Markowitz 使用的 L2 函數，將原先 Markowitz. ‧. 的二次規劃模型轉換成線性規劃模型，以克服變異數模型在求解上的困難，作者. n. al. er. io. sit. y. Nat. 並證明在目標報酬率呈現多元常態分配下這兩個模型為等價的。. i Un. v. Speranza (1993)考慮到投資人對風險的偏好程度，將 Konno 與 Yamazaki 提. Ch. engchi. 出的 L1 風險函數分解成上方風險(upside risk)與下方風險(downside risk)兩部分，並以不同權重方式組合這兩者所得到的風險函數，使其可以針對不同的風險偏好者分別賦與上方風險與下方風險不同的權重，此模型稱為平均半絕對偏差模型 (mean semi-absolute deviation model)。. Harlow (1991)提出了以下方風險作為測度的函數，將下方偏差動差(lower partial moments, LPMs)定義為低於目標損失(target)與目標損失差距的 n 階期望值，當 n 為 1 或 2 時，以最小化下方偏差動差為目標。研究結果顯示，以股票市場與無風險資產所建立出來的投資組合，當目標值給定越大時，投資於股票市場的. 8.

(16) 比例越大，無風險資產的比例越小，且在設定目標為 0%與 n  2 時，最佳投資組合的期望值與標準差結果皆比 MV 模型的最佳解要來得出色。. Young (1998)提出了一個計算較簡便的線性規劃模型，採用一個新的方法，稱為小中取大投資組合選擇方法(minimax portfolio selection rule)，文中採用的小中取大即是依照歷史資料，在給定的投資報酬率條件限制下，最大化過去各觀測時段的最小報酬。文中亦指出當報酬成常態分配時，所得到的結果近似 Markowitz 的平均變異數模型。. 治政楊芯純(民 92)提出一個新的混合整數線性規劃模型，這個模型所採用的風險大立函數為最大損失的絕對值，而不是一般常用的損失變異數。在給定的報酬水準 ‧ 國. 學. 下，模型最小化在觀測期間內的最大損失，此選擇法參考了 Young (1998)的小中. ‧. 取大選擇法，在之後命名為大中取小選擇法來與 Young 的模型作區隔。文中也. y. sit. io. n. al. er. 率等限制。. Nat. 同時考慮實務上常遇見之情況，如：交易成本、最小交易單位、固定交易費用比. Ch. engchi. 9. i Un. v.

(17) 第三章動能策略於台灣股票市場. 在第二章文獻回顧中有許多動能策略於國外市場分析之研究。最初 Jegadeesh 與 Titman (1993)所提出的動能策略是形成期(formation period)與持有期 (holding period)皆為六個月，又稱 6/6 動能策略，並在西元 1965 年至 1985 年的美國市場有良好的效果，然而在台灣近幾年的情況並非如此。. 楊子德(民 97)與周泰成(民 97)將此 6/6 動能策略運用在台灣市場中所產生的. 政治大把價格動能策略、產業動能策略以及 52 週高價動能策略三者作比較，結果顯示立報酬率都不如預期，所以他們分別研究了其它不同的選股準則。楊子德(民 97). ‧ 國. 學. 在持有期為 6 個月下，只有 52 週高價動能策略的獲利能力為顯著且報酬率最佳。周泰成(民 97)的研究控制投資組合之規模大小，發現當投資規模為 10 個股票以. ‧. 及選股準則為瑞秋比率(99%, 99%)時，有最高的動能報酬。. sit. y. Nat. n. al. er. io. 本論文在此要先介紹 Jegadeesh 與 Titman (1993)所提出價格動能策略的建構. i Un. v. 方式與投資積效的計算方法，之後實證研究部分再討論價格動能策略在台灣股票. Ch. engchi. 市場的表現以及該如何設定策略中的形成期與持有期。. 3.1 建構價格動能策略. 依據 Jegadeesh 與 Titman (1993)的研究方法，價格動能策略是將所有股票依照過去形成期間的報酬率高低來排序，以「均等權重」的方式購買報酬率最高的前 10% 股票，然後於持有期結束後將所有股票全數出清，稱為贏家策略。同理，以均等權重方式放空報酬率最低的後 10% 股票，於持有期結束後將股票全數買回稱為輸家策略。而同時操作贏家策略與輸家策略兩項則稱為價格動能策略，或是. 10.

(18) 傳統的動能策略，透過等值的買進與放空達到零花費的投資策略。. Jegadeesh 與 Titman 將形成期變數定義為 j 與持有期變數定義為 k，考慮形成期 j 等於 3、6、9、12 個月與持有期 k 等於 3、6、9、12 個月，共可以得到 16 種不同的動能策略，相對這 16 種不同的策略所帶來的平均月報酬率亦不相同，作者稱這些策略為 j / k 策略。. 本文參考上述之作法，將價格動能策略運用於台灣證券交易所。由於台灣股票市場輪動速度較快且波動較大，故將原本定義的形成期 j 與持有期 k 之時間縮. 治政短，即本文將討論 j 等於 1、2、3、4、6、9、12 週與大k 等於 1、2、3、4、6、9、立 12 週時之情況；以及台灣股票市場在放空股票上有許多限制，所以我們先不討 ‧ 國. 學. 論等值買進與放空的策略。. ‧. sit. y. Nat. 本文將研究期間的 255 筆資料分別定義為 t  1 至 255，如圖一所示。並採用. io. er. 重疊期間(overlapping)的方式來建構形成期與持有期，藉以增加研究之樣本數，重疊期間法即是在每週都重新建構一次投資組合，換句話說，本文在每個時間點. al. n. iv n C t 都建構一次投資組合，則其形成期為 U ，持有期為 t 至 t  k 期間， h e nt g jc至hti期間. 該方法如圖二所示。第一個動能策略建構日期為 2008 年 6 月 27 日，也就是 t  24。. t 1. t2. t 3. 2008/1/11 2008/1/18 2008/1/25.  . t  253. t  255. 2012/12/14 2012/12/22 2012/12/28. 圖一研究期間. 11. t  254.

(19) 學. ‧ 國. 立. 政治大圖二重疊期間法. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 12. i Un. v.

(20) 3.2 計算策略於持有期之績效. 本文所採用的動能策略為建構投資組合後就不再對投資部位做任何的更動，直到持有期結束再將投資組合中的股票全數出清作結算，並計算不同形成期與持有期的投資報酬率。在 j / k 動能策略中即是參考過去 j 週的報酬率建立投資組合，在計算經過 k 週後的年化報酬率。. 本文為了使實證結果更方便閱讀，不同於 Jegadeesh 與 Titman (1993)使用. 政治大後，定義報酬率最高的前 10% 股票之集合為 H ，定義報酬率最低的後 10% 股票立 P1、P2、 、P10 的命名，我們將所有股票依照過去形成期間的報酬率高低排序. ‧. ‧ 國. 學. 之集合為 L ，贏家策略即是購買 H 股票，而輸家策略即是放空 L 股票。. 定義 3.1 贏家策略投資組合位於時間點 t 的年化報酬率公式如下：. sit. al. n. t ：投資組合建構日. y. 52/ k. io.   . k ：持有期之長度. (1). er. Nat.  pi ,t  k  pit rt     pit  iH. Ch. engchi. i Un. v. pit ：第 i 支股票於時間 t 之價格. 定義 3.2 贏家策略投資組合位於研究期間內的報酬率績效公式如下：. r  N (1  r1 )(1  r2 )  (1  rN )  1. (2). rt ：位於時間點 t 之報酬率 N ：研究期間內的總樣本數目. 同理，購買 L 集合之投資組合即是把上述(1)、(2)式之 H 改為 L 。. 13.

(21) 3.3 動能策略在台灣股票市場的表現. 本論文以台灣股票市場所有公開上市股票為實證研究的對象，研究期間為西元 2008 年 1 月 1 日至 2012 年 12 月 31 日，研究資料取自TEJ台灣經濟新報資料庫，包括所有普通股調整後的當週收盤價以及TEJ台灣股市大盤，五年內共 255 筆週資料，樣本於研究期間內須有完整五年之每週收盤價價格，若有缺失值則予以刪除，經調整後所採納之股票數目共 598 個。. 政治大持有期不同於 Jegadeesh 與 Titman 使用的 3、6、9、12 個月做分析比較，本論文立動能策略的建構方式採用 Jegadeesh 與 Titman (1993)的方法，其中形成期與. ‧. ‧ 國. 學. 為因應台灣股票市場現況，使用 1、2、3、4、6、9、12 週來討論。. 由於在下一章節數學模型最佳化需要有 24 週的歷史資料，所以每個不同的. sit. y. Nat. 動能策略開始時間皆為西元 2008 年 6 月 27 日( t  24 )，並且為了投資績效的討. n. al. er. io. 論，需要在動能策略建構時間點之後保留 j 週的資料，所以我們取當中的最大值. i Un. v. 12，以達到每一個策略的樣本數目都相同，也就是說，所有不同的策略最後一個. Ch. engchi. 投資組合建構時間點為西元 2012 年 10 月 5 日( t  243 )，樣本期間為 t  24 至 243 ，總共 220 個樣本。. 表一、表二呈現的是不同動能策略的投資績效比較，在表一分別為 1、2、3、. 4 週的狀況，而表二則分別為 3、6、9、12 週的狀況。表格的縱軸表示形成期，橫軸表示持有期，而購買 H 表示購買表現最好的前 60 個股票，購買 L 表示購買表現最差的後 60 個股票。表格中每格的數字呈現的為所有樣本的平均，也就是平均報酬率，我們採用的為年化報酬率。而在數字下面括弧中呈現的為所有樣本中報酬率為正值所佔的百分比，粗體為平均報酬率高於 12%的策略。. 14.

(22) 表一動能策略績效比較(一). 購買 L. 2. 購買 H. 2. 購買 L. 3. 購買 H. 3. 購買 L. 4. 購買 H. 4. 購買 L. 6. 購買 H. 6. 購買 L. 9. 購買 H. 9. 購買 L. al. 12 購買 H 12 購買 L. Ch. 6 0.0600 (54.5%) 0.0920 (53.6%) 0.0485 (53.2%) 0.1490 (55.9%) 0.0328 (53.2%) 0.1450 (54.5%) 0.0411 (51.8%) 0.1447 (55.9%). engchi. 9 0.0550 (53.6%) 0.0953 (55.9%) 0.0557 (53.6%) 0.1247 (56.4%) 0.0499 (53.2%) 0.1259 (55.9%) 0.0576 (52.3%) 0.1151 (55.0%). ‧. 購買 L. 3 0.1075 (56.8%) 0.0291 (53.6%) 0.0877 (55.0%) 0.1392 (57.3%) 0.0441 (54.1%) 0.1563 (55.5%) 0.0500 (54.1%) 0.1449 (57.3%). n. 3. 持有期. io. 購買 H. 表二動能策略績效比較(二). Nat. 3. 政治大. i Un. 4 0.0964 (54.5%) 0.0565 (52.3%) 0.0928 (54.5%) 0.0434 (55.0%) 0.0804 (54.5%) 0.0622 (52.7%) 0.0849 (53.6%) 0.1046 (54.5%). 學. 形成期. 立. 3 0.1290 (56.8%) 0.0526 (52.7%) 0.1292 (60.5%) 0.0171 (54.1%) 0.1075 (56.8%) 0.0291 (53.6%) 0.1099 (55.0%) 0.0760 (55.9%). y. 1. 2 0.1046 (59.5%) 0.0940 (57.7%) 0.1568 (59.5%) 0.0233 (55.9%) 0.1249 (57.7%) 0.0023 (55.5%) 0.1385 (56.8%) 0.0509 (56.8%). sit. 購買 H. 1 0.0365 (55.5%) 0.2083 (58.2%) 0.1143 (57.3%) 0.0925 (54.5%) 0.1281 (56.8%) 0.0342 (54.5%) 0.1335 (58.2%) 0.0599 (57.3%). er. 1. 持有期. ‧ 國. 形成期. v. 12 0.0726 (54.5%) 0.1017 (54.5%) 0.0756 (56.4%) 0.1226 (55.0%) 0.0692 (54.1%) 0.1146 (55.5%) 0.0765 (53.2%) 0.1052 (53.6%). 在名稱上面我們也採用 Jegadeesh 與 Titman 的命名方式稱為 j / k 策略，例如：2/3 策略即是形成期為兩週及持有期為三週的動能策略。. 15.

(23) 由表一可以看到，1/1 策略當中購買最好的前 60 種股票，所得到的平均年報酬率僅 3.65%，反而不如購買最差的後 60 種股票，結果也顯示，雖然過去一週表現極差且報酬率皆為負的 60 種股票，在未來一週後有超過 58%的可能會反轉帶來正向的報酬。而在形成期為 1、2、3、4 週的比較，在形成期為 2、3、4 週的時候都可以觀察出有動能效應的現象，也就是以形成期的總報酬率來排序，購買前 60 種股票後，無論持有一週後結算，或是持有兩週、三週後結算，都有超過 10%的年報酬率，而此效應是會慢慢遞減的，在持有四週後幾乎消失不見。. 表二我們把形成期與持有期使用更久的時間來討論，購買 H 的部分除了 3/3. 治政策略外其他的平均報酬率皆不到 10%，以形成期為三週的那一列顯示，動能效應大立在近期台灣股票市場存在的時間不長，另外我們可以看到，當行成期為六週以上 ‧ 國. 學. 的狀況，購買 L 的部分全部都反轉帶來正向的報酬率，這也說明了台灣股票市場. er. io. sit. y. Nat. 用六個月來建構投資組合以及採用輸家策略。. ‧. 的輪動速度較快，較不適合採用 Jegadeesh 與 Titman 的方法將形成期與持有期使. 在表一當中平均報酬率高於 12%的總共有七個，由高到低分別為 2/2、4/2、. al. n. iv n C 4/1、2/3、1/3、3/1、3/2 策略，而表現最好的為 15.86%， U h e n g c h2/2i 策略，平均年報酬高達. 我們將在下一章使用數學規劃模型來對 2/2 策略進行投資組合最佳化，2/2 策略是以形成期為兩週，篩選兩週內表現最好的 60 個股票，我們再使用數學規劃模. 型來對這 60 個股票進行資產配置，觀察其過去 24 週的價格狀況，考慮股票個別的風險函數，找出最佳化投資組合。. 因為單純由動能策略所建構的投資組合所購買的股票種類高達 60 種，對於投資者造成投資與管理上的不便，經過數學規劃模型最佳化後，我們可以設定投資種類的數量，以及動能策略並未考慮到投資帶來的風險，我們的模型考慮了下列四種不同的風險函數：一、Konno 與 Yamazaki (1991)提出的 MAD 模型以平均 16.

(24) 絕對偏差當風險函數；二、Harlow (1991)的下方風險模型下方偏差動差當風險函數；三、Young (1998)的小中取大模型將投資最小的報酬最大化；四、楊芯純(民. 92)的大中取小模型將最大的損失最小化模型。我們把這些新建立的投資組合同樣於兩週後出清結算，與原本的動能策略做一系列的比較。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 17. i Un. v.

(25) 第四章. 動能策略最佳化. 由第三章動能策略於台灣股票市場的表現，我們使用在台灣表現最好的 2/2 動能策略對其做最佳化改良，本章節將分成三個部分，第一部分探討本論文所使用的四個數學規劃模型，並簡單說明其演進及建構方式，第二部分我們將對模型做參數設定與改良，第三部分為我們的實證結果，實證結果包括不同模型的績效討論、最佳化的投資風險以及模擬於不同時期的長期投資。. 4.1 數學規劃模型探討. 政治大先提到 Markowitz (1952)所提出的平均變異數模型，而後 Konno 與 Yamazaki (1991) 立在此我們將針對論文中使用到的四個數學規劃模型一一做介紹。第一小節首. ‧ 國. 學. 提出了平均絕對偏差模型，以及其線性規劃模型與相關模型之延伸。第二小節討論 Harlow (1991)提出的以 LPMs 做為目標函數的下方風險模型。最後，第三小節. ‧. 將介紹 Young (1998)的大中取小模型，而根據大中取小的觀念，楊芯純(民 92)提出的小中取大模型。. sit. y. Nat. n. al. er. io. 4.1.1 平均絕對偏差模型. Ch. engchi. i Un. v. 在介紹 Konno 與 Yamazaki (1991)的平均絕對偏差模型之前，我們先要談到資產配置的先驅，Markowitz (1952)所提出的投資組合選擇模型。Markowitz 以限制投資組合的總報酬必須大於投資者設定期望值，找尋風險最小之投資組合，命名為平均變異數模型，其中所使用的報酬函數以及風險函數的概念至今仍不斷的被後繼學者所參考與應用。Markowitz 將報酬函數定義為各資產之期望報酬的線性組合，以及風險函數定義為該報酬的變異數，其表示法如下：. 定義 4.1 (Markowitz，1952)：投資組合之報酬函數 r ( x) 定義如下： n n  n r (x)  E   Ri xi    E[ Ri ]xi   ri xi  i 1  i 1 i 1. 其中 x  ( x1 , , xn ) 為資產決策變數， xi 代表配置在資產 i 的金額， E[ Ri ] 則表示 18.

(26) 為第 i 資產的期望報酬。. 定義 4.2 (Markowitz，1952)： L2 風險函數 σ 2 (x) 為投資組合報酬之變異數： 2  n n     σ (x)  E   Ri xi  E   Ri xi      i 1  i 1     2. n. n. n.   σ i2 xi2  2 σij xi x j i 1 n. j 1 i  j. n.   σ ij xi x j j 1 i 1. 政治大求風險最小的投資組合，Markowitz 提出的資產配置模型如下：立. 在給定期望的投資報酬率  ，以報酬的變異數作為投資組合的風險測度，尋. ‧ 國. 學. <Markowitz 的 MV 模型> n. n.   ij xi x j. ‧. min. j 1i 1. y. Nat. n. er. n. io. i 1. sit.  ri xi   C. s.t.. n. iv  xi  C a l C n i 1 hengchi U. 0  xi  U i , i  1, , n 決策變數： xi. 資產 i 之投資金額. 參數及符號：. n. 可投資資產的總數. ri. 資產 i 投資報酬率之期望值，即 ri  E[ Ri ].  ij. 資產 i 與資產 j 報酬率之共變異數，即  ij  E[( Ri  ri )( R j  r j )]. . 投資者所期望之最小投資報酬率. C. 原始投資總金額. Ui. 資產 i 的投資金額上限 19.

(27) MV 模型確實成為了當代資產決策理論的基礎模型，但由於其目標函數為二次函數，所以在實際求解上有計算效率的問題。因此，Konno 與 Yamazaki (1991) 提出了平均絕對偏差模型(MAD model)改善了 MV 模型的不便性，其定義的 L1 風險函數取代了 Markowitz 定義的 L2 風險函數，並指出兩者在資產報酬率為多元常態分配下為等價的，因此最小化 L1 風險函數等價於最小化 L2 風險函數。. 定義 4.3 (Konno 與 Yamazaki，1991)： L1 風險函數 K (x) 為投資組合報酬率的平均絕對偏差(mean-absolute deviation)，其定義如下： n  n  K (x)  E   Ri xi  E[ Ri xi ]  i 1  i 1 . 政治大. 立. 2. K ( x) . . 學. ‧ 國. 定理 4.4 (Konno 與 Yamazaki，1991)：當 ( R1,  , Rn ) 呈多元常態分配時，則.  ( x). ‧. 模型中將透過歷史資料估計隨機變數 Ri ，從資料中取得第 t 期的報酬率 rit ，. y. Nat. n. al. er. io. 均報酬率 ri 之間的差。因此 L1 風險函數可改寫為：. sit. 並令 ri 為所有時間內的平均報酬率，引進一組變數 ait 來表示第 t 期報酬率 rit 與平. i Un. v. n  n  1 T n 1 T n K (x)  E   Ri xi  E[ Ri xi ]     (rit  ri ) xi    ait xi T t 1 i 1 i 1  i 1  T t 1 i 1. Ch. engchi. 為了將此風險函數改為線性函數，需再加入一組變數 yt  0 ，使得 n. yt =.  ait xi , t  1,, T i 1. 接著根據絕對值的線性化過程，將上式分解成兩條線性限制式： n. n. i 1. i 1. yt   ait xi  0, yt   ait xi  0, t  1,, T 在這兩條限制條件下，最小化線性函數. 1 T  yt 等同於最小化風險函數 K (x) 。 T t 1. 20.

(28) Konno 與 Yamazaki 以 L1 風險函數 K (x) 取代原本 MV 模型的風險函數 σ 2 (x) ，提出了 MAD 模型：. <Konno 與 Yamazaki 的 MAD 模型> min. 1 T  yt T t 1 n.  ri xi   C. s.t.. i 1 n.  xi  C i 1. 政治大. 0  xi  U i , i  1, , n n. 立. yt   ait xi  0, t  1,, T. 學. ‧ 國. i 1 n. yt   ait xi  0, t  1,, T. ‧. i 1. yt  0, t  1,  , T. yt. 偏差變數. n. al. er. 資產 j 之投資金額. io. xi. sit. y. Nat. 決策變數：. 參數及符號：. Ch. engchi. i Un. v. T. 歷史資料的期數. C. 投資總額. . 投資者所期望之最小投資報酬率. Ui. 資產 i 投資金額之上限. rit. 資產 i 在時間 t 的報酬率. ri. 資產 i 投資報酬率之期望值，即 ri  E[ Ri ] . ait. 第 t 期報酬率 rit 與平均報酬率 ri 之間的差，即 ait  rit  ri. 21. 1 T  rit T t 1.

(29) Feinstein 與 Thapa (1993)利用偏差變數 vt 與 ut 改寫了 MAD 模型，並依此縮減了 T 個限制式以提高求解的效率，且在不考慮 0  xi  U i 的限制下，在模型 C 只有 T  2 條限制式，表示解集合中最多有 T  2 個。模型條列如下：. <Feinstein 與 Thapa 的 MAD 模型> min. 1 T  (vt  ut ) T t 1 n.  ri xi   C. s.t.. i 1 n.  xi  C. 政治大 0  x  U , i  1, , n 立 i 1. i. i. n. ‧ 國. 學. vt  ut   (rit  ri ) xi  0, t  1,, T i 1. ‧. vt  0, ut  0, t  1,  , T 決策變數：. ut. 負偏差變數. n. al. sit. 正偏差變數. er. vt. io. 資產 i 之投資金額. y. Nat. xi. 參數及符號：. Ch. engchi. i Un. v. T. 歷史資料的期數. C. 投資總額. . 投資者所期望之最小投資報酬率. Ui. 資產 i 投資金額之上限. rit. 資產 i 在時間 t 的報酬率. ri. 資產 i 投資報酬率之期望值，即 ri  E[ Ri ] . 22. 1 T  rit T t 1.

(30) 與 MV 模型相比，MAD 模型除了是線性規劃模型外，最大的優點是避開了共變異數矩陣的估計及計算，大大降低計算上的複雜度。除此之外，將 L1 風險函數根據絕對值的拆解，可以改寫成： n  n  K (x)  E   Ri xi  E[ Ri xi ]  i 1  i 1 .    E   min  0,   . n  R x E [   i i  Ri xi ]  i 1 i 1  . n   R x E [   i i  Ri xi ]   max  0, i 1 i 1   n. n n      E  max  0, E[ Ri xi ]   Ri xi   max  0,     i 1 i 1   . n. n  R x E [ R x ]   i i  i i  i 1 i1   n. 治政大際報酬高於期望報酬的上方偏差；對於兩項具有不同意義的風險函數，不同的投立資者會有不同的承受程度，因此 Speranza (1993)給予兩項風險不同的權重，重新期望值裡的第一項代表實際報酬低於期望報酬的下方偏差，第二項則代表實. ‧. 定義 4.5 (Speranza，1993)：風險函數 N (x) 定義如下：. 其中，  與  表示上下方風險接受程度的權重。. n. al. Ch. engchi. n   R x E [ R x ]   i i  i i  i 1 i 1   n. sit. io. n    R x E [  i i  Ri xi ]    max  0, i 1 i 1   n. er. Nat.   N (x)  E   min  0,   . y. ‧ 國. 學. 定義一個新的風險函數：. i Un. v. 對於不同類型的投資者，可以藉由調整風險權重  和  ，來滿足各自的風險喜好。文中亦證明此風險函數與 L1 風險函數之間存在的關係：定理 4.6 (Speranza，1993)： ( R1 , , Rn ) 在任一機率分配之下，皆滿足 N ( x) .   2. K ( x). 從上述定理我們可以得知，令     1，就能得到 Speranza (1993)的模型等價於 MAD 模型。. 23.

(31) 4.1.2 下方風險模型 Harlow (1991)認為投資者對於風險最直觀的想法就是投資報酬率不如目標或是基準報酬，因此將投資報酬率低於目標的部分稱為下方風險. (downside-risk) ，並定義了一個新的風險測度稱為下方偏差動差 (lower partial moments, LPMs)，這種風險測度的概念不僅與投資者一致，而且所需證明的理論假設也非常簡單。. 定義 4.7 (Harlow，1991)：風險函數 LPM n ( x) 為投資報酬率與目標間的下方動差，其定義如下： LPM n (x) . 立. 治. 政pr   r (x)  . r ( x ). n. 大. y. Nat. n    m   E  max     ri xi  , 0        i 1    . ‧. ‧ 國. 學. n    m   E  max    E[ Ri xi ]  , 0        i 1    . n. al. er. io. sit. 其中  代表投資者的目標或是基準回報， pr 代表報酬率為 r 的機率。. Ch. i Un. v. Harlow (1991)最小化 LPMs 風險函數的資產配置模型如下：. engchi. <Harlow 的下方風險模型> min. n    m    E max     ri xi ]  , 0        i 1    . s.t..  ri xi   C. m. i 1 m.  xi  C i 1. 0  xi  U i , i  1, , m. n  1 or 2. 24.

(32) 決策變數：. xi. 資產 i 之投資金額. 參數及符號：. . 投資者所設立的目標. m. 可投資資產的總數. ri. 資產 i 投資報酬率之期望值，即 ri  E[ Ri ]. rit. 資產 i 在時間 t 的報酬率. . 投資者所期望之最小投資報酬率. C. 原始投資總金額. Ui. 資產 i 的投資金額上限. 政治大. 立. LPMs 風險函數將計算期望報酬與所設目標之差距的 n 階動差，Harlow 將此. ‧ 國. 學. 風險函數取代了 MV 模型原本以變異數作為的風險函數，作者為了公平起見，將. n 也給定為 2，將此結果與 MV 模型作比較，發現其結果最佳投資組合的期望值. ‧. 與標準差皆比 MV 模型要來的出色。. y. Nat. er. io. sit. 作者透過歷史資料估計隨機變數 Ri ，從資料中取得第 t 期的報酬率 rit ，觀察的歷史長度為 T ，我們總共可以取得 T 筆資料，因此報酬率為 rit 的機率可視為. n. al. Ch. 1 ，並令 ri 為所有時間內的平均報酬率。 T. engchi. i Un. v. 為了將此風險函數改為線性函數，需再加入一組變數 zt  0 ，使得 zt 為投資報酬率與目標間的下方偏差，將得到一條新的限制式： m   zt     rit xi   0, t  1,  , T   i 1  . 我們設定風險函數為一階動差，並運用上述的方法將原本的模型改寫為一個線性規劃模型，模型表示如下：. 25.

(33) <Harlow 的下方風險模型> min. 1 T  zt T t 1 m.  ri xi   C. s.t.. i 1 m.  xi  C i 1. 0  xi  U i , i  1, , m m   zt     rit xi   0, t  1,  , T   i 1  . 決策變數：. 政治大. xi. 資產 i 之投資金額. zt. 報酬率與目標間的下方動差. 立. ‧ 國. 學. 參數及符號：. 投資者所設立的目標. m. 可投資資產的總數. ri. 資產 i 投資報酬率之期望值，即 ri  E[ Ri ]. rit. 資產 i 在時間 t 的報酬率. . 投資者所期望之最小投資報酬率. C. 原始投資總金額. Ui. 資產 i 的投資金額上限. n. Ch. sit. io. er. Nat. al. y. ‧. . engchi. 26. i Un. v.

(34) 4.1.3 大中取小模型及其延伸 Young (1998)以將資產配置問題簡化為較容易計算的線性規劃為原則，提出了一個大中取小的投資組合選擇法，此選擇法引入過去歷史資料，計算觀測期間某投資組合在不同時間的最大損失，選取使得個別最大損失為最小值的投資組合，即是大中取小的原則。若應用此方法考慮投資組合報酬的部分，一樣根據歷史資料，計算觀測期間某投資組合在不同時間的最小報酬，選取使得個別最小報酬為最大值的投資組合，即成為小中取大的原則。建構的模型如下：. <Young 的小中取大模型> max. m. s.t..  ri xi   C立 n. 政治大. ‧ 國. 學. i 1 n.  rit xi  m  0, t  1,, T. ‧. i 1. n. y. sit. i 1. Nat.  xi  C. er. al. n. 決策變數：. io. 0  xi  U i , i  1, , m. i Un. v. xi. Ch 資產 i 之投資金額. m. 投資組合在歷史資料裡的最小報酬，即 m  min  rit xi. engchi. n. t. 參數及符號：. n. 可投資資產的總數. ri. 資產 i 投資報酬率之期望值，即 ri  E[ Ri ]. rit. 資產 i 在時間 t 的報酬率. . 投資者所期望之最小投資報酬率. C. 原始投資總金額. Ui. 資產 i 的投資金額上限. 27. i 1.

(35) 此模型之目標函數是希望選擇投資組合使其在歷史資料裡的最小報酬最大化。楊芯純(民 92)參考了此選擇法提出了一個新的模型，其模型選擇投資組合在歷史資料裡的最大損失最小化，所以我們把它命名為大中取小模型，如同之前. Konno與Yamazaki (1991)的MAD模型，我們先令一個變數 ait  0 ，使得 ait  rit  ri , t  1,, T 作為第 t 期報酬率 rit 與平均報酬 ri 之間的偏差，我們將可以運用 ait 觀察出投資組合在過去時間的最大損失，挑選最小的最大損失之投資組合，即是大中取小的原則，亦是將最大損失給最小化。模型條列如下：. <楊芯純的大中取小模型> min. 政治大. M. 立. n.  ri xi   C. s.t.. ‧ 國. 學. i 1. n. M   ait xi , t  1,  , T. ‧. i 1. n. y. sit. i 1. Nat.  xi  C. 決策變數：. xi. al. n. M 0. er. io. 0  xi  U i , i  1, , n. Ch. 資產 i 之投資金額. engchi. i Un. v. n. M. 投資組合在歷史資料裡的最大損失，即 M  max  ait xi t. i 1. 參數及符號：. n. 可投資資產的總數. ri. 資產 i 投資報酬率之期望值，即 ri  E[ Ri ]. ait. 第 t 期報酬率 rit 與平均報酬 ri 的偏差，即 ait  rit  ri. . 投資者所期望之最小投資報酬率. C. 原始投資總金額. 28.

(36) Ui. 資產 i 的投資金額上限. Young說明了當報酬率的資料是常態分配時，模型所用的風險測度為投資組合報酬中的第一階統計量，亦稱為投資組合的下層風險測度，與Markowitz提出的變異數測度，相當地一致，並且，在不是常態分配的資料中，Young舉例說明採用大中取小的方法比MV模型更符合投資者的投資心態。. 在實證研究部份我們將使用上述四個模型：一、Konno與Yamazaki (1991)的. MAD模型；二、Harlow (1991)的下方風險模型；三、Young (1998)的小中取大模型；四、楊芯純(民 92)的大中取小模型，來將動能策略所挑出來的股票再進行一. 政治大. 次投資組合的資產配置，探討經過模型最佳化後是否能有效改良動能策略。. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 29. i Un. v.

(37) 4.2 模型參數的設定與改良. 在對 2/2 策略做投資組合的最佳化之前，我們需要將這四個模型內所出現過的參數一一作設定，以下為我們所設定的數值以及代表的意義： ● 所有模型的投資組合總合為 1，即 C  1 。由此我們可以將 xi 視為投資組合配置在資產 i 上的權重。 ● 所有模型皆採用前 24 週的價格作為歷史資料，即 T  24 。 ● 下方風險模型中投資人建立的目標為年報酬率 10%，在模型中我們需將其轉換為週報酬率，即   0.001835 。. 政治大而在對所有模型中  值代表著期望之最小投資報酬率，其出現在限制式：立 n. ‧ 國. 學.  ri xi   C i 1. 由於在樣本期間曾發生金融海嘯以及大盤長期下跌的情況，會造成 2/2 策略中的. ‧. 60 個股票其投資報酬率之期望值(也就是式子中的 ri )幾乎皆為負值，當  設定為. Nat. sit. y. 正值時無法得到可行解，但是動能效應往往在未來仍可能帶來正報酬，因此我們. al. n. ● 將所有模型當中的  值限制式予以刪除。. Ch. engchi. er. io. 對所有模型作以下的改良：. i Un. v. 為了使我們的數學規劃模型能夠設定投資規模，也就是投資組合所購買股票的數量，我們需要將原有用來設定各股投資權重上限的限制式：. 0  xi  U i , i  1,, n 改為下列限制式，而數學規劃模型也可由原本的線性規劃問題變為混合整數規劃問題，其中 N 代表的為投資者設定的投資股票種類的個數：. 0  xi  U i yi , i  1,, n n.  yi  N i 1. yi  0, 1. 30.

(38) ● 所有模型皆討論股票種類數目為 10、15、20 的狀況，即 N = 10、15、20。 ● 所有模型的權重上限也將跟隨著股票種類數目而更改。. 4.3 實證結果. 我們將使用下列四個模型將動能策略最佳化，分別是：一、Konno 與 Yamazaki (1991)的 MAD 模型，以下簡稱為模型 A。二、Harlow (1991)的下方風險模型，以下簡稱為模型 B。三、Young (1998)的小中取大模型，以下簡稱為模型 C。. 政治大. 四、楊芯純(民 92)的大中取小模型，以下簡稱為模型 D。. 立. 我們將實證結果分成兩個部分，第一小節為上述這四個模型的績效討論，也. ‧ 國. 學. 就是四個模型與動能策略在樣本期間的平均報酬率比較，第二小節我們將使用原本我們的投資組合建構方法來模擬長期投資於台灣股票市場不同的時期。. ‧ sit. y. Nat. 本實證研究於 Intel® Core™ i5-480M CPU 2.66GHz 和 4.00GB 記憶體的電腦. io. er. 環境下進行，並透過 Matlab R2010b 進行投資績效分析，使用 GAMS (Brooke、. Kendrick 與 Meeraus，1988)軟體對數學模型進行求解。. n. al. Ch. 4.3.1 不同模型的績效討論. engchi. i Un. v. 在原本的 2/2 策略建構方式當中這 60 個股票的權重皆相同，即每個股票的權重皆為 1/60，經過模型後將篩選出 10、15、20 個股票，且每一個股票的權重均不一樣，這個新的投資組合將會得到一個新的投資績效，由於比較的對象為. 2/2 動能策略，新的投資組合一樣持有兩週後出清結算，並將四個模型的結果與原本的策略一併比較。表三呈現的是股票種類數目為 10 的時候( N  10 )，各個模型最佳化後的投資組合與原本 2/2 策略的績效比較，如同前一小節所述，我們的樣本期間為西元. 31.

(39) 2008 年 6 月 27 日( t  24 )至 2012 年 10 月 5 日( t  243 )，共 220 個樣本。表中呈現的是這 220 個樣本的平均值，以及在樣本數當中報酬為正值所佔的百分比，其中平均報酬率皆為年化報酬率。表三各模型報酬率比較( N  10 ) . 2/2 策略. 模型 A. 模型 B. 模型 C. 模型 D. 平均報酬率 . 15.68%. 11.84%. 16.92%. 21.92%. 12.12%. 正值比例. 59.5%. 55.9%. 55.9%. 55.9%. 55.5%. 表四、表五呈現的分別是股票種類數目為 15 以及投資規模為 20 的平均報酬率比較，表格的格式與表三相同。. 立. 政治大. 模型 A. 模型 B. 模型 D. 15.68%. 10.43%. 19.00%. 16.37%. 10.70%. 59.5%. 54.5%. 58.6%. 56.8%. 54.1%. Nat 平均報酬率 . 15.68%. 正值比例. 59.5%. n. al. 模型 A. 模型 B. i n C54.5% U h e n g c h60.0% i 10.63%. 20.00%. 模型 C. 模型 D. v 18.48%. 12.05%. 58.6%. 54.1%. er. 2/2 策略. io. . sit. 表五各模型報酬率比較( N  20 ). y. 正值比例. 模型 C. ‧. 平均報酬率 . 2/2 策略. 學. . ‧ 國. 表四各模型報酬率比較( N  15 ). 由表三至表五可以明顯看出，使用數學規劃模型能有效降低投資股票種類的個數，並且無論股票種類數目是 10、15、20，模型 B 與模型 C 能有效改善原本的動能策略，但是動能策略在經過模型 A 與模型 D 之後，平均報酬率反而下降。表三至表五當中除了模型 B 之外都是設定 N  10 的時候表現最佳，而且又能有效降低投資的股票種類數目，所以我們之後都將使用股票種類數目為 10 所建構的投資組合作為討論的對象( N  10 )。. 為了更了解這四個模型對 2/2 策略的作用，我們將透過檢視所有樣本的方法來探討經過模型調整後的變化。我們以 2/2 動能策略的 220 個樣本當中，把它分. 32.

(40) 為正報酬與負報酬兩個部份，正報酬於樣本期間內共有 131 個，而負報酬於樣本期間內共有 89 個。在表六至表九我們將分別討論模型 A、模型 B、模型 C、模型 D 單獨與 2/2 動能策略比較的狀況。. 表六呈現的是模型 A 的投資組合與 2/2 策略的報酬率比較，在表格當中我們將比較模型 A 與 2/2 策略在同一個樣本時間點的報酬率高低，表中的第一行內的. 115 表示，於樣本期間當中的 220 個樣本，模型 A 高於 2/2 策略的有 115 個，模型改良率為 52.3%。第二行內則是將只比較 2/2 策略的報酬率為正值的那些樣本，同樣地，於正報酬的 131 個樣本當中，模型 A 高於 2/2 策略的有 54 個，在負報酬的 89 個樣本當中有 61 高於原本的 2/2 策略，甚至有些能將原本的負報酬. 政治大. 經過模型最佳化後轉變為正報酬。. 立. 正報酬(131) . 模型 A 較好. 115. 54. 2/2 策略較好. 105. 77. 模型改良率. 52.3%. 41.2%. 負報酬(89) . 61 28. 68.5%. er. io. sit. Nat. y. ‧. 樣本期間(220). . 學. ‧ 國. 表六模型 A 投資組合與 2/2 策略比較. 在表六我們可以看到，總樣本的改良率高於五成，但是在表三當中模型 A. n. al. Ch. i Un. v. 的平均報酬率卻比 2/2 策略低，於是我們詳細的查看每個樣本後發現，改良的部. engchi. 分集中在 2/2 策略為負報酬的時候，而改良的幅度並不大，例如：在時間 t  242 的時候，2/2 策略的報酬率為 5.04% ，而模型 A 的報酬率為 4.42% ，因此使得. Konno 與 Yamazaki (1991)的 MAD 模型雖然可以改良動能策略，但並無法帶來更大的報酬，可是表六也說明了，Konno 與 Yamazaki 的模型由於有考率風險，在面對股市下跌時具有防禦的作用。. 表七至表九分別呈現的是模型 B、模型 C、模型 D 的投資組合與 2/2 策略的報酬率比較，表中的內容與表六相同。. 33.