第四章：一元二次方程式 第二節：配方法與公式解 一、選擇 1.

第四章：一元二次方程式 第二節：配方法與公式解 一、選擇

1. （ ）若 2x ² ＋12x＋14＝a(x－b) ² －c，則 b＋c＝？ 

(A)1  (B)－1  (C)7  (D)－7 

2. （ ）方程式(2x＋1) ² ＝441，求 x 的解為多少？ 

(A)10 或 11  (B)－10 或－11  (C)10 或－11  (D)－10 或 11 

3. （ ）設 x ² ＋bx＋3＝0 可推得(x－3) ² ＝k，則 b＋k＝？ 

(A)0  (B)－1  (C)－3  (D)－5  4. （ ）若 x ² ＋6x＋a ² ＝(x＋a) ² ，則 a＝？ 

(A)3  (B)6  (C)9  (D)－3 

5. （ ）將 x ² －26x＝0 整理成(x＋a) ² ＝b 時，則 a＋b＝？ 

(A)13  (B)26  (C)156  (D)169  6. （ ）下列何者是完全平方式？ 

(A)x ² ＋6x＋8  (B)x ² ＋12x＋16  (C)x ² ＋8x＋10  (D)x ² ＋4x＋4 

7. （ ）已知 m 為負數，且 1 是 x 的方程式 3x ² －m ² x＋1＝0 的一根，求 m＝？ 

(A)－ 1 

2  (B)－2  (C)－1  (D)－3 

8. （ ）若一元二次方程式 x ² －2x－321＝0 的兩根為 a 和 b，則  ab＝？ 

(A)2  (B)－2  (C)321  (D)－321  9. （ ）下列哪一個一元二次方程式有重根？ 

(A)9x ² ＋12x＋4＝0  (B)8x ² ＋18x－35＝0  (C)－2x ² ＋5x－3＝0  (D)－6x ² －25x＋4＝0 

10. （ ）將 x ² ＋6x 配成完全平方式時，應加上下列哪一個選項？ 

(A)－3  (B)3  (C)6  (D)9 

11. （ ）判斷方程式 2x ² －14x＋49＝0 的兩根為何關係？ 

(A)兩相異根  (B)相等根  (C)無解  (D)無法判斷 12. （ ）若 x ² －81＝0 的兩根為 p 與 q，則 p＋q＝？ 

(A)9  (B)1  (C)－1  (D)0 

13. （ ）x ² －24x＋m 可配成完全平方式，求 m 為多少？ 

(A)12  (B)24  (C)36  (D)144 

14. （ ）若方程式 x ² －4x－1596＝0 的兩根分別為 a 和 b，則 a＋b＝？ 

(A)2  (B)4  (C)6  (D)7  15. （ ）下列何者是完全平方式？ 

(A)x ² ＋4x＋4  (B)x ² ＋2x＋16  (C)x ² ＋8x＋25  (D)x ² ＋3x＋9 

16. （ ）設 a、b 為方程式 2＋3x－x ² ＝0 的解，則 ab 的值為多少？ 

(A)3  (B)－3  (C)2  (D)－2 

17. （ ）將 2x ² －8x 配成完全平方式時，應加上下列哪一個數？ 

(A)4  (B)－4  (C)8  (D)－8 

18. （ ）利用配方法將 x ² －12x－15＝0 化為(x＋p) ² ＝q 的型式，則 p＋q＝？ 

(A)15  (B)27  (C)45  (D)57 

19. （ ）下列甲、乙、丙三個一元二次方程式，兩個根均相等的有哪些？

甲：x ² －9＝0  乙：x ² －x＋ 1 

4 ＝0

丙：4x ² －12x＋9＝0  (A)甲  (B)乙、丙  (C)甲、丙  (D)甲、乙、丙

20. （ ）54－6(x－5) ² ＝0，求 x 的解為多少？ 

(A)－4 或 14  (B)－3 或 3  (C)－9 或 9  (D)8 或 2 

21. （ ）利用配方法解方程式時，得到一根為 x＝ －7＋  15 

2  ，那麼另一根必為何？ 

(A)x＝ －7－  35 

2  (B)x＝ 7＋  35  2  (C)x＝ 7－  35 

2  (D)x＝  35－7  2  22. （ ）若 x ² ＋4x＋b ² ＝(x＋b) ² ，則 b＝？ 

(A)1  (B)－1  (C)2  (D)－2 

23. （ ）x ² ＋ax－48＝0 的一根為 3，求另一根為何？ 

(A)16  (B)－16  (C)64  (D)－64  24. （ ）方程式 9x ² ＝0 的解是多少？ 

(A)x＝0  (B)x＝3  (C)x＝±3  (D)x＝0 或 3 

25. （ ）下面是小平以配方法解方程式 3x ² ＋5x－1＝0 的步驟，請問從哪個步驟開始發生錯誤？ 

(A)步驟一：x ² ＋ 5  3 x＝ 1 

3  (B)步驟二：x ² ＋ 5 

3 x＋( 5  3 ) ² ＝ 1 

3 ＋( 5  3 ) ²  (C)步驟三：( x＋ 5 

3 ) ² ＝ 28  9  (D)步驟四：x＝－ 5 

3 ±  28  3 

26. （ ）利用配方法將方程式 9x ² －12x＋1＝0 化成(3x＋a) ² ＝b 的形式，則 a＋b 的值是多少？ 

(A)－2  (B)－1  (C)0  (D)1 

27. （ ）下列何者為方程式 3(x ² ＋1)＝2x ² －6x＋9 的根？ 

(A)7  (B)－3±  15  (C)3±  15  (D)10 

28. （ ）假設 a、b 為 3x ² －4x－150＝0 的兩根，則 a＋b＝？ 

(A)4  (B)－4  (C) 4 

3  (D)－ 4  3 

29. （ ）設 x 為正整數，且 x ² －4x－9996＝0，則 x 之值為何？ 

(A)100  (B)101  (C)102  (D)103 

30. （ ）若 px ² －40x＋25 可配成完全平方式，則 p＝？ 

(A)2  (B)4  (C)8  (D)16 

31. （ ）若用配方法將 y＝2x ² －4x＋1 寫成 y＝2(x－h) ² ＋k 的形式，求 h＋k＝？ 

(A)2  (B)8  (C)－6  (D)0 

32. （ ）胖虎想把 2x ² －6x＋a 配成完全平方式，則 a 必須是多少才有辦法？ 

(A) 9 

4  (B) 9 

2  (C)9  (D)18 

33. （ ）將 4x ² －ax＋16 化成(2x－b) ² 的形式，若 a 為負整數，則 a＋2b＝？ 

(A)－8  (B)－24  (C)8  (D)24 

34. （ ）已知一元二次方程式 ax ² ＋2x＋b＝0 的兩根為 2 和－3，求 a－b 的值為何？ 

(A)10  (B)12  (C)14  (D)16 

35. （ ）若 3x ² ＋12x＋7＝3(x＋m) ² ＋n，則 m＋n＝？ 

(A)－7  (B)－3  (C)3  (D)7

36. （ ）一元二次方程式 x ² ＋ax－b＝0 的兩根為 5 和－1，則點(a , b)在直角坐標平面上的第幾象 限？ 

(A)第一象限  (B)第二象限  (C)第三象限  (D)第四象限 37. （ ）下列哪一個方程式無解？ 

(A)－4x ² ＝0  (B)x ² －3x＋2＝0  (C)2x ² ＋5＝0  (D)x ² ＋8x＝－16 

38. （ ）一元二次方程式 16x ² －(a＋1)x＋25＝0 有等根，求 a 之值？ 

(A)15，－17  (B)－101，99  (C)－41，39  (D)89，－91 

39. （ ）小欣以配方法解 2x ² －ax＋b＝0，可得 x－1＝ ±  2 

2  ，求 a＝？ 

(A)1  (B)2  (C)4  (D)6 

40. （ ）若－4 與 3 是方程式 x ² ＋mx＋n＝0 的兩根，則點(m , n)＝？ 

(A)(－4 , 3)  (B)(－1 ,－12)  (C)(4 ,－3)  (D)(1 ,－12) 

41. （ ）方程式 x ² －2x－899＝0 的兩根差的絕對值為何？ 

(A)2  (B)19  (C)50  (D)60 

42. （ ）4x ² －24x＋3 加上 k，可化成(mx＋n) ² ，求 k 的值？ 

(A)33  (B)143  (C)－33  (D)－143 

43. （ ）設 x ² －mx＋8 可以化為(x－3) ² －n 的形式，則下列何者正確？ 

(A)m＝6，n＝1  (B)m＝－6，n＝－1  (C)m＝1，n＝6  (D)m＝－1，n＝－6 

44. （ ）a 為下列何值時，方程式 x ² －ax＋3＝0 有相異的兩根？ 

(A)1  (B)2  (C)3  (D)4 

45. （ ）若方程式 x ² ＋12x＋p＝(x＋q) ² ，則 p 

q 

(A)12  (B)6  (C)1  (D)0  46. （ ）x ² － 1 

3 x＋m＝(x－n) ² ，則 m＋n＝？ 

(A) 2 

9  (B) 4 

9  (C) 5 

36  (D) 7  36 

47. （ ）將 x ² ＋5x＋3＝0 配方，可得下列哪一個式子？ 

(A)(x＋5) ² ＝22  (B)(x＋5) ² ＝－28  (C)(x＋ 5 

2 ) ² ＝ 13 

4  (D)(x＋ 5 

2 ) ² ＝－ 37  4  48. （ ）解 x(x－6)＝891，得 x 值為何？ 

(A)36 或 23  (B)33 或－29  (C)33 或－27  (D)31 或－29 

49. （ ）利用配方法解方程式 x ² ＋6x－8091＝0 之兩根，則兩根相差多少？ 

(A)6  (B)9  (C)180  (D)190 

50. （ ）將一元二次方程式 2x ² ＋4x－7＝0 化成(x＋p) ² ＝q 的形式時，則 p－q＝？ 

(A)－ 7 

2  (B)－2  (C) 7 

2  (D)2 

51. （ ）若 25x ² ＋ax＋9＝(5x＋b) ² ，且 b＞0，則 a－b＝？ 

(A)27  (B)－27  (C)－12  (D)12 

52. （ ）若 x ² －5x＋a 與 9x ² ＋bx＋4 均為完全平方式，則 4a＋2b＝？ 

(A)1  (B)49  (C)1 或 49  (D)124 

53. （ ） 二次方程式 x ² ＋ax＋b＝0 的兩根比二次方程式 x ² ＋x－6＝0 的兩根都大 3，則 a＝？b＝？

(A)－5，0  (B)0，－5  (C)1，－6  (D)－6，1 

54. （ ）若 x ² ＋2mx＋m＋6 可配方為 x 的完全平方式，求 m 所有可能的值為多少？ 

(A)m＝－2  (B)m＝－3 或－2  (C)m＝－3  (D)m＝3 或－2 

55. （ ）靜香想把 3x ² ＋bx＋12 配成完全平方式，則 b 必須是多少才行？ 

(A)0  (B)－12  (C)12  (D)±12 

56. （ ）已知 m、n 為方程式 ax ² ＋bx＋c＝0 的兩根，且 b＞0，m＋n＝－ 1 

2 ，mn＝－ 9 

2 ，則下列敘 述何者正確？ 

(A)a＝－2  (B)b＝1 

(C)c＝9  (D)a＋b＋c＝12 

57. （ ）小新以配方法解 2x ² －18x＋a＝0，可得 x－ 9 

2 ＝±  53 

2  ，求 a＝？ 

(A)－14  (B)－7  (C)14  (D)7 

58. （ ）若一元二次方程式 4x ² －7x＋c＝0 有解，則 c 不可能為下列何數？ 

(A) 49

16  (B)－ 49

16  (C)5  (D)－5 

59. （ ）一元二次方程式 x ² －4x－3＝0，其負根為 a，則 a 的範圍應該是下列哪一個選項？ 

(A)－4＜a＜－3  (B)－3＜a＜－2  (C)－2＜a＜－1  (D)－1＜a＜0  二、填充

1. 解一元二次方程式 4x ² ＝16，可得 x＝ 。

2. 已知 x ² ＋px＋q＝0 的兩根分別為－4 和 7，則 p＝ ，q＝ 。 3. 若 x ² ＋4x＋A ² ＝(x＋A) ² ，則 A＝ 。

4. a 為正數，一元二次方程式 (x＋a) ² ＝9a ² ，若有一根是 3，則另一根是 。 5. 若(2x＋5) ² ＝1，則 x＝ 。

6. 若 0 是 10x ² ＋50x－k＝0 的一個根，則另一個根為 。

7. 在空格中填入適當的數，使此式配成完全平方式：x ² ＋2x＋1＝(x＋□) ² 。 8. 解方程式 x ² ＋6x＋3＝0，可得 x＝ 。

9. 如果 x ² － 3 

2 x＋□＝(x＋k) ² ，則□為 。

10. 解一元二次方程式 7x ² －28＝0，可得 x＝ 。 11. 解(x－5) ² －36＝0，可得 x＝ 。

12. 在空格中填入適當的數，使此式配成完全平方式：x ² －8x＋16＝(x－□) ²  13. 請在下列空格中，填入適當的答案： 

(1)4x ² －  x＋81＝(2x－  ) ² 。  (2)x ² － 3 

2 x＋ ＝(x＋  ) ² 。  (3)x ² ＋  x－ 3 

4 ＝(x＋ 1 

8 ) ² ＋ 。

14. 阿西算出方程式 3x ² －14x＝2k 的其中一根為 5，則另一根為 。 15. 若方程式 x ² ＋2x＋a＝0 有一根為－1＋  17，則 a＝ 。

16. 解 3x ² ＝2(x＋5)得 x＝ 1±  □ 

3  ，則□＝ 。

17. 解一元二次方程式 x(x－6)＝952，可得 x＝ 。 18. 4x ² －8x

－

19. 將 2x(x－3)＝x ² ＋16 化成(x＋m) ² ＝n，則 m＋n＝ 。

20. 方程式 ax ² ＋bx＋c＝0 可以配方成(x＋ b 

2a ) ² ＝ b ² －4ac 

4a ²  ，若方程式無解，則 a、b、c 的關係為何？

答： 。

21. 方程式－x ² ＋(m ² －3)x＋9＝0 的兩根互為相反數，則  m＝ 。 22. 利用公式解下列方程式： 

(1)3x ² ＋6x＋2＝0，x＝ 。  (2)x ² －4＝ 3 

2 x，x＝ 。

23. 若一元二次方程式 x ² －3x＋1＝0 的兩根為α和β，則 1  α ＋ 1 

β 的值等於 。 24. 將 3x ² ＝(x

－

－

25. 請在下面的空格內填入適當的數： 

(1)x ² ＋8x＋ ＝(x＋  ) ² 。  (2)x ² －10x＋5＝(x－  ) ² － 。 

(3)2x ² －4x＋1＝  (x－  ) ² － 。 26. 利用配方法將 3x ² －6x－21 化成 3(x＋p) ² ＋q 的形式，則： 

(1)p＋q＝ 。 

(2)若 3x ² －6x－21＝0，則 x＝ 。

27. 解一元二次方程式 x ² ＋70x＋1221＝0，可得 x＝ 。 28. 若 4x ² －(m

－

答： 。

29. 將－2x ² ＋12x－13 化成 a(x－b) ² ＋c 的形式，則 a－b＋c＝ 。

30. 若 A(a , b)在第二象限，且 a、b 是一元二次方程式(x－2) ² －49＝0 的解，則 2a－b＝ 。 31. 方程式 x ² －30x＋161＝0 的兩根相差為 。

32. 2x ² ＋3x＋1＝2(x＋  ) ² － 。 33. 若 3x ² －18x＋11＝a(x＋b) ² －c，則  a＋b＋c＝？

答： 。

34. 設 －4＋  21 

5  為二次式 5x ² ＋bx－1＝0 之一根，則 b＝ 。 35. 若由 ax ² ＋12x＋1＝0 可推得 x＋ 2 

3 ＝±  3 

3 ，則 a＝ 。 36. 解下列各一元二次方程式： 

(1)2x ² ＝7(x＋1)，x＝ 。  (2)0.3x ² ＋ 2 

5 x＝0，x＝ 。

37. 設 a＞0，x ² －bx＋49＝(x

－

答： 。

三、計算

1. 某一元二次方程式的兩根分別為 a、b，且 a＞b，已知 a×b＝－35，a＋b＝2，求 a－b＝？

2. 玉婷想把 4x ² ＋ax＋9 配成完全平方式，則 a＝？

3. 用公式解一元二次方程式 2x ² ＋3x－6＝0。

4. 利用配方法解  3(2x－1) ² ＝150。

5. 若(a－2) ² ＋(a＋4) ² ＝0，則 a＝？

6. 用配方法解一元二次方程式－x ² －2x＋99＝0。

7. 解一元二次方程式 x ² ＋8x－713＝0。

8. (1)利用配方法將 25x ² －10x－14＝0 化成(x－a) ² ＝b 的形式。 

(2)利用(1)求 25x ² －10x－14＝0 的解。

9. 設 a、b、c 為已知數，a＞0，利用配方法求 x 的二次方程式 ax ² ＋bx＋c＝0 的兩根。

10. 設 a、b、c 為整數若 a ² ＋2b ² ＋3c ² ＋4a＋12b－6c＋25＝0，求 a－b＋c 之值。

11. 二元一次方程式 2x ² －5x＝4，求  4x－5 

12x－15－  57 之值。

12. 設α、β為 3x ² －6x＋2＝0 的兩根，求α－β＝？

13. 方程式(2x＋3) ² ＝(x－2) ² 的兩根為 a 和 b，則點(a , b)在直角坐標平面上的第幾象限？

14. 已知α、β為方程式 3x ² ＋4x－6＝0 的兩根，則： 

(1)α＋β＝？ 

(2)αβ＝？ 

(3)α ² ＋β ² ＝？

15. 如果 2＋  3是方程式 ax ² －8x＋2＝0 的一個解，則 a＝？

16. 設 a、b、c 為整數，1 為 x ² ＋ax＋2＝0 的一根，且 a、b 是 x ² ＋5x＋c＝0 的兩根，求 3a＋2b＋c

之值為多少？