第四章：一元二次方程式 第二節：配方法與公式解 一、選擇
1. （ ）若 2x 2 ＋12x＋14＝a(x－b) 2 －c，則 b＋c＝？
(A)1 (B)－1 (C)7 (D)－7
《答案》A
2. （ ）方程式(2x＋1) 2 ＝441，求 x 的解為多少？
(A)10 或 11 (B)－10 或－11 (C)10 或－11 (D)－10 或 11
《答案》C
3. （ ）設 x 2 ＋bx＋3＝0 可推得(x－3) 2 ＝k，則 b＋k＝？
(A)0 (B)－1 (C)－3 (D)－5
《答案》A
4. （ ）若 x 2 ＋6x＋a 2 ＝(x＋a) 2 ，則 a＝？
(A)3 (B)6 (C)9 (D)－3
《答案》A
5. （ ）將 x 2 －26x＝0 整理成(x＋a) 2 ＝b 時，則 a＋b＝？
(A)13 (B)26 (C)156 (D)169
《答案》C
6. （ ）下列何者是完全平方式？
(A)x 2 ＋6x＋8 (B)x 2 ＋12x＋16 (C)x 2 ＋8x＋10 (D)x 2 ＋4x＋4
《答案》D
7. （ ）已知 m 為負數，且 1 是 x 的方程式 3x 2 －m 2 x＋1＝0 的一根，求 m＝？
(A)－ 1
2 (B)－2 (C)－1 (D)－3
《答案》B
8. （ ）若一元二次方程式 x 2 －2x－321＝0 的兩根為 a 和 b，則 ab＝？
(A)2 (B)－2 (C)321 (D)－321
《答案》D
9. （ ）下列哪一個一元二次方程式有重根？
(A)9x 2 ＋12x＋4＝0 (B)8x 2 ＋18x－35＝0 (C)－2x 2 ＋5x－3＝0 (D)－6x 2 －25x＋4＝0
《答案》A
10. （ ）將 x 2 ＋6x 配成完全平方式時，應加上下列哪一個選項？
(A)－3 (B)3 (C)6 (D)9
《答案》D
11. （ ）判斷方程式 2x 2 －14x＋49＝0 的兩根為何關係？
(A)兩相異根 (B)相等根 (C)無解 (D)無法判斷
《答案》C
12. （ ）若 x 2 －81＝0 的兩根為 p 與 q，則 p＋q＝？
(A)9 (B)1 (C)－1 (D)0
《答案》D
13. （ ）x 2 －24x＋m 可配成完全平方式，求 m 為多少？
(A)12 (B)24 (C)36 (D)144
《答案》D
14. （ ）若方程式 x 2 －4x－1596＝0 的兩根分別為 a 和 b，則 a＋b＝？
《答案》B
15. （ ）下列何者是完全平方式？
(A)x 2 ＋4x＋4 (B)x 2 ＋2x＋16 (C)x 2 ＋8x＋25 (D)x 2 ＋3x＋9
《答案》A
16. （ ）設 a、b 為方程式 2＋3x－x 2 ＝0 的解，則 ab 的值為多少？
(A)3 (B)－3 (C)2 (D)－2
《答案》D
17. （ ）將 2x 2 －8x 配成完全平方式時，應加上下列哪一個數？
(A)4 (B)－4 (C)8 (D)－8
《答案》C
18. （ ）利用配方法將 x 2 －12x－15＝0 化為(x＋p) 2 ＝q 的型式，則 p＋q＝？
(A)15 (B)27 (C)45 (D)57
《答案》C
19. （ ）下列甲、乙、丙三個一元二次方程式，兩個根均相等的有哪些？
甲：x 2 －9＝0 乙：x 2 －x＋ 1
4 ＝0 丙：4x 2 －12x＋9＝0 (A)甲 (B)乙、丙 (C)甲、丙 (D)甲、乙、丙
《答案》B
20. （ ）54－6(x－5) 2 ＝0，求 x 的解為多少？
(A)－4 或 14 (B)－3 或 3 (C)－9 或 9 (D)8 或 2
《答案》D
21. （ ）利用配方法解方程式時，得到一根為 x＝ －7＋ 15
2 ，那麼另一根必為何？
(A)x＝ －7－ 35
2 (B)x＝ 7＋ 35 2 (C)x＝ 7－ 35
2 (D)x＝ 35－7 2
《答案》A
22. （ ）若 x 2 ＋4x＋b 2 ＝(x＋b) 2 ，則 b＝？
(A)1 (B)－1 (C)2 (D)－2
《答案》C
23. （ ）x 2 ＋ax－48＝0 的一根為 3，求另一根為何？
(A)16 (B)－16 (C)64 (D)－64
《答案》B
24. （ ）方程式 9x 2 ＝0 的解是多少？
(A)x＝0 (B)x＝3 (C)x＝±3 (D)x＝0 或 3
《答案》A
25. （ ）下面是小平以配方法解方程式 3x 2 ＋5x－1＝0 的步驟，請問從哪個步驟開始發生錯誤？
(A)步驟一：x 2 ＋ 5 3 x＝ 1
3 (B)步驟二：x 2 ＋ 5
3 x＋( 5 3 ) 2 ＝ 1
3 ＋( 5 3 ) 2 (C)步驟三：( x＋ 5
3 ) 2 ＝ 28 9
(D)步驟四：x＝－ 5
3 ± 28 3
《答案》B
26. （ ）利用配方法將方程式 9x 2 －12x＋1＝0 化成(3x＋a) 2 ＝b 的形式，則 a＋b 的值是多少？
(A)－2 (B)－1 (C)0 (D)1
《答案》D
27. （ ）下列何者為方程式 3(x 2 ＋1)＝2x 2 －6x＋9 的根？
(A)7 (B)－3± 15 (C)3± 15 (D)10
《答案》B
28. （ ）假設 a、b 為 3x 2 －4x－150＝0 的兩根，則 a＋b＝？
(A)4 (B)－4 (C) 4
3 (D)－ 4 3
《答案》C
29. （ ）設 x 為正整數，且 x 2 －4x－9996＝0，則 x 之值為何？
(A)100 (B)101 (C)102 (D)103
《答案》C
30. （ ）若 px 2 －40x＋25 可配成完全平方式，則 p＝？
(A)2 (B)4 (C)8 (D)16
《答案》D
31. （ ）若用配方法將 y＝2x 2 －4x＋1 寫成 y＝2(x－h) 2 ＋k 的形式，求 h＋k＝？
(A)2 (B)8 (C)－6 (D)0
《答案》D
32. （ ）胖虎想把 2x 2 －6x＋a 配成完全平方式，則 a 必須是多少才有辦法？
(A) 9
4 (B) 9
2 (C)9 (D)18
《答案》B
33. （ ）將 4x 2 －ax＋16 化成(2x－b) 2 的形式，若 a 為負整數，則 a＋2b＝？
(A)－8 (B)－24 (C)8 (D)24
《答案》B
34. （ ）已知一元二次方程式 ax 2 ＋2x＋b＝0 的兩根為 2 和－3，求 a－b 的值為何？
(A)10 (B)12 (C)14 (D)16
《答案》C
35. （ ）若 3x 2 ＋12x＋7＝3(x＋m) 2 ＋n，則 m＋n＝？
(A)－7 (B)－3 (C)3 (D)7
《答案》B
36. （ ）一元二次方程式 x 2 ＋ax－b＝0 的兩根為 5 和－1，則點(a , b)在直角坐標平面上的第幾象 限？
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
《答案》B
37. （ ）下列哪一個方程式無解？
(A)－4x 2 ＝0 (B)x 2 －3x＋2＝0 (C)2x 2 ＋5＝0 (D)x 2 ＋8x＝－16
《答案》C
38. （ ）一元二次方程式 16x 2 －(a＋1)x＋25＝0 有等根，求 a 之值？
(A)15，－17 (B)－101，99 (C)－41，39 (D)89，－91
《答案》C
39. （ ）小欣以配方法解 2x 2 －ax＋b＝0，可得 x－1＝ ± 2
2 ，求 a＝？
(A)1 (B)2 (C)4 (D)6
《答案》C
40. （ ）若－4 與 3 是方程式 x 2 ＋mx＋n＝0 的兩根，則點(m , n)＝？
(A)(－4 , 3) (B)(－1 ,－12) (C)(4 ,－3) (D)(1 ,－12)
《答案》D
41. （ ）方程式 x 2 －2x－899＝0 的兩根差的絕對值為何？
(A)2 (B)19 (C)50 (D)60
《答案》D
42. （ ）4x 2 －24x＋3 加上 k，可化成(mx＋n) 2 ，求 k 的值？
(A)33 (B)143 (C)－33 (D)－143
《答案》A
43. （ ）設 x 2 －mx＋8 可以化為(x－3) 2 －n 的形式，則下列何者正確？
(A)m＝6，n＝1 (B)m＝－6，n＝－1 (C)m＝1，n＝6 (D)m＝－1，n＝－6
《答案》A
44. （ ）a 為下列何值時，方程式 x 2 －ax＋3＝0 有相異的兩根？
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
《答案》D
45. （ ）若方程式 x 2 ＋12x＋p＝(x＋q) 2 ，則 p
q
＝？(A)12 (B)6 (C)1 (D)0
《答案》B 46. （ ）x 2 － 1
3 x＋m＝(x－n) 2 ，則 m＋n＝？
(A) 2
9 (B) 4
9 (C) 5
36 (D) 7 36
《答案》D
47. （ ）將 x 2 ＋5x＋3＝0 配方，可得下列哪一個式子？
(A)(x＋5) 2 ＝22 (B)(x＋5) 2 ＝－28 (C)(x＋ 5
2 ) 2 ＝ 13
4 (D)(x＋ 5
2 ) 2 ＝－ 37 4
《答案》C
48. （ ）解 x(x－6)＝891，得 x 值為何？
(A)36 或 23 (B)33 或－29 (C)33 或－27 (D)31 或－29
《答案》C
49. （ ）利用配方法解方程式 x 2 ＋6x－8091＝0 之兩根，則兩根相差多少？
(A)6 (B)9 (C)180 (D)190
《答案》C
50. （ ）將一元二次方程式 2x 2 ＋4x－7＝0 化成(x＋p) 2 ＝q 的形式時，則 p－q＝？
(A)－ 7
2 (B)－2 (C) 7
2 (D)2
《答案》A
51. （ ）若 25x 2 ＋ax＋9＝(5x＋b) 2 ，且 b＞0，則 a－b＝？
(A)27 (B)－27 (C)－12 (D)12
《答案》A
52. （ ）若 x 2 －5x＋a 與 9x 2 ＋bx＋4 均為完全平方式，則 4a＋2b＝？
(A)1 (B)49 (C)1 或 49 (D)124
《答案》C
53. （ ） 二次方程式 x 2 ＋ax＋b＝0 的兩根比二次方程式 x 2 ＋x－6＝0 的兩根都大 3，則 a＝？b＝？
(A)－5，0 (B)0，－5 (C)1，－6 (D)－6，1
《答案》A
54. （ ）若 x 2 ＋2mx＋m＋6 可配方為 x 的完全平方式，求 m 所有可能的值為多少？
(A)m＝－2 (B)m＝－3 或－2 (C)m＝－3 (D)m＝3 或－2
《答案》D
55. （ ）靜香想把 3x 2 ＋bx＋12 配成完全平方式，則 b 必須是多少才行？
(A)0 (B)－12 (C)12 (D)±12
《答案》D
56. （ ）已知 m、n 為方程式 ax 2 ＋bx＋c＝0 的兩根，且 b＞0，m＋n＝－ 1
2 ，mn＝－ 9
2 ，則下列敘 述何者正確？
(A)a＝－2 (B)b＝1
(C)c＝9 (D)a＋b＋c＝12
《答案》B
57. （ ）小新以配方法解 2x 2 －18x＋a＝0，可得 x－ 9
2 ＝± 53
2 ，求 a＝？
(A)－14 (B)－7 (C)14 (D)7
《答案》C
58. （ ）若一元二次方程式 4x 2 －7x＋c＝0 有解，則 c 不可能為下列何數？
(A) 49
16 (B)－ 49
16 (C)5 (D)－5
《答案》C
59. （ ）一元二次方程式 x 2 －4x－3＝0，其負根為 a，則 a 的範圍應該是下列哪一個選項？
(A)－4＜a＜－3 (B)－3＜a＜－2 (C)－2＜a＜－1 (D)－1＜a＜0
《答案》D 二、填充
1. 解一元二次方程式 4x 2 ＝16，可得 x＝ 。
《答案》±2
2. 已知 x 2 ＋px＋q＝0 的兩根分別為－4 和 7，則 p＝ ，q＝ 。
《答案》－3，－28
3. 若 x 2 ＋4x＋A 2 ＝(x＋A) 2 ，則 A＝ 。
《答案》2
4. a 為正數，一元二次方程式 (x＋a) 2 ＝9a 2 ，若有一根是 3，則另一根是 。
《答案》－6
5. 若(2x＋5) 2 ＝1，則 x＝ 。
《答案》－2 或－3
6. 若 0 是 10x 2 ＋50x－k＝0 的一個根，則另一個根為 。
《答案》－5
7. 在空格中填入適當的數，使此式配成完全平方式：x 2 ＋2x＋1＝(x＋□) 2 。
《答案》1
8. 解方程式 x 2 ＋6x＋3＝0，可得 x＝ 。
《答案》－3＋ 6或－3－ 6 9. 如果 x 2 － 3
2 x＋□＝(x＋k) 2 ，則□為 。
《答案》 9 16
10. 解一元二次方程式 7x 2 －28＝0，可得 x＝ 。
《答案》±2
11. 解(x－5) 2 －36＝0，可得 x＝ 。
《答案》11 或－1
12. 在空格中填入適當的數，使此式配成完全平方式：x 2 －8x＋16＝(x－□) 2
《答案》4
13. 請在下列空格中，填入適當的答案：
(1)4x 2 － x＋81＝(2x－ ) 2 。 (2)x 2 － 3
2 x＋ ＝(x＋ ) 2 。 (3)x 2 ＋ x－ 3
4 ＝(x＋ 1
8 ) 2 ＋ 。
《答案》(1)36，9 (2) 9 16 ，－ 3
4 (3) 1 4 ，－ 49
64
14. 阿西算出方程式 3x 2 －14x＝2k 的其中一根為 5，則另一根為 。
《答案》－ 1 3
15. 若方程式 x 2 ＋2x＋a＝0 有一根為－1＋ 17，則 a＝ 。
《答案》－16
16. 解 3x 2 ＝2(x＋5)得 x＝ 1± □
3 ，則□＝ 。
《答案》31
17. 解一元二次方程式 x(x－6)＝952，可得 x＝ 。
《答案》34 或－28
18. 4x 2 －8x
－
3＝(2x－ ) 2 － 。《答案》2，7
19. 將 2x(x－3)＝x 2 ＋16 化成(x＋m) 2 ＝n，則 m＋n＝ 。
《答案》22
20. 方程式 ax 2 ＋bx＋c＝0 可以配方成(x＋ b
2a ) 2 ＝ b 2 －4ac
4a 2 ，若方程式無解，則 a、b、c 的關係為何？
答： 。
《答案》b 2 －4ac＜0
21. 方程式－x 2 ＋(m 2 －3)x＋9＝0 的兩根互為相反數，則 m＝ 。
《答案》± 3
22. 利用公式解下列方程式：
(1)3x 2 ＋6x＋2＝0，x＝ 。 (2)x 2 －4＝ 3
2 x，x＝ 。
《答案》(1) －3± 3
3 (2) 3± 73 4
23. 若一元二次方程式 x 2 －3x＋1＝0 的兩根為α和β，則 1 α ＋ 1
β 的值等於 。
《答案》3
24. 將 3x 2 ＝(x
－
1)(x－
3)化成形如(x＋p) 2 ＝a 時，則 2a＋p＝ 。《答案》6
25. 請在下面的空格內填入適當的數：
(1)x 2 ＋8x＋ ＝(x＋ ) 2 。 (2)x 2 －10x＋5＝(x－ ) 2 － 。
(3)2x 2 －4x＋1＝ (x－ ) 2 － 。
《答案》(1)16，4 (2)5，20 (3)2，1，1
26. 利用配方法將 3x 2 －6x－21 化成 3(x＋p) 2 ＋q 的形式，則：
(1)p＋q＝ 。
(2)若 3x 2 －6x－21＝0，則 x＝ 。
《答案》(1)－25 (2)1±2 2
27. 解一元二次方程式 x 2 ＋70x＋1221＝0，可得 x＝ 。
《答案》－33 或－37
28. 若 4x 2 －(m
－
1)x＋9 為完全平方式，則 m＝？答： 。
《答案》13、－11
29. 將－2x 2 ＋12x－13 化成 a(x－b) 2 ＋c 的形式，則 a－b＋c＝ 。
《答案》0
30. 若 A(a , b)在第二象限，且 a、b 是一元二次方程式(x－2) 2 －49＝0 的解，則 2a－b＝ 。
《答案》－19
31. 方程式 x 2 －30x＋161＝0 的兩根相差為 。
《答案》16
32. 2x 2 ＋3x＋1＝2(x＋ ) 2 － 。
《答案》 3 4 ， 1
8
33. 若 3x 2 －18x＋11＝a(x＋b) 2 －c，則 a＋b＋c＝？
答： 。
《答案》4 34. 設 －4＋ 21
5 為二次式 5x 2 ＋bx－1＝0 之一根，則 b＝ 。
《答案》8
35. 若由 ax 2 ＋12x＋1＝0 可推得 x＋ 2 3 ＝± 3
3 ，則 a＝ 。
《答案》9
36. 解下列各一元二次方程式：
(1)2x 2 ＝7(x＋1)，x＝ 。 (2)0.3x 2 ＋ 2
5 x＝0，x＝ 。
《答案》(1) 7± 105
4 (2)0 或－ 4 3
37. 設 a＞0，x 2 －bx＋49＝(x
－
a) 2 ，則 2a＋b＝？答： 。
《答案》28 三、計算
1. 某一元二次方程式的兩根分別為 a、b，且 a＞b，已知 a×b＝－35，a＋b＝2，求 a－b＝？
《答案》12
2. 玉婷想把 4x 2 ＋ax＋9 配成完全平方式，則 a＝？
《答案》±12
3. 用公式解一元二次方程式 2x 2 ＋3x－6＝0。
《答案》x＝ －3± 57 4
4. 利用配方法解 3(2x－1) 2 ＝150。
《答案》x＝ 1±5 2 2
5. 若(a－2) 2 ＋(a＋4) 2 ＝0，則 a＝？
《答案》不存在
6. 用配方法解一元二次方程式－x 2 －2x＋99＝0。
《答案》x＝9 或－11
7. 解一元二次方程式 x 2 ＋8x－713＝0。
《答案》23 與－31
8. (1)利用配方法將 25x 2 －10x－14＝0 化成(x－a) 2 ＝b 的形式。
(2)利用(1)求 25x 2 －10x－14＝0 的解。
《答案》(1)(x－ 1 5 ) 2 ＝ 3
5 (2)x＝ 1 5 ± 3
5 (或 1± 15 5 )
9. 設 a、b、c 為已知數，a＞0，利用配方法求 x 的二次方程式 ax 2 ＋bx＋c＝0 的兩根。
《答案》x＝ －b± b 2 －4ac 2a
10. 設 a、b、c 為整數若 a 2 ＋2b 2 ＋3c 2 ＋4a＋12b－6c＋25＝0，求 a－b＋c 之值。
《答案》2
11. 二元一次方程式 2x 2 －5x＝4，求 4x－5
12x－15－ 57 之值。
《答案》 1 2 或 1
4
12. 設α、β為 3x 2 －6x＋2＝0 的兩根，求α－β＝？
《答案》± 2 3 3
13. 方程式(2x＋3) 2 ＝(x－2) 2 的兩根為 a 和 b，則點(a , b)在直角坐標平面上的第幾象限？
《答案》第三象限
14. 已知α、β為方程式 3x 2 ＋4x－6＝0 的兩根，則：
(1)α＋β＝？
(2)αβ＝？
(3)α 2 ＋β 2 ＝？
《答案》(1)－ 4
3 (2)－2 (3)5 7 9
15. 如果 2＋ 3是方程式 ax 2 －8x＋2＝0 的一個解，則 a＝？
《答案》2
16. 設 a、b、c 為整數，1 為 x 2 ＋ax＋2＝0 的一根，且 a、b 是 x 2 ＋5x＋c＝0 的兩根，求 3a＋2b＋c 之值為多少？
《答案》－7
