第 二 章 极 限

第 二 章 极 限　

　

§２．１　序列极限定义　

定 义 域 为

N

的 函 数 也 称 为 序 列 ， 记 为 f(1), f(2),Λ , f(n),Λ ， 习 惯 上 记 为

Λ Λ , , , , ₂

1 x xn

x ，或简单地记为{x_n}。其中x_n称为通项，它可由公式给出，也可由其它法 则给出。

如： Λ 1,Λ , 3, ,1 2 ,1

1 n

3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...

在信号处理和图像处理中，计算机无法处理连续变量的函数，都要通过采样来处理，一 元函数经采样后就得到一个序列。

这里我们关心的是当n^{越来越大时，序列}x_n的行为特点，如 Λ 1,Λ , 3, ,1 2 ,1

1 n ^，当n^越

来越大时，

n

1越来越接近于 0。我们称它以 0 为极限。

描述定义

给定序列{x_n}，当n^{无限增大时，}x_n无限地接近于a^，称a^为当n^趋向无

穷时序列{x_n}的极限，记作

x_n →a (n→+∞)

或

x_n a

n =

+∞

lim→ 。

例 １

( 1) , 1

1+ − →

= ⁿ _n

n x

x n (n→∞)。

例 ２

x_n =(−1)^{n, 没极限。}

如何精确地刻画“无限接近”这一概念，我们用“误差”方法。而“误差”是用绝对值 刻画的。

0 x

y 1

定义





<

−

= ≥

。

， 0 0 x x

x x x

命题

x =sgnx⋅x。 格运算 a∨

2 2

) ) (

,

max( a b a b

b a

b −

+ +

=

=

a∧

2 2

) ) (

,

min( a b a b

b a

b −

+ −

=

=

几何意义

2 ) (a+b

为线段ab（或ba）的中点，a−b ^为a,b^距离，

2 2

b b a

a −

+ +

为中点加上

两点距离之半，当然就是a,b中最大的一点。

　性质 １

． r >0, x <r⇔−r <x <r， x−a <r ⇔a−r <x<a+r^。

２

． x+ y ≤ x + y ^{, 等号成立}⇔ x, y同号，推广

∑ ∑

=

=

≤ ⁿ

k k n

k

k a

a

1 1

。

３

． x⋅y = x ⋅ y ^。

４

．

2

2

2 b

ab ≤a + ^。

注： 4 也可以写成

2 b

ab ≤ a+ ，它表明对任何两个非负实数，它们的几何平均小于

等于算术平均。

x_n a

n =

+∞

lim→ 就是说x_n与a的误差要多小就有多小，只要n充分大。

定义

∀ε >0, ∃N∈

N ^，

^使得当n >N ^时，有 x−a <ε, 则称序列{x_n}的极限为

a，记作 x_n a

n =

+∞

lim→ 或 x_n →a (n→+∞)。

几何意义

称{x: x−a <ε}=(a−ε,a+ε)为a^的ε−^邻域，n ^xn =^a

+∞

lim→ 是指对a

的任何ε−^{邻域，序列}{x_n}在这一ε−^{邻域外只有有限项。}

例 １

求证 lim =0, (0< <1)

∞

→ qⁿ q

n 。

证

∀ε >0, ^不妨设ε <1^，要使 qⁿ −0 =qⁿ <ε ，只要 nlg q<lg ε^（注意这 里 lg q<0, lgε <0）， 只 要

n q lg lgε

> 。 取 



 



= N q

lg lgε

， 则 当 n >N 时 ， 就 有 ε

<

−0

qn ， 即 lim =0

∞

→ n

n q 。

例

2 求证lim =1 ( >0)

∞

→ ⁿ a a

n 。

证法 １

先设a >1，∀ε >0^{，要使 n} a−1=ⁿ a −1<ε， 只要 ⁿ a <1+ε ， 只要 1lg a<lg(1+ε)

n ^，只要 lg(1 )

lg +ε

> a

n 。

取





= lg(1+ )

lga ε

N ， 当 n >N ^{时，就有 n} a−1 <ε ，即 lim =1

∞

→ n

n a 。对

1 0<a< ，令

b=a1 ，则 1

lim

lim = 1 =

∞

→

∞

→ n

n n

n a b 。

证法 ２

令ⁿ a −1=h_n，则 a=(1+h_n)ⁿ =1+nh_n +Λ +h_nⁿ >nh_n，

n h_n <a

<

0

>0

∀ε ^{, 要 使} − = n <ε

n a 1 h , 只 要 <ε n

a ， 取





= ε

N a ^{， 只 要}n >N ^{， 就 有} ε

<

−1

n a ，即lim =1

∞

→ n

n a 。

例 ３　

证 0 ( 1) lim ! = >

∞

→ a

n aⁿ

n 。

证

因 为 )

! ] ( [

! ] [ 1

] [ ] [ 2 1

!

] [ ]

[

a c a n c a n a a a n a a

a a a a

a n

a^{n a a}

=

⋅

=

⋅

<

⋅ + ⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

= Λ Λ ^，

>0

∀ε ^{， 要使} − = <ε 0 !

! n

a n

a^{n n}

，只要 ⋅ <ε n

a

c ，取



 ⋅

= ε

a

N c ^，则只要 n>N^，就

有 −0 <ε

! n aⁿ

，即 0

lim ! =

∞

→ n aⁿ

n 。

总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是 把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次 要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份。

§２．２　　序列极限的性质和运算　

象四则运算一样，我们把求极限也看成是一种运算，但这种运算是施加在无穷序列上，

取值是一个实数，如果存在的话，但还有大量不存在极限的序列。

定理 １（唯一性）

若序列的极限存在，则极限值唯一。

证

反证法，如果不然，至少有两个不等的极限值，设为a^和b，a <b^，n ^xn =^a

∞

lim→ ，

b x_n

n =

∞

lim→ ^，取 0

0 = b2−a>

ε ^{，由极限定义，}∃N₁^，使得当n > N1^{时， 有}

x_n −a <ε₀，

0 2

b a a

x_n < +ε = +

又∃N₂^，使得当 n >N2^时，有

则当n>max(N₁,N₂)^时，有

_n a b x_n x < + <

2

矛盾！

定义

若 ∃M >0，使得 x_n ≤M^，∀ⁿ，则称 {x_n}有界。

定理 ２（有界性）

若序列{x_n}有极限，则{x_n}有界。

证

设 x_n a

n =

∞

lim→ ，取 ε₀ =1^{，按定义，}∃N^，使得当n >N ^时，有

x_n −a <ε， x_n ≤ a+ x_n −a < a +1 。

令M =max( a +1,x₁,Λ,x_N )^，则对∀ⁿ∈^N，有x_n ≤M^，故{x_n}有界。

下面定理表明求极限这种运算与四则运算可交换。

定理

3（四则运算） 设 x_n a

n =

∞

lim→ ， y_n b

n =

∞

lim→ ，则

1） x_n y_n a b

n ± = ±

∞

→ ( )

lim

2） x_n y_n a b

n ⋅ = ⋅

∞

→ ( )

lim

n

n a b b x

b

x − < ₀ + = − ₀ <

, 2 ε

ε

(

( ) )

a b

(a+b)/2 xn

3）若 b≠0, yn ≠0，则

b a y x

n n n_→∞( ) =

lim 。

证

：1）∀ε >0 ^{，由 x}n ^a

n =

∞

lim→ ，∃N₁^，使得当n> N₁^时，有

2

<ε

−a

x_n 。又由

b y_n

n =

∞

lim→ ，∃N₂^，使得当n>N₂^时，有

2

< ε

−b

y_n ^。 取N =max(N₁,N₂)^，则当n >N

时，有

ε。 ε ε + =

≤

− +

−

≤

±

−

±

2 2

) (

b y a x

b a y x

n n

n n

即 x_n y_n a b

n ± = ±

∞

→ ( )

lim 。

2）

分析

b y a a x y

b a a y a y y x b a y x

n n

n

n n

n n n

n

− +

−

≤

⋅

−

⋅ +

⋅

−

⋅

=

⋅

−

⋅

加一项，减一项称为插项方法，是一个至关重要的方法。

由有界性定理，∃M₁ >0，∀n^，y_n ≤ M₁^。令 M =max(M₁, a)>0， ∀ε >0^， 由 x_n a

n =

∞

lim→ ^，∃N₁ ^，使得当n> N1^时，有

a M x_n

2

< ε

− ^。又由 y_n b

n =

∞

lim→ ^，∃N₂^，

使当n>N₂^时，有

b M y_n

2

< ε

− ^。取N =max(N₁,N₂)^，则当n >N ^时，有

x_n ⋅y_n −a⋅b ≤ y_n x_n −a + a y_n −b

. 2 )

(2

) (

ε ε

ε + =

≤

− +

−

≤

M M M

b y a x

M _{n n}

即 x_n y_n a b

n ⋅ = ⋅

∞

→ ( )

lim 。

3） 由 2），只要证

b y_n

n

1 lim 1 =

∞

→ 。

分析

y b

b b y

b y b

y _n ⁿ

n

n

−

− ≤

=

−1 2₂

1 ,

2

y_n ≥ b ^当n充分大时。

(a,b)

(a,y_n) (xn,y

n)

由 y_n b

n =

∞

lim→ ，令 ₀ 0, ₁

2 N

b > ∃

=

ε ^，使当n > N₁^时，有 y_n −b <ε₀，即

0 2 b b b y b

y_n ≥ − _n − ≥ −ε = 。

>0

∀ε ^{, 由} y_n b

n =

∞

lim→ ，∃N₂^，使得当n>N2^时，有 ε

2 b2

b

y_n − < 。

取N =max(N₁,N₂)^，则当n >N ^时，有

2 ε 2 2 2 1

1 b

b b yn

n b y n b

y ≤ ⋅

⋅

= −

− _，

即

b y_n

n

1 lim 1 =

∞

→ 。

用归纳法，可得有限个序列的四则运算：

∑ ∑

= →∞

∞ =

→ = ^N

k

k n n N

k k

n xn x

1

) ( 1

)

( lim

lim ，

∏ ∏

= →∞

∞ =

→ = ^N

k

k n n N

k k

n xn x

1

) ( 1

)

( lim

lim ^。

但将上述N 换成∞^{，一般不成立。事实上}

∑

^∞

=1 k

或

∏

^∞

=1 k

本身也是一种极限，两种极限交换次

序是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换，

具体什么条件，到第三册我们会系统研究这个问题。

下面定理表明求极限是保序的运算。

定理 ４

给定两个序列{x_n}^，{y_n}^，若∀n^，xn ≤yn^且 x_n a

n =

∞

lim→ ^， y_n b

n =

∞

lim→ ^，

则a ≤b 。

证

反证法，如若不然，a >b^，取

0 2

b a−

=

ε ^，由 x_n a

n =

∞

lim→ ^，∃N₁^，使得当n> N₁

时，有

x_n −a <ε₀，

0 2

b a a

x_n > −ε = + 又由 y_n b

n =

∞

lim→ ， ∃N₂^，使得当n>N₂^时，有

y_n −b <ε₀，

0 2

b b a

y_n < +ε = +

当n >max(N₁,N₂)^时，有 n a b yn

x > + >

2 ^{， 矛盾。}

　定理 ５（两边夹或逼夹定理）

给定序列{x_n},{y_n}^和{z_n}^，满足∀n^，xn ≤zn ≤yn

且 _n

n n

n x a y

∞

→

∞

→ = =lim

lim ^，则 z_n a

n =

∞

lim→ 。

证

∀ε >0^，由 x_n a

n =

∞

lim→ ^，∃N₁^，使得当n> N1^时，有

x_n −a <ε， 即 a−ε < x_n <a+ε， 又由 y_n a

n =

∞

lim→ ， ∃N₂^，使得当n >N₂^时，有

y_n −a <ε ， 即 a−ε < y_n < a+ε。

取N =max(N₁,N₂)^，则当 n>N ^时，有 a−ε < x_n ≤ z_n ≤ y_n <a+ε 或 z_n −a <ε

即 z_n a

n =

∞

lim→ 。

例 １

lim =1 ( >1)

∞

→ ⁿ a a

n

在证明中, 令h_n =ⁿ a−1>0， a =(1+h_n)^n，得

n h_n < a

<

0 ^{，由此推出}hn →0。 由此例也看出由x_n <z_n <y_n^和 _n

n n

n x a y

∞

→

∞

→ = =lim

lim , 也推出 z_n a

n =

∞

lim→ 。

定义

极限为0的变量称为无穷小量。

推论

1） x_n →0⇔ x_n →0，无穷小量加绝对值仍为无穷小量。

2） x_n →0, y_n ≤M ⇒x_n ⋅y_n →0，无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。

3） x_n →a ⇔ y_n =x_n −a→0，(x_n =a+ y_n) ^{变量有极限}a^{的充要条件为它}

可分解为a加一个无穷小量。

例 ２

求极限

9 3

1 6 lim 4 ₂

2

+ +

+ +

∞

→ n n

n n

n

解

3 4 3

lim 4 9 3

1 6 lim 4

2 2

9 1

1 6 2

2 =

+ +

+

= + + +

+ +

∞

→

∞

→

n n n n n

n n n

n

n 。

例 ３

求极限 lim (1+ + + ) (0< <1)

∞

→ a aⁿ a

n Λ ^。

解

a a

a a a

n

n n

n = −

−

= − + +

+ →∞

∞

→ 1

1 1

lim 1 ) 1

(

lim Λ ^。

例 ４

设a,b>0，证明 lim ⁿ aⁿ bⁿ max(a,b)

n + =

∞

→ 。

证

max(a,b)=ⁿ max(a,b)ⁿ ≤ⁿ aⁿ +bⁿ ≤ⁿ 2max(a,b)ⁿ →max(a,b)。

例 ５

证明 lim =1

∞

→ n

n n 。

证

令 ⁿ n =1+h_n,

) 3 2 (

) 1 ( 2

) 1 1 (

) 1

( + = + + − ² + + ≥ − ² >

= n n h n

h n h

nh n h

n _n ⁿ _{n n} Λ _nⁿ _n ，

1 0 2

< −

<h_n n

两边夹推出 h_n →0，即ⁿ n →1。

§２．３　确界与单调有界序列　

决定一个序列是否有极限，目前我们只能用定义判定，但那必须先知道极限值a^，这就

是说定义不能解决极限存在问题。 事实上，这是个很深刻的问题，这一节我们给出一个极 限存在的判定定理，但需到第三册才能证明它，这里将给出能够令人接受的说明。用它我们 可以定义一个新的无理数e，在讲指数函数和对数函数时我们已经使用过它。

定义

E⊆

R

, 如果∃M ^{, 使得对}∀x∈E^{, 有}x≤M ^{, 则称}M^是E的一个上界。

有没有最小上界？ 何谓最小上界，且看下面的定义。

定义

E⊆

R

, 数M若满足 1）M^是E的上界

2）M′^是E^{任一上界，必有}M≤ M′

则称M是E的最小上界或上确界，记作M =supE ^或M x

x∈E

=sup 。

定理 １

M =supE ^充要条件

1） M^是E上界，

2） ∀ε >0,∃x′∈E^使得x′> M −ε 。

证

必要性，用反证法。设 2）不成立，则∃ε₀ >0, ^使得∀x∈E^，均有x≤M −ε0^，

与M 是上确界矛盾。

充分性， 用反证法。设M ^不是E^{的上确界，即}∃M′^{是上界，但}M> M′^。令

>0

− ′

=M M

ε ^{，由 2），}∃x′∈E^，使得x′>M −ε =M′^，与M′^是E的上界矛盾。

定义 ２

E⊆

R

^，m满足 1） m是下界，

2） m'是E的任意下界，必有m'≤m。 则称m^为E的下确界或最大下界。记作：inf E 或 x

x∈E

inf 。

定理 ２　

一个非空的，有上（下）界的集合，必有上（下）确界。

该定理要到第三册方能证明。这里我们给一个可以接受的说明 。E⊆

R

^，E非空，

E x∈

∃ ，我们可以找到一个整数p^，使得p^不是E^上界，而p+1^是E^{的上界。然后我们}

遍查p.1, p.2,Λ ,p.9 和p+1，我们可以找到一个q₀，0≤q₀ ≤9，使得p.q₀不是E上

界，p.(q₀ +1)是E上界，如果再找第二位小数q₁，Λ , 如此下去，最后得到p.q₀q₁q₂Λ ， 它是一个实数，即为E的上确界。

定义

{x_n}称为单调上升的，若x₁ ≤x₂ ≤x₃ ≤Λ ≤ x_n ≤Λ 。

{x_n}称为单调下降的，若x₁ ≥ x₂ ≥ x₃ ≥Λ ≥ x_n ≥Λ 。

定理 ３

若序列{x_n}单调上升（下降），有上（下）界，则序列存在极限。

证

设{x_n}^{单 调 上 升 ，即}x₁ ≤ x₂ ≤ x₃ ≤Λ ≤ xn ≤Λ ^{， 有上界 ，即}∃M ^{， 使 得} M

x_n ≤ 。

考虑集合E ={x_n |n∈N}，它非空，有界，定理 2 推出它有上确界，记为 _n

N n

x a

=sup∈ ^。

我们验证 _n

n x

a =lim→∞ 。

>0

∀ε ^{，由上确界的性质，}∃N^，使得a−ε <xN^，当n>N ^{时，由序列单调上升得}

n

N x

x

a−ε < ≤ ， 再 由 上 确 界 定 义 ， x_n ≤a<a+ε ， 有 a−ε < x_n <a+ε ^{， 即} ε

<

−a

x_n ，也就是说 _n

N n

n xn a x

∞ ∈

→ = =sup

lim 。

同理可证若{x_n}单调下降，有下界，也存在极限，且 _n

N n n

n x x

∈

∞

→ =inf

lim 。

例

1 证明 ⁿ

n 1n)

1 ( lim +

∞

→ 存在。

证

令 _n ⁿ x n1)

1 ( +

= , 先证它单调上升，

n n

n

n n

n n n

n n x n

1

! 1 ) 1 ( 1

! 2

) 1 1 (

1 1) 1 (

2

Λ + − Λ

− + + +

= +

=

1)

1 ( 1) 1

!( ) 1

1 1

!( 2 1 1

1 n

n n

n n

− −

− + +

− + +

= Λ Λ ^，

n n

n x n n

n

n n n

n x n

+ >

+ − + −

+

+

− −

− + + + +

− + +

+ =

1) 1 ( 1) 1 1

!( ) 1 (

1

1) 1 1 ( 1) 1 1

!( ) 1

1 1 1

!( 2 1 1

1 1

Λ Λ Λ

再证它有界

3 1

2 1 2

1 1 1

! 1

! 2 1 1 1

2 1 1

2 1 1

1

<

+

=

+ + + +

≤

+ + + +

≤

−

−

− n

n

n n

x

Λ Λ

由定理 3，知 _n

n x

∞

lim→ ^{存在，值记为}e，它是一个无理数 e=2.7182818Λ 。 称log_ex =lnx^为

自然对数

，何以称为“自然”，下章将见分晓。

§２．４ 　确界存在定理与区间套定理　

２．４．１　确界存在定理　

　

我们曾引入有界数集的确界概念，今证明它的存在性（记号a^、b、c^{表示实数）}

定理 １

非空有上界的数集E必存在上确界。

证明

设E={x}^{非空，有上界}b： ∀x∈E^，x≤b^。

（1） 若E^{中有最大数}x₀，则x₀即为上确界；

（2） 若E中无最大数，用下述方法产生实数的一个分划；取E的一切上界归入上类 B，其余的实数归入下类A，则(A|B)是实数的一个分划。

1^ο A^、B^{不空。首先}b∈B^。其次∀x∈E^，由于x^不是E^{的最大数，所以它不是}E 的上界，即x∈A^。这说明E^{中任一元素都属于下类}A；

2^ο A^、B^不漏性由A^、B定义即可看出；

3^ο A^、B^不乱。设a∈A^，b∈B^。因a^不是E^的上界，∃x∈E^，使得a < x^，而 E^{内每一元素属于}A^，所以a< x<b^。

4^ο 由3^{ο的证明可见}A无最大数。

所以(A|B)是实数的一个分划。由戴德金定理，知上类B^{必有最小数，记作}c。

E x∈

∀ ^，由1^ο知x∈A^，即得x<c^。这表明c^是E的一个上界。若b是E的一个上 界，则b∈B^，由此得c≤b^，所以c是上界中最小的，由上确界定义，c^为集合E^的上确 界，记作 c =supE^。

推论

非空的有下界的集合必有下确界。

事实上，设集合E ={x}^有下界b，则非空集合E'={x|−x∈E}^有上界−b^，利用集

合E'上确界的存在性，即可得出集合E的下确界存在。

由 第 二 章 知 道 ， 若 集 合E 无 上 界 ， 记 作supE =+∞； 若 集 合 E 无 下 界 ， 记 作 +∞

= E

inf ，这样一来，第二章证明了的单调上升（下降）有上界（下界）的序列{x_n}， 必有极限sup (inf _n)

N n x N x

x x ∈

∈

的定理现在有了严格的理论基础了。且对单调上升（下降）序列

}

{x_n ，总有

lim sup (inf _n)

N n x

N x

n xn x x

∈ ∈ +∞

→ = 。

定理 1 解决了非空有上界集合的上确界存在性问题，我们可以利用上确界的存在性，得 出我们所研究的某一类量（如弧长）的存在性。

若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界，我们称该全序集是完备的。定理 1 刻划 了实数集是完备的。

例1　

证明实数空间满足阿基米德原理。

证明

∀b >a>0，要证存在自然数n^使na >b。假设结论不成立，即 　　　　　　　na ≤b^，(n=1^，2^，Λ^），

则数集E ={na}^有上界b，因此有上确界c^，使na ≤c(n=1，2，Λ），也就有(n+1)a≤c　

）

，

，2 Λ 1

(n= ，或　　na ≤c−a(n=1，2，Λ）。这表明c−a^{是集合E的上界，与}c^是上

确界矛盾。所以总存在自然数n^，使na >b^。

例２　

　　１）证明序列 n

x_n n1 ln

3 1 2

1+1+ + + −

= Λ ^{的极限存在；}

　　　　　　２）求极限　 1 ]

) 1 3 (

1 2 1 1 [

lim ¹

n

n n

−

∞

→ − + −Λ + − ^。

解　

　１）　因x >−1时有　

　　　　　　　

_{x x} x

x < + <

+ ln(1 )

1 (x≠0)^，

所以　　　　　　

k k k

) 1 1 1 1 ln(

1 < + <

+ (k =1，2，Λ）^，

即有　　　　

∑ ∑

=

=

>

− +

=

− +

>

−

= ⁿ

k n

k

n n n n

n k x k

1 1

0 ln ) 1 ln(

ln 1) 1 ln(

1 ln

。　

这表明序列{x_n}^{有下界。又}

　　　　　　　　　 0

1 ) 1 1 1 1 ln(

ln 1 ) 1

1 ln( >

− + + + =

−

− +

=

− ₊

n n n n

n x

x_{n n} ，　

故序列{x_n}下降。因此序列极限存在，记极限值为c^。于是

　　　　　　　

∑

=

+

=

n −

k

c n

k n

1

1 ln

ε ^，

或　　　　　　　　

∑

=

+ +

n =

k

n n

k c

1

1 ln

ε (lim =0)

+∞

→ n

n ε ^。

２）　因　

　　　　　　

n n

n n

n

k n

k n

k

k

n c n

k c k

k

ε ε

ε ε

− +

=

+ +

− + +

=

−

− =

∑

∑

∑

= = =

−

2

2 1

2

1 2

1

1

2 ln

] ln

[ )

2 2 ln(

2 1 1 )

1 (

　

所以　　　　 ( 1) ln2 lim

2

1

1 =

∑

−

=

− +∞

→ n

k

k

n k ^，　　又 ( 1) ln2 lim

1 2

1

1 =

∑

⁺ −

=

− +∞

→ n

k

k

n k ^，

即得　　　　　　　 ( 1) ln2 lim

1

1 =

∑

−

=

− +∞

→ n

k

k

n k ^。

　

２．４．２　　区间套定理　 　

定理 ２　

　设[a_n,b_n]是一串闭区间，满足：　

（１）　 对任何自然数n^，都有a_n ≤a_n+1 <b_n+1 ≤b_n，即　[a_n+1,b_n+1]⊂[a_n,b_n]^。

　　　　（２）　　当n→+∞时，区间[a_n,b_n]长度趋于0，即　 lim ( − )=0

+∞

→ n n

n b a 。　

则有 _n

n n

n a c b

+∞

→ +∞

→ = = lim

lim ，且c是一切区间的唯一公共点： [ , ]

1 n n

n

b a

+∞

Ι= ={c}^。

证明

　　由假设（１）知，序列{a_n}单调上升，有上界b₁；序列{b_n}单调下降，有下界a₁。 因而有　

　　　　　　lim a_n c₁

n =

+∞

→ ，lim b_n c₂

n =

+∞

→ ．　　a_n ≤c₁ ≤c₂ ≤b_n^。

再由假设（２）知　

　　　　　　lim ( − )= ₂ − ₁ =0

+∞

→ b_n a_n c c

n ，　

记c₁ =c₂ =c^{。　从而有}

　　　　　　　 _n

n n

n a c b

+∞

→ +∞

→ = = lim

lim 。　

若还有c^*满足a_n ≤c^* ≤b_n^，令n→+∞，得c^* =c^。故c^是一切[a_n,b_n]的唯一公共 点。证毕。　

这个定理称为区间套定理。关于定理的条件我们作两点说明：　

（１）　要求[a_n,b_n]是有界闭区间的这个条件是重要的。若区间是开的，则定理不一　 定成立。如　

　　　　　　 1) , 0 ( ) ,

(a_n b_n = n ^。

显然有　　　 1)

, 0 ( 1) , 1 0

( n ⊂ n

+ ^{，　　但　　　+∞} =φ

= 1) , 0 (

1 n

n

Ι ^。

　　　　如果开区间套是严格包含：　a_n <a_n+1 <b_n+1 <b_n，这时定理的结论还是成立的。　

（ ２ ） 　 若[a_n+1,b_n+1]⊂[a_n,b_n] (n=1^，2^，Λ^{）， 但} lim ( − )≠0

+∞

→ n n

n b a ， 此 时 仍 有 lim a_n c1

n =

+∞

→ ，lim b_n c₂

n =

+∞

→ ，但c₁ <c₂^{，于是对任意的}c^，c₁ ≤c≤c₂^，都有 [ , ]

1 n n

n

b a c ^+∞

∈ Ι= ^。

全序集中任一区间长趋于零的区间套有非空交集，则称该全序集是完备的，定理 ２ 刻划 实数集是完备的（这里完备定义与上段完备定义是等价的）。定理 ２ 也给出通过逐步缩小搜 索范围，找出所求点的一种方法。　

例３　

　　序列{x_n}由下列各式　

　　　　　　　x₁ =a^，x₂ =b^，

2

2

1 −

− +

= ^{n n}

n

x

x x 　　(n=3，4，Λ）

所确定（见下图）。证明极限 _n

n x

+∞

lim→ ^{存在，并求此极限。}

　

　　　　　　x₁x₃x₅x₄x₂x

　

证明

　　当a =b^时，x_n =a^，故 x_n a

n =

+∞

lim→ 。　

当a≠b^时，若取a_n =min( x_n+1,x_n)^，b_n =max(x_n+1,x_n)^，(n=1^，2^，Λ^）。

则由条件，显然可得一串区间套：

　

　　　　　　　[a_n+1,b_n+1]⊂[a_n,b_n](n=1^，2^，Λ^）。　 由已知条件　

　　　　　　　　　 ( )

2 1

2 ¹

1

1 − −

+ − _n = ⁿ + ⁿ − _n =− _n − _n

n x x x x x

x

x ，　

于是　　　

　　　　　　　　　

)， (

0

| 2 |

| 1 2 |

1

| 2 |

| 1 2|

| 1

|

1 1 1 2

2 2 1

1 1

+∞

→

→

−

=

−

=

=

−

=

−

=

−

=

−

−

−

−

−

− +

n a

b x

x

x x x

x x

x a b

n n

n n n

n n

n n n

Λ

　

由 区 间 套 定 理 ， 存 在 c^{满 足 ：} _n

n n

n a c b

+∞

→ +∞

→ = = lim

lim 。 注 意 到 x_n∈[a_n,b_n] ^{， 所 以}

c x_n

n =

+∞

lim→ 。　

　　　　下面来求c^。由 ( )

2 1

1

1 −

+ − n =− n − n

n x x x

x ^，令n =2，3，Λ，k −1^{得一串等式：}

　　　　　　 ( ) 2

1

1 2 2

3 x x x

x − =− − ^；

　　　　　　 ( ) 2

1

2 3 3

4 x x x

x − =− − ^；

　　　　　　　 ΛΛΛΛΛΛ 

　　　　　　　 ( ) 2

1

2 1

1 − −

− =− −

− _{k k k}

k x x x

x 。　

将它们相加，得　 ( )

2 1

1 1

2 x x

x

x_k − =− _k− − ^，令k →+∞，得 ( )

2 1

1

2 c x

x

c− =− − 

所以　　　　　　　 ( 2 ) 3

1 3

2 3 1

2

1 x a b

x

c = + = + ^。

　

２．４．３　　子序列与波尔察诺定理　

　

给定序列　x₁，x₂，Λ，x_n，Λ ，考虑由它的一部分元素，而不变更次序所构成的序列：　

Λ

Λ， ，

，

，n nk

n x x

x 1 2 ，称为{x_n}的一个子序列。　

关于子序列{ }

nk

x ^的序号n_k^{需要说明三点：}

（１）　 n_k是一个严格上升的自然数列；n₁ <n₂ <Λ <nk <Λ 　

（２）　 子序列{ }

nk

x 的序号不是n_k，而是k，n_k是k的函数，它表明子序列与原序列 的关系。xnk表示子序列中的第k项，是原序列的第n_k项。　

（３）　 n_k ≥k^。所以 =+∞

+∞

→ k

klim n 。　

例如序列{x_k+l}^（l为某一正整数）是序列{x_n}的子序列。它是由原序列去掉前l项　

所得，这里n_k = k+l^。

又如序列{x_2k}，{x_2k−1}是序列{x_n}的子序列，它们分别是由原序列取偶数项和奇数

项所组成的序列，前者n_k = 2k^，后者nk = 2k−1。　 对子序列再抽子序列，应记作{ }

ki

xn ，它仍然是原序列的子序列。序列本身也可以说是 它自己的子序列。　

子序列概念本身是容易理解的。难点倒是它的表现形式，或者说是它的记号。　

定理 ３

　　设 x_n c

n =

+∞

lim→ ^，则{x_n}的任一子序列{x_nk}^都以c^为极限。

证明

　　∀ε >0^，由 x_n c

n =

+∞

lim→ ^，∃N^，当n >N ^时，有|x_n −c|<ε^。因 =+∞

+∞

→ k

klim n ^，

所以对于N ，∃k₀ ^，当k >k₀^时，有n_k > N ^。从而当k >k₀^时，有|x −c|<ε

nk ，即

c xnk

k =

+∞

lim→ 。　

注 １

　定理当c =+∞^或−∞^{时，结论仍成立。}

注 ２

　若序列{x_n}有两个子序列极限不等，则序列{x_n}无极限。　

若原序列没有极限，它可以有收敛的子序列。如序列　1，0，1，0，Λ ^{，它的奇数项组成的} 子序列有极限1。是否任意序列都有收敛子序列呢？这就是下面定理。　

定理 ４　

（波尔察诺）　有界序列必有收敛子序列。　

证明　

　设a≤ x_n ≤b^，用中点

1 2

b

c = a+ ^将

[ ]

^a,b 一分为二，则两个子区间

[ ]

a, c1 和

[ ]

^{c ,}1 ^b 中至少有一个含有{x_n}中无穷多项，选出来记为

[

a1, b1

]

，在其中选一项

n1

x 。用中点

2

1 1 2

b

c = a + ^将

[

a1, b1

]

一分为二，则两个子区间

[

a1, c2

]

和

[

c2, b1

]

中至少有一个含有{x_n}中 无穷多项，选出来记为

[

a2, b2

]

，在其中选一项

n2

x ，使得n₂ >n₁,Λ ^{。最后得一区间套}

[

a ,k bk

]

^，满足

[

ak₊₁,bk₊₁

] [

⊂ ak,bk

]

^，

k k k

a a b

b 2

= −

− ^，

[

k k

]

k k

n a b n n

x ∈ , , ₊₁ > 。