1-1 空間概念

製作老師：趙益男 / 基隆女中教師

發行公司：龍騰文化事業股份有限公司

Ch1 空間向量

1-1 空間概念

課本頁次： 2

甲、直線與直線的關係

( 一 ) 當 L₁ 與 L₂ 在同一平面時：

(1) L₁ 與 L₂ 不相交（ L₁ 與 L₂ 平行）

L₁ 與 L₂ 平行 L₁ L₂

空間中兩直線 L₁ 與 L₂ 的相交情形﹐可分兩類﹐

共有 4 種可能﹒

課本頁次： 2

甲、直線與直線的關係

空間中兩直線 L₁ 與 L₂ 的相交情形﹐可分兩類﹐

共有 4 種可能﹒

( 一 ) 當 L₁ 與 L₂ 在同一平面時：

(2) L₁ 與 L₂ 恰交於一點 P

L₁ 與 L₂ 恰交於一點 P

L₁

L₂ P

課本頁次： 2

甲、直線與直線的關係

(3) L₁ 與 L₂ 重合

L₁ 與 L₂ 重合 L₁ L₂

空間中兩直線 L₁ 與 L₂ 的相交情形﹐可分兩類﹐

共有 4 種可能﹒

( 一 ) 當 L₁ 與 L₂ 在同一平面時：

課本頁次： 3

甲、直線與直線的關係

( 二 ) 當 L₁ 與 L₂ 不在同一平面時：

L₁ 與 L₂ 歪斜 L₁

L₂

空間中兩直線 L₁ 與 L₂ 的相交情形﹐可分兩類﹐

共有 4 種可能﹒

(4) L₁ 與 L₂ 既不相交也不平行

（稱 L₁ 與 L₂ 為歪斜線或稱此二直線歪斜）

課本頁次： 3

歪斜線

當空間中兩相異直線 L₁ 與 L₂ 既不相交也不平行時﹐

稱此二直線 L₁ ﹐L₂ 為歪斜線﹒

甲、直線與直線的關係

課本頁次： 3

例 1 右圖是一個長方體﹐下列哪些直線與直線 AE (1) 直線 AB (2) 直線 DH

解： (1)

× ：

× ：

(4) 直線 FH (3) 直線 FG

直線 FG 和直線 AE 歪 (3) ○

：

(4) ○

：

∴

H G

C A B

E D

F

歪斜？

課本頁次： 3

練 1 ^{右圖是一個八面體}

^﹐

(1) 直線 CD (2) 直線 BC

解：

(4) 直線 FB (3) 直線 CF

問：下列哪些直線與直線 AD 歪斜？

(1) × ：直線 CD 與直線 AD 交於 D 點 (2) × ：直線 BC 與直線 AD 平行

(4) ○ ：直線 FB 與直線 AD 歪斜 (3) ○ ：直線 CF 與直線 AD 歪斜

∴ 選 (3)(4)

課本頁次： 4

乙、直線與平面的關係

決定一平面的條件

：

A

C B

(1) 不共線三點

不共線三點 A, B, C

課本頁次： 4

乙、直線與平面的關係

E

L

P

一直線 L 與線外一點 P 決定一平面的條件

：

(2) 一直線與線外一點

課本頁次： 4

乙、直線與平面的關係

E

L₂

L₁

兩相交直線 L₁ 與 L₂ 決定一平面的條件

：

(3) 兩相交直線

課本頁次： 4

乙、直線與平面的關係

E

L₂ L₁

兩平行直線 L₁ 與 L₂ 決定一平面的條件

：

(4) 兩平行直線

課本頁次： 4

乙、直線與平面的關係

空間中一直線 L 與一平面 E 的相交情形：

(1)L 與 E 不相交 , 我們稱 L 與 E 平行

L 與 E 平行

E L

課本頁次： 4

L 與 E 恰交於一點 P P E

L

空間中一直線 L 與一平面 E 的相交情形：

(2)L 與 E 恰交於一點 P

乙、直線與平面的關係

課本頁次： 4

E L

L 落在 E 上

空間中一直線 L 與一平面 E 的相交情形：

(3)L 落在 E 上

乙、直線與平面的關係

課本頁次： 5

當直線 L 與平面 E 相交於 P 點﹐而且 E 上通過 P 點

E P

L

的每一條直線均與 L 垂直時﹐稱 L 與 E 垂 直﹐並以 L  E 表

示﹒

直線與平面垂直的定義

課本頁次： 5

E L

P

L₁ L₂

若平面 E 上兩相異直線 L₁, L₂ 均與 L 垂直﹐則平面 E 上 其他通過 P 點的直線就會與 L 垂直﹐即 L 與 E 垂

直﹒

直線與平面垂直

課本頁次： 5

例 2 右圖是一個長立方體 , , ,

求 的長﹒

 2 AB 解：

 2

BC CG 1 AG

2 2 2

AB BC CG

  

AG

2 22 12 3

 2    2 2

1

2

2 G

AC C

 

課本頁次： 6

練 2右圖是一個邊長為 2 的正立方體﹐

解：

2 2

1 1

6 AE  EO

 

2 2 22 2 6

AE  EO   

O 是底面的中心﹐ A 為頂點﹐求AO 的長﹒

∴

2 2 2

1 1 EO   

M



rOEM

OM  EM 且 _{OM  EM 1} 是直角三角形

又

∵

rAOE 是直角三角形 得

AO 

課本頁次： 6

丙、平面與平面的關係

空間中兩個平面 E₁ 與 E₂ 有以下 3 種相交的情形

：(1)E₁ 與 E₂ 不相交﹐我們稱平面 E₁ 與 E₂ 平 行

E₁ 與 E₂ 平 行

E₁ E₂

課本頁次： 6

丙、平面與平面的關係

空間中兩個平面 E₁ 與 E₂ 有以下 3 種相交的情形

：(2)E₁ 與 E₂ 交於一直線 L ﹐ 我們稱 L 為 E₁ 與 E₂ 的 交線

E₁ 與 E₂ 交於一直線 L

E₁

E₂

L

課本頁次： 6

丙、平面與平面的關係

空間中兩個平面 E₁ 與 E₂ 有以下 3 種相交的情形

：(3)E₁ 與 E₂ 重合

E₁ 與 E₂ 重 合

E₁

E₂

課本頁次： 7

在空間中兩個相異平面 E₁ 與 E₂ 交於一直線 L 時

E₁

E₂ L

丙、平面與平面的關係

二面角：

課本頁次： 7

在空間中兩個相異平面 E₁ 與 E₂ 交於一直線 L 時 以 L 為分界截取圖形

E₁

E₂ L

丙、平面與平面的關係

二面角：

課本頁次： 7

L

丙、平面與平面的關係

二面角：

E₂ E₁

P

Q

 R

在 L 上任取一點 P ﹐ 並由 P 點分別在 E₁ 與 E₂ 上作兩 條和 L 垂直的射線 PQ,PR ﹐QPR 的大小為

（ 0^o<  < 180^o ）為此二面角的大小﹒

註：  QPR 的大小不因為 P 點的選取位置而有所不同

課本頁次： 7

以 E₁

⊥

丙、平面與平面的關係

交於一直線之兩平面有兩個不同大小的二面角﹐

這兩個夾角互為補角

當兩平面 E₁ 與 E₂ 的夾角為直角時﹐稱 E₁ 與 E₂ 互相垂直﹐

二面角：

課本頁次： 7

丙、平面與平面的關係

當一個立體圖形有四個面﹐且每一個面都是 四面體

三角形時﹐我們稱此立體圖形為四面體﹒

課本頁次： 7

丙、平面與平面的關係

若四面體的每一個面都是正三角形時﹐則 正四面體

稱此四面體為正四面體﹒

課本頁次： 7

丙、平面與平面的關係

正四面體

沿著虛線折起

課本頁次： 7

丙、平面與平面的關係

正四面體

沿著虛線折起

垂線 交底面於 H 點時﹐稱 為正四面體 的高

AH AH

ABCD 為一個正四面體﹐當從頂點 A 對底面 BCD 作

課本頁次： 8

例 3

解：

正四面體的邊長為 2﹐ 任兩面所夾的二面角為 ﹐



cos

求 (1) 正四面體的高 (2) 的值

2

課本頁次： 8

例 3

解：

正四面體的邊長為 2﹐ 任兩面所夾的二面角為 ﹐



cos

BH = AB²  AH ² = 2²  AH ²

H 為△ BCD 的外心 求 (1) 正四面體的高

(2) 的值

CH DH

 

∵

2

課本頁次： 8

例 3

解：

正四面體的邊長為 2﹐ 任兩面所夾的二面角為 ﹐



cos

BH = AB²  AH ² = 2²  AH ²

H 為△ BCD 的外心 求 (1) 正四面體的高

(2) 的值

CH DH

 

∵

課本頁次： 8

例 3

解：

正四面體的邊長為 2﹐ 任兩面所夾的二面角為

﹐



cos

求 (1) 正四面體的高 (2) 的值

2 2

2 1 3

AM  BM    3

3 3

HM  1 BM 

2 6 3 .

2

2 2 2 3

3) ( 3

AH AM HM  

     

(1) 正四面體的高

2 1

3

(2) 的值

課本頁次： 8

例 3

解：

正四面體的邊長為 2﹐ 任兩面所夾的二面角為 ﹐



cos

求 (1) 正四面體的高

2 2

2 1 3

AM  BM   

1 3

3 3

HM  BM 

(2) 的值^cos

1 1

3 3

HM  BM  AM ^{cos 1} 3 HM

  AM 

∴

課本頁次： 9

練 3^{右圖是一個各邊長皆為 2 的四角錐﹐}

解：

H 為正方形的中心 ABCD 是一個正方形

2 2

2 EH B H D

AH    H C  H

2 2

1 1

2 2

2 2 2

AH AC

    

(1) 求高 的長EH 2

2 2 2 2

2 AH 4

EH     

∴高

2

課本頁次： 9

右圖是一個各邊長皆為 2 的四角錐﹐

解：

(2) 二側面 ABE 與 ADE 所夾 的

ABCD 是一個正方形

兩面角為 ﹐求 cos 的值

M

2 2 BD 

的中點 M 

取 AE _{BM  AE, DM  AE} 3

BM  DM 

△BMD 中

     

2 3 3

2

 3 

  

1

 3

且

2 2 2

cos 2

BM DM M D

BD B M

 ^{ }

 

∴

3 3

2 2

練 3

∵∠BMD =



課本頁次： 9

丁、三垂線定理

設直線 AB 垂直平面 E 於 B 點﹐且 L 是平面 E 上一條直線

課本頁次： 9

丁、三垂線定理

設直線 AB 垂直平面 E 於 B 點﹐且 L 是平面 E 上一條直線 若直線 BC 垂直 L 於 C 點﹐則直線 AC 也垂直 L 於 C 點

課本頁次： 9

丁、三垂線定理

證：

∠ABC =∠ABP =∠BCP = 90^o 在 L 上取異於 C 的一點 P

2

2 2

(AB BC ) CP

  

2 2

2 AB

AP   BP

∴

2 2 2

(BC )

AB CP

  

2

2 P

AC C

 

課本頁次： 10

例 4

解：

設直線 AB 垂直平面 E 於點 B﹐

且 L 是平面 E 上一條直線﹐

D 是 L 上一點﹐如圖所示﹒

若直線 BC 垂直 L 於 C 點﹐

且

﹐

則 的長度為何？

2

AC  DC  1 AD

△ACD 是一個直角三角形

2 2 22 12 5

AD  AC  CD   

由三垂線定理﹐得直線 AC 垂直 L 於 C 點﹐

∴

課本頁次： 10

設直線 AB 垂直平面 E 於 B 點﹐ L 是平

面 E上一條直線﹐且 D 是 L 上一點﹐如圖所示﹒

若直線 BC 垂直 L 於 C 點﹐且

解： 由三垂線定理得直線 AC 垂直 L 於 C 點﹐

2 2

AC  AD  CD

2 2

AB  AC  BC

2, 1

AD  BC  DC 

2 2

2 1 3

  

 

  

∴

, 則 的長度為何﹖_AB

練 4

1 1

2 3

課本頁次： 11

例 5長度分別為 15 與 20 公尺的兩面圍牆立於地面 上﹐它們的高度都是 5 公尺﹐而且互相垂直﹐如 下圖

所示：

有一隻貓咪趴在兩牆相交的頂點 C 處﹐注視著 從一牆之牆角 A 沿著直線跑到另一牆之牆角 B 的 老鼠﹒問：

(1) 在整個注視的過程中﹐貓咪與老鼠的最近距 離

是幾公尺？

(2) 已知通過 A,B,C 三點的面與地面的夾角為

﹐

求 sin ^的值﹒

C

A ^B

課本頁次： 11

例 5

A H B

C

D 解：

從兩牆相交的底點 D 作 AB 的垂線 DH﹐ 三垂線定理可知：直線 CH 垂直於直線 AB

故線段 CH 的長度是貓咪與老鼠的最近距 離

連接 CH

課本頁次： 11

例 5 解：

15 20

直角三角形 ADB 面積

2 02 5

15 2 2

AB   

25

2 2

AD BD AB DH

 15 20

25 12 AD BD

DH AB

 

  

課本頁次： 11

例 5

解： 5

12

在直角三角形 CHD 中﹐^{CD  5,}

DH  12,

2 52 3

12 1

 CH   

∴

課本頁次： 11

例 5 解：

(2)

∵

CH  AB DH  AB

∴

n CD 135

CHD CH

    

 通過 A, B, C 三 點的面與地面的夾角 =∠CHD 13

5



課本頁次： 12

如圖﹐在 8 公尺高的塔頂上﹐俯望成直線狀

的河流﹒已知塔底中心到河流的最近點是 15 公尺﹐

解： P

Q

L

練 5

求塔頂到河流的最短距離﹒

設河流所在的直線為 L

8

PQ  ﹐QR 15

2 52 7

8 1 1

 PR   

QR⊥L

∵ _{PQ  QR} 且

 PR⊥L

∴

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