第三章 行列式

第三章 行列式

3.1 矩陣的行列式

3.2 使用基本運算求行列式 3.3 行列式的性質

3.4 特徵值介紹 3.5 行列式的應用

Elementary Linear Algebra 投影片設計製作者 R. Larsen et al. (6 Edition) 淡江大學 電機系 翁慶昌 教授

2/73

3.1 矩陣的行列式



2 × 2 矩陣的行列式 (determinant)



注意：



 





22 21

12 11

a a

a A a

12 21 22

| 11

| )

det(A  A  a a  a a



 



 





22 21

12 11

a a

a a

22 21

12 11

a a

a a

線性代數: 3.1節 p.152

3/73



範例 1：二階矩陣的行列式

2 1

3 2 

2 4

1 2

4 2

3 0



注意：

矩陣的行列式可以為正、零或負值。

) 3 ( 1 ) 2 (

2  

 43 7

) 1 ( 4 ) 2 ( 2 

 44 0

) 3 ( 2 ) 4 ( 0 

 06 6

線性代數: 3.1節 p.153

4/73



餘因子 (cofactor)

ij j i

ij M

C (1)^ aij



的子行列式 (minor)



由A消去第i列和第j行所形成矩陣的行列式

nn j

n j

n n

n i j

i j i i

n i j

i j i i

n j

j

ij

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a

M































) 1 ( )

1 ( 1

) 1 ( )

1 )(

1 ( ) 1 )(

1 ( 1

) 1 (

) 1 ( )

1 )(

1 ( ) 1 )(

1 ( 1

) 1 (

1 )

1 ( 1 )

1 ( 1 12

11

































 aij

線性代數: 3.1節 p.153

5/73



範例 2：



















33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a A

33 32

13 12

21 a a

a M  a



21 21

1 2

21 ( 1) M M

C   

 ^

33 31

13 11

22 a a

a M  a

22 22 2 2

22 ( 1) M M

C   ^ 

線性代數: 3.1節 p.154

6/73



注意:餘因子的符號型式

















































































































































































3 × 3 矩陣 4 × 4 矩陣 n ×n 矩陣



注意：

奇數位置(i+j是奇數)為負號，並且 偶數位置(i+j為偶數)為正號。

線性代數: 3.1節 p.154

7/73



範例 2：求A所有的子行列式和餘因子

, 1 5 4

2 3

12  

, M 1 1

0 2 1

11  



 M

解：(1) 所有A的子行列式

0 4 4

1 3

13  

 M

, 1 2 0

1 2

21  

M 4,

1 4

1 0

22 

M 8

1 4

2 0

23  

M

, 2 5 1

1 2

31 

 

M 3,

2 3

1 0

32 

M ⁶

1 3

2 0

33 

  M





















1 0 4

2 1 3

1 2 0 A

線性代數: 3.1節 pp.154-155

8/73

, 1 5 4

2 3

12  

,C 1 1

0 2 1

11  





 C 4

0 4

1 3

13  



 C

ij j i

ij M

C (1)^



, 1 2 0

1 2

21  

C ^4,

1 4

1 0

22  

C 8

1 4

2 0

23  

C

, 2 5 1

1 2

31 





C 3,

2 3

1 0

32 

C 6

1 3

2 0

33 

 

 C

解：(2) 所有A的餘因子.

線性代數: 3.1節 pp.154-155

9/73



定理 3.1： 餘因子展開 (expansion by cofactors)















 ⁿ

j

in in i

i i i ij

ijC a C a C a C

a A A a

1

2 2 1

| 1

| ) det(

)

( 

(第i列展開) i=1, 2,…, n















 ⁿ

i

nj nj j

j j j ij

ijC a C a C a C

a A A b

1

2 2 1

| 1

| ) det(

)

( 

(第j行展開) j=1, 2,…, n 令A是n階方陣，則A的行列式為

或

線性代數: 3.1節 p.155

10/73



範例：3階矩陣的行列式

線性代數: 3.1節 補充



















33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a A

33 33 23 23 13 13

32 32 22 22 12 12

31 31 21 21 11 11

33 33 32 32 31 31

23 23 22 22 21 21

13 13 12 12 11

) 11

det(

C a C a C a

C a C a C a

C a C a C a

C a C a C a

C a C a C a

C a C a C a A







































11/73 線性代數: 3.1節 p.156





















1 0 4

2 1 3

1 2 0 A

6

, 3 , 5

8 ,

4 ,

2

4 , 5 ,

1

33 32

31

23 22

21

13 12

11 2 E





























C C

C

C C

C

C C

C

x

14 ) 6 )(

1 ( ) 8 )(

2 ( ) 4 )(

1 (

14 ) 3 )(

0 ( ) 4 )(

1 ( ) 5 )(

2 (

14 ) 5 )(

4 ( ) 2 )(

3 ( ) 1 )(

0 (

14 ) 6 )(

1 ( ) 3 )(

0 ( ) 5 )(

4 (

14 ) 8 )(

2 ( ) 4 )(

1 ( ) 2 )(

3 (

14 ) 4 )(

1 ( ) 5 )(

2 ( ) 1 )(

0 ( )

det(

33 33 23 23 13 13

32 32 22 22 12 12

31 31 21 21 11 11

33 33 32 32 31 31

23 23 22 22 21 21

13 13 12 12 11 11











































































































C a C a C a

C a C a C a

C a C a C a

C a C a C a

C a C a C a

C a C a C a A

解：



範例3：3階矩陣的行列式

12/73 線性代數: 3.1節 pp.158-159



範例5：(3階矩陣的行列式)

? ) det( 

 A























1 4 4

2 1 3

1 2 0 A

解：

1 9 4

2 ) 1

1 ( ¹¹

11  



 ^

C ( 1)( 5) 5

1 4

2 ) 3

1 ( ^{1 2}

12   ^    

C

4 -8 - 4

1 ) 3

1 ( ^{1 3}

13  



 ^

C

2

) -8 )(

1 ( ) 5 )(

2 ( ) 9 )(

0 ( )

det( _{11 11 12 12 13 13}

















 A a C a C a C

13/73 線性代數: 3.1節 p.157



注意：

包含較多0的列(或行)通常是餘因子展開的最佳選擇。



例題4：(4階矩陣的行列式)

























2 0 4 3

3 0 2 0

2 0 1 1

0 3 2 1

A det(A)?

14/73

解：

) )(

0 ( ) )(

0 ( ) )(

0 ( ) )(

3 ( )

det(A  C₁₃  C₂₃  C₃₃  C₄₃

2 4 3

3 2 0

2 1 1 ) 1 ( 3 ^{1 3}







 ^

3C13



 

39 ) 13 )(

3 (

) 7 )(

1 )(

3 ( ) 4 )(

1 )(

2 ( 0 3

4 3

1 ) 1

1 )(

3 2 ( 3

2 ) 1

1 )(

2 2 ( 4

2 ) 1

1 )(

0 (

3 ^{2 1 2 2 2 3}



















 



 



 

 

 



 ^{  }

線性代數: 3.1節 pp.157-158

15/73



3×3矩陣的行列式



















33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a A

32 31 33 32 31

22 21 23 22 21

12 11 13 12 11

a a a a a

a a a a a

a a a a a

12 21 33 11 23 32

13 22 31 32 21 13 31 23 12 33 22 11

|

| ) det(

a a a a a a

a a a a a a a a a a a a A A

















加這三個乘積 減這三個乘積

線性代數: 3.1節 p.158

16/73



範例 5：























1 4 4

2 1 3

1 2 0 A

4 4

1 3

2 0



 -4

0

2 6 0 ) 4 ( 12 16 0

|

| )

det(         

 A A

16 -12 0 6

線性代數: 3.1節 p.159

17/73



上三角矩陣 (upper triangular matrix)



下三角矩陣 (lower triangular matrix)



對角矩陣 (diagonal matrix)

矩陣之主對角線下方的元素都為零

矩陣之主對角線上方的元素都為零

矩陣之主對角線上方和下方的元素皆為零

線性代數: 3.1節 p.159



注意：

一個矩陣同時為上三角與下三角被稱為對角(diagonal)

18/73

















33 23 22

13 12 11

a 0 0

a a 0

a a a

















33 32 31

22 21 11

a a a

0 a a

0 0 a



範例：

上三角矩陣

















33 22 11

a 0 0

0 a 0

0 0 a

下三角矩陣 對角矩陣

線性代數: 3.1節 p.159

19/73



定理 3.2： 三角矩陣的行列式

若 A 是 n 階三角矩陣，則它的行列式為主對角線上 元素的乘積。即

ann

a a a A

A) | | _{11 22 33} det(  

線性代數: 3.1節 p.160

20/73



範例 6： 求下列矩陣的行列式

(a)



















 

3 3 5 1

0 1 6 5

0 0 2 4

0 0 0 2

A (b)



























2 0 0 0 0

0 4 0 0 0

0 0 2 0 0

0 0 0 3 0

0 0 0 0 1 B

|A|=(2)(-2)(1)(3)=-12

|B|=(-1)(3)(2)(4)(-2)=48 (a)

(b)

解：

線性代數: 3.1節 p.161

21/73

摘要與複習 (3.1節之關鍵詞)

 determinant : 行列式

 minor : 子行列式

 cofactor : 餘因子

 expansion by cofactors : 餘因子展開

 upper triangular matrix: 上三角矩陣

 lower triangular matrix: 下三角矩陣

 diagonal matrix: 對角矩陣

22/73

3.2 使用基本運算求行列式



定理 3.3

：

基本列運算和行列式

令 A 和 B 是方形矩陣

線性代數: 3.2節 pp.165-166

) ( )

(a Br_ij A  det(B)det(A) )

( )

(b Br_i^(k) A  det(B)kdet(A) )

( )

(c Br_ij^(k) A  det(B)det(A)

) )

(

(i.e.r_ij A A ) )

(

(i.e.r_i^(k) A k A ) ) (

(i.e.r_ij^(k) A  A

23/73



範例：

線性代數: 3.2節 補充



















1 2 1

4 1 0

3 2 1 A



















1 2 1

4 1 0

12 8 4 A1



















1 2 1

3 2 1

4 1 0 A2

























1 2 1

2 3 2

3 2 1 A3

2 ) det(A 

8 ) 2 )(

4 ( ) det(

4 )) ( det(

) det(

)

( ¹ ₁⁽⁴⁾

) 4 (

1r1 A  A  r A  A   

A

2 ) 2 ( ) det(

)) ( det(

) det(

)

( ² ₁₂

2r12 A  A  r A  A   

A

2 ) det(

)) ( det(

) det(

)

( ³ ₁₂^{( 2)}

) 2 (

3r12^ A  A  r ^ A  A 

A

24/73 線性代數: 3.2節 p.166



注意：

)) ( det(

) det(

) det(

)) (

det(r_ij A  A  A  r_ij A )) ( 1det(

) det(

) det(

)) (

det( ^{( )} r^{( )} A

A k A

k A

r_i^k    _i^k

)) ( det(

) det(

) det(

)) (

det(r_ij^(k) A  A  A  r_ij^(k) A

25/73 線性代數: 3.2節 p.166

注意：

方陣的列梯形形式為上三角矩陣

範例 2： 使用基本列運算求行列式值















 

3 1 0

2 2 1

10 3 2

A det(A)?

解：

3 1 0

10 3 2

2 2 1

3 1 0

2 2 1

10 3 2 ) det(

12

















 ^r

A

26/73 線性代數: 3.2節 p.167

7 ) 1 )(

1 )(

1 )(

7 ( 1 0 0

2 1 0

2 2 1 7

) 1 (

23   









r

3 1 0

2 1 0

2 2 1 1) )(

1 ( 3 1 0

14 7 0

2 2 1

7 1

7) ( 1 2 )

2 ( 12



















 _

 r

r

27/73



注意：

線性代數: 3.2節 補充

A E EA 

Rij

E ) 1

(  E  R_ij 1

 

^{A A R A E A}

r

EA  _ij   _ij 



)

(

) 2

( ER_i^k  E  R_i^(k) k

 

A k A R A E A r

EA  _i^k   _i^k 

 ^{( ) ( )}

)

(

) 3

( ER_ij^k  E  R_ij^(k) 1

 

A A R A E A r

EA  _ij^k   _ij^k 

 ^{( )} 1 ^{( )}

28/73



行列式與基本列運算

) ( )

(a Bc_ij A

令 A 和 B 是方形矩陣

) det(

)

det(B  A

 ) ( )

(b Bc_i^(k) A  det(B)kdet(A) )

( )

(c Bc_ij^(k) A  det(B)det(A)

) )

(

(i.e.c_ij A A ) )

(

(i.e.c_i^(k) A k A ) ) (

(i.e.c_ij^(k) A  A



定理： (基本列運算與行列式)

線性代數: 3.2節 p.167

29/73















 



2 0 0

1 0 4

3 1 2 A



範例：















 



2 0 0

1 4 0

3 2 1 A2















 



2 0 0

1 0 2

3 1 1 A1



















2 0 0

1 0 4

0 1 2 A3

8 ) det(A 

4 ) 8 2)(

(1 ) 2det(

)) 1 ( det(

) det(

)

( ¹ ₁⁽⁴⁾

2) (1

1c1 A  A  c A  A   

A

8 ) 8 ( ) det(

)) ( det(

) det(

)

( ² ₁₂

2c12 A  A  c A  A   

A

8 ) det(

)) ( det(

) det(

)

( ^{3 (}₂₃³⁾

) 3 (

3c23 A  A  c A  A 

A

線性代數: 3.2節 p.167

30/73



定理 3.4： 產生零行列式的條件

(a) 一整列(或一整行)全為零 (b) 兩列(或行)是相等的

(c) 某一列(或行)是另一列(或行)的倍數

若A是方陣並且下列任何的條件是成立的，則det (A) = 0

線性代數: 3.2節 p.168

31/73



範例：

線性代數: 3.2節 補充

0 6 5 4

0 0 0

3 2 1

 0

0 6 3

0 5 2

0 4 1

 0

6 5 4

2 2 2

1 1 1



0 2 6 1

2 5 1

2 4 1

 0

6 4 2

6 5 4

3 2 1









0 6 12 3

5 10 2

4 8 1



32/73

餘因子展開 列簡化

n階 加法 乘法 加法 乘法

3 5 9 5 10

5 119 205 30 45 10 3628799 6235300 285 339



注意：

線性代數: 3.2節 p.170

33/73



範例 5：求行列式



























6 0 3

1 4 2

2 5 3 A

解：

3 ) 1 )(

3 3 ( 4

4 ) 5

1 )(

3 ( 0 0 3

3 4 2

4 5 3

6 0 3

1 4 2

2 5 3 )

det( ³¹

) 2 (

13    



 























 ^{C }

A

3 5) )( 3 5 6 ( ) 3

1 )(

5 ( 6 0 3

0 2 5 3

6 0 3

1 4 2

2 5 3 )

det( ⁵

3 52 2 1 5

3 5

2 ) 5 (4

12    

 

















 ^{C   }

A

線性代數: 3.2節 p.170

34/73



範例 6：求行列式

解：































0 2 3 1 1

3 4 2 1 3

3 2 1 0 1

1 2 3 1 2

2 3 1 0 2

A

1 0 0 3

4 6 5 1

3 2 1 1

2 3 1 2 (1)(-1)

1 0 0 0 3

4 6 5 0 1

3 2 1 0 1

1 2 3 1 2

2 3 1 0 2

0 2 3 1 1

3 4 2 1 3

3 2 1 0 1

1 2 3 1 2

2 3 1 0 2

)

det( ^{2 2}

) 1 ( 25 ) 1 (

24 































 ^

r

r

A

線性代數: 3.2節 p.171

35/73

( 3) 41

(1) 21

4 4

8 1 3 2

8 1 3 0 0 5

8 1 2 3

(1)( 1) 8 1 2 8 1 2 13 5 6 4

13 5 6 13 5 6 0 0 0 1

C

r







 

       



135 ) 27 )(

5 (

5 13

1 1) 8

5( ^{1 3}











 

 ^

線性代數: 3.2節 p.172

36/73

3.3 行列式的性質



注意:

) det(

) det(

)

det(AB  A  B



定理 3.5：矩陣相乘的行列式

(1) det (EA) = det (E) det (A) (2)

(3)

33 32 31

23 22 21

13 12 11

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

b b b

a a a

a a a

a a a

a a a





11 12 13

21 21 22 22 23 23

31 32 33

a a a

a b a b a b

a a a

  

det (AB) = det (A) det (B)

線性代數: 3.3節 p.175

37/73



範例 1: 矩陣相乘的行列式















 



1 0 1

2 3 0

2 2 1 A

























2 1 3

2 1 0

1 0 2 B

檔案中找不到關聯識別碼 rId8 的圖像部分。

11 2 1 3

2 1 0

1 0 2

|

| 







 B

解：

求 |A|、|B| 與 |AB|

線性代數: 3.3節 p.175

38/73





























































 



1 1 5

10 1 6

1 4 8 2 1 3

2 1 0

1 0 2 1 0 1

2 3 0

2 2 1 AB

77 1

1 5

10 1 6

1 4 8

|

| 









 AB

|AB| = |A| |B|



檢查:

線性代數: 3.3節 p.176

39/73



範例 2：

5 1 3 2

5 0 3

4 2 1 , 10 30 20

50 0 30

40 20 10































 A

求 |A|

解：

























1 3 2

5 0 3

4 2 1 10

A (1000)(5) 5000

1 3 2

5 0 3

4 2 1

10³  









 A



定理 3.6：矩陣純量積的行列式

若A是一個n × n 矩陣並且c是一個純量，則 det (cA) = cⁿdet (A)

線性代數: 3.3節 p.177

40/73



範例 3：下列兩個矩陣那一個是可逆?



 0 A

























1 2 3

1 2 3

1 2 0 A























1 2 3

1 2 3

1 2 0 B

A是不可逆(奇異)







 12 0

B B是可逆(非奇異)

解：



定理 3.7：可逆矩陣的行列式

方陣A是可逆(非奇異)若且唯若 det (A)  0

線性代數: 3.3節 p.178

41/73



範例 4：

1 ? A





















0 1 2

2 1 0

3 0 1

A (a) (b) A^T ?

4 0 1 2

2 1 0

3 0 1

|

|A   

 4

1

1  1 

 ^

A A

4

 A A^T

解：



定理 3.8：反矩陣的行列式

) A det(

) 1 A det( ^1  是可逆，則

若A



定理 3.9：轉置的行列式

) det(

)

det(A^T A

A是一方陣，則 

若

線性代數: 3.3節 pp.180~182

42/73

若A是一個n × n矩陣，下列敘述是等價的 (1) A是可逆

(2) 對每一個n × 1矩陣b，Ax = b 具有唯一解 (3) Ax = 0 只有顯然解

(4) A列等價於I_n

(5) A可以寫為一些基本矩陣的相乘 (6) det (A)  0



非奇異矩陣的等價條件

線性代數: 3.3節 p.181

43/73



範例 5：下列系統何者有唯一解?

(a)

4 2

3

4 2

3

1 2

3 2

1

3 2

1

3 2





















x x

x

x x

x

x x

(b)

4 2

3

4 2

3

1 2

3 2

1

3 2

1

3 2





















x x

x

x x

x

x x

線性代數: 3.3節 p.181

44/73

解：

b x (a) A

0

 A

 這個系統沒有唯一解

(b) Bxb

0 12





 B

 這個系統有唯一解

線性代數: 3.3節 p.182

45/73

3.4 特徵值的介紹



特徵值問題 (eigenvalue problem)

若A為一nn矩陣，在Rⁿ中是否存在著非零向量x，使 得Ax與x之間存在著倍數關係？



特徵值(eigenvalue)與特徵向量(eigenvector)

A：nn 矩陣

：純量

x：Rⁿ中的非零向量

x Ax

特徵值

特徵向量

線性代數: 3.4節 p.187

(特徵值問題的基本方程式)

46/73



範例 1： 證明特徵值與特徵向量





 2 3 4 A 1





 1 1 x1

1

1 5

1 5 1 5 5 1 1 3 2

4

1 x

Ax 







 













特徵值

2

2 ( 1)

1 1 2 1

2 1

2 3 2

4

1 x

Ax  



 



 







 

 



特徵值

特徵向量 特徵向量





  1 2 x2

線性代數: 3.4節 p.188

47/73



問題：

給予一個 nn 矩陣A，

如何求其特徵值與其對應之特徵向量？

A的特徵方程式 (characteristic equation) AM_nn

:

0 )

I ( ) I

det( A   A ⁿc_n1^n1c₁c₀  0

) I (

  

 x A x

Ax  



注意：

(齊次系統)

當(IA)x0 時有非零解，若且唯若^det(^I A⁾⁰

線性代數: 3.4節 p.188

48/73



範例 2： 求特徵值與特徵向量





 2 3 4 A 1

解：特徵方程式：

0 ) 1 )(

5 ( 5 4

3 2

4 ) 1

I (

2     









 













 A 

特徵值： ₁ 5,₂ 1 1

, 5 





線性代數: 3.4節 p.189

49/73

1 )

2

( ₂ 

0 1 , 2 2

0 0 4

2 4 ) 2

I (

2 1

2 1 2

 

 



 





 



 













 





 









 





t t t

t x

x

x x x

 A 5

) 1 ( ₁ 

0 1 , 1

0 0 2

2 4 ) 4

I (

2 1

2 1 1

 

 

 









 













 





 





 





t t t

t x x

x x x

 A

線性代數: 3.4節 p.189

50/73



範例 3： 求特徵值與特徵向量

























0 1 1

1 2 1

2 2 1 A

解：特徵方程式：

0 ) 3 )(

1 )(

1 ( 1

1

1 2 1

2 2 1

I        







   







 A

3 , 1 ,

： ₁ 1 ₂  ₃  特徵值

線性代數: 3.4節 p.190

51/73

11



















































0 0 0

1 1 0

2 0 1

~ 1 1 1

1 1 1

2 2 0

1I A























































1 1 2 :

2

3 2 1

t t

t t

x x x

特徵向量

2 1

















 



































0 0 0

1 1 0

2 0 1

~ 1 1 1

1 3 1

2 2 2

2I A



























































1 1 2 :

2

3 2 1

t t

t t

x x x

特徵向量

線性代數: 3.4節 p.191

52/73

3 3















































0 0 0

1 1 0

2 0 1

~ 3 1 1

1 1 1

2 2 2

3I A































































1 1 2 :

2

3 2 1

t t

t t

x x x

特徵向量

線性代數: 3.4節 p.192

53/73

3.5 行列式的應用



A的餘因子矩陣 (matrix of cofactors of A)

 



















nn n

n

n n

ij

C C

C

C C

C

C C

C C













2 1

2 22

21

1 12

11

ij j i

ij M

C (1)^

 





















nn n

n

n n

T ij

C C

C

C C

C

C C

C C

A adj













2 1

2 22

12

1 21

11

) (



A的伴隨矩陣 (adjoint matrix of A)

線性代數: 3.5節 p.195

54/73



定理 3.10

：

矩陣之伴隨矩陣所表示的反矩陣

bc ad A  

det( )

若A是一個 n × n 可逆矩陣，則 )

) ( det(

1 1

A A adj A^ 



 



 d c

b A a



 







 

a c

b A d

adj( )

 

^{( )}

det

1 1

A A adj A 

 ^



範例：









 

a c

b d bc ad

1

線性代數: 3.5節 p.196

55/73



範例1 及 範例2：

1

 A























2 0 1

1 2 0

2 3 1 A

(a)求A的伴隨矩陣

(b)使用A的伴隨矩陣來求

, 2 4 0

1 2

11 







 C

解：

, 2 1 1

1 0

12 

 



C 2

0 1

2 0

13  



 C

ij j i

ij M

C (1)^



, 2 6 0

2 3

21  

C 0,

2 1

2 1

22  





C 3

0 1

3 1

23  



 C

, 1 7 2

2 3

31 





C 1,

1 0

2 1

32  





C 2

2 0

3 1

33 





 C

線性代數: 3.5節 p.195

56/73

A的餘因子矩陣



 



















2 1 7

3 0 6

2 1 4 Cij

A的伴隨矩陣



 





















2 3 2

1 0 1

7 6 4 )

(A C_ij ^T adj



















2 3 2

1 0 1

7 6 4

3 1

 A的反矩陣

 

^{( )}

det

1 1

A A adj

A^   det

 

A 3



















3 2 3 2

3 1 3 1

3 7 3 4

1 0 2



檢查：

AA^1 I

線性代數: 3.5節 pp.195-198