尺規作圖實例、題解和證明孔德偉

(1)

尺規作圖實例、題解和證明

孔德偉

D C

E A

B

O

H I

G

¹

J

2

3

4 5 5

6 7

(2)

⃝2014 本書版權屬香港特別行政區政府教育局所有。本書任何部分之文字及圖片等，如未c 獲版權持有人之書面同意，不得用任何方式抄襲、節錄或翻印作商業用途，亦不得以任何方式透過互聯網發放。

ISBN 978-988-8159-32-1

ii

(3)

為配合香港數學教育的發展，並向教師提供更多參考資料，課程發展處數學教育組於 2007 年開始邀請大學學者及資深老師撰寫專文，並蒐集及整理講座資料，輯錄成《數學百子櫃系列》。本書《尺規作圖實例、題解和證明》是這個系列的其中一冊。作者孔德偉老師對尺規作圖及數學競賽有關的題目素有研究。本書除了介紹不同種類的尺規作圖問題及其解法外，更加入相關的證明，讓讀者深入理解使用尺規作圖方法當中的理據。

這正配合《中學課程綱要 —數學科中一至中五 (1999)》第 22 頁中提及的

「列舉理由支持有關繪畫步驟」。本書內容精闢，不僅可供教師參考，亦可作為學生讀物。本書只屬作者個人觀點，並不代表教育局的意見。

本系列能夠出版，實在是各方教育工作者共同努力的成果。數學教育組特別感謝香港大學允許本組引用三題香港大學入學試普通程度純數科試題，作為本書的材料。在此，謹向提供資料、撰寫文章的老師、學者，以及所有為本書勞心勞力的朋友，致以衷心的感謝。

如有任何意見或建議，歡迎致函：

九龍油麻地彌敦道 405 號九龍政府合署 4 樓教育局課程發展處

總課程發展主任（數學）收

（傳真：3426 9265 電郵：[email protected] ）

教育局課程發展處數學教育組

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(9)

序

這本書是寫給全香港的中學數學老師，以及對「尺規作圖」有興趣的學生閱讀的。

本人是一名中學數學教師，在觀看了 2001 年播出的一輯數學教育電視特輯「丘成桐教授專訪」後，內容中提出用圓規直尺作的三角形的難題，

引發我對「尺規作圖」的興趣，並寫了數十篇文章，放在互聯網上。

「尺規作圖」在一般數學老師的心目中，是屬於「舊數」的產物；很多數學老師甚至從來未閱讀過在五十年代至七十年代香港中學會考數學試卷中有關「尺規作圖」的試題。例如：1958 年香港中學會考數學數學試 卷二第一題 (a)：

已給 O 在∠BAC 內，作一綫段 P OQ（P 在 AB 上， Q 在 AC 上），使得 P O = 2OQ。

此題目距今已經有五十多年歷史了，近年來考評局也沒有擬定有關

「尺規作圖」的題目了。現行實施的初中數學課程有涉及「尺規作圖」的課題。參考《中學課程綱要 —數學科中一至中五（1999）》第 22-23 頁：

全等及相似

• 探究如何以圓規及直尺繪畫角平分綫、垂直平 分綫和特殊角，並列舉理由支持有關繪畫步驟

• 欣賞使用最少工具繪畫綫和角

• ** 討論只用圓規、直尺將角三等分的可能性

ix

(10)

與綫及直綫圖形有關的角

• 使用直尺和圓規繪畫一些特殊的正多邊形

• ** 討論前人曾嘗試繪畫的一些特殊正多邊形

（例如正 17 邊形）

對於老師而言，他們不但不熟悉這門知識，而且覺得很難教授。學生們幾乎從未接觸過「尺規作圖」，簡單如使用三角尺及量角器的作圖題目也會錯漏百出。反正公開考試數學科沒有這類題目，很多數學老師便索性不教這課題了。

其實利用「尺規作圖」可欣賞歐幾里得幾何的結構，例如定義、公理及公設等及以演繹推理來處理幾何問題的方法，也可從中學習古希臘幾何三大問題：¹

（方圓問題）求作一個正方形，使其面積和半徑為 1 單位的圓面積相等；

（倍立方問題）求作一個正立方體，使其體積為邊長為 1 單位的正立方體的兩倍；

（三等分角問題）三等分任意已知角。

幾千年來，很多數學家也曾研究「尺規作圖」，即作圖只使用沒有刻度的直尺（straightedge）和圓規（compasses）。

自從 2009 年開始，由教育局及香港教育學院聯合舉辦的香港數學競賽開始引入「幾何作圖」環節，希望藉此推動多些學生和老師對這方面的研究和興趣。

在閱讀這本書前，讀者必須具備有一般中學課程數學科的知識：例如畢氏定理、在平面空間的點和綫的關係、全等和相似、中點定理、截綫定

1節錄自 EpisteMath 台灣大學數學系康明昌 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles

x

(11)

理、三角形的五心、圓形的性質、三角比、正弦公式和餘弦公式. . . 等等。

這本書共分成六個章節：

第一章相交弦定理及其逆定理第二章作圖基本技巧

第三章簡單作圖第四章三角形第五章圓

第六章從黃金分割. . . 到正五邊形

從鋪排上，大致上是由淺入深的和分門別類的。每一段文章開首是題目，然後是分析和題解，最後是證明部分；末段可能還加上思考題。希望各位讀者細心欣賞和閱讀。

以本人有限的知識和時間，在本書中提出的想法和證明，錯漏在所難免；如蒙各位高人指點，不論是提出另類解法，抑或是指出原文錯誤，歡迎賜教。本人將萬分感激。

xi

(12)

(13)

一些反思

前人有云：「幾何無捷徑。」我想這句說話甚至可推廣至：「數學之路無捷徑。」

為了要成功作圖，往往花上數星期的時間。世上數學難題何其多，如果我不是在鑽研的過程中尋找到樂趣的話，早就放棄好了。正因為有興趣研究，我才將一丁點兒研究成果，與讀者分享；希望可以感染到讀者，也會專心研究數學難題。

現今數學比賽，多不勝數。甚至幼稚園的學生也參加比賽，令老師和學生都喘不過氣來。我隨便取一份試卷試做，也要花很長時間才能完成。

試問一般學生，又怎能做得到呢？

數學比賽的形式，往往只求答案，而不用列式；少數比賽包括作圖部分，卻要求學生短時間之內完成，不須證明。這種不求甚解，追求快而準的比賽方法，的確無法誘發莘莘學子們研究數學的興趣。

xiii

(14)

(15)

鳴謝

這本書得以順利付梓，有幸教育局總課程發展主任（數學）吳少階先生及前教育局總課程發展主任（數學）李栢良先生邀請，並由李健深先生排版及校對，以及已退休的梁志錄老師，他不斷給予我的支持和鼓勵，

提供部分問題和解答及校對。

已退休的荃灣官立中學姚世明校長，批准我於 2010 年到香港教育學院進修。好使我能利用這段時間編寫這本書。另外，香港教育學院數學高級講師鄭振初先生同意將這本書當作進修課程課業。本人十分感謝他們，

沒有他們的批准和同意，我實在沒法抽空寫書。

梁廣成先生提供大量「尺規作圖」的問題和「根軸」一文的獨特見解；還有吳銳堅博士於「幾何作圖」講座筆記提供的參考書和不能三分角的知識，令我如沐春風。最後，教育局數學教育組各位課程發展主任，

他們提供意見和積極的配合，本人實在無限感激。

二○一四年二月孔德偉

xv

(16)

(17)

第 1 章相交弦定理及其逆定理

1.1 定理一及其逆定理

定理一 如圖 1，兩弦綫 AB 和 CD 相交於圓內一點 K。

若 AK = a， BK = b， CK = c， DK = d，則 ab = cd。

證明： ∠KAC = ∠KDB （同弓形上的圓周角)

∠KCA = ∠KBD （同弓形上的圓周角）

∠AKC = ∠DKB （對頂角）

∴ △AKC ∼ △DKB （等角）

∴ a d =c

b （相似三角形的對應邊）

ab = cd 證明完畢。

A

B C

D

K a

b c

d

圖 1 1

(18)

逆定理：如圖 2，若兩綫段 AB 和 CD 相交於一點 K； AK = a，

BK = b， CK = c， DK = d；且 ab = cd，則 A、 C、 B、

D四點共圓。

證明： ∠AKC = ∠BKD （對頂角）

∵ ab = cd （已知）

∴a d= c

∴ △AKC ∼ △DKBb （兩邊成比例，一夾角相等）

∴ ∠KCA = ∠KBD （相似三角形的對應角）

A、 C、 B、 D 四點共圓。（同弓形上的圓周角的逆定理）

證明完畢。

A

B C

D

K a

b c

d

圖 2

(19)

1.2 定理二及其逆定理 3

1.2 定理二及其逆定理

定理二 如圖 3，兩非平行的弦綫 AB 和 DC 的延長綫相交於圓外 一點 K。若 AK = a， BK = b， CK = c， DK = d，則 ab = cd。

證明： ∠KAD = ∠KCB （圓內接四邊形外角）

∠KDA = ∠KBC （圓內接四邊形外角）

∠AKD = ∠CKB （公共角）

∴ △AKD ∼ △CKB （等角）

∴ a c =d

ab = cd 證明完畢。

A

B

C

D

K a

b

c

d

圖 3

(20)

逆定理：如圖 4，若兩綫段 AB 和 DC 的延長綫相交於一點 K； AK = a， BK = b， CK = c， DK = d；且 ab = cd，則 A、 B、

C、 D 四點共圓。

證明： ∠AKD = ∠CKB （公共角）

∵ ab = cd （已知）

∴a c = d

∴ △AKD ∼ △CKBb （兩邊成比例，一夾角相等）

∴ ∠KAD = ∠KCB （相似三角形的對應角）

A、 B、 C、 D 四點共圓。 （外角 = 內對角）

證明完畢。

B

C A

D

K a

b

c

d

圖 4

(21)

1.3 定理三及其逆定理 5

1.3 定理三及其逆定理

定理三 如圖 5，弦綫 AB 的延長綫和圓上 C 點的切綫相交於一點 K。若 AK = a， BK = b， CK = c，則 ab = c²。

證明： ∠BCK = ∠CAK （交錯弓形的圓周角）

∠BKC = ∠CKA （公共角）

∠CBK = ∠ACK （三角形內角和）

∴ △CKB ∼ △AKC （等角）

∴ a c =c

ab = c² 證明完畢。

A

B

C K

a

b c 圖 5

(22)

逆定理：如圖 6，已給三角形 ACK， B 在 AK 上； AK = a， BK = b， CK = c；且 ab = c²，則 CK 切圓 ABC 於 C。

證明： ∠BKC = ∠CKA （公共角）

∵ ab = c² （已知）

∴a c = c

∴ △AKC ∼ △CKBb （兩邊成比例，一夾角相等）

∠CAK = ∠BCK （相似三角形的對應角）

CK 切圓 ABC 於 C。 （交錯弓形的圓周角的逆定理）

證明完畢。

A

B

C K

a

b c 圖 6

(23)

第 2 章作圖基本技巧

2.1 作一已知三邊長度的三角形

已給 1 單位長度，作一三角形，三邊長度分別為 2 單位、3 單位及 4 單位。

作圖方法如下（圖 7）：

1. 作一邊長為 4 單位的綫段 AB。

2. 以 A 為圓心，半徑 2 單位作一弧；以 B 為圓心，半徑 3 單位作一 弧；兩弧相交於 C。

3. 連接 AC、 BC。△ABC 便滿足條件了。（S.S.S.）

作圖完畢。

A| ^|B

C

2 3

4 圖 7

7

(24)

2.2 複製已知角

已給一隻角∠ABC，複製該角為 ∠P QR。

作圖方法如下（圖 8 及圖 9）：

1. 以 B 為圓心，某一固定半徑作一弧，交 AB 於 D，及 BC 於 E。

2. 作一綫段 QP 。以 Q 為圓心，相同半徑作一弧，交 P Q 於 S。

3. 以 D 為圓心，半徑為 DE 作一弧；以 S 為圓心，半徑為 DE 作一 弧，與步驟 2 的弧交於 T 。

4. 連接並延長 QT 至 R。

作圖完畢。

B D A

C E

Q S P

R T

圖 8 圖 9

證明如下：

△BDE ∼=△QST （S.S.S.）

∴ ∠DBE = ∠SQT （全等三角形的對應角）

即∠ABC = ∠P QR 證明完畢。

(25)

2.3 過已知點作平行綫 9

2.3 過已知點作平行綫

如圖 10，已給一點 C，且不在一直綫 AB 上，過 C 作一綫平行於 AB。

|

A

|

B

x

C

圖 10

連接 AC，複製∠BAC 至 ∠ACD (B 和 D 在 AC 的不同一方)。

|

A

|

B

x

C D

M O N P

圖 11

作圖完畢。

證明如下：

∠BAC = ∠ACD （由作圖所得）

∴ AB//DC （錯角相等）

證明完畢。

(26)

2.4 作 60

^◦

及等邊三角形

已給一綫段 AB，作 60^◦及等邊三角形。

1. 以 A 為圓心， AB 為半徑作一弧；以 B 為圓心， BA 為半徑作一 弧；兩弧相交於 C。

2. 連接 AC 及 BC。

作圖完畢。

A B

C

圖 12

證明如下：

AC = AB = BC （由作圖所得）

∴ △ABC 為等邊三角形。

∴ ∠BAC = 60^◦ （等邊三角形性質）

證明完畢。

(27)

2.5 將一綫段等分成五等份 11

2.5 將一綫段等分成五等份

已給一綫段 AB，將 AB 分成五等份。

1. 在任意方向，作一綫段 AM （M, A, B 不共綫）。

2. 以 A 為圓心，任意固定半徑作一弧；交 AM 於 P ；以 P 為圓心，

以此半徑作一弧；交 AM 於 Q；如此類推，得到五點 P 、 Q、 R、

S、 T 在 AM 上且等距。

3. 連接 T B，過 P 、 Q、 R、 S 作綫段平行於 T B，分別交 AB 於 C、 D、 E、 F 。

作圖完畢。

A B

M

C D E F P

Q R

S

T ₁ 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

圖 13

(28)

證明：

C、 D、 E、 F 將 AB 分成五等份 （截綫定理）

證明完畢。

利用這方法，可將 AB 分成任意等份。

(29)

2.6 作垂直平分綫 13

2.6 作垂直平分綫

已給一綫段 AB，作垂直平分綫。

1. 以 A 為圓心， AB 為半徑作一弧；以 B 為圓心，以 BA 為半徑作 一弧；兩弧相交於 P 、 Q。

2. 連接 P Q，交 AB 於 M 。

作圖完畢。

A| ^|B

P

Q M

圖 14

(30)

證明如下：

連接 AP 、 AQ、 BP 及 BQ。

P Q = P Q （公共邊）

AP = BP （半徑）

AQ = BQ （半徑）

∴ △AP Q ∼=△BP Q （S.S.S.）

∴ ∠AP Q = ∠BP Q （全等三角形的對應角）

P M = P M （公共邊）

∴ △AMP ∼=△BMP （S.A.S.）

∠AMP = ∠BMP （全等三角形的對應角）

∠AMP + ∠BMP = 180^◦ （直綫上的鄰角）

∴ ∠AMP = ∠BMP = 90^◦

AM = M B （全等三角形的對應邊）

∴ P Q 為 AB 的垂直平分綫。

證明完畢。

(31)

2.7 作角平分綫 15

2.7 作角平分綫

已給一隻角∠BAC，作角平分綫。

1. 以 A 為圓心，某一固定半徑作一弧，交 AB 於 R，及 AC 於 Q。

2. 以 Q 為圓心，某一固定半徑作一弧；以 R 為圓心，相等半徑作一 弧；兩弧相交於 P 。

3. 連接 AP 。 AP 為∠BAC 的角平分綫。

作圖完畢。

A B

C

R Q P

圖 15

證明如下：

連接 P Q 及 P R。

AP = AP （公共邊）

AQ = AR （半徑）

P Q = P R （半徑）

∴ △AP Q ∼=△AP R （S.S.S.）

∴ ∠P AQ = ∠P AR （全等三角形的對應角）

AP 便是∠BAC 的角平分綫。

證明完畢。

(32)

2.8 作經過綫段上已知點的垂直綫

如圖 16，已給一綫段 AB， P 在 AB 上，過 P 作一綫段垂直於 AB。

|

A

|

B

|

P 圖 16 作圖方法如下（圖 17）：

1. 以 P 為圓心，某一固定半徑作一弧，交 AB 於 Q 及 R。

2. 以 Q 為圓心， QR 為半徑作一弧；以 R 為圓心， QR 為半徑作一 弧；兩弧相交於 S。連接 P S， P S 為一垂直 AB 的綫段。

作圖完畢。

|

A

|

B P R Q

S

圖 17 證明如下：

連接 QS 及 RS。

P S = P S （公共邊）

P Q = P R （半徑）

QS = RS （半徑）

∴ △P QS ∼=△P RS （S.S.S.）

∠QP S = ∠RP S （全等三角形的對應角）

∠QP S + ∠RP S = 180^◦ （直綫上的鄰角）

∴ ∠QP S = ∠RP S = 90^◦ 證明完畢。

(33)

2.9 作由外點至已知綫段的垂直綫 17

2.9 作由外點至已知綫段的垂直綫

如圖 18，已給一綫段 AB， P 不在 AB 上，過 P 作一綫段垂直於 AB。

A| ^|B

xP

圖 18

1. 以 P 為圓心，足夠大的半徑作一弧，交 AB 於 Q 及 R。

2. 以 Q 為圓心，相等半徑作一弧；以 R 為圓心，相等半徑作一弧；兩 弧相交於 S。

3. 連接 P S， P S 為一綫段垂直於 AB。

作圖完畢。

(34)

A| ^|B

xP

Q R

S T

圖 19

證明如下：

連接 P Q、 P R、 SQ 及 SR，交 AB 於 T 。

P S = P S （公共邊）

P Q = P R （半徑）

QS = RS （半徑）

∴ △P QS ∼=△P RS （S.S.S.）

∠QP S = ∠RP S （全等三角形的對應角）

P T = P T （公共邊）

∴ △P QT ∼=△P RT （S.A.S.）

∠P T Q = ∠P T R （全等三角形的對應角）

∠P T Q + ∠P T R = 180^◦ （直綫上的鄰角）

∴ ∠P T Q = ∠P T R = 90^◦ 證明完畢。

(35)

2.10 作經過綫段端點的垂直綫 19

2.10 作經過綫段端點的垂直綫

如圖 20，已給一綫段 AB，過 B 作一綫段垂直於 AB。

A| ^|B

圖 20

1. 取任意點 C（C 在 AB 之間的上方）為圓心， CB 為半徑作一圓，

交 AB 於 P 。

2. 連接 P C，其延長綫交圓於 Q；連接 BQ。 BQ 為所求的垂直綫。

作圖完畢。

A| ^|B

|

C

P

Q

圖 21

證明如下：

P CQ為圓之直徑（由作圖所得）

∴ ∠P BQ = 90^◦ （半圓上的圓周角）

證明完畢。

(36)

2.11 作已知腰長的直角等腰三角形

已給一綫段 AB，作直角等腰三角形 ABC；其中 AB = BC。

1. 作經過 B 而垂直 AB 的綫段 BR。（方法請參考 2.10 作經過綫段端 點的垂直綫)。

2. 以 B 為圓心， BA 為半徑作一弧，交 BR 或 BR 的延長綫於 C。

3. 連接 AC，△ABC 便是該三角形了。

作圖完畢。

B| ^|A

xP C

Q R

圖 22

(37)

2.11 作已知腰長的直角等腰三角形 21 證明如下：

QP R為圓之直徑（由作圖所得）

∠RBQ = 90^◦ （半圓上的圓周角）

AB = BC （半徑）

所以△ABC 便是直角等腰三角形。

證明完畢。

(38)

2.12 作 A.S.A. 條件的三角形

已給 1 單位長度，作 A.S.A. 條件的三角形 ABC，其中 AB = 2 單位，

∠BAC = 60^◦ 及∠ABC = 67.5^◦。作圖方法如下（圖 23）：

1. 作 AB = 2 單位，作 BH⊥ AB（方法請參考 2.10 作經過綫段端點 的垂直綫）。

2. 作∠BAD = 60^◦（方法請參考 2.4 作 60^◦ 及等邊三角形）。

3. 作∠ABH 的角平分綫 GB（方法請參考 2.7 作角平分綫），∠GBH = 45^◦。

4. 作∠GBH 的角平分綫 EB， ∠EBH = 22.5^◦。

∴ ∠ABE = 90^◦− 22.5^◦= 67.5^◦。 5. AD 和 BE 的延長綫相交於 C。

△ABC 便是該三角形了，作圖完畢。

A B

| P

H D

G E C

60^◦ 67.5^◦

1

1 2

3 4 5

圖 23

(39)

2.13 作過圓周上已知點的切綫 23

2.13 作過圓周上已知點的切綫

如圖 24，已給一圓，圓心為 O， P 在圓周上，過 P 作切綫。

xO

+P

圖 24

1. 連接 OP 。

2. 過 P 作綫段 ST 垂直於 OP ，（方法請參考 2.10 作經過綫段端點的 垂直綫)， ST 為過 P 的切綫。

作圖完畢。

(40)

xO

P S

T

x

圖 25

證明如下：

∠OP S = 90^◦ （由作圖所得）

ST 切該圓於 P 。 （切綫⊥ 半徑的逆定理）

證明完畢。

(41)

2.14 作圓的圓心 25

2.14 作圓的圓心

已給一圓，以尺規找出圓心。

1. 在圓上找出兩條不平行的弦綫 AB 和 CD。

2. 作 AB 和 CD 的垂直平分綫，且相交於 O。

O 為該圓的圓心。作圖完畢。

O D

C

A

B

圖 26

(42)

2.15 從已知長度 a 及 b 中作 √ ab

已給兩綫段長度分別為 a， b。以尺規作√ ab。

1. 作一綫段 ABC，使得 AB = a， BC = b。

2. 利用 AC 的垂直平分綫，找出 AC 的中點 O， OA = OC。

3. 以 O 為圓心， OA = OC 為半徑作一圓。

4. 過 B 作一綫段垂直於 AC，且交圓於 P 、 Q。 P B 的長度為√ ab。

作圖完畢。

A B C

O P

Q

a b

1

2

3 4

圖 27

(43)

2.15 從已知長度 a 及 b 中作√

ab 27

證明如下：

P B = BQ （圓心至弦的垂綫平分弦）

AB× BC = P B × BQ （相交弦定理）

∴ ab = P B² P B =√

ab 證明完畢。

(44)

(45)

第 3 章簡單作圖

3.1 在已知條件下作一綫段

如圖 28，已給 O 在 ∠BAC 內，作一綫段 P OQ（P 在 AB 上， Q 在 AC 上），使得 P O = 2OQ。¹

x

O A

B

C

圖 28

作圖方法如下：

1. 連接 AO，並延長至 R，使得 2AO = OR（圖 29）。

1原題目為香港中學會考 1958 Mathematics Paper 2 Q1(a)

O is a point in angle BAC. Through O draw a straight line P OQ cutting the angle arms AB and AC at P and Q respectively, so that P O = 2OQ.

29

(46)

A

B

C O|

|

R

圖 29

2. 過 R 作一綫段平行於 AC，並且交 AB 於 P （圖 30）。

A

B

C P

O|

|

R

圖 30 3. 連接 P O，其延長綫交 AC 於 Q（圖 31）。

A

B

C P

Q

|O

|

R

圖 31

作圖完畢。

證明如下：

由於 P R//AQ，易證△P OR ∼ △QOA （等角）

∴ P O = 2OQ （相似三角形的對應邊）

證明完畢。

(47)

3.2 已給 1 單位長度，作√

7 31

3.2 已給 1 單位長度，作 √ 7

圖 32 所示為長度 1 單位的綫段 AB。試作一長度為√

7 單位的綫段。²

|

A

|

B

圖 32

方法一（圖 33）：

1. 依比例作一綫段 AC=4 單位。

2. 利用 AC 的垂直平分綫，找出 AC 的中點 O， AO = OC。

3. 以 O 為圓心， OA = OC 為半徑作一半圓。

4. 以 C 為圓心，半徑 = 3 單位作一弧，交半圓於 P 。 5. 連接 AP ，因此， AP =√

7。

作圖完畢。

A O C

P

√7 3

4

圖 33

2原題目為香港數學競賽 2009/2010 初賽（幾何作圖）第 1 題

(48)

證明如下：

∠AP C = 90^◦ （半圓上的圓周角）

AP =√

4²− 3²=√

7 （畢氏定理）

證明完畢。

方法二（圖 34）：

1. 作一綫段 ABC，使得 AB=1 單位， BC=7 單位。

2. 利用 AC 的垂直平分綫，找出 AC 的中點 O， AO = OC = 4 單 位。

3. 以 O 為圓心， OA = OC = 4 單位為半徑作一圓。

4. 過 B 作一綫段垂直於 AC，且交圓於 P 、 Q。

P B 的長度為√

7單位，作圖完畢。

O

A C

P

Q B

1 7

圖 34

(49)

3.2 已給 1 單位長度，作√

7 33

證明如下：

P B = BQ （圓心至弦的垂綫平分弦）

AB× BC = P B × BQ （相交弦定理）

1× 7 = P B² P B =√

7 證明完畢。

(50)

3.3 化長方形為長方形

如圖 35，已給一長方形，邊長為 a× b，作一面積相等的長方形，其中一 邊為 x。

A B

C D

b

a 圖 35

假設 x < a（圖 36）。

1. 作 E 點使得 AE = x。

2. 過 E 作 EK 垂直於 AB，交 CD 於 K。

3. 連接 AK，其延長綫交 BC 的延長綫於 M 。 4. 過 M 作一綫平行於 AB，交 AD 的延長綫於 G。

5. 延長 EK，交 M G 於 F 。

AEF G便是該長方形了。作圖完畢。

A B

C D

M G

K

E F

x 1

2 3 3 4

4 5

圖 36

(51)

3.3 化長方形為長方形 35

證明如下（圖 37）：

△AMG ∼=△MAB (S.S.S.)

△AKD ∼=△KAE (S.S.S.)

△KMF ∼=△MKC (S.S.S.)

∴ 長方形 GF KD 的面積 = 長方形 BCKE 的面積

∴ 長方形 ABCD 的面積 = 長方形 AEF G 的面積

證明完畢。

A B

C D

M G

K

E F

圖 37

假設 x≥ a（圖 38）。

1. 延長 AB，作 E 點使得 AE = x。

2. 過 E 作一綫垂直於 AB，交 DC 的延長綫於 K。

3. 連接 AK，交 BC 於 M 。

4. 過 M 作 F M G 平行於 BA，交 KE 於 F 、及交 AD 於 G。

AEF G便是該長方形了，作圖完畢。

證明從略。

(52)

A B C D

G M

K

E F

x a b

1 2 2

3 4

圖 38

註：此方法不能化長方形為正方形。讀者可參考 2.15 從已知長度 a 及 b 中作√

ab。

(53)

3.4 作梯形 37

3.4 作梯形

作梯形 P QRS，其中 P Q 平行於 SR， P Q = 9 單位， QR = 3 單位，

RS = 4單位及 SP = 4.5 單位。

1. 作三角形 P ST ，其中 P T = 5 單位、 ST = 3 單位及 P S = 4.5 單 位。

2. 將 P T 延長 4 單位至 Q。連接 QS。

3. 作 QS 的垂直平分綫， O 為 QS 的中點。

4. 以 O 為圓心， OT 為半徑作一圓。

5. 連接 T O 並延長交圓於 R。

6. 連接 QR、 RS。

作圖完畢。

P

T

Q S

O

R

5

3 3 4

4 4.5

1 1

1

2 2 3 4

5 6 6

圖 39

(54)

證明如下：

OR = OT （半徑）

OQ = OS （由作圖所得）

∴ QRST 為一個平行四邊形 （對角綫互相平分）

RS = QT = 4單位（平行四邊形的對邊）

RQ = ST = 3單位（平行四邊形的對邊）

證明完畢。

(55)

3.5 利用尺規作圖將一隻角平分，該角之頂點在紙外 39

3.5 利用尺規作圖將一隻角平分，該角之頂點在紙外

如圖 40， P Q 和 RS 為兩條非平行綫段，其延長綫相交於紙外的點 I，

今要平分∠P IR。

Q

S P

R

圖 40

1. 連接 QS。

2. 分別作∠P QS 和 ∠RSQ 的角平分綫，兩條角平分綫交於 E。

QE 是∠IQS 的外角平分綫。 SE 是 ∠ISQ 的外角平分綫。

3. 過 E 分別作至 P Q、 RS 及 QS 之垂足 G、 H 和 J。

(56)

4. 作∠GEH 的角平分綫 EF 。

EF 便是所需角平分綫，作圖完畢。

E F

Q

S P

R

H G

J 1 I 2

2 3

3

3 4

圖 41

證明如下：

△EQG ∼=△EQJ （A.A.S.）

△EHS ∼=△EJS （A.A.S.）

EG = EJ = EH （全等三角形的對應邊）

△IEG ∼=△IEH （R.H.S.）

∠EIG = ∠EIH （全等三角形的對應角）

∴ IE 平分 ∠P IR。

IE亦平分∠GEH。

由於 EF 平分∠GEH。

∴ EF 是 ∠P IR 的角平分綫。

(57)

3.5 利用尺規作圖將一隻角平分，該角之頂點在紙外 41 證明完畢。

方法二：

一如方法一中步驟 1 及步驟 2，找出 E 點。

3. 在 P Q 之間找出任意一點 X，在 RS 之間找出任意一點 Y 。作

∠P XY 的角平分綫及作 ∠RXY 的角平分綫。兩條角平分綫相交於 F。

4. 連接 EF ，則 EF 便是所需角平分綫。

證明從略。

(58)

3.6 平分直角三角形的面積

△ABC 為直角三角形，其中 ∠C = 90^◦ 及 AC < BC。利用尺規作圖找 出 AB 上的一點 D，使得經過 D 而又垂直 AB 之綫段將△ABC 的面積 分為兩等份。³

首先，我們計算 BE 和 AB 的關係（其中 E 為所需垂直綫與 BC 的交 點，圖 42）：

A

B

C E D

圖 42

∠ACB = 90^◦=∠BDE （已知）

∠ABC = ∠EBD （公共角）

∠CAB = ∠DEB （三角形內角和）

∴ △ABC ∼ △EBD （等角）

△BDE的面積

△ABC的面積=1 2 =

(BE AB

)2

BE AB = 1

√2 BE =AB

√2

3原題目為 Q2(b), Ordinary Level Pure Mathematics Paper II, HKU Matriculation Examination (1957)

ABC is a triangle with a right angle at C and AC < BC. Obtain a construction for ﬁnding the point D on AB such that the perpendicular to AB at D divides the triangle into two parts of equal area.

(59)

3.6 平分直角三角形的面積 43 作圖方法如下（圖 43）:

1. 利用垂直平分綫，找出 AB 之中點 O。

2. 以 O 為圓心， OA = OB 為半徑，作一圓，與剛才的垂直平分綫相 交於 F 。

3. 以 B 為圓心， BF 為半徑，作一圓弧，交 BC 於 E。

4. 自 E 作一綫段垂直於 AB， D 為垂足。

作圖完畢。

O A

B

F

C

D E

1 2

3 4

圖 43

(60)

證明如下：

∠AF B = 90^◦ （半圓上的圓周角）

△AF B 為一個直角等腰三角形

∵ BF = F A （由作圖所得）

BF²+ F A²= AB² （畢氏定理）

∴ BF =AB

√2 BE =AB

√2 （步驟 3 圓弧的半徑）

∴ DE 將 △ABC 的面積分成兩等份。

證明完畢。

(61)

3.7 作中綫 45

3.7 作中綫

已給三條長度為 b、 c 及 m 的綫段，若 x 滿足 b²+ c²= 2m²+ 2x²（其 中 b + c>2m），作長度為 x 的綫段。⁴

作三角形 ABC，其中邊長 BC = 2m， AC = b， AB = c。

利用垂直平分綫，找出 BC 之中點 D， BD = m = DC。

設 AD = x，∠ADC = θ， ∠ADB = 180^◦– θ （直綫上的鄰角）

cos θ=m²+ x²− b²

2mx · · · (1) （△ACD 餘弦定理）

cos (180^◦− θ) = m²+ x²− c²

2mx · · · (2) （△ABD 餘弦定理）

∵ cos (180^◦− θ) = − cos θ (1)+(2): 0 = m²+ x²− b²

2mx +m²+ x²− c² 2mx b²+ c²= 2m²+ 2x²

∴ AD = x 為題目要求的綫段，亦即中綫。

作圖完畢。

4原題目為 Q2(c), Ordinary Level Pure Mathematics Paper II, HKU Matriculation Examination (June 1954)

Using the result in (a), derive a construction of the length x from the equation b²+ c²= 2m²+ 2x²when the lengths b, c and m are given.

(62)

A

B C

D θ

c x b

2m

圖 44

(63)

3.8 利用尺規作圖解二次方程式 47

3.8 利用尺規作圖解二次方程式

已給出二次方程 x²+ ax + b = 0，利用尺規作圖找出其根。

1. 在直角坐標系統點出 P (0, 1) 及 Q(–a, b)。

2. 利用垂直平分綫，找出 P Q 之中點 C。

3. 以 C 為圓心， CP 為半徑作一圓。

4. 若該圓交 x 軸於 A(α,0)、 B(β,0)，則 A、 B 的 x 坐標 α、 β 便是 該二次方程的解。

作圖完畢。

O x

y

x x

xC P(0,1)

Q(−a,b)

A(α,0) B(β,0) 圖 45

(64)

證明如下：

圓公式為 y− b x + a· y− 1

x− 0=−1 代入 y = 0 且兩邊交叉相乘得 b = –(x²+ ax)

x²+ ax + b = 0

∴ A、 B 的 x 坐標便是該二次方程的解。

證明完畢。

當然，若該圓與 x 軸沒有交點，則 x²+ ax + b = 0沒有解。

若該圓與 x 軸只有一個交點，則 x²+ ax + b = 0便有二重根。

(65)

3.9 最短距離（一） 49

3.9 最短距離（一）

如圖 46，已知一綫段 L，及兩點 P 、 Q 位於 L 的同一方。在 L 上作一 點 T 使得 P T 及 QT 的長度之和最小。⁵

x

P

x

Q

L 圖 46

設 A 為綫段 L 較為接近 P 的一邊的端點。

1. 以 P 為圓心， P A 為半徑作一弧，交 L 於 A 及 B。

2. 以 A 為圓心， AP 為半徑作一弧，以 B 為圓心， BP 為半徑作一 弧，兩弧相交於 P1。

3. 連接 P P1，交 L 於 S。

4. 連接 P1Q，交 L 於 T 。

作圖完畢。

5原題目為香港數學競賽 2008/2009 初賽（幾何作圖）樣本題第 2 題

(66)

L

x

P

x

Q

A B

P₁

S T

1 1

2 2

3

4

圖 47

證明如下：

AP = AP₁ （半徑）

AB = AB （公共邊）

BP = BP₁ （半徑）

△AP B ∼=△AP1B （S.S.S.）

∴ ∠P BA = ∠P1BA （全等三角形的對應角）

BS = BS （公共邊）

△P BS ∼=△P1BS （S.A.S.）

∴ ∠BSP = ∠BSP1 （全等三角形的對應角）

= 90^◦ （直綫上的鄰角）

SP = SP₁ （全等三角形的對應邊）

ST = ST （公共邊）

∴ △P ST ∼=△P1ST （S.A.S.）

P T = P₁T （全等三角形的對應邊）

P T + QT = P₁T + QT

已知當 P1、 T 、 Q 共綫（collinear）時， P1T + QT 為最短。

∴ T 便是題目所需一點，證明完畢。

註： P1 為 P 沿 L 的反射點。

(67)

3.10 最短距離（二） 51

3.10 最短距離（二）

如圖 48，已給∠MON(< 60^◦)， A 在 OM 上， D 在 ON 上。在 ON 上 找出 B 點，在 OM 上找出 C 點，使得 AB + BC + CD 為最短。⁶

O N

M

A

B C

D 圖 48

1. 將 N 沿 OM 反射，得 N1及△MON1， D1 為 D 的反射點。

2. 將 M 沿 ON1 反射，得 M1 及△M1ON1， A1 為 A 的反射點。

3. 連接 A1D，交 ON1於 B1，交 OM 於 C。

4. 將 B1沿 OM 反射，得 B。

作圖完畢。

6此題是由香港數學競賽 1998/1999 初賽團體項目第 9 題轉化出來的。原題目為：

在圖中， ∠MON=20^◦ ， A 為 OM 上的一點， OA = 4√

3， D 為 ON 上的一點，

OD = 8√

3， C 為 AM 上的任意一點， B 為 OD 上的任意一點。若 l = AB +BC +CD，

求 l 的最小值。

(68)

O N M

A

B C

D N₁ M₁

D₁ B₁

A₁

圖 49

證明如下：

由反射所得， △AB1C ∼= △ABC， △B1CD1 ∼= △BCD， △A1OB1 ∼=

△AOB1

l = AB + BC + CD = AB1+ B1C + CD l = A1B1+ B1C + CD

當 A1、 B1、 C、 D 共綫時， l 為最短。

證明完畢。

註一：為能確保可作一直綫 A1D，橫過 OM 及 ON1， 3× ∠MON < 180^◦，即∠MON < 60^◦

(69)

3.10 最短距離（二） 53 註二：若 A1、 B1、 C、 D 不成一直綫時（圖 50）， l 較長。

O N

M

A

B C

D N₁ M₁

D₁

B₁ A₁

圖 50

練習題：

試將以下題目改寫，並以尺規作圖找出答案。

香港數學競賽 2006/2007 初賽團體項目第 9 題

在座標平面上，點 A=(-6,2)、 B=(-3,3)、 C = (0, n) 及 D = (m, 0) 組成 一個四邊形 ABCD。求 n 的值使得該四邊形 ABCD 的周界為最短。

(70)

3.11 正方形內接三角形

已給銳角三角形 ABC，利用尺規作正方形 P QRS（P 、 Q 在 BC 上，

R在 AC 上， S 在 AB 上）。

如圖 51，設 RQ = x， BC = a，由 A 至 BC 的高為 h。

△ASR ∼ △ABC （等角）

x

a = h− x h xh = ah–ax (a + h)x = ah x = ah

a + h

∴ 正方形的邊長（x）只與該三角形的底和高有關，而它（x）和三角形的 形狀無關。

B C

A

P Q

S R h

a x

x

圖 51

考慮特殊情況：當∠ACB = 90^◦

若 BC = a， AC = h 為固定值，則 x 不變。

正方形的∠Q=∠P = 90^◦

(71)

3.11 正方形內接三角形 55

SC=正方形的對角綫

∴ SC 平分 ∠ACB。

1. 作∠ACB 的角平分綫，交 AB 於 S。

2. 過 S 作一綫平行於 BC，交 AC 於 R。

3. 過 S 作一綫平行於 AC，交 BC 於 P 。

P CRS 便是該正方形了，作圖完畢。

P S R

B

A

C= Q a

h

1 2

3

x

圖 52

一般情況，若∠ACB ̸= 90^◦，作圖方法如下。

1. 過 C 作一綫垂直於 BC。

2. 過 A 作一綫平行於 BC，交步驟 1 的垂直綫於 H。

3. 連接 BH。

4. 作∠BCH 的角平分綫，交 BH 於 I。

5. 過 I 作一綫平行於 BC，交 AB 於 S 及 AC 於 R。

(72)

6. 過 S 作一綫垂直於 BC，交 BC 於 P 。 7. 過 R 作一綫垂直於 BC，交 BC 於 Q。

P QRS 便是該正方形了，作圖完畢。

P Q

R S

B C

A H

I h

a

1 2

3

4 5

6 7

圖 53

註：若△ABC 為鈍角三角形，正方形 P QRS 的底便有可能在三角形的 底 BC 以外（圖 54）。

為確保 P 、 Q 在 BC 以內，△ABC 必須為銳角三角形。

P Q

S R

B C

A

a x x

圖 54

(73)

3.11 正方形內接三角形 57

方法二：

如上文， x = ah a + h。試考慮以下問題以作聯想：

如圖 55， AQC 為直綫， BA、 P Q 及 DC 互相平行。若 AB = a，

CD = h及 P Q = x，以 a 及 h 表示 x。

A C

B

D

P

Q a

x

h

圖 55

∠P CQ = ∠BCA (公共角)

∠CP Q = ∠CBA (同位角， P Q//BA)

∠CQP = ∠CAB (同位角， P Q//BA)

∴ △CP Q ∼ △CBA (等角)

∠P AQ = ∠DAC (公共角)

∠AP Q = ∠ADC (同位角， P Q//DC)

∠AQP = ∠ACD (同位角， P Q//DC)

∴ △AP Q ∼ △ADC (等角) x

a = QC

AC. . . (1) (相似三角形的對應邊) x

h= AQ

AC. . . (2) (相似三角形的對應邊) (1)+(2)

x a+x

h =AQ AC +QC

AC = 1 x = ah

a + h

(74)

1. 過 A 作 AD 垂直於 BC， D 為垂足。

2. 過 B 作一直綫垂直於 BC。

3. 以 B 為圓心， BC 為半徑作一弧，交步驟 2 的垂直綫於 E。

4. 連接 DE，交 AB 於 S。

5. 過 S 作 SP 垂直於 BC， P 為垂足。

6. 過 S 作 SR 平行於 BC，交 AC 於 R。

7. 過 R 作 RQ 垂直於 BC， Q 為垂足。

那麼， P QRS 便是一正方形，滿足以上條件。

作圖完畢。

A

B D C

E

S R

P Q

a x a

1 2

3

4 4

5

6

7

y h

圖 56

(75)

3.11 正方形內接三角形 59 證明如下：

設 SP = x， SR = y。明顯地， P QRS 為一長方形。

由上文得知， x = ah

a + h. . . （1）

易證△ASR ∼ △ABC （等角）

∴ y

a =h− x h y = a

h(h− x). . . （2）

代（1）入（2）：

y = a

h(h− ah

a + h) = a(1− a

a + h) = a

a + h(a + h− a) = ah a + h = x 因此， P QRS 為一正方形，證明完畢。

(76)

3.12 在正方形內找出滿足已知條件的點

如圖 57，在正方形 ABCD 內找出一點 P ，使得 P A : P B : P C=1:2:3。⁷

B C

A D P

圖 57

分析方法如下（圖 58）：

設 AP = a、 P B = 2a 及 P C = 3a。

將△AP B 以 B 為中心點逆時針旋轉 90^◦，得△EQB。

△AP B ∼=△EQB （由旋轉所得）

EQ = a， BQ = 2a = BP 連接 AQ。

∠P BQ = 90^◦ （由旋轉所得）

∠ABQ = 90^◦− ∠ABP = ∠P BC AB = BC

△ABQ ∼=△CBP （S.A.S.）

AQ = CP = 3a （全等三角形的對應邊）

7此題是由香港數學競賽 1998/1999 初賽團體項目第 10 題轉化出來的。原題目為：

在圖中， P 為正方形 ABCD 內一點， P A = a， P B = 2a， P C = 3a(a > 0)。若

∠AP B = x^◦，求 x 的值。

(77)

3.12 在正方形內找出滿足已知條件的點 61

∵ ∠P BQ = 90^◦ （由旋轉所得）

∴ P Q²= P B²+ QB² （畢氏定理）

= (2a)²+ (2a)²= 8a² AP²+ P Q²= a²+ 8a²= 9a² AQ²= (3a)²= 9a²

∴ AP²+ P Q²= AQ²

∠AP Q = 90^◦ （畢氏定理的逆定理）

∵ ∠P BQ = 90^◦ 及 P B = QB （由旋轉所得）

∴ ∠BP Q = 45^◦ （三角形內角和）

∠AP B = 45^◦+ 90^◦= 135^◦

B

C A D

P

E Q

a

2a

3a

a 2a

圖 58

作圖方法如下（圖 59，圖 60 及圖 61）：

1. 於 AB 作垂直平分綫得中點 E。

2. 以 E 為圓心， EA 為半徑向外作一半圓；延伸垂直平分綫交半圓於 F。

3. 連接 AF 、 F B（圖 59）。

∠AF B = 90^◦ （半圓上的圓周角）

顯然易見，△AF B 為直角等腰三角形。

(78)

E

A D

C B

F

1

2 3

3

圖 59

4. 以 F 為圓心， F A 為半徑作一圓（圖 60）。

5. EF 的延長綫交圓於 G。

6. 利用截綫定理找出一點 H，使得 AH : HB = 1 : 2。設 AH = k，

HB = 2k。

7. 連接 GH 並延長交圓於 P 。連接 P A 及 P B。

△AGE ∼=△BGE （S.A.S.）

∴ AG = BG （全等三角形的對應邊）

設∠AP G = ∠BP G = θ （等弦對等角）

設∠AHP = α

∠BHP = 180^◦− α （直綫上的鄰角）

k : sin θ = AP : sin α · · · (1) （於△AHP 應用正弦定理）

2k : sin θ = BP : sin (180^◦–α) · · · (2) （於△BHP 應用正弦定理）

利用 sin (180^◦–α) = sin α;

(1)÷ (2) 1 : 2 = AP : BP 設 AP = a， BP = 2a

∠AP B=1

2 ×反角∠AF B （圓心角兩倍於圓周角）

=1

2· 270^◦= 135^◦ （同頂角）

(79)

3.12 在正方形內找出滿足已知條件的點 63

E

A D

C B

G F

H P

1

2 3 3

4 5

6

7

7 8

圖 60

8. 連接 P C，將 △AP B 以 B 為中心點逆時針旋轉 90^◦，得 △EQB

（圖 61）。

作圖完畢。

B

C A D

P

E Q

a

2a

a 2a

圖 61

(80)

證明如下：

△AP B ∼=△EQB （由旋轉所得）

∠P BQ = 90^◦ 及 P B = QB （由旋轉所得）

△P BQ 為一直角等腰三角形

∠BP Q = 45^◦ （三角形內角和）

∴ P Q²= P B²+ QB² （畢氏定理）

= (2a)²+ (2a)²= 8a²

∠AP Q = 135^◦–45^◦= 90^◦

∴ △AP Q 為直角三角形

AQ²= AP²+ P Q²= a²+ 8a² （畢氏定理）

AQ = 3a

∠ABQ = 90^◦–∠ABP = ∠P BC AB = CB

P B = QB

∴ △ABQ ∼=△CBP （S.A.S.）

CP = AQ = 3a （全等三角形的對應邊）

∴ P A : P B : P C = 1 : 2 : 3。

P 滿足以上要求，證明完畢。

(81)

第 4 章三角形

4.1 作已知三條中綫的三角形

已給三角形的三條中綫，用尺規作該三角形。

為了作該三角形，我們首先證明三條中綫共點（concurrent），了解其原 理。假設其中兩條中綫 BQ 和 CR 相交於 G（圖 62）。

B C

A

R Q

G

圖 62

連接 AG 並延長至 D，使得 AG = GD。

假設 AGD 交 BC 於 P 。連接 BD、 CD。

過 Q 作 QL 平行於 AD，交 BD 的延長綫於 L（圖 63）。

65

(82)

由中點定理得知 GQ = 1

2DC， GQ//DC，及 GR = 1

2DB， GR//DB。

∵ GQ//DC， GR//DB。

∴ BDCG 為一平行四邊形。 （平行四邊形的定義）

BP = P C （平行四邊形對角綫）

因此， AGP 為△ABC 的中綫。三條中綫共點。

B C

A

R Q

G

D P

L 圖 63

更進一步，GQ = 1

2DC = 1

2BG （平行四邊形對邊）

GR = 1

2DB = 1

2CG （平行四邊形對邊）

∴ BG : GQ = CG : GR = 2 : 1。

易證 AG : GP = 2 : 1。

∴ 每條中綫將其餘兩條分成 2 : 1。

另外，△BQL 的邊長分別為 3 條中綫的長度。

(83)

4.1 作已知三條中綫的三角形 67 作圖方法如下（圖 64 及圖 65）：

假設三條中綫長度為 p、 q 及 r。

1. 作△BQL，長度為 QL = p、 BQ = q 及 LB = r。

2. 利用垂直平分綫找出 QL 的中點 E，連接 BE。

3. 利用截綫定理，在 BE 上找出 P ，使得 BP = 2P E。

B

Q

L P E q

r p

1 1

1

2

3 3

圖 64

4. 在 BE 延長綫上找出 C，使得 P E = EC。

5. 連接 CQ 並延長至 A，使得 CQ = QA。

6. 連接 AB。

作圖完畢。

(84)

B

Q

L P E q

r p

C A

G

|

R

1 1

1

2

3 3

4 5

6

圖 65

證明如下：

BQ = q 為△ABC 的中綫。 （∵ AQ = QC）

E 為 CP 的中點，及 Q 為 AC 的中點

AP = 2QE = QL （中點定理）

AP = p為△ABC 的中綫。 （∵ BP = P C）

設 R 為 AB 的中點

BR = ¹₂AB = P Q及 P Q//BR （中點定理）

∵ P E = EC 及 QE = EL （由作圖所得）

P QCL為一平行四邊形（對角綫互相平分）

CL = QP 及 CL//QP （平行四邊形對邊）

∴ BR = LC 及 BR//LC

BRCL為一平行四邊形（對邊平行且相等）

∴ CR = LB = r （平行四邊形對邊）

CR = r為△ABC 的中綫 （∵ AR = RB）

證明完畢。

(85)

4.2 作已知一底角、中綫及高的三角形 69

4.2 作已知一底角、中綫及高的三角形

已給 1 單位長度，用尺規作△ABC，並滿足以下條件：

∠B = 30^◦，中綫 AM = 3 單位及高度 AH = 2.5 單位。¹

作圖方法如下（圖 66 及圖 67）：

1. 作綫段 AH = 2.5 單位。

2. 以 A 為圓心， AH 為半徑作一弧。以 H 為圓心， HA 為半徑 作一弧。此兩弧相交於 J。 △AJH 為一等邊三角形， ∠HAJ =

∠AJH = ∠AHJ = 60^◦。

3. 以 H 為圓心， HJ 為半徑作一弧。以 J 為圓心， JH 為半徑作 一弧。此兩弧相交於 K。 △JHK 為一等邊三角形， ∠JKH =

∠HJK = ∠KHJ = 60^◦。

4. 以 K 為圓心， KJ 為半徑作一弧。以 J 為圓心， JK 為半徑 作一弧。此兩弧相交於 B。 △JKB 為一等邊三角形， ∠JKB =

∠BJK = ∠KBJ = 60^◦。

5. 連接 BJ、 AJ、 JH 及 BH。

∠BJH = ∠BJK + ∠HJK = 60^◦+ 60^◦= 120^◦

∵ BJ = JH （由作圖所得）

∴ ∠JBH = ∠JHB = 30^◦﹙等腰三角形底角﹚

∠AHB = ∠JHB + ∠AHJ = 30^◦+ 60^◦= 90^◦

1原題目為 Q1(b), Ordinary Level Pure Mathematics Paper II, HKU Matriculation Examination (June 1955)

Construct (with ruler and compasses only) the triangle ABC given that∠B = 30^◦, median AM = 3 cm, height AH = 2.5 cm.

Show clearly all the lines and arcs of the construction, but no proof is required.

尺規作圖實例、題解和證明 孔德偉