二元一次方程式的解：
如 5 x ＋8y＝0 和 5 x －4y＋2＝0 這類的式子具有 ax ＋ by ＋c＝0 的樣式，
它們都含有兩個未知數(二元)，且每個未知數的次數都是 1(一次)，我們稱它們 為二元一次方程式。
【範例】：給二元一次方程式：5 x －4y＋2 ＝ 0 求此方方程式的解？
x 0 1 2 3 －
5 2
5 2
5
6 2
5
14 …
y 2 1
4 7
4 14
4
17 0 1 2 3 4 …
注意：二元一次方程式若沒有特別的限制通常有無限多個解。
【範例】：5 元郵票 x 張，2 元郵票y張，郵票面額總值 32 元。則 x 與y分別可能為多少？
解 ：5 x ＋ 2y＝35
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 2
35 15
2
25 10
2
15 5
2
5 0 －
2
5 －5
在此郵票必須是正整數，因此在此限制下可能的解為：
( x ,y) ＝ ( 1, 15) ( x ,y) ＝ ( 3, 10) ( x ,y) ＝ ( 5, 5) ( x ,y) ＝ ( 7, 0) 因此我們有 4 個解。
二元一次聯立方程式：
當用兩個未知數，列出兩個二元一次方程式來表示情境中的數量關係時，我們就把 這兩個方程式並列時，且稱並列在一起的方程式為二元一次聯立方程式，或二元一 次方程組。
【範例】： x ＋y＝100 3 x ＋
3
1 y＝100，
我們稱此二元一次聯立方程式。
二元一次聯立方程式的解：
若有一組 x 、y值能使得聯立方程式中，兩個方程式的等號都成立，則這一組 x 、y值就是此聯立方程式的解。一般而言，一個二元一次聯立方程式的解可 能有一組解，也可能出現無解或是無限多組解。
【範例】：(1) x ＋y＝2 (2) x ＋y＝2 (3) x ＋y＝2 x －y＝3 x ＋y＝5 2 x ＋2y＝4 第(1)組聯立方程式只有一組解。
第(2)組聯立方程式為無解解。
第(3)組聯立方程式有無限多組解。
解二元一次聯立方程式：
求出聯立方程式的解的過程，就叫做解聯立方程式。
通常，將兩個未知數設法變成一個未知數，利用解一元一次方程式的解法先解出 一個未知數，然後再解第二個未知數。
【代入消去法】：
【範例】： 『肆中聽得語吟吟，薄酒名醨厚酒醇。好酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，
共同飲了一十九，三十三客醉醺醺。』，能否依此列出算式，能知薄酒幾瓶？
厚酒幾瓶？
解 ： 設薄酒 x 瓶，厚酒y瓶。
x ＋y＝19 …………(1) 3
1 x ＋3y＝33 …………(2)
由(1) 可得 y＝19－ x 將其代入(2)，我們可得：
3
1 x ＋3(19－ x )＝33
3
1 x －3 x ＝33－57
－ 3
8 x ＝－24
x ＝9
將 x ＝9 代入(1) ，我們可得： 9＋y＝19 y＝10 故 x ＝9 ，y＝10 為二元聯立方程組的解，
故薄酒 9 瓶，厚酒 10 瓶。
【範例】：雞兔同籠，頭共 35，腳共 110，問雞兔各幾隻？
解 ：設雞有 x 隻，兔有y隻。
x ＋y＝35 …………(1) 2 x ＋4y＝110 …………(2)
由(1) 可得 x ＝35－y 將其代入(2)，我們可得：
2(35－y)＋4y＝110 70－2y＋4y＝110
2y＝110－70 y＝20
將y＝2 代入(1)，我們可得： x ＋20＝35 x ＝15 故 x ＝15 ，y＝20 為二元聯立方程組的解，
故雞有 15 隻，兔有 20 隻。
【範例】：解下列各二元一次聯立方程式
(a) 3 x ＋2y＝13 (b) 3 x ＋y＝10
x －3y＝－3 x －2y＝－5
解 ：(a) 3 x ＋2y＝13 …………(1) x －3y＝－3 …………(2)
由(2)可得 x ＝－3＋3y 將其代入(1)，我們可得：
3(－3＋3y)＋2y＝13
－9＋9y＋2y＝13 11y＝13＋9
y＝2
將y＝2 代入(2)，我們可得： x －6＝－3 x ＝3 故 x ＝3 ，y＝2 為二元聯立方程組的解。
(b) 3 x ＋y＝10 …………(1) x －2y＝－5 …………(2)
由(2)可得 x ＝－5＋2y 將其代入(1)，我們得：
3(－5＋2y)＋y＝10
－15＋6y＋y＝10 7y＝10＋15
將y＝ 7
25 代入(1) ，我們有 3 x ＋ 7 25 ＝10
x ＝ 7 15
故 x ＝ 7
15 ，y＝ 7
25 為二元聯立方程組的解。
【加減消去法】：
【說明】：將二元一次聯立方程組的兩式分別乘除幾倍，兩式相加或相減，使兩個未知 數變成一個未知數。利用解一元一次方程式的解法先解出一個未知數，然後 再解第二個未知數。
【範例】： 『三足團魚六眼龜，共同山下一深池。九十三足亂浮水，一百二眼將人窺。
或出或沒往東西，依梱觀看不能知。有人算得無差錯，將酒重斟贈數杯。』， 能否依此「鷓鴣天」古曲列出算式？
解 ：設三足團魚有 x 條，六眼龜有y隻。
3 x ＋4y＝93 ………(1) 2 x ＋6y＝102 ………(2) 將(1)乘 3，將(2)乘 2，可得：
9 x ＋12y＝279 ………(1*) 4 x ＋12y＝204 ………(2*) 將(1*)減(2*)，可得：
(9 x ＋12y)－(4 x ＋12y)＝279－204 9 x ＋12y－4 x －12y＝75
5 x ＝75 x ＝15
將 x ＝15 代入(1)，我們可得：45＋4y＝93 4y＝48 y＝12 故三足團魚有 15 條，六眼龜有 12 隻。
【範例】：解下列各二元一次聯立方程式：
(1) 3 x ＋2y＝13 (2) 3 x ＋y＝10
x －3y＝－3 x －2y＝－5
解 (1)：
3 x ＋2y＝13 …………(1) x －3y＝－3 …………(2)
將(1)乘 3，將(2)乘 2，可得：
9 x ＋6y＝39 ………(1*) 2 x －6y＝－6 ………(2*) 將(1*)相加(2*)，可得：
(9 x ＋6y)＋(2 x －6y)＝39－6 9 x ＋2 x ＋6y－6y＝33
11 x ＝33 x ＝3
將 x ＝3 代入(1) ，我們可得：9＋2y＝13 y＝2 故 x ＝3，y＝2 為二元聯立方程組的解。
解 (2)：
3 x ＋y＝10 …………(1) x －2y＝－5 …………(2) 將(1)乘 1，將(2)乘 3，可得：
3 x ＋y＝10 ………(1*) 3 x －6y＝－15 ………(2*) 將(1*)減(2*)，可得：
(3 x ＋y)－(3 x － 6y)＝10－(－15) 7y＝25
y＝ 7 25
將 y＝ 7
25 代入(1) ，我們可得：3 x ＋ 7 25 ＝10
x ＝ 7 15
故 x ＝ 7
15 ，y＝ 7
25 為二元聯立方程組的解。
【範例】：誠誠與愛愛到商店買餅乾跟飲料，誠誠買餅乾 8 包，飲料 5 瓶，共 186 元 愛愛買餅乾 4 包，飲料 7 瓶，共 174 元，請餅乾一包幾元飲料一瓶幾元？
解 ：設餅乾 1 包 x 元，飲料 1 瓶 y 元。
8 x ＋5y＝186………(1) 4 x ＋7y＝174………(2)
將(2)乘 2，可得：
8 x ＋5y＝186………(1) 8 x ＋14y＝348………(2*) 將(2*)減(1)，可得：
(8 x ＋14y)－(8 x ＋5y)＝348－186 8 x －8 x ＋14y－5y＝162
9y＝162 y＝18 將y＝18 代入(1)，我們可得：
8 x ＋5×18＝186 8 x ＝96
x ＝12
故 x ＝12，y＝18 為二元聯立方程組的解，也就是題目所求的答案。
答：餅乾 1 包 12 元，飲料 1 瓶 18 元
【範例】：小青、小慧一起到芙蘿蕾花店買花，小青買了 4 朵百合和 6 朵劍蘭，付了 132 元；小慧買了 6 朵百合和 4 朵劍蘭，付了 138 元，那麼百合、劍蘭 1 朵 各賣多少元？
解 ：設百合 1 朵 x 元，劍蘭 1 朵 y 元。
4 x ＋6y＝132………(1) 6 x ＋4y＝138………(2)
將(1)、(2)相加可得：10 x ＋10y＝270
x ＋y＝27………(3) 將(1)－4×(3)可得：2y＝24
y＝12 將y＝12 代入(3)可得： x ＝15
答：百合 1 朵 12 元，劍蘭 1 朵 15 元。
【範例】：若甲數的 5 倍等於乙數的 4 倍，且甲數 3 倍比乙數的 2 倍多 1，請問甲、乙 二數各是多少？
解 ：設甲數是 x，乙數是 y。
5 x ＝4y 3 x ＝2y＋1 移項後可得：
5 x －4y＝0………(1) 3 x －2y＝1………(2)
將 (2)×2－(1) 可得：
2(3 x －2y)－(5 x －4y)＝2 6 x －4y－5 x ＋4y＝2
x ＝2 將 x ＝2 代入(1)可得：y＝
2 5
答：甲數是 2，乙數是 2 5 。
【範例】：便利商店賣果汁和牛奶，果汁每盒可賺 4 元，牛奶每盒可賺 3 元，今天 便利商店賣出的牛奶盒數是果汁的 2 倍，一共賺了 1000 元，請問今天各 賣出多少盒的果汁和牛奶？
解 ：設賣出果汁 x 盒，賣出牛奶y盒。
2 x ＝y
4 x ＋3y＝1000 移項後可得：
2 x －y＝0………(1) 4 x ＋3y＝1000………(2) 將 (2)－(1)×2 可得：
(4 x ＋3y)－2(2 x －y)＝1000 4 x ＋3y－4 x ＋2y＝1000 5y＝1000
y＝200 將y＝200 代入(1)可得：
2 x －y＝0 2 x －200＝0
x ＝100
答：賣出果汁 100 盒，賣出牛奶 200 盒
【例題 1】
(1) 若 x ＝－1，y＝2 為方程式 6 x ＝ay＋4 的解，求 a 之值。
(2) 若 x ＝2，y＝3 是二元一次方程式 ax ＋ by ＝5 的一組解，
求 2(4 a －3b＋5)＋4( a ＋6b－3)之值。
解：
【例題 2】
(1) 方程式 5 x －3y＝1 的一組解為 x ＝ a ，y＝－7，求 a 之值。
(2) 若 1.23 x ＋4.56y－369＝555，求 12.3 x ＋45.6y＋369 之值。
解：
【例題 3】
請在下列空格處填入各算式所代表的數：
－2 3 －1
3 x 2
y
算式 1 －1 －
3 1
2 1
x －3y －5 6 0 －
6 5
─ x ＋2y 4 －5
3 1
3 1
【例題 4】
請在下列空格處填入各算式所代表的數：
－3 1 －2 －
3 x 1
y
算式 4 －2 －
3
2 3
－3 x －y 5 －1 6
3
2 －2
2 x －y －10 4 －3
3
1 －3
3 2
【例題 5】
(1) 已知五元的硬幣 x 個，十元的硬幣y個，共計 430 元，則 x 與y的關係可列
出一個二元一次方程式： 。
(2) 承第(1)題，若五元的硬幣有 20 個，則十元的硬幣有 個。
(3) 承第(1)題，若十元的硬幣有 32 個，則五元硬幣有 個。
【例題 6】
已知一長方形的周長為 52，且長比寬的 3 倍少 6，請依次回答下列各題：
(1) 設寬是 x ，則長為 ，可列出一元一次方程式為
，並解
得長是 ，寬是 。
(2) 設長是 x ，寬是y，則 x 與y的關係可列式得二元一次聯立方程式
為 。並解得長是 ，寬是 。
【例題 7】
x ＝2、y＝－1 是下列哪些聯立方程式的解？
(A)
x ＝－2y 6 x ＋3y＝9 (C)
5 x ＝－4y＋5 2 x ＋y＝3
(B)
x ＝－y＋1 x －y＝0 (D)
2 x ＝－4y
－2 x ＋3y＝－7
【例題 8】
x ＝0、y＝4 是下列哪些聯立方程式的解？
(A)
4 x ＋6y＝24 x ＋3y＝12 (C)
x ＝y－1 x ＋y＝1
(B)
x ＝－4y＋16 7 x －2y＝－8 (D)
2 x ＝－4y＋2
－3 x ＋y＝7
【例題 9】
用代入消去法解下列聯立方程式：
4 x ＝y……○ 1 6 x ＋3y＝36……○ 2 解：
x ＝－y＋6……○ 1 x －y＝0……○ 2 解：
【例題 10】
用代入消去法解下列聯立方程式：
3 x ＋2y＝13……○ 1 x －3y＝－3……○ 2 解：
2 x ＝y－1……○ 1 3 x －2y＝5……○ 2 解：
【例題 11】
用加減消去法解下列聯立方程式：
3 x ＋2y＝2……○ 1 2 x －3y＝23……○ 2 解：
3 x －y＝ x ＋2y－5……○ 1 3 x ＋3y＝－2 x －y＋22……○ 2 解：
【例題 12】
用加減消去法解下列聯立方程式：
3 x ＋
4 y ＝
12
23 ……○ 1
2 x －
3 y ＝
6
13 ……○ 2 解：
4 x ＋
3 y ＝
2
1 ……○ 1
3 x －
2 y ＝
3
2 ……○ 2 解：
【例題 13】
一長方形園地，若長減 40 公尺，寬加 30 公尺，則形成與原長方形同面積的正方形，試問 長方形的長與寬各是多少公尺？
解：
【例題 14】
珮玲比她的妹妹珮玉大 3 歲，她們的年齡和是 27 歲。試問她們的年齡各是幾歲？
解：
【例題 15】
甲、乙二人各有若干元，若乙給甲 10 元，則甲所有錢是乙所有錢的 6 倍；若甲給 乙 10 元，則甲所有錢比乙所有錢的 3 倍多 10 元，問甲、乙原來各有多少元？
解：
【例題 16】
琦琦、誠誠和同學參加春季旅行，在同一家商店買相同的餅乾、汽水琦琦買餅乾 8 包、
汽水 5 瓶共 186 元；誠誠買餅乾 4 包、汽水 7 瓶共 174 元。請幫琦琦、誠誠算一算，餅乾 一包、汽水一瓶各多少錢？
解：
【例題 17】
已知某二位數，其十位數字的 3 倍與其個位數字的和是 21，它的個位數字與 十位數字對調後的新數比原數大 9，問原數是多少？
解：
【例題 18】
美茹、曉菁、佳雯三姐妹共有 264 元，若美茹給曉菁 10 元，佳雯買日用品花掉原有錢的 5
2 後，三姐妹的錢數就相等了，問原來三姐妹各有多少錢？
解：
【例題 19】
某年聖誕舞會，男、女生的票價不同，例如：6 位男生和 5 位女生一同參加，則 門票共 1220 元，若是臨時走了 2 位女生，而多來了 3 位男生， 則門票要多繳 160 元，
則男、女生票價各是多少元？
解：
【例題 20】
小新和妮妮去買早餐，小新買 1 杯奶茶和 2 個三明治，拿 100 元付帳，老闆找他 49 元，
妮妮拿 500 元買 6 杯奶茶和 7 個三明治，老闆找她 284 元，如果風間拿 1000 元買 3 杯 奶茶和 5 個三明治，老闆應找他多少元？
解：
高斯消去法的形式：
將一組聯立方程式：
î í ì
= +
= +
2 2 2
1 1 1
c y b x a
c y b x
a 改寫成 ú
û ù ê ë
é
2 2 2
1 1 1
c b a
c b
a 的形式，其中 a 、 1 a 是 x 項的係數 2
， b 、 1 b 是2 y項的係數， c 、 1 c 是常數項。 2
利用高斯消去法解二元一次聯立方程組：
【範例】：利用高斯消去法解：
î í ì
= -
= +
7 3 y x
y
x 。
解 ：將 î í ì
= -
= +
(2) 7
(1) 3
L L
L L y x
y
x 改寫成 ú
û ù ê ë
é
- 1 7 1
3 1
1 的形式。
再將(1)加到(2)可得：
î í ì
= -
= +
7 3 y x
y x
Û î í ì
=
= +
10 2
3 x
y x
ú û ù ê ë
é
- 1 7 1
3 1 1
Û ú
û ù ê ë
é
10 0 2
3 1
1 ……(＊)
2 x ＝10 x ＝5
2 x ＝10 x ＝5
在(＊)式子中： x 項的係數是 2，y項的係數是 0，常數項的係數是 10。
則可得：2 x ＝10 x ＝5。
將 x ＝5 代回原式可得： x ＋y＝3 5＋y＝3
y＝3－5 y＝－2。
故此聯立方程式的解為 ( x ，y)＝(5，－2)。
【範例】：利用高斯消去法解：
î í ì
= +
= +
110 4
2
5 3 y x
y
x 。
解 ：將 î í ì
= +
= +
(2) 110
4 2
(1) 5
3
L L
L L L y x
y
x 改寫成 ú
û ù ê ë
é
110 4 2
5 3 1
1 的形式。
再將(1)×(－2)之後，加到(2)可得：
î í ì
= +
= +
110 4
2
5 3 y x
y x
Û î í ì
=
= +
40 2
5 3 y y x
ú û ù ê ë
é
110 4 2
5 3 1 1
Û ú
û ù ê ë
é
40 2 0
5 3 1
1 ……(＊)
2y＝40 y＝20
2y＝40 y＝20
在(＊)式子中： x 項的係數是 0，y項的係數是 2，常數項的係數是 40。
則可得：2y＝40 y＝20。
將 y＝20 代回原式可得： x ＋y＝35 x ＋20＝35
x ＝35－20 x ＝15。
故此聯立方程式的解為 ( x ，y)＝(20，15)。
【範例】：利用高斯消去法解：
î í ì
= +
-
= -
13 2 3
3 3
y x
y
x 。
解 ：將 î í ì
= +
-
= -
(2) 13
2 3
(1) 3
3
L L
L L y x
y
x 改寫成 ú
û ù ê ë
é - - 3 1 2 3
3 3
1 的形式。
再將(1)×(－3)之後，加到(2)可得：
î í ì
= +
-
= -
13 2 3
3 3
y x
y x
Û î í ì
= -
= -
2 2 11
3 3
y y x
ú û ù ê ë
é - - 3 1 2 3
3 3 1
Û ú
û ù ê ë
é - - 22 11 0
3 3
1 ……(＊)
11y＝22 y＝2
11y＝22 y＝2
在(＊)式子中：第二列的 x 項的係數是 0，y項的係數是 11，常數項的係數是 22。
則可得：11y＝22 y＝2。
將 y＝2 代回原式可得： x －3y＝－3 x －6＝－3
x ＝－3＋6 x ＝3。
故此聯立方程式的解為 ( x ，y)＝(2，3)。
【範例】：利用高斯消去法解：
ï î ï í ì
= + +
= + +
= + +
1 2
2 2 2
2
z y x
z y x
z y x
。
解 ：將 ï î ï í ì
= + +
= + +
= + +
(3) 1
2
(2) 2
2 2
(1) 2
L L
L L L L
z y x
z y x
z y x
改寫成
ú ú ú û ù
ê ê ê ë é
1 2 1 1
2 2 2 1
2 1 1 1
的形式。
再將(1)×(－1)之後，加到(2)與(3)可得：
ï î ï í ì
= + +
= + +
= + +
1 2
2 2 2
2
z y x
z y x
z y x
Û ï î ï í ì
-
=
= +
= + +
1 0 2
z z y
z y x
ú ú ú û ù
ê ê ê ë é
1 2 1 1
2 2 2 1
2 1 1 1
Û
ú ú ú û ù
ê ê ê ë é
- 1 1 0 0
0 1 1 0
2 1 1 1
……(＊)
∵ z ＝－1
∴ y＋ z ＝0 y＋(－1)＝0 y＝1
則 x ＋y＋ z ＝2 x ＋1＋(－1)＝2 x ＝2
∵ z ＝－1
∴ y＋ z ＝0 y＋(－1)＝0 y＝1
則 x ＋y＋ z ＝2 x ＋1＋(－1)＝2 x ＝2
在(＊)式子中：第三列的 x 項的係數是 0，y項的係數是 0， z 項的係數是 1，
常數項的係數是－1，則可得： z ＝－1。
在(＊)式子中：第二列的 x 項的係數是 0，y項的係數是 1， z 項的係數是 1，
常數項的係數是 0，則可得： y＋ z ＝0 y＋(－1)＝0
y＝1。
在(＊)式子中：第ㄧ列的 x 項的係數是 1，y項的係數是 1， z 項的係數是 1，
常數項的係數是 2，則可得： x ＋y＋ z ＝2 x ＋1＋(－1)＝2
x ＝2。
故此聯立方程式的解為 ( x ，y， z )＝(2，1，－1)。
【範例】：利用高斯消去法解：
ï î ï í ì
= - +
= + -
= - +
2 1 2
3 2
z y x
z y x
z y x
。
解 ：將 ï î ï í ì
= - +
= + -
= - +
(3) 2
(2) 1
2
(1) 3
2
L L
L L
L L
z y x
z y x
z y x
改寫成
ú ú ú û ù
ê ê ê ë é
- -
-
2 1 1 1
1 1 2 1
3 1 1 2
的形式。
再將(3)乘以(－1)之後，加到(1)可得：
ï î ï í ì
= - +
= + -
= - +
2 1 2
3 2
z y x
z y x
z y x
Û ï î ï í ì
= - +
= + -
=
2 1 2
1
z y x
z y x x
ú ú ú û ù
ê ê ê ë é
- -
-
2 1 1 1
1 1 2 1
3 1 1 2
Û
ú ú ú û ù
ê ê ê ë é
- -
2 1 1 1
1 1 2 1
1 0 0 1
……(＊)
再將(3)加到(2)可得：
ï î ï í ì
= - +
= + -
=
2 1 2
1
z y x
z y x x
Û ï î ï í ì
= - +
= -
=
2 3 2
1
z y x
y x x
ú ú ú û ù
ê ê ê ë é
- -
2 1 1 1
1 1 2 1
1 0 0 1
Û
ú ú ú û ù
ê ê ê ë é
- -
2 1 1 1
3 0 1 2
1 0 0 1
……(＊)
∵ x ＝1
∴ 2 x －y＝0 y＝2
則 x ＋y－ z ＝2 x ＋1＋(－1)＝2 z ＝1
∵ x ＝1
∴ 2 x －y＝0 y＝2
則 x ＋y－ z ＝2 x ＋1＋(－1)＝2 z ＝1
在(＊)式子中：第ㄧ列的 x 項的係數是 1，y項的係數是 0， z 項的係數是 0，
常數項的係數是 1，則可得： x ＝1。
在(＊)式子中：第二列的 x 項的係數是 2，y項的係數是－1， z 項的係數是 0，
常數項的係數是 3，則可得： 2 x －y＝0
∵ x ＝1 ， ∴ y＝2。
在(＊)式子中：第三列的 x 項的係數是 1，y項的係數是 1， z 項的係數是－1，
常數項的係數是 2，則可得： x ＋y－ z ＝2
∵ x ＝1、y＝2 ， ∴ z ＝1。
故此聯立方程式的解為 ( x ，y， z )＝(1，2，1)。
【例題 1】
利用高斯消去法解：
î í ì
= +
= +
102 6
2
3 9 4 3
y x
y
x 。
解：
【例題 2】
利用高斯消去法解：
î í ì
= -
= -
13 5 2
3 3
y x
y
x 。
解：
【例題 3】
利用高斯消去法解：
î í ì
= +
= +
74 1 7 4
186 5
8 y x
y
x 。
解：
【例題 4】
利用高斯消去法解：
î í ì
= +
-
= -
0 1 3
5 2
y x
y
x 。
解：
