「形形」相惜－正n邊形內接正五邊形初探

金門地區第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書

科 別：數學科

組 別：國中組

作品名稱：「形形 」相惜—正 n 邊形內接正五邊形初探

關 鍵 詞：五邊形、內接、圖形條件

編 號：

摘要

前人研究發現三角形與正方形皆可內接於所有正 n 邊形後，我們想繼續藉 由圖形的探討來發現正 n 邊形內接正五邊形之情形，本研究由內接為出發點去 作研討與證明，發現出其實正五邊形與正三邊形、正方形不同，是無法全都內 接於正 n 邊形的，正五邊形只有五的倍數邊形才可被內接，其他像是正六邊形 等等都不可內接，由此推測可以內接必須要有共同的對稱軸且有一組邊會有平 行等特性，我們藉由角度、邊長等關係慢慢揭開不可內接的事實。

壹、研究動機

在數學獨立研究課時，與夥伴翻閱文獻後，發現前人對於幾何圖形研究方 面算是個頗大的領域，藉由圖形的點、線，進行著各種方式的研究，當翻到內 接正三角形時深感興趣，我們先閱讀了正三角形、正四邊形內接於正 n 邊形的 性質與結論，發現了所有正 n 邊形皆可內接正三角形與正四邊形，於是我們猜 想正 n 邊形也可以內接正五邊形，於是就開啟了以下的研究。

貳、研究目的

一、正 n 邊形內接正五邊形之觀察 二、正多邊形可否內接正五邊形之分組 三、正多邊形內接正五邊形可行性之探討 四、正多邊形無法內接正五邊形之探討

參、研究設備及器材

geogebra 紙 筆 尺

肆、研究方法與過程

一、研究流程

圖一、研究流程圖

二、文獻探討 (一)內接三角形

在文章中發現內接技巧頗有幫助，中點內接法就十分實用，另外內接時會 產生的偏離問題(圖二、圖三、圖四)也在此文獻有初步想法，藉由邊與點進行 初探。

圖二 圖三、產生誤差

圖四、可能的誤差示意圖(邊) 圖五、圖形符合對稱平行之示意圖 資料來源:https://www.ntsec.edu.tw/Science-

Content.aspx?cat=12389&a=6822&fld=&key=&isd=1&icop=10&p=1&sid=12396\

(二)可內接時一組邊是否有平行以及對稱等現象

由此文獻中發現出，內接可能含有對稱特性，並且有平行邊，因為正五 邊形是由正三、正四邊形延生出來，因此討論內接五邊形亦具有此性質(圖 五)。

(三)作圖方法

由於發現到圖形內接成功具有對稱、平行的特性，因此，有平行作圖法 這個方法(圖六)

圖六、 有一組邊平行 圖七、平行線上兩點不變 在底邊拉出一條與被內接邊形平行邊，以便將兩點固定於同一條線上，更方便 觀察現象，也可以控制其他三點走向(圖七)

三、開始研究 (一)作圖觀察

1.正五邊形

會產生對稱，每邊上皆有內接點，內接點可以位於外接正五邊形的任何 地方，會產生平行邊，可以成功內接。(圖八、圖九)

圖八、正五邊形內接正五邊形 圖九、正五邊形內接正五邊形(重疊)

2.正六邊形

對稱軸相同，有平行邊，正五邊形的點不超出範圍的情況下，最 多只會內接四點(圖十)；內接三點的話有一點會在正六邊形的頂點上，

沒有平行邊，會有兩個點無法內接。(圖十一)

圖十、四點內接 圖十一、三點內接

3. 正七邊形

對稱軸相同，內接三點的話有一點會在七邊形的頂點上，也會有平 行邊，但會有兩個點超出正七邊形(圖十二)，若要有平行邊在正五邊形 的點不超出範圍的情況下，則可以內接四點(圖十三)。

圖十二、三點內接 圖十三、四點內接

4.正八邊形

對稱軸相同，內接四個點時五邊形會有一個頂點超出八邊形，且會 有一組平行邊(圖十四)，內接三個點，也會有平行邊以及對稱軸(圖十五)。

圖十四、四點內接 圖十五、三點內接

5.正九邊形

對稱軸相同，有平行邊，正五邊形的點不超出範圍的情況下，最多 只會內接四點(圖十六)；內接三點的話有一點會在正九邊形的頂點上，

也會有平行邊(圖十七)。

圖十六、四點內接 圖十七、三點內接

6.正十邊形

會對稱，每邊上皆有內接點，內接點可以位於外接正十邊形的任何 地方，可以成功內接(圖十八)。

圖十八、正十邊形內接正五邊形

(二)猜想與證明 1.正五邊形

猜想：可以成功內接，且有無限多組

證明：內接正五邊形的每個點都與外接正五邊形的五個頂點重合；內 接正五邊形的每個點都與外接正五邊形的五個邊重和，內接的 正五邊形每一條邊都可以透過外接的正五邊形的兩個邊計算出 來，所以正五邊形內接正五邊形不管點是在邊上還是點上皆成 立。

2.正六邊形

猜想：不能成功內接

證明：考慮正五邊形與外接正六邊形頂點重疊的情況，我們將正六邊 形內接正五邊形分成兩點來討論

(1)一個頂點重疊

a.五邊形與正六邊形的頂點重合，則第二個點的範圍之位置證明 設正六邊形的六個頂點為 ABCDEF(逆時針排列)，正五邊形的五 個頂點為 abcde(逆時針排列)，a 位於點 A 上，b 點的位置位於

C

B 上，則 ab 的距離是由 AB 與 Bb 所構成的，那麼 e 在正六邊

形的位置就在 DE 上，因為知道 ab 的距離是大於正六邊形的邊 長，就可以確定 ea 的距離也大於正六邊形的邊長(結果一)在這之 前已經透過眾多實驗，在固定一點的條件下，發現如果要雙內接 點不可能超過中點，任何一點都不行(結果二)

b.依據結果一，探討第五個點的範圍

ea 的距離與 ab 的距離是相同的，因為同樣是由正六邊形的長加 上一段距離所構成的，由餘弦定理可知那一段距離的長短會決定 是否成立正五邊形，所以 eF 與 Bb 的距離也是一樣的，由此可知 e 的位置就是 b 的鏡像位置(結果三)

c.證明正五邊形第一個與正六邊形頂點的頂點重疊，使第二、五個 點在正六邊形的邊上所構成的內接五邊形不存在

證明:一個由三個已經確定的頂點所構成的正五邊形，要證明另外 兩個點不再邊上的方法就是設一點 M 在正五邊形 cd 的中點 上並由點 M 畫一條射線穿過點 c，再設一個交點 P 在六邊形

CD上，只要證明 cM 小於 PM 就代表點 c 不再正六邊形的邊 上，又因為結果三，則如果點 c 不再正六邊形的邊上，點 d 也不會在正六邊形的邊上。

設正六邊形的邊長為 1cm，正五邊形的邊長為 cos36⁰ 2

3

0 2

0 2

2 0

108 cos ) 36 2 cos ( 3 2 ) 36 2 cos ( 3 2

ab  

cos36 ) (1 cos108 ) 2

( 3

2 ^{0 2}  ⁰



) 108 cos 1 ( ) 36 2 cos ( 3

2 ^{0 2}





ac (正五邊形對角線的長)

) 108 cos 1 ( ) 36 2 cos ( 3 2 72 sin

M





a (正五邊形的高)

正六邊形的高

) 108 cos 1 ( ) 36 2 cos ( 3 2 2

MD

 



∵ >

所以五邊形第一個點在正六邊形的頂點上，正六邊形內接正五 邊形不成立。

圖十九、第一個點在頂點上所構成的內接五邊形

(2)沒有頂點重疊

考慮第一個點不重疊的狀況我們可以將第一點與第二點對應到外接 圖形的跨距分成下列兩種情況來討論

a.中間段與五邊形邊長平行(四點內接)

設正五邊形的四個頂點在正六邊形的邊上(內接可行性最大化)，則 所構成的內接五邊形不成立之證明

證明思路:

正五邊形 c 點在正六邊形 BC 上， AC為六邊形的高，設一交點 M 在 AC與 cd 上，設一交點 P 為 cd 的中點，若正六邊形有內接正 五邊形，則 AM 就會等於 ap 為正五邊行的高，只要證明 AM 和

ap 不一樣長，就可以證明正五邊形的四個點在正六邊形的邊上 時正六邊形無法內接正五邊形

證明：設 cC 的長度為 x，正六邊形邊長為 1 MC的長度為

2 3

a ，正六邊形的高為√3

= 2 3 a 3



=2(1 + 𝑥)²(1-cos108)

ac =√2(1 + 𝑥)²(1 − 𝑐𝑜𝑠108) aP =sin72√2(1 + 𝑥)²(1 − 𝑐𝑜𝑠108)

∵ sin72√2(1 + 𝑥)²(1 − 𝑐𝑜𝑠108)<

2 3 a 3



∴ 不等於 aP

所以當正五邊形的四個點在正六邊形的邊上時正六邊形無法內 接正五邊形

圖二十、正五邊形的四個點在六邊形的邊上→所構成的內接五邊形 b、中間段與五邊形邊長不平行

設五邊形的其中一點在正六邊形邊長 4

1 的位置上，則所構成

的內接五邊形不成立之證明 證明思路：

根據圖六，只要證明點 b 在 4

AB 的位置上，就可以證明此情 況下所構成的正六邊形內接五邊形不成立。

證明：

設一點 L 在 4

AB 的位置上，若 bB 小於 LB ，五邊形的邊長必 會變短，那麼點 a、d、e 就一定不會在正六邊形的邊上(如圖 七)，若 bB 大於 LB ，五邊形的邊長必會變長，那麼點 a、d、

e 就一定不會在正六邊形的邊上(如圖八)，由此可知不管其中 一點是否在

4

AB 的位置上，在內接可行性最大化的情況下，

正六邊形內接五邊形都不可能成立。

圖二十一、 bB 小於 LB 圖二十二、 bB 大於 LB

3.正七邊形

猜想：不能成功內接 證明思路：

設正五邊形的第一個頂點(固定不動)與正七邊形的頂點重和，正 五邊形第二個點(控制點)位於正七邊形第二個邊的中點，正五邊形的 第三個頂點(被控制)與正七邊形的第四個頂點重和，所構成的∠abc 角度為多少，可能會出現以下三種情況以及其推論:

(A)如果度數大於 108，控制點不管如何移動，第三個點都不會在 角度等於 108 時碰到正七邊形的邊

(B)如果度數等於 108，所構成的正五邊形每一邊都必須要用正七 邊形的 1.5 條邊來構成，必定不會成立

(C)如果度數小於 108，則可以用餘弦定理及反三角函數去求點的 位置及邊的長度，再畫出由此所構成的正五邊形是否成功內接 證明:

根據(圖二十三)列出(一)式 2 − 4 cos (5 ×^𝜋

7) = 2𝑐𝑜𝑠𝜃√5 − 4cos⁡(5 ×^𝜋₇) (一) 使用 WolframAlpha 計算可得

θ≈6.2832n +0.60797, n∈ ℤ (二) 令 n=0 代入(二)式 θ≈0.60797

再將弧度轉換為角度

(0.60797)/(3.1415926)×180°=34.8341157 180-2×34.8341157≈110.331769

可知∠ＡＩＤ≈110.331769°>108°

我們得到的結果符合(A)情況(圖二十四)，所以在一點重合的情況 下，構成的正七邊形內接正五邊形不存在。

圖二十三 圖二十四

𝜃

4.正八邊形

猜想：不能成功內接 證明：

我們亦分別就第一個點是否重合來討論 (1)若內接正五邊形的第一個點 a 在 A 點上

則 b 在 BC 上且點 c 必存在 DE 上

為∠abc<∠ABC 又∠abc<∠BCD，所以 c 點必在正八邊形內

又因點 b 在 BC 上，若點 b 由點 B 移動至點 C，則點 c 由點c^′移至點 c^′′(圖二十五)，即點 c 在c'c''上，由勘根定理可知，必存在點 c 在

DE 上時，同理點 e 在 EF 上，點 d 在DE 上，且 ab = bc = ae = de 因為點 a 點在 A 點上，則五邊形 abcde 與正六邊形 ABCDEF 有共同 的線對稱軸 AE 。同理可證得 cK = l

8 5 6 16



≠ l 2 1

即 dc ≠ l

五邊形 abcde 不是正五邊形

圖二十五、c 點軌跡圖

(2) 若內接正五邊形的第一個點 a 在 AB 上、e 點在 GH 上且 ae // AH 在 AB 上取一點 a’，以 MN為對稱軸做正五邊形 a’b’c’d’e’

設直線 AB 與直線 GH 相交於 O 點

做直線 Ob'交 BC 於 b 點，過 b 點做 ab // b'a' ，同理作圖找出 d 點，則 d

點在 FG上

做直線 Oc'交 DE 於 c 點，則 abcde 為內接五邊形 因為 GU ： l =1： 2 所以 GU = l

2

2 又 KV=

2

1 l

所以 NK =1+ 2 -l 2

1

l = l

2 1 - 2 2 2

3 ≠ l

2 5 2 3



= cK (正五邊形 ABCDE 的高)

即 c 點與 N 點不重合

故正五邊形 a’b’c’d’e’不是內接正五邊形

圖二十六、正八邊形內接正五邊形(三點內接)

伍、研究結果

一、觀察結果(表一)

表一、正五~正八邊形被內接之結果

二、正五邊形可內接(表二)

只要外接正 n 邊形為五的倍數邊形都可內接正五邊形

表二、正 5k 邊形內接正五邊形

三、正六邊形不可內接(表三)

讓五邊形第一點頂點與六邊形頂點重合產生第二點 發現第２，４點需對稱 (共通性)

表三、正六邊形 有無內接

正五邊形

有無與內接正五 邊形有平行邊

有無與內接正五邊 形有共同對稱軸

非全等內接正 五邊形的個數

正五邊形 有 有 有 有無限多個

正六邊形 無 無 無 無

正七邊形 無 無 無 無

正八邊形 無 無 無 無

四、正七邊形不可內接(表四)

由於角度不為整數，採用角上的弧度差證明的確無法內接

表四、正七邊形

五、正八邊形不可內接

表五、正八邊形

陸、討論

一、作圖觀察的研究

(一)正五邊形可內接正五邊形，可以是平行、對稱 (二)正 5n 邊形內接正五邊形

正 5n 邊形內接正五邊形之探討上，發現到其實所有正 5n 邊形可以內 接正五邊形，且內接點不限，並且在大多數情況下會產生對稱、平行 等特性。

二、正六邊形內接正五邊形

在正六邊形內接正五邊形的研究及觀察中我們發現被內接可行性最大化為 一次內接四個正五邊形的頂點，至少有一點會偏離，並從中點、頂點、點 進行證明。

(一) 頂點方面從正五邊形內接邊長與正六邊形邊長證明兩者邊長不同而必 定不成立。

(二)中點從圖形的高入手，由正五邊形的高不等於六邊形點與點的連接線

－正五邊形內接正六邊形的間距證明出正六邊形不可被正五邊形內接 的特性

(三) 4

1 點由頂點、中點做推論，如果內接小於 4

1 點會過小，內接大於 4 1點 則會太大，證明了除了內接兩點外其他皆會不在邊上，因此保證不成 立。

三、在正七邊形的研究上，我們由角度做觀察，若想達成內接條件，必須達到 大約 110 度，由此證明正七邊形不可被正五邊形內接。

四、在八邊形的研究上，證明內接正五邊形內接正六邊形時，採用了與正六邊 形相似的方法，只要證明正五邊形邊長不為一定數就必定不成立

柒、結論

一、作圖觀察

(一)正五邊形可內接所有正 5k 邊形 (二)正六邊形不可被內接正五邊形 (三)正七邊形不可被內接正五邊形 (四)正八邊形不可被內接正五邊形 二、正 5k 邊形內接正五邊形之探討

內接的正五邊形每一條邊都可以通過外接的正五邊形的兩個邊計算出來，所 以內接成立。

三、正六邊形內接正五邊形之探討

內接進去後的正五邊形不符合正 n 邊形特性，且與正六邊形的高無關聯，故 不成立

四、正七邊形內接正五邊形之探討

內接點連接後經計算發現角度不符，故必定無法內接

五、正八邊形內接正五邊形之探討

經計算後發現兩邊邊長不重合，故無法成立

捌、心得與感想

這次的研究探討中，運用到了許多之前沒學習過的方法，備感收益良多，由於 確保準確度，研究出來的可證明圖形較少是這次研究比較主要的缺點，無法探 討到更深入。

玖、未來展望

我們期望著往後能往其他更高的邊形發展，並研究出正 n+4 邊形之特性，探討 是否其他更大的 5k 邊形的內接跟正六邊形的誤差，因為多種的 5k+1 例如 6 和 11，一者為單數，一者為雙數，可能會有性質等方面上的差別，另外我們希望 可以推導出是否都可通用於邊形方面的算式，目前探討之方法是六、八類似方 法，七邊形另一種，希望能更單純化。

拾、參考資料及其他

科展群傑廳●數學組●探討正 n 邊形的內接正三邊形 https://www.ntsec.edu.tw/Science-

Content.aspx?cat=12389&a=6822&fld=&key=&isd=1&icop=10&p=1&sid=12396

科展群傑廳●數學組●正 n 邊形的內接正四邊形之探討 https://www.ntsec.edu.tw/Science-

Content.aspx?cat=&a=0&fld=&key=&isd=1&icop=10&p=39&sid=15875

評語

組別：國中組 科別：數學

作品名稱：「形形」相惜－正 n 邊形內接正五邊形初探 名次：佳作

編號：Bm-10 優點：

作品說明書撰寫清楚，學生的問答與說明清楚。

建議：

正八邊形的說明中，勘根定理以不同於傳統形式呈現與應用，可再

補充說明。使用的數學符號有改善的空間。