花蓮縣立宜昌國民中學110學年度第一學期第三次段考年級數學科試題

花蓮縣立宜昌國民中學 110 學年度第一學期第三次段考 9 年級數學科試題

命題老師：邵治家老師 班級： 座號： 姓名：

＊測驗說明和注意事項：

(1) 試題卷共 6 頁，雙面列印；考試範圍：康軒版第5冊Ch. 3。

(2) 請將選擇題正確的選項劃記於答案卡上；圖形僅供參考。

(3) 測驗時間 60 分鐘，請妥善分配答題時間。

一、 選擇題：94％（第 1~19 題，每題 4％；第 20~25 題，每題 3%）

1. （ ）(甲)三角形的外心都在三角形的外部 (乙)三角形的內心都在三角形的內部

(丙)直角三角形的重心在斜邊中點上 (丁)正三角形的外心、內心、重心都在同一點。

請問以上正確的敘述有幾個？

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

2. （ ）已知 a 為奇數、b 為偶數，則下列敘述何者正確？

(A) a²為偶數 (B) b²為奇數 (C) a²＋3b 為偶數 (D) b²＋5a 為奇數

3. （ ）如圖，梯形 ABCD 為宜昌自助餐廳的內部位置圖，其中

AD

C、D 四點分別為化妝室、熟食區、沙拉吧、逃生門的位置。已知：

①號桌位於熟食區與逃生門連接線段的中點；

②號桌位於化妝室與沙拉吧連接線段的中點；

③號桌位於熟食區與逃生門的連線及化妝室與沙拉吧的連線交點；

④號桌恰好位於①、②、③號桌三張桌子所形成的三角形之外心上。

今小鳳帶小孩到此餐廳用餐，他想坐在離化妝室、沙拉吧與逃生門相等距離的位置，

若你是服務生，你應該安排小鳳坐在幾號桌？

(A) ①號桌 (B) ②號桌 (C) ③號桌 (D) ④號桌

4. （ ）如右圖(一)，有一質地均勻的三角形鐵片，△ABC 三中線相交於 G 點，且 AD ＝36 公分、

BE ＝21 公分、 CF ＝33 公分。若小瑛想用食指撐住 此鐵片達到平衡，如圖(二)，則小瑛食指的支撐點應 設在 AD 上，且距離 D 點多少公分？

(A) 7 (B) 11 (C) 12 (D) 24 B A

C

圖(一)

B

A

C

圖(二) G

E F

D

5. （ ）如圖(三)，圓 O 中有多個三角形，則 O 點不是下列哪一個三角形的外心？

(A) △ABE (B) △ABD (C) △ACF (D) △ADE

A

B

E

C O F

D

圖(三)

A

B C

D E

F

6. （ ）如圖(四)，已知 F 點為鈍角三角形 ABC 的外心，四邊形 CDEF 為正方形，其中 D、E 兩點皆 在三角形外部。以下為小虹與小英對於此圖形的看法：

小虹：「我認為 F 點是三角形 ACE 的外心。」

小英：「我認為 F 點也是三角形 BDE 的外心。」

判斷兩人的看法何者正確？

(A)僅小虹正確 (B)僅小英正確

(C)兩人的看法皆正確 (D)兩人的看法皆不正確

7. （ ）每年都是東台灣跨年指標性活動的「2021-2022 花蓮太平洋觀光節」

跨年演唱會，右圖為本次跨年演唱會的圓形表演劇場，主辦單位搭建了 甲、乙、丙三個弓形區域作為觀眾席，其中甲面積＞丙面積＞乙面積。

而主舞臺中心將搭建在距離 、 、 皆相等的位置。小庸和小真

對於「主舞臺中心搭建位置」的說法如下。判斷他們的說法何者正確？

小庸 小真

A

B

C D

甲

O

乙

E F

M N

A

B

C D

甲

I

乙

E F

(A)僅小庸正確 (B)僅小真正確

(C)兩人的看法皆正確 (D)兩人的看法皆不正確

~注意時間分配，繼續努力~

A

C B

I 8. （ ）羅志祥睽違近兩年終於復出，登上「2021-2022 花蓮太平洋觀光節」

跨年演唱會，右圖為演唱會的舞臺設計，羅志祥為了貼近歌迷朋友，

希望能到舞臺邊的距離相等，決定出場時在 I 點上，舞臺分成

搖滾區△AIB、貴賓區△BIC、互動區△AIC。已知

AB

則△BIC 與△AIC 的面積比為何？

(A) 1：1 (B) 3：2 (C) 6：5 (D) 9：5 9. （ ）魷魚遊戲第二季，想要將遊戲升級為 2.0 版，其中遊戲

「一二三木頭人」如右圖，廣場中有 A、B、C 三座涼亭，

已知 AB ＝50 公尺、 AC ＝50 公尺、 BC ＝60 公尺，

參賽者可選擇 A、B、C 三座涼亭起跑，為考量遊戲之

公平性，我們將木頭人娃娃放在距離 A、B、C 三座涼亭皆相等的位置上，

則木頭人娃娃應該放在何處？

(A) 三角形三邊中垂線的交點上 (B) 三角形三內角角平分線的交點上 (C) 三角形三中線的交點上 (D) 三角形三邊垂線的交點上

10. （ ）承上題，若你是參賽者，你會選擇哪一個涼亭，才能有最短的距離跑到木頭人娃娃處？

(A) A (B) B (C) C (D) A、B、C 都一樣

11. （ ）承上題，請問你所選擇起跑的涼亭，跑向木頭人娃娃直線最短的距離為多少公尺？

(A) 30 (B) 40 (C) 8

25 (D) 4 125

12. （ ）如右圖，△ABC 與△ACD 中，

AB

AD

AB

EB

ED

甲：

AB

AD

AE

AE

EB

ED

戊：∠BAC＝∠DAC

(A) 甲→乙→戊→丁→丙 (B) 乙→戊→甲→丙→丁 (C) 乙→丁→戊→甲→丙 (D) 戊→乙→甲→丁→丙

13. （ ）小明在做奇偶數判別的證明，已知 a 是奇數，

b

其證明過程如下：

步驟一： ∵ a 是奇數，設 a＝2m＋1，m 是整數，

b 是偶數，設 b＝2n，n 是整數 步驟二： ∴ a²＋b²＝（2m＋1）²＋（2n）²

＝ 4m²＋1＋4n²

＝ 2（2m²＋2n²）＋1

步驟三： 故 a²＋b²為奇數

請問小明從以上哪一個步驟開始發生錯誤？

(A) 步驟一 (B) 步驟二 (C) 步驟三 (D) 過程完全沒有錯誤

14. （ ）如圖(五)，G 點為△ABC 的重心，H 點在 上，且 ＝ ，則下列何者的面積不等於 △ABC 面積的三分之一？

(A) △ABG (B) △BCE

(C) △CGH (D) 四邊形 BFGD

15. （ ）如圖(六)，正△ABC 中，D 為 上一點，若△ADE 為正三角形，則∠BCE 的度數為何？

(A) 100° (B) 115° (C) 120° (D) 135°

E F

B D C

H A

G

圖(五)

B D C E A

圖(六) 圖(七)

16. （ ）如圖(七)，I 點為△ABC 的內心，I 在 上，且 // 。若 ＝8、 ＝7、 ＝5，

則△ADE 周長為多少？

(A) 12 (B) 13 (C) 15 (D) 20

17. （ ）如右圖，直角△ABC 中，∠B＝90°、∠A＝60°，G 點為其重心，

若 ＝3，則 為多少？

(A) 2 (B) 3

5 (C) 4 (D) 2 3

18. （ ）如右圖，在鈍角△ABC 中，O 點為外心，若∠BAC＝110°，

則∠BOC 的度數為何？

(A) 100° (B) 110° (C) 120° (D) 140°

19. （ ）如圖(八)，I 點為△ABC 的內心，D 點在 BC 上，且 ID ⊥ BC 。若∠B＝44°，∠C＝56°，

則∠AID 的度數為何？【107 年會考】

(A) 174° (B) 176° (C) 178° (D) 180°

A

B

C D

I

圖(八)

A

G

B D E C

20. （ ）如圖(九)，G 為△ABC 的重心，直線 AG 與 ¯ BC 相交於 D 點，E 點在 ¯ CD 上且 ¯ GE ⊥ ¯ BC 。 若 ¯ BE ＝5， ¯ CE ＝3， ¯ GE ＝2，則 ¯ AG 的長度為多少？【110 年會考(補)】

(A) 13 (B) 29 (C) 2 3 (D) 2 5

21. （ ）下圖(十)～(十二)是小樺摺紙的過程：先將長方形紙片 ABCD 短邊對摺，使 B 點與 A 點重疊，

C 點與 D 點重疊，摺痕為 EF ，如圖(十)所示。接著攤開紙張，將 B 點摺向 EF ，使 B 點與 EF 上的一點 B′重合，摺痕為 AG ，如圖(十一)所示。再攤開紙張，作 AB′ 、 BB′ 、 GB′ ，如圖

(十二)所示。設 AG 與 EF 相交於 O 點，如圖(十三)，則 O 為△ABB′的？

(A) 外心 (B) 內心 (C) 重心 (D) 以上皆是

圖(十) B

A D

C B

A D

C B

A D

C

圖(十一) 圖(十二)

E F E B′ F

G

E F B′

G

22. （ ）農曆新年快到了，小齊想要畫幾個圓形裝飾家裡，讓家裡喜氣洋洋，小齊隨手找了一三角形 紙板，三邊長分別為 6、8、10，小齊開始畫了此三角形的外接圓(半徑為 R)，又繼續畫出此 三角形的內切圓(半徑為 r)，則小齊畫的兩圓面積相差多少？

(A) 21π (B) 24π (C) 25π (D) 48π

B

A D

C

O F

E B′

G 圖(十三)

23. （ ）若正三角形之邊長為 8 公分，其高為 a 公分、外接圓半徑為 b 公分、內切圓半徑為 c 公分，

則 a：b：c 之比為何？

(A) 3：2：1 (B) 3 ： 2 ：1 (C) 3 ：2：1 (D) 2 3：2：1 24. （ ）已知 a 為任意正整數，P＝（5a + 8）²－6（5a + 8）+ 84，

則 P 一定是哪一個數的倍數？

(A) 15 (B) 25 (C) 35 (D) 45

25. （ ）如圖，O 為銳角三角形 ABC 的外心，四邊形 OCDE 為正方形，其中 E 點在△ABC 的外部。

判斷下列敘述何者正確？

(A) O 是△AEB 的外心，O 是△AED 的外心

(B) O 是△AEB 的外心，O 不是△AED 的外心

(C) O 不是△AEB 的外心，O 是△AED 的外心

(D) O 不是△AEB 的外心，O 不是△AED 的外心

二、 非選擇題：(6%)

1. 如圖，△ABC 中， AB ＝ AC ，D 點在 BC 上，∠BAD＝30°，且∠ADC＝60°。請完整說明為 何 AD ＝ BD 與 CD ＝2 BD 的理由。【105 年會考】

1 2 3 4

A

B D C

2. 右圖是小邦摺紙後的痕跡，已知矩形 ABCD 中，M 為 BC 的中點。

若 AC 與 BD 相交於 E 點， AM 與 BD 相交於 P 點， DM 與 AC 相交於 Q 點，試回答下列問題：

Q1：試證明 P 點為△ABC 的重心。

Q2：若矩形 ABCD 的面積為 216，則△EPQ 的面積為多少？

加油!加油!新的一年持續努力~~幸“虎”就在你眼前!!

B

A D

M C P Q

E A E

O

B

C

D

B

A D

M C P Q

E

花蓮縣立宜昌國民中學 110 學年度第一學期第三次段考 9 年級數學科答案卷

命題老師：邵治家老師 班級： 座號： 姓名：

二、非選擇題：6％(每題 3％) 《請將過程完整寫至該題中》

1.

請完整說明為何 AD ＝ BD 與 CD ＝2 BD 的理由。【105 年會考】

2.

與 BD 相交於 P 點， DM 與 AC 相交於 Q 點，試回答下列問題：

Q1：試證明 P 點為△ABC 的重心。

Q2：若矩形 ABCD 的面積為 216，則△EPQ 的面積為多少？

1 2 3 4

A

B D C

花蓮縣立宜昌國民中學 110 學年度第一學期第三次段考 9 年級數學科答案卷

命題老師：邵治家老師 班級： 座號： 姓名：

一、選擇題：94％（第 1~19 題，每題 4％；第 20~25 題，每題 3%）

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

B D B C C A B C A D

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

D C B B C C A D A D

21. 22. 23. 24. 25.

D A A B B

二、非選擇題：6％

1. 如圖，△ABC 中， AB ＝ AC ，D 點在 BC 上，∠BAD＝30°，且∠ADC＝60°。請完整說明為何 AD ＝ BD 與 CD ＝2 BD 的理由。【會 105】

(1)∵∠4＝60，∠1＝30

根據三角形外角定理可得

∠ABD＝∠4－∠1＝60－30＝30＝∠1

∴△ABD 為等腰三角形 得 AD ＝ BD

(2)承(1)，∠ABD＝30

又 AB ＝ AC ，可得△ABC 亦為等腰三角形 即∠C＝∠ABD＝30

得∠2＝180－∠4－∠C＝180－60－30＝90

∴△ACD 為 30、60、90的直角三角形

 AD ： AC ： CD ＝1： 3 ：2 故 CD ＝2 AD ＝2 BD

2. 右圖是小邦摺紙後的痕跡，已知矩形 ABCD 中，M 為 BC 的中點。若 AC 與 BD 相交於 E 點， AM 與 BD 相交於 P 點， DM 與 AC 相交於 Q 點，試回答下列問題：

Q1：試證明 P 點為△ABC 的重心。

∵ AC 、 BD 為矩形 ABCD 的對角線

∴E 為 AC 的中點 在△ABC 中

∵M 為 BC 的中點，且 E 為 AC 的中點

∴ AM 與 BE 的交點 P 為△ABC 的重心

Q2：若矩形 ABCD 的面積為 216，則△EPQ 的面積為多少？

根據 Q1，同理可知 Q 點亦為△DCB 的重心 可得 EP ： EB ＝ EQ ： EC ＝1：3 則△EPQ～△EBC (SAS 相似性質) 故△EPQ 的面積＝1

3²×△EBC 的面積

＝1 9 ×1

4 ×矩形 ABCD 的面積

＝1 9 ×1

4 ×216＝6 答：6

B

A D

M C

P Q

E