花蓮縣立宜昌國民中學110學年度第一學期第三次段考年級數學科試題

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花蓮縣立宜昌國民中學 110 學年度第一學期第三次段考 9 年級數學科試題

命題老師:邵治家老師 班級: 座號: 姓名:

*測驗說明和注意事項:

(1) 試題卷共 6 頁,雙面列印;考試範圍:康軒版第5冊Ch. 3。

(2) 請將選擇題正確的選項劃記於答案卡上;圖形僅供參考。

(3) 測驗時間 60 分鐘,請妥善分配答題時間。

一、 選擇題:94%(第 1~19 題,每題 4%;第 20~25 題,每題 3%)

1. ( )(甲)三角形的外心都在三角形的外部 (乙)三角形的內心都在三角形的內部

(丙)直角三角形的重心在斜邊中點上 (丁)正三角形的外心、內心、重心都在同一點。

請問以上正確的敘述有幾個?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

2. ( )已知 a 為奇數、b 為偶數,則下列敘述何者正確?

(A) a2為偶數 (B) b2為奇數 (C) a2+3b 為偶數 (D) b2+5a 為奇數

3. ( )如圖,梯形 ABCD 為宜昌自助餐廳的內部位置圖,其中

AD

// BC ,∠BCD=90°,且 A、B、

C、D 四點分別為化妝室、熟食區、沙拉吧、逃生門的位置。已知:

①號桌位於熟食區與逃生門連接線段的中點;

②號桌位於化妝室與沙拉吧連接線段的中點;

③號桌位於熟食區與逃生門的連線及化妝室與沙拉吧的連線交點;

④號桌恰好位於①、②、③號桌三張桌子所形成的三角形之外心上。

今小鳳帶小孩到此餐廳用餐,他想坐在離化妝室、沙拉吧與逃生門相等距離的位置,

若你是服務生,你應該安排小鳳坐在幾號桌?

(A) ①號桌 (B) ②號桌 (C) ③號桌 (D) ④號桌

4. ( )如右圖(一),有一質地均勻的三角形鐵片,△ABC 三中線相交於 G 點,且 AD =36 公分、

BE =21 公分、 CF =33 公分。若小瑛想用食指撐住 此鐵片達到平衡,如圖(二),則小瑛食指的支撐點應 設在 AD 上,且距離 D 點多少公分?

(A) 7 (B) 11 (C) 12 (D) 24 B A

C

圖(一)

B

A

C

圖(二) G

E F

D

(2)

5. ( )如圖(三),圓 O 中有多個三角形,則 O 點不是下列哪一個三角形的外心?

(A) △ABE (B) △ABD (C) △ACF (D) △ADE

A

B

E

C O F

D

圖(三)

A

B C

D E

F

圖(四)

6. ( )如圖(四),已知 F 點為鈍角三角形 ABC 的外心,四邊形 CDEF 為正方形,其中 D、E 兩點皆 在三角形外部。以下為小虹與小英對於此圖形的看法:

小虹:「我認為 F 點是三角形 ACE 的外心。」

小英:「我認為 F 點也是三角形 BDE 的外心。」

判斷兩人的看法何者正確?

(A)僅小虹正確 (B)僅小英正確

(C)兩人的看法皆正確 (D)兩人的看法皆不正確

7. ( )每年都是東台灣跨年指標性活動的「2021-2022 花蓮太平洋觀光節」

跨年演唱會,右圖為本次跨年演唱會的圓形表演劇場,主辦單位搭建了 甲、乙、丙三個弓形區域作為觀眾席,其中甲面積>丙面積>乙面積。

而主舞臺中心將搭建在距離 、 、 皆相等的位置。小庸和小真

對於「主舞臺中心搭建位置」的說法如下。判斷他們的說法何者正確?

小庸 小真

A

B

C D

O

E F

M N

A

B

C D

I

E F

(A)僅小庸正確 (B)僅小真正確

(C)兩人的看法皆正確 (D)兩人的看法皆不正確

~注意時間分配,繼續努力~

(3)

A

C B

I 8. ( )羅志祥睽違近兩年終於復出,登上「2021-2022 花蓮太平洋觀光節」

跨年演唱會,右圖為演唱會的舞臺設計,羅志祥為了貼近歌迷朋友,

希望能到舞臺邊的距離相等,決定出場時在 I 點上,舞臺分成

搖滾區△AIB、貴賓區△BIC、互動區△AIC。已知

AB

=9, BC =6, AC =5,

則△BIC 與△AIC 的面積比為何?

(A) 1:1 (B) 3:2 (C) 6:5 (D) 9:5 9. ( )魷魚遊戲第二季,想要將遊戲升級為 2.0 版,其中遊戲

「一二三木頭人」如右圖,廣場中有 A、B、C 三座涼亭,

已知 AB =50 公尺、 AC =50 公尺、 BC =60 公尺,

參賽者可選擇 A、B、C 三座涼亭起跑,為考量遊戲之

公平性,我們將木頭人娃娃放在距離 A、B、C 三座涼亭皆相等的位置上,

則木頭人娃娃應該放在何處?

(A) 三角形三邊中垂線的交點上 (B) 三角形三內角角平分線的交點上 (C) 三角形三中線的交點上 (D) 三角形三邊垂線的交點上

10. ( )承上題,若你是參賽者,你會選擇哪一個涼亭,才能有最短的距離跑到木頭人娃娃處?

(A) A (B) B (C) C (D) A、B、C 都一樣

11. ( )承上題,請問你所選擇起跑的涼亭,跑向木頭人娃娃直線最短的距離為多少公尺?

(A) 30 (B) 40 (C) 8

25 (D) 4 125

12. ( )如右圖,△ABC 與△ACD 中,

AB

AD

,CB = CD,若 E 為

AB

上任一點,在證明

EB

ED

的過程如下,正確的證明順序為何?

甲:

AB

AD

,∠BAC=∠DAC,

AE

AE

乙: AB = AD , CB = CD , AC = AC 丙:△ABE=~△ADE,故

EB

ED

丁:△ABC=~△ADC

戊:∠BAC=∠DAC

(A) 甲→乙→戊→丁→丙 (B) 乙→戊→甲→丙→丁 (C) 乙→丁→戊→甲→丙 (D) 戊→乙→甲→丁→丙

(4)

13. ( )小明在做奇偶數判別的證明,已知 a 是奇數,

b

是偶數,求證 a2+b2為奇數。

其證明過程如下:

步驟一: ∵ a 是奇數,設 a=2m+1,m 是整數,

b 是偶數,設 b=2n,n 是整數 步驟二: ∴ a2+b2=(2m+1)2+(2n)2

= 4m2+1+4n2

= 2(2m2+2n2)+1

步驟三: 故 a2+b2為奇數

請問小明從以上哪一個步驟開始發生錯誤?

(A) 步驟一 (B) 步驟二 (C) 步驟三 (D) 過程完全沒有錯誤

14. ( )如圖(五),G 點為△ABC 的重心,H 點在 上,且 = ,則下列何者的面積不等於 △ABC 面積的三分之一?

(A) △ABG (B) △BCE

(C) △CGH (D) 四邊形 BFGD

15. ( )如圖(六),正△ABC 中,D 為 上一點,若△ADE 為正三角形,則∠BCE 的度數為何?

(A) 100° (B) 115° (C) 120° (D) 135°

E F

B D C

H A

G

圖(五)

B D C E A

圖(六) 圖(七)

16. ( )如圖(七),I 點為△ABC 的內心,I 在 上,且 // 。若 =8、 =7、 =5,

則△ADE 周長為多少?

(A) 12 (B) 13 (C) 15 (D) 20

17. ( )如右圖,直角△ABC 中,∠B=90°、∠A=60°,G 點為其重心,

若 =3,則 為多少?

(A) 2 (B) 3

5 (C) 4 (D) 2 3

(5)

18. ( )如右圖,在鈍角△ABC 中,O 點為外心,若∠BAC=110°,

則∠BOC 的度數為何?

(A) 100° (B) 110° (C) 120° (D) 140°

19. ( )如圖(八),I 點為△ABC 的內心,D 點在 BC 上,且 ID ⊥ BC 。若∠B=44°,∠C=56°,

則∠AID 的度數為何?【107 年會考】

(A) 174° (B) 176° (C) 178° (D) 180°

A

B

C D

I

圖(八)

A

G

B D E C

圖(九)

20. ( )如圖(九),G 為△ABC 的重心,直線 AG 與 ¯ BC 相交於 D 點,E 點在 ¯ CD 上且 ¯ GE ⊥ ¯ BC 。 若 ¯ BE =5, ¯ CE =3, ¯ GE =2,則 ¯ AG 的長度為多少?【110 年會考(補)】

(A) 13 (B) 29 (C) 2 3 (D) 2 5

21. ( )下圖(十)~(十二)是小樺摺紙的過程:先將長方形紙片 ABCD 短邊對摺,使 B 點與 A 點重疊,

C 點與 D 點重疊,摺痕為 EF ,如圖(十)所示。接著攤開紙張,將 B 點摺向 EF ,使 B 點與 EF 上的一點 B′重合,摺痕為 AG ,如圖(十一)所示。再攤開紙張,作 AB′ 、 BB′ 、 GB′ ,如圖

(十二)所示。設 AG 與 EF 相交於 O 點,如圖(十三),則 O 為△ABB′的?

(A) 外心 (B) 內心 (C) 重心 (D) 以上皆是

圖(十) B

A D

C B

A D

C B

A D

C

圖(十一) 圖(十二)

E F E B′ F

G

E F B′

G

22. ( )農曆新年快到了,小齊想要畫幾個圓形裝飾家裡,讓家裡喜氣洋洋,小齊隨手找了一三角形 紙板,三邊長分別為 6、8、10,小齊開始畫了此三角形的外接圓(半徑為 R),又繼續畫出此 三角形的內切圓(半徑為 r),則小齊畫的兩圓面積相差多少?

(A) 21π (B) 24π (C) 25π (D) 48π

B

A D

C

O F

E B′

G 圖(十三)

(6)

23. ( )若正三角形之邊長為 8 公分,其高為 a 公分、外接圓半徑為 b 公分、內切圓半徑為 c 公分,

則 a:b:c 之比為何?

(A) 3:2:1 (B) 3 : 2 :1 (C) 3 :2:1 (D) 2 3:2:1 24. ( )已知 a 為任意正整數,P=(5a + 8)2-6(5a + 8)+ 84,

則 P 一定是哪一個數的倍數?

(A) 15 (B) 25 (C) 35 (D) 45

25. ( )如圖,O 為銳角三角形 ABC 的外心,四邊形 OCDE 為正方形,其中 E 點在△ABC 的外部。

判斷下列敘述何者正確?

(A) O 是△AEB 的外心,O 是△AED 的外心

(B) O 是△AEB 的外心,O 不是△AED 的外心

(C) O 不是△AEB 的外心,O 是△AED 的外心

(D) O 不是△AEB 的外心,O 不是△AED 的外心

二、 非選擇題:(6%)

1. 如圖,△ABC 中, AB = AC ,D 點在 BC 上,∠BAD=30°,且∠ADC=60°。請完整說明為 何 AD = BD 與 CD =2 BD 的理由。【105 年會考】

1 2 3 4

A

B D C

2. 右圖是小邦摺紙後的痕跡,已知矩形 ABCD 中,M 為 BC 的中點。

若 AC 與 BD 相交於 E 點, AM 與 BD 相交於 P 點, DM 與 AC 相交於 Q 點,試回答下列問題:

Q1:試證明 P 點為△ABC 的重心。

Q2:若矩形 ABCD 的面積為 216,則△EPQ 的面積為多少?

加油!加油!新的一年持續努力~~幸“虎”就在你眼前!!

B

A D

M C P Q

E A E

O

B

C

D

(7)

B

A D

M C P Q

E

花蓮縣立宜昌國民中學 110 學年度第一學期第三次段考 9 年級數學科答案卷

命題老師:邵治家老師 班級: 座號: 姓名:

二、非選擇題:6%(每題 3%) 《請將過程完整寫至該題中》

1.

如圖,△ABC 中, AB = AC ,D 點在 BC 上,∠BAD=30°,且∠ADC=60°。

請完整說明為何 AD = BD 與 CD =2 BD 的理由。【105 年會考】

2.

右圖是小邦摺紙後的痕跡,已知矩形 ABCD 中,M 為 BC 的中點。若 AC 與 BD 相交於 E 點,

與 BD 相交於 P 點, DM 與 AC 相交於 Q 點,試回答下列問題:

Q1:試證明 P 點為△ABC 的重心。

Q2:若矩形 ABCD 的面積為 216,則△EPQ 的面積為多少?

1 2 3 4

A

B D C

(8)

花蓮縣立宜昌國民中學 110 學年度第一學期第三次段考 9 年級數學科答案卷

命題老師:邵治家老師 班級: 座號: 姓名:

一、選擇題:94%(第 1~19 題,每題 4%;第 20~25 題,每題 3%)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

B D B C C A B C A D

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

D C B B C C A D A D

21. 22. 23. 24. 25.

D A A B B

二、非選擇題:6%

1. 如圖,△ABC 中, AB = AC ,D 點在 BC 上,∠BAD=30°,且∠ADC=60°。請完整說明為何 AD = BD 與 CD =2 BD 的理由。【會 105】

(1)∵∠4=60,∠1=30

根據三角形外角定理可得

∠ABD=∠4-∠1=60-30=30=∠1

∴△ABD 為等腰三角形 得 AD = BD

(2)承(1),∠ABD=30

又 AB = AC ,可得△ABC 亦為等腰三角形 即∠C=∠ABD=30

得∠2=180-∠4-∠C=180-60-30=90

∴△ACD 為 30、60、90的直角三角形

AD : AC : CD =1: 3 :2 故 CD =2 AD =2 BD

2. 右圖是小邦摺紙後的痕跡,已知矩形 ABCD 中,M 為 BC 的中點。若 AC 與 BD 相交於 E 點, AM 與 BD 相交於 P 點, DM 與 AC 相交於 Q 點,試回答下列問題:

Q1:試證明 P 點為△ABC 的重心。

∵ AC 、 BD 為矩形 ABCD 的對角線

∴E 為 AC 的中點 在△ABC 中

∵M 為 BC 的中點,且 E 為 AC 的中點

∴ AM 與 BE 的交點 P 為△ABC 的重心

Q2:若矩形 ABCD 的面積為 216,則△EPQ 的面積為多少?

根據 Q1,同理可知 Q 點亦為△DCB 的重心 可得 EP : EB = EQ : EC =1:3 則△EPQ~△EBC (SAS 相似性質) 故△EPQ 的面積=1

32×△EBC 的面積

1 9 ×1

4 ×矩形 ABCD 的面積

1 9 ×1

4 ×216=6 答:6

B

A D

M C

P Q

E

Figure

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