勾股定理證明-G110
【作輔助圖】
1. 以AB為邊，向外作一正方形ABDE，以AC為邊，向外作一正方形ACFG，以BC為 邊，向內作一正方形BCHI ，且HI交AB於J點。
2. 連接DI（於證明過程第 1 點說明H I D三點共線）。
3. 從H點作AB的平行線交AG於K點。
4. 從E點作AC的平行線交 DI 於L。 5. 連接FH。
F
C
A B
G
H
I J K
L
E D
【求證過程】
上述輔助圖將正方形ABDE分割成四部分，找出這些分割區塊與其他正方形分割區 塊的全等關係，並證明其全等，利用圖形之間的割補，可推出勾股定理關係式。
1. 首先證明圖中若干個三角形全等於三角形ABC，進一步推得H I D三點共線：
因為ABC JBI 90 , JBI IBD 90 , 所以IBD ABC, 且因為BI BC, BDAB，所以
DBI ABC
(SAS 全等),
因此可進一步推得BID 90 , 且因為BIJ 90 , 所以H I D三點共線;
因為EL//AC, ED// AB , 所以LED CAB；因為 BDI LDE 90 , 90
BDI IBD
, 所以LDE IBD CBA,
由前述LED CAB, LDE CBA, 及EDAB可得 EDL ABC
(ASA 全等), 因為FC AC, FCH ACB, CHBC, 所以
FHC ABC
(SAS 全等).
2. 運用平行四邊形性質說明三角形AJH 全等於三角形HKA：
因為由作圖過程可推得KH//AJ, AK//JH, 所以四邊形AJHK為一平行四邊形，因此 可推得
AJH HKA
. 3. 說明四邊形AELJ全等於四邊形HFGK：
因為DH HIDI BCAC, 且DH HL DL HL BC , 比較前述兩式可得 BCACHL BC , 推得HLAC, 且由圖形可得JLHL HJ AGAKGK, 即 JLGK; 因為EL//GF, AE//FH , 所以AEL HFG.
根據上述第 1, 2 點的結論可推得ELACGF, FHABAE, KH AJ , 因為前述 JLGK, ELGF, FH AE, KH AJ , AEL HFG, 及ELJ 90 FGK,
90
EAJ FHK
, 所以
四邊形AELJ 四邊形HFGK.
4. 運用作圖將正方形ABDE分割為四區塊，利用前述證明將正方形ABDE重新拼湊：
由圖形及前述證明可知
( )
( ) ( )
ABDE ABDE
ABDE AELJ EDL DBI BJI HFGK ABC FHC BJI
HFGK AJH BCHJ FHC BJI HFGK HKA FHC BCHJ BJI
AC ABDE
ABDE FG BCHI
即
ABDE ACFG BCHI . 5. 整理第 4 點的結果，找出直角三角形ABC三邊長關係：
因為正方形ABDE邊長為AB, 正方形BCHI 邊長為BC, 正方形ACFG邊長為AC,所 以由第 4 點結論可推得
2 2 2
AB BC AC , 即
2 2 2
c a b .
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍：
Edwards, George C. (1895). Elements of Geometry (p.155). New York : Macmillan and co.
2. 心得：此證明運用圖形之間的全等關係，可運用以斜邊為邊長的正方形分割，將各 分割部分移動到以兩股為邊長的正方形上，因此可得到三個三角形的面積相 關係，學生若將圖形割補運用拼圖方式，以操作取代證明則較能體會畢氏定 理的意義。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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