第 3 章 指數與對數函數

高中數學(一)習作甲 第 3 章 指數與對數函數 1

第 3 章 指數與對數函數

3-1 指數

重點一 正整數指數與指數律 例題 1

計算下列各式的值：

(1)

2 2 5 2 3

4 3 2

2 3 2 3 5 2 3 3 5

   

  

（ ）（ ）

（ ）（ ）

＝ 。（5 分）

(2) 5 3

2

  

  × 6 4

5

  

  × 4 2

3

  

  ＝ 。（5 分）

解 (1)原式化為

2 5 2 2 3

4 3 2

2 2 3 3 5 2 3 3 5

   

  

（ ）（ ）

（ ）

＝

7 4 3

4 4 2

2 3 5 2 3 5

 

  ＝2³×5＝8×5＝40 (2)原式化為

3 3

5 2 ×

4 4

2 3 5



（ ）

×

2 2 2

2 3

（ ）＝

3 4 4 4

3 4 2

5 2 3 2 2 5 3

  

  ＝

8 4 3

3 2 4

2 3 5 2 3 5

 

 

＝

8 3 4 2 4 3

2 3 5



－ －

－ ＝

5 2

1

2 3 5

 ＝32 9 5

 ＝288 5 重點二 整數指數與指數律

例題 2

計算下列各式的值：

(1) 2^－3＝ 。（3 分） (2) 1 2

3

  

 

－

＝ 。（3 分）

(3) （－12）^－3＝ 。（3 分） (4) 2011⁰＝ 。（3 分）

解 (1)2^－3＝ 1₃ 2 ＝1

8 (2)

1 2

3

  

 

－

＝ 1 1 1 33＝1

1 9

＝9

(3)（－12）^－3＝ 1 ₃

（－ ）12 ＝ 1

－1728＝－ 1 1728 (4)2011⁰＝1

例題 3

化簡下列二式：

(1) （a^－3）²．a⁴＝ 。（4 分） (2) 〔a³．（a^－2）²〕^－3＝ 。（4 分）

解 (1)（a^－3）²．a⁴＝a^{（－3）×2}．a⁴

＝a^－6．a⁴＝a^－6＋4

＝a^－2

(2)〔a³．（a^－2）²〕^－3＝（a³．a^－4）^－3

＝（a^－1）^－3

＝a³ 例題 4

高中數學(一)習作甲 第 3 章 指數與對數函數 2

設 a＝

2

＋1，b＝2＋

2

，試求

4 3

4

a b ab

 

 

 

2 3 2

3 2

a b a b

 

 

 

－ －

－ ＝ 。（5 分）

解

4 3

4

a b ab

 

 

 

2 3 2

3 2

a b a b

 

 

 

－ －

－ ＝（a³

b

^－3）³（a⁵

b

^－5）^－2

＝（a⁹

b

^－9）（a^－10

b

¹⁰）＝a^－1

b

＝

b

a

＝2 2 2 1

＋

＋ ＝ 2 2 2 1 2 1 2 1

（ ＋ ）（ －）

（ ＋）（ －）

＝2

2

－2＋2－

2

＝

2

例題 5

設 a＋a^－1＝4，其中 a 是不為零的實數，試求下列各式的值：

(1)

a

²＋a^－2＝ 。（5 分） (2)

a

³＋a^－3＝ 。（5 分）

(3)

a

⁴＋a^－4＝ 。（5 分）

解 (1)a²＋a^－2＝a²＋（a^－1）²＝（a＋a^－1）²－2×a×a^－1＝4²－2＝14 (2)a³＋a^－3＝a³＋（a^－1）³＝（a＋a^－1）（a²－a×a^－1＋a^－2）

＝4×（14－1）＝52 (3)a⁴＋a^－4＝（a²）²＋（a^－2）²

＝（a²＋a^－2）²－2×a²×a^－2

＝14²－2＝194 重點三 有理數指數與指數律 例題 6

計算下列各有理指數的值：

(1)

1

8 ＝ 。3 （3 分） (2)

2

216 ＝ 。3 （3 分）

(3)

3

81^－4＝ 。（3 分） (4)

1

0 49

.

^－2＝ 。（3 分）

解 (1)

1

8 ＝3 1

2

3 3

（ ）

＝2¹＝2 (2)

2

216 ＝3 2 3 3

（ ） 6

＝6²＝36 (3)

3

81^－4＝

3 4 4

3

^－

（ ）

＝3^－3＝ 1 27 (4)

1

0 49

.

^－2＝

1

49

2

100

 

 

 

－

＝

1 2 2

7 10

  

  

 

 

 

－

＝ 7 1

10

 

 

 

－

＝10 7 例題 7

試求 81 0 25

16

  .

 

 

－

×

1

9

2

4

   

 

×（0.25）^－1.5＝ 。（5 分）

解 81 0 25

16

  .

 

 

－

×

1

9

2

4

   

 

×（0.25）^－1.5

＝

1 4 4

3 2

  

  

  

 

－

×

1 2 2

3 2

  

  

  

  ×

3 2 2

1 2

  

  

  

 

－

＝ 3 1

2

  

 

－

×3 2×

1 3

2

  

 

－

＝2 3×3

2×8＝8

高中數學(一)習作甲 第 3 章 指數與對數函數 3

例題 8

若 13^x＝32，52^y＝256，則5

x

－8

y

＝ 。（5 分）

解 ∵13^x＝32  13＝

1

32^x＝

5

2

^x………

52^y＝256  52＝

1

256

^y＝

8

2

^y…………



得1 4＝

5 8

2^{x y}

－

 2^－2＝

5 8

2^{x y}

－

 5

x

－8

y

＝－2

重點四 實數指數與指數律 例題 9

試求下列各式之值：

(1) 27^{1＋ 2}×

3 2

9

^－ 2 ＝ 。（5 分）

(2) （2 ²3 ²） ＝ 。² （5 分）

解 (1)27^{1＋ 2}×

3 2

9

^－ 2 ＝（ ）3^{3 1＋ 2}×

3 2

2 2

3 ^－

（ ） ＝3^{3 3 2＋} ×3^{－3 2}

＝3^{3 3 2 3 2＋ －} ＝3³＝27 (2)（2 ²3 ²） ＝² 〔（2 3 ）〕 ＝6^{2 2 2}＝36 例題 10

已知 3^x＝2，試求 9^x＋1＋27^－x＝ 。（6 分）

解 9^x＋1＋27^－x＝（3²）^x＋1＋（3³）^－x＝3^2x＋2＋3^－3x

＝（3^x）²×9＋（3^x）^－3＝2²×9＋2^－3

＝36＋1

8＝289 8 例題 11

已知 a^2x＝4，試求：

(1)

3x 3x

x x

a a

a a

－

－

＋

＋ ＝ 。（6 分）

(2)

3x 3x

x x

a a

a a

－

－

－

－ ＝ 。（6 分）

解 (1)

3x 3x

x x

a a

a a

－

－

＋

＋ ＝

2 2

x x x 1 x

x x

a a a a

a a

－ －

－

（ ＋ ）（ － ＋ ）

＋

＝a^2x－1＋a^－2x

＝4－1＋1 4＝13

4 (2)

3x 3x

x x

a a

a a

－

－

－

－ ＝

2 2

x x x 1 x

x x

a a a a

a a

－ －

－

（ － ）（ ＋＋ ）

－ ＝a^2x＋1＋a^－2x＝4＋1＋1 4

＝21 4