（每題 5 分﹐共 30 分）
1.
試求下列各式的值：(1)
1 1
3 2
27 9
( ) ( )
125 25
−
⋅
﹒(2)
2 1
0.25 3 3
81 27
( ) ( ) (0.027)
16 8
⋅
−⋅
﹒解：(1)原式 [( ) ]3 3 13 [( ) ]3 2 12 ( )3 1 ( )3 1 ( )3 0 1
5 5 5 5 5
− −
= ⋅ = ⋅ = = ﹒
(2)原式
2 1
1
4 4 3 3 3 3
3 3 3
[( ) ] [( ) ] [( ) ]
2 2 10
= ⋅ − ⋅ 3 3 2 3 1 3 1 3 2 3 1
( ) ( ) ( )
2 2 10 2 10 3 10 5
− −
= ⋅ ⋅ = ⋅ = × = ﹒
2.
試化簡下列各式的值（a>0）：(1)
2 4 2
3 1
( a a ) a a
− −
−
⋅
﹒(2)
5a ⋅
3a
2⋅
3a
4 ﹒解：(1)原式 3 2 21 41 3
2 2
(a ) a a a a a
− −
= − = =
⋅
﹒
(2)原式
2 1 4 1 5 1 2 1 2
3 5 3 2 3 5 3 3 3
(a a ) (a ) (a ) a a a a
= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ﹒
3.
試求下列各式的值：(1)
1 1
5 5
(2+ 3) ⋅ −(2 3) ﹒
(2)
1
(3− 2)(11 6 2)+ 2﹒ 解：(1)原式=[(2+ 3) (2⋅ − 3)]15 =115 =1﹒
(2)因
1 1
2 2 2
3− 2=[(3− 2 ) ] =(11 6 2 )− ﹐原式
1 1 1
2 2 2
(11 6 2 ) (11 6 2 ) 49 7
= − ⋅ + = = ﹒
B=(6 )3 10=21610﹐
C=(4 )4 10 =25610﹐
D=(3 )5 10 =24310﹐
由216<225<243<256知B< < <A D C﹒
5.
設1
1
2( ) 2
P =
﹐1
1
3( ) 3
Q =
﹐1
1
4( ) 4
R =
﹐試比較P﹐Q﹐R
的大小﹒解： [( ) ]1 3 61 ( )1 16
2 8
P= = ﹐
1 1
2 6 6
1 1
[( ) ] ( )
3 9
Q= = ﹐
1
1 1
2 4 2 6
1 1 1
[( ) ] ( ) ( )
2 2 8
R= = = ﹐
由1 1
9<8﹐知Q< =P R﹒
6.
解方程式：2
2x+1+ 2
3x= ⋅ 5 2
x+4﹒ 解：2 2⋅ 2x +23x =80 2⋅ x﹐令t=2x﹐得t3+2t2−80t=0﹐t t( −8)(t+10)=0﹐
因t=2x >0﹐得t=8﹐即2x =23﹐知x=3﹒
（每題 5 分﹐共 30 分）
1.
設a
2x= 3
﹐試求下列各式的值：(1)
3x 3x
x x
a a
a a
−
−
+
+
﹒ (2)3 3
x x
x x
a a
a a
−
−
+
+
﹒解：分子與分母同乘以ax﹐
(1)原式 4 2 2
9 1 3 7
1 3 1 3
x x
x
a a
a
− +
= + = =
+ + ﹒
(2)原式
4
2 2
1 9 1
1 3 3 3
x
x x
a a a−
+ +
= = =
+ +
﹒
2.
設聯立方程組：2 1
2 3 17
2 3 5
x y
x+ y+
+ =
− =
﹐試求x﹐y
的值﹒解：2x+2= ⋅4 2x﹐3y+1= ⋅3 3y﹐
2 3 17
4 2 3 3 5
x y
x y
+ =
⋅ − ⋅ =
﹐
得2x =8﹐3y =9﹐知x=3﹐y=2﹒
3.
設(2 128)(3 1)
( ) (5 125)(2 4)
x x
x x
f x −
−−
= − −
﹐試判別下列各值的正負：(1) (2) f
﹒(2)
f( 10)﹒ 解：(1) (4 128)(9 1)(2) 0
(25 125)(1 4) 4
f = − − <
− −
﹒
(2) 2 10 <26=128⇒2 10−128<0,310 >30 = ⇒1 3 10− >1 0
10 3 10 10 10
10
5 5 125 5 125 0, 2 1 1 2 4 0
2
− −
> = ⇒ − > = < ⇒ − <
10 10
10 10
(2 128)(3 1)
( 10 ) 0
(5 125)(2 4)
f − − −
= >
− − ﹒
k = 15 ﹒ 解：(1)15 3⋅ 15= ⋅5 316﹐318= ⋅9 316﹐
5 3⋅ 16< ⋅9 316<16 3⋅ 16﹐得15 3⋅ 15<318<16 3⋅ 16﹒
(2)因15 3⋅ 15<318<16 3⋅ 16﹐知15< <x 16﹐得k=15﹒
5.
設f x ( ) = 3
x+ 3
−x﹐且α
﹐β
是f x ( ) = 5
的解﹐試求下列各式的值：(1) α β +
﹒(2) 3
α+ 3
β﹒ 解：設t 3x f x( ) t 1= ⇒ = +t
f x( ) 5 t 1 5, t2 5t 1 0
= ⇒ + =t − + =
α
﹐β
是3
x+ 3
−x= 5
的二解⇒ − + = t
25 t 1 0
的二解為3 , 3
α β由根與係數的關係
3 3 5
3 3 1 3 1
α β
α β α+β
+ =
⇒
⋅ = ⇒ =
(1) α β+ =0﹒
(2) 3α +3β =5﹒
6.
設9
( ) 3 9
x
f x =
x+
﹐試求下列各式的值：(1) ( ) f x + f (1 − x )
﹒(2) 1 4 ( ) ( )
5 5
f + f
﹒ 解：(1) (1 ) 91 1 9 33 9 3 9 9 9 3
x
x x x
f x
−
− = − = =
+ ⋅ + + ﹐
知 9 3
( ) (1 ) 1
3 9
x
f x + f −x = +x =
+ ﹒
(2)因1 4
5+ =5 1﹐ 知 1 4 ( ) ( ) 1
5 5
f + f = ﹒
（每題 8 分﹐共 40 分）
1.
英文字母有26
個字母﹐將“0”及A﹐B﹐C﹐…﹐Z
依序組成27
進位的數 字系統﹐如此每個英文單字都可以轉換為一個十進位的專屬密碼﹐例如：1
A =
﹐ON = × 15 27
1+ 14 = 419
﹒ 小 熹 今 天 接 到 同 學 的 簡 訊 密 碼 邀 她 到“19374”玩﹐請問她們要去哪裡？
(1)KTV (2)ZOO (3)PARK﹒
解：因為
19374 = 26 27 ×
2+ 420
420 15 27 15= × +所以19374=26 27× 2+ ×15 27 15+ ﹐
而第26位﹐第15位﹐第15位的英文字母分別為Z﹐O﹐O﹐
知19374代表ZOO（動物園）﹒
2.
小熹練習英文打字﹐經過t
週的練習後﹐平均每分鐘可打144 (1 2 × −
−0.3t)
個字﹒試問經過
10
週的練習後﹐小熹平均每分鐘可打 126 個字﹒解：將t=10代入函數中﹐得144 (1 2 ) 144 (13 1) 126 8
× − − = × − = （字）﹒
3.
服用藥物需依照醫師指示﹒若某藥品在服用後t
小時﹐在胃內的藥量尚有( ) 200 (0.25)
tf t = ×
公絲﹐則服藥後1
小時30
分時﹐此藥在胃內的殘存量為25 公絲﹒
解： f(1.5)=200 (0.25)× 1.5﹐而(0.25)1.5 [( ) ]1 2 23 1
2 8
= = ﹐
(1.5) 200 1 25
f = × =8 （公絲）﹒
菌增加三倍（成為原來的四倍）﹒現在取同數量的甲﹐乙兩種菌﹐讓它們同 時繁殖﹐試問至少第 10 天後混合甲﹐乙兩種菌類才能製成受歡迎的食品﹒
解：設甲菌與乙菌開始均為A個﹐則n天後﹐
甲菌的數量為A(1 1)+ n = ⋅A 2n﹐
乙菌的數量為A(1 3)+ n = ⋅A 4n﹐
乙菌總數大於甲菌總數1000倍以上時﹐A⋅4n >1000⋅ ⋅A 2n﹐得2n>1000﹐
知n≥10﹒
5.
鋼琴的十二平均律理論：用第一條弦的長度除以122得到第二個音的弦長﹐將 第二條弦的長度除以122得到第三個音的弦長﹐以下用相同的方法求得各個音 的弦長﹐設第一個音的弦長為1﹐則第 m
個音的弦長為12時﹐m值為 13 ﹒ 解：第m個音的弦長為m時﹐由1=1
且
1 1
1 1 12 12
2 12 1 1
12
2 2
2 2
− −
= = = ⋅ =
﹐同理
1 12 2 3=(2− )
﹐…﹐
知
1 1
12 1 12
(2 ) 2
m m m
− − − −
= =
﹐由
1 12 1
2 2
−m− = − ﹐得m=13﹒
