代數第二章 目錄

代數第二章

目錄

第二章 一元一次不等式...1

學習目標...1

2.1

2.1

2.2

2.2

2.3

2.3

2.4

2.4.1

2.4.2

2.4.7

2.4

2.5

2.5

第二章綜合習題...63

基測與會考模擬試題...69

習題解答...73

2-ii

第二章 一元一次不等式

在第一章我們已瞭解一元一次方程式的意義與解法，而在本章當中，我們將介紹 一元一次不等式，瞭解如何列式與求解，並與數線結合。如此，即可解決生活中遇到 的不等式問題。

學習目標

1.能理解不等號的意義，並將生活中的應用問題以不等式來紀錄。

2.能將一元一次不等式的解在數線上表示，並理解其意義。

3.能找出一元一次不等式的解。

2.1 節 列出不等式

在第一章我們學過的式子都是"等於"的關係，但是生活中我們也常遇到大於或小 於的狀況，例如：玩具的價格超過200 元，我們可以寫成某玩具的價格大於 200 元，

記作『某玩具的價格＞200 元』。

在數學上，我們用符號＞表示大於，用符號＜表示小於，稱＞或＜這樣的符號為 不等號。

不等號的意義

符號 慣用語 範例



˙超過 x 大於 7、 x 超過 7，可以用

^{x  7}



˙未滿 x 小於 7、 x 未滿 7，可以用

^{x  7}



˙大於或等於

˙以上

˙不小於

x 在 7 以上、 x 不小於 7、 x 大於或等於 7，

可以用

x  ⁷



˙小於或等於

˙以下

˙不大於

x 在 7 以下、 x 不大於 7、 x 小於或等於 7，

可以用

x  7

 ˙不等於 x 不等於 7，可以用

^{x  7}

不等式：

用不等號









一元一次不等式：

只含一個未知數，且未知數的最高次數是1 的不等式，我們稱為一元一次不等式。

例：

3 x  11

32

2 x



2-2

例題

2.1-1

將下列關係列成不等式：

(1)

^{5 x}

^{7 x}

(3)

^{8 x}

^{3 y}

詳解：

(1)

^{5 x  20}

^{7 x  14}

^{8 x  16}

^{3 y  2}

2.1-2

將下列敘述列成不等式：

(1)在一次數學考試中，小明考了 80 分，而小榮考的比小明好，假設小榮考 x 分，

則小榮的分數如何表示？

(2)若小梅考的比小明差，假設小梅考

^y

詳解：

(1) 小榮考的比小明好，所以小榮的分數＞小明的分數，而小榮的分數為 x 分，因 此小榮的分數可以表示為：

x  80

(2) 小梅考的比小明差，所以小梅的分數＜小明的分數，而小梅的分數為

^y

因此小梅的分數可以表示為：

^{y  80}

再考慮一般考試分數都是正數，不會是負數，因此我們還可以加上

^{y  0}

^{x  80}

x  0

答：(1)

x  80

^{y  80}

^{y  0}

2.1-3

將下列敘述列成不等式：

如果考試的成績以60 分為及格分數，設某人考試成績為 a 分，則:

(1)某人考試及格應該如何表示？(2)某人考試不及格應該如何表示？

詳解：

(1) 某人考試及格，也就是某人考試成績大於或等於 60 分，用

^{a  60}

(2) 某人考試不及格，也就是某人考試成績小於 60 分，用

^{a  60}

因為一般考試分數都是正數，所以再加上

a  0

例題

2.1-4

將下列敘述列成不等式：

已知小榮和小和的體重分別為 x 公斤和65 公斤，而小榮的體重比小和重，請問小 榮和小和的體重關係如何表示？

詳解：

小榮的體重比小和重，也就是小榮的體重＞小和的體重，用

x  65

答：

x  65

例題

2.1-5

將下列敘述列成不等式：

已知小瀚和小欣的身高分別為

^y

則小欣和小瀚的身高關係如何表示？

詳解：

小瀚的身高沒有比小欣高，即是小瀚的身高小於或等於小欣的身高 小瀚的身高



^{y  165}

因為身高都是正數，所以再加上

^{y  0}

^{y  165}

^{y  0}

例題

2.1-6

將下列敘述列成不等式：

(1)小明每天儲蓄 50 元，x 天後，儲蓄的錢超過了 1000 元。

(2)柯西的爺爺 x 歲，柯西、袁太、小傑與小梅都是 15 歲，四人的年齡總和比爺爺 小。

(3)媽媽有 15000 元，小梅有 500 元，過年時媽媽給小梅 x 元的壓歲錢後，媽媽 剩下的錢不少於小梅的錢的5 倍。

(4)設一個二位數的個位數字與十位數字的和為 9，已知此二位數的十位數字為 x，此二位數加上15 後，不超過 80。

2-4

詳解：

(1) 小明每天儲蓄 50 元，儲蓄 x 天，也就是儲蓄了

^{50 x}

儲蓄的錢超過1000 元，用

^{50 x  1000}

(2) 四人的年齡總和是

^{15  4}

用

15  4  x

x  15  4

(3) 媽媽有 15000 元，小梅有 500 元，媽媽給小梅 x 元後，

媽媽的錢變為

^{( 15000  x )}

^{( 500  x )}

媽媽剩下的錢不少於小梅的錢的5 倍，即媽媽剩下的錢



以

^{15000  x  ( 500  x )  5}

(4) 個位數字與十位數字的和為 9，十位數字為 x (x 是 0 以上，9 以下的整數。) 個位數字可用

^{( 9  x )}

二位數的數值為

^{10 x  ( 9  x )}

二位數加上15 後，不超過 80。以

^{10 x  ( 9  x )  15  80}

答：(1)

^{50 x  1000}

^{x  15  4}

^{15000  x  ( 500  x )  5}

^{10 x  ( 9  x )  15  80}

2.1 節 習題

習題 2.1-1

將下列敘述列成不等式：

(1)

^{3 x}

^{2 y}

^{( 9 )}

^{ y 7  2}

^{2 x  1}

習題 2.1-2

將下列敘述列成不等式：

(1)

^{3 x}

^y

2

1

^{( 30 )}

^{6 x  4}

^{y  7}

^{( 1 )}

習題 2.1-3

飲料店1 杯紅茶 15 元，1 杯奶茶 20 元，小華買了 2 杯紅茶和 x 杯奶茶，所花 的錢少於100 元。請依題意列出不等式。

習題 2.1-4

小明、小華二人的身高分別為160 公分、x 公分，則：

(1)小明跟小華的身高和是多少公分？(用 x 表示)

(2)若二人身高和不低於 312 公分，請依此關係列出不等式。

2-6

習題 2.1-5

依題意列出不等式：

(1)小雅體重 72 公斤，減重 x 公斤後，小雅體重不超過 56 公斤。

(2)電影票 1 張 x 元，小優身上有 1000 元，買了 4 張電影票後，剩下不到 50 元。

(3)桌上有 10 元硬幣 x 個、50 元硬幣 10 個，桌上硬幣的金額超過 900 元。

(4)1 支烤雞翅 x 元，伯虎買了 5 支烤雞翅，所花金額不小於 150 元。

2.2 節 一元一次不等式的解

若將一個數代入不等式中，能使式子成立，則稱此數為不等式的解。

不等式的解可能不只一個。

例： 不等式

x  6

當

x  4

4  6

x  6

當

x  8

8  6

x  6

在不等式

x  6

7、7.3、8、

^{8 1} ₂

例題

2.2-1

將x 以下列之值代入不等式

^{x  5}

(1)

^{x  2}

^{x  5}

^{x  8}

(1) 當

^{x  2}

2  5

x  5

(2) 當

^{x  5}

5  5

x  5

(3) 當

^{x  8}

8  5

x  5

【練習】2.2-1

將x 以下列之值代入不等式

^{x  3}

(1)

^{x  2}

^{x  3}

^{x  4}

2-8

例題

2.2-2

將x 以下列之值代入不等式

x  5

(1)

^{x  2}

^{x  5}

^{x  8}

(1) 當

^{x  2}

2  5

x  5

(2) 當

^{x  5}

5  5

x  5

(3) 當

^{x  8}

8  5

x  5

【練習】2.2-2

將x 以下列之值代入不等式

x  3

(1)

^{x  2}

^{x  3}

^{x  4}

例題

2.2-3

將x 以下列之值代入不等式

x  8

(1)

^{x  2}

^{x  5}

^{x  8}

(1) 當

^{x  2}

2  8

x  8

(2) 當

^{x  5}

5  8

x  8

(3) 當

^{x  8}

8  8

x  8

【練習】2.2-3

將x 以下列之值代入不等式

x  3

(1)

^{x  2}

^{x  3}

^{x  4}

例題

2.2-4

將x 以下列之值代入不等式

2 x  1  5

(1)

^{x  1}

^{x  3}

^{x  5}

(1) 當

^{x  1}

2 x  1  2  1  1  1

1  5

(2) 當

^{x  3}

2 x  1  2  3  1  5

5  5

(3) 當

^{x  5}

2 x  1  2  5  1  9

9  5

【練習】2.2-4

將x 以下列之值代入不等式

3 x  2  4

(1)

^{x  2}

^{x  3}

^{x  4}

例題

2.2-5

下列哪些數，是不等式

2 x  7  15

(1) 1 (2) 4 (3) 5 (4) 7 詳解：

(1) 當

^{x  1}

2 x  7  2  1  7  9

9  15

(2) 當

^{x  4}

2 x  7  2  4  7  15

15  15

(3) 當

^{x  5}

2 x  7  2  5  7  17

17  15

所以5 是不等式

^{2 x  7  15}

(4) 當

^{x  7}

2 x  7  2  7  7  21

21  15

所以7 是不等式

^{2 x  7  15}

【練習】2.2-5

下列哪些數，是不等式

4 x  1  9

(1) 2 (2) 3 (3) 4

2-10

例題

2.2-6

下列哪些數，是不等式

3 x  5  14

(1) 1 (2) 3 (3) 5 (4) 7 詳解：

(1) 當

^{x  1}

3 x  5  3  1  5  8

8  14

所以1 是不等式

^{3 x  5  14}

(2) 當

^{x  3}

3 x  5  3  3  5  14

14  14

所以3 是不等式

^{3 x  5  14}

(3) 當

^{x  5}

3 x  5  3  5  5  20

20  14

(4) 當

^{x  7}

3 x  5  3  7  5  26

26  14

【練習】2.2-6

下列哪些數，是不等式

2 x  7  9

(1) 1 (2) 2 (3) 3

例題

2.2-7

下列哪些數，是不等式

⁹

2

8  x 1 

(1) 2 (2) 4 (3) －2 (4) －4 詳解：

(1) 當

^{x  2}

^{2 7}

2 8 1 2

8  x 1    

7  9

(2) 當

^{x  4}

^{4 6}

2 8 1 2

8  x 1    

6  9

(3) 當

^{x   2}

^{( 2 ) 9}

2 8 1 2

8  x 1     

9  9

(4) 當

^{x   4}

^{( 4 ) 10}

2 8 1 2

8  x 1     

10  9

所以－4 是不等式

^{8  x 1  9}

【練習】2.2-7

下列哪些數，是不等式

⁵

3

7  x 1 

(1) 3 (2) 6 (3) 9

2-12

2.2 節 習題

習題 2.2-1

下列哪些數，是不等式

x  7

(1) 3 (2) 7 (3) 8

習題 2.2-2

下列哪些數，是不等式

x  2

(1) 1 (2) 2 (3) 3

習題 2.2-3

下列哪些數，是不等式

2 x  5  8

(1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 3

習題 2.2-4

下列哪些數，是不等式

 x 2  5  0

(1) 0 (2) 2 (3) 2.5 (4) 3 (5)

^{3 1} ₂

習題 2.2-5

下列哪些數，是不等式

2 x  2  x  1

(1) 0 (2) 1 (3) 2

2-14

2.3 節 一元一次不等式的圖示法

為了方便知道一元一次不等式有哪些解，我們可以在數線上將解圖示出來。

圖示描點時，若該點也是不等式的解，則我們用實心圓圈表示；若該點不是 不等式的解，則我們用空心圓圈表示。

例如：

(1)

^{x  1}

因為在數線上1 右方的數都大於 1，所以 1 右方的數都是不等式

^{x  1}

1 也是不等式

^{x  1}

(2)

^{x  3}

因為在數線上3 左方的數都小於 3，所以 3 左方的數都是不等式

^{x  3}

3 也是不等式

^{x  3}

(3)

^{x  1}

因為在數線上1 右方的數都大於 1，所以 1 右方的數都是不等式

^{x  1}

1 不是不等式

^{x  1}

(4)

^{x  3}

因為在數線上3 左方的數都小於 3，所以 3 左方的數都是不等式

^{x  3}

3 不是不等式

^{x  3}

例題

2.3-1

在數線上圖示下列不等式的解：

(1)

^{x  2}

^{x   1}

(1)

^{x  2}

(2)

^{x   1}

例題

2.3-2

在數線上圖示下列不等式的解：

(1)

^{x  3}

^{x  0}

(1)

^{x  3}

(2)

^{x  0}

2-16

例題

2.3-3

寫出下列圖示所表示的不等式：

(1)

(2)

詳解：

(1)圖形在 4 為空心，且往左邊，所以代表的不等式為

^{x  4}

^{x  2}

2.3 節 習題

習題 2.3-1

試寫出下列圖示所表示的不等式：

(1)

(2)

習題 2.3-2

在數線上圖示下列不等式：

(1)

^{x  3}

(2)

^{x   5}

(3)

^{x  1 . 5}

(4)

^{x   1 1} ₃

2-18

習題 2.3-3

在數線上圖示下列不等式：

(1)

^{x   4}

(2)

^{x   2}

(3)

^{x  5}

(4)

^{x   1}

2.4 節 解一元一次不等式

　　2.1 節中，我們已經學過，只含一個未知數，且未知數的指數是 1 的不等式，

稱為一元一次不等式。

　　本節中我們將學習不等式的運算法則，找出一元一次不等式的解。

2.4.1 節　不等式運算法則

不等式等量公理

(1) 不等式等量加法公理

不等式的兩邊同加一個數後，不等式仍然成立：

不等式x ，二邊同加a

b

x  b  a  b

b

x  b  a  b

現在有不等式

3  2

則不等式左邊變為5，右邊變為 4，

^{5  4}

2 3 

2 2 2 3   

4 5 

※ <、





(2) 不等式等量減法公理

不等式的兩邊同減一個數後，不等式仍然成立：

不等式x ，二邊同減a

b

x  b  a  b

b

x  b  a  b

2-20

例：

現在有不等式

3  2

則不等式左邊變為1，右邊變為 0，

^{1  0}

2 3 

2 2 2 3   

0 1 

※

<





(3) 不等式等量乘法公理

(a) 不等式的兩邊同乘以一個正數，不等式仍然成立。

不等式x ，二邊同乘a

b

^{b  0}

^{x  b  a  b}

b

^{b  0}

^{x  b  a  b}

現在有不等式

3  2

則不等式左邊變為6，右邊變為 4，

^{6  4}

2 3 

2 2 2 3   

4 6 

※

<





(b) 不等式的兩邊同乘一個負數，則大的一邊會變小，小的一邊會變大，也就是 不等號會相反。

不等式x ，二邊同乘以a

b

^{b  0}

^{x  b  a  b}

b

^{b  0}

x b a b   

現在有不等式

3  2

則不等式左邊變為(－6)，右邊變為(－4)，

^{ 6   4}

2 3 

) 2 ( 2 ) 2 (

3      4

6  



※

<





(4) 不等式等量除法公理

(a) 不等式的兩邊同除以一個正數，不等式仍然成立。

不等式x ，二邊同除以a

b

^{b  0}

^{x  b  a  b}

b

^{b  0}

^{x  b  a  b}

現在有不等式

6  4

則不等式左邊變為3，右邊變為 2，

^{3  2}

4 6 

2 4 2 6   

2 3 

※<、





(b) 不等式的兩邊同除一個負數，則大的一邊會變小，小的一邊會變大，也就是 不等號會相反。

不等式x ，二邊同除以a

b

^{b  0}

^{x  b  a  b}

b

^{b  0}

^{x  b  a  b}

現在有不等式

15  10

則不等式左邊變為(－3)，右邊變為(－2)，

^{ 3   2}

10 15 

) 5 ( 10 ) 5 (

15      2

3  



※

<





2-22

不等式移項法則：

與第一章一元一次方程式相同，我們可以從等量公理推導出移項法則。

法則一加減

^{a  b  c}

c c b c

a    

b c

a  

^{ c}

^{a  b  c}

c c b c

a    

b c

a  

^{ c}

^{a  b  c}

 0

c

c c b c

a    

b c

a  

 0

c

c c b c

a    

b c a  

法則四除乘

^{a  b  c}

 0

c

c c b c

a    

b c

a  

 0

c

c c b c

a    

b

c

a  

不等式移項法則整理如下：

法則一

a  b  c

^{a  c  b}

a  b  c

^{a  c  b}

c  0

a  b  c

^{a  c  b}

 0

c

a  b  c

^{a  c  b}

(不等號右邊的× c，移到左邊變÷ c，

^{c  0}

c  0

a  b  c

^{a  c  b}

 0

c

a  b  c

^{a  c  b}

(不等號右邊的÷ c，移到左邊變× c，

^{c  0}

※其餘不等號







2.4.2 節　解一元一次不等式(基本題)

例題

2.4.2-1

請解下列不等式：

(1)

^{x  2  3}

^{x  1  0}

^{x  5   2}

^{x  3   6}

等量公理解法 (1)

^{x  2  3}

^{x  2  2  3  2}

x  1

(2)

^{x  1  0}

^{x  1  1  0  1}

x  1

2-24

(3)

^{x  5   2}

^{x  5  5   2  5}

^{x   7}

(4)

^{x  3   6}

^{x  3  3   6  3}

^{x   3}

移項法則解法 (1)

^{x  2  3}

^{x  3  2}

 2

 2

x  1

(2)

^{x  1  0}

^{x  0  1}

 1

 1

x  1

(3)

^{x  5   2}

^{x   2  5}

^{ 5}

^{ 5}

^{x   7}

(4)

^{x  3   6}

^{x   6  3}

^{ 3}

^{ 3}

^{x   3}

【練習】2.4.2-1

請解下列不等式：

(1)

^{x  1  3}

^{x  5  0}

^{x  3   2}

^{x  2   1}

例題

2.4.2-2

請解下列不等式：

(1)

^{2 x  6}

^{3 x  9}

^{0 . 5 x   7}

³

5 3 x  

詳解：

等量公理解法 (1)

^{2 x  6}

^{2 x  2  6  2}

^{x  3}

(2)

^{3 x  9}

^{3 x  3  9  3}

^{x  3}

(3)

^{0 . 5 x   7}

^{0 . 5 x  2  (  7 )  2}

^{x   14}

(4)

₅ ^{3 x   3}

₅ ^{3 x } ₃ ^{5  (  3 ) } ₃ ⁵

^{x   5}

移項法則解法 (1)

^{2 x  6}

^{x  6  2}

^{2 x}

^{2  x}

^{x  2}

^{ 2}

 2

^{x  3}

(2)

^{3 x  9}

^{x  9  3}

^{ 3}

^{ 3}

^{x  3}

(3)

^{0 . 5 x   7}

2-26

^{x  (  7 )  0 . 5}

^{ 0 . 5}

^{ 0 . 5}

^{x   14}

(4)

³

5

3 x  

^{x  (  3 ) } ₅ ³

^ ₅ ³

5

 3

3

) 5 3 (  



x

^{x   5}

【練習】2.4.2-2

請解下列不等式：

(1)

^{3 x  12}

^{5 x  30}

^{0 . 5 x   3}

⁷ ₆ ^{x   7}

例題

2.4.2-3

請解下列不等式：

(1)

^{ x 2   6}

^{ x 4  20}

^{ x} ₂ ^{1  8}

^{ x} ₃ ^{2  14}

等量公理解法 (1)

^{ x 2   6}

^{(  x 2 )  (  2 )  (  6 )  (  2 )}

^{x  3}

(4)

¹⁴

3 2 

 x

^{(  x} ₃ ^{2 )  ( } ₂ ^{3 )  14  ( } ₂ ^{3 )}

x   21

移項法則解法 (1)

^{ x 2   6}

^{x  (  6 )  (  2 )}

^{ ( 2 )}

^{ ( 2 )}

^{x  3}

(2)

^{ x 4  20}

^{x  20  (  4 )}

^{ ( 4 )}

^{ ( 4 )}

^{x   5}

(3)

⁸

2 1 

 x

^{x  8  (  1} ₂ ⁾

^{ ( 1} ₂ ⁾

⁾

2 ( 1



^{x  8  (  2 )}

x   16

2-28

(4)

¹⁴

3 2 

 x

^{x  14  ( } ₃ ^{2 )}

^{ (} ₃ ^{2 )}

⁾

3 ( 2



⁾

2 ( 3 14  



x

x   ²¹

【練習】2.4.2-3

請解下列不等式：

(1)

^{ x   8}

^{ x 4  28}

⁹

3 1 

 x

²⁶

5 2 

 x

2.4.3 節　解多項型一元一次不等式

若不等式有多項時，我們會將含x 的項整理至不等號一邊，不含 x 的項整理至不等號 的另一邊，化簡不等式求解。

例題

2.4.3-1

請解下列不等式：

(1)

^{3 x  4  16}

^{4 x  5  9}

等量公理解法 (1)

^{3 x  4  16}

^{3 x  4  4  16  4}

^{3 x  12}

3 12 3

3 x   

 4 x

(2)

^{4 x  5  9}

^{4 x  5  5  9  5}

^{4 x  4}

4 4 4

4 x   

 1 x

移項法則解法 (1)

^{3 x  4  16}

^{3 x  16  4}

^{ 4}

^{ 4}

^{3 x  12}

3 12 



x

^{ 3}

^{ 3}

 4 x

2-30

(2)

^{4 x  5  9}

^{4 x  9  5}

^{ 5}

^{ 5}

^{4 x  4}

4 4 



x

^{ 4}

^{ 4}

 1 x

【練習】2.4.3-1

請解下列不等式：

(1)

^{3 x  5  17}

^{4 x  7  15}

例題

2.4.3-2

請解下列不等式：

(1)

^{x  7  6 x}

^{5 x  x 3  6}

^{ x  x  8}

^{5 x  x 3  4}

^{2 x 12   x}

詳解：

等量公理解法 (1)

^{x  7  6 x}

^{x  6 x  7  6 x  6 x}

^{7 x  7}

7 7 7

7 x   

(3)

^{ x  x  8}

x x x

x    

 8

8 2 

 x

) 2 ( 8 ) 2 ( ) 2

(  x     

 4

 x

(4)

^{5 x  x 3  4}

x x

x

x 3 3 4 3

5    

4 2 x 

2 4 2

2 x   

 2 x

(5)

^{2 x 12   x}

x x x

x 12    

2

0 12 3 x  

12 0 12 12

3 x    

12 3 x 

3 12 3

3 x   

 4 x

移項法則解法 (1)

^{x  7  6 x}

^{x  x 6  7}

^{ 6 x}

^{ 6 x}

^{7 x  7}

7 7 



x

^{ 7}

^{ 7}

 1 x

2-32

(2)

^{5 x  x 3  6}

^{5 x  x 3   6}

^{ 3 x}

^{ 3 x}

^{2 x   6}

2 ) 6 (  



x

^{ 2}

^{ 2}

 3

 x

(3)

^{ x  x  8}

 8



 x x

^{ x}

8 2 

 x

) 2 ( 8  



x

^{ ( 2 )}

^{ ( 2 )}

 4



x

(4)

^{5 x  x 3  4}

4 3

5 x  x 

^{ 3 x}

^{ 3 x}

4 2 x 

2 4 



x

^{ 2}

^{ 2}

 2 x

(5)

^{2 x 12   x}

0 12

2 x   x 

^{ x}

0 12 3 x  

12 0

3 x  

^{ 12}

^{ 12}

12

3 x 