.
0 1
n A
R x A
n m n
矩阵的秩 的充分必要条件是系数
有非零解 元齐次线性方程组
定理
一、线性方程组有解的判定条件 一、线性方程组有解的判定条件
的解．
讨论线性方程组
的秩，
和增广矩阵 如何利用系数矩阵
b Ax
B A
问题：
证 必要性 .
A n, A n Dn,
R 则在 中应有一个 阶非零子式
设
根据克拉默定理 ,
个方程只有零解 所对应的 n
Dn
从而 有非零解，
设方程组 Ax 0
这与原方程组有非零解相矛盾，
A n.
R
不能成立． 即 n
A
R
( )
充分性 . 设 R A r n,
个自由未知量. 从而知其有 n r
任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０，
即可得方程组的一个非零解 .
个非零行，
的行阶梯形矩阵只含
则 A r
证 必要性．设方程组 Ax b 有解,
A R B ,
R
设
则 B 的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程０＝１，
, .
2
的秩 阵
的秩等于增广矩 矩阵
的充分必要条件是系数
有解 元非齐次线性方程组
定理
b A B
A
b x
A
n m n
这与方程组有解相矛盾. 因此 R A R B .
并令 个自由未知量全取 0 ，n r 即可得方程组的一个解．
充分性 . 设 R A R B ,
A R B r r n,
R
设
证毕 个非零行，
的行阶梯形矩阵中含
则 B r
其余 个作为自由未知量 ,n r
把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量 ,
r
小结 R A R B n Ax b有唯一解
A R B n
R Ax b有无穷多解 .
方程组的通解．
性 程组的任一解，称为线 定义：含有个参数的方
齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵
，便可写出其通解；
非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；
例 1 求解齐次线性方程组
. 0
3 4
0 2
2 2
0 2
2
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
解
3 4
1 1
2 2
1 2
1 2
2 1
A
4 6
3 0
4 6
3 0
1 2
2 1
二、线性方程组的解法 二、线性方程组的解法
施行初等行变换：
对系数矩阵 A
1 3
1
2 2
r r
r r
0 0 0
0 3
2 4 1 0
1 2 2 1 ) 3
2 (
2 3
r
r
r r1 2r2
0 0
0
0 3
2 4 1
0
3 2 5
0 1
即得与原方程组同解的方程组
, 3 0
2 4
, 3 0
2 5
4 3
2
4 3
1
x x
x
x x
x
, ,
3 , 2 4
3 , 2 5
2 4
1 3
2 2
2
2 2
1
c x
c x
c c
x
c c
x
).
,
( x3 x4 可任意取值 由此即得
3 , 2 4
3 , 2 5
4 3
2
4 3
1
x x
x
x x
x
形式
，把它写成通常的参数 令 x3 c1, x4 c2
.
1 03 34 5
0 1
2 2
2 1
4 3 2 1
c c
x x x x
例２ 求解非齐次线性方程组
. 3 2
2 2
, 2 3
5 3
, 1 3
2
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
解 对增广矩阵 B 进行初等变换，
3 2
2 1
2
2 3
5 1
3
1 1
3 2
1
B 3 1
1
2 2
r r
r r
1 0
4 5
0
1 0
4 5
0
1 1
3 2
1
2
3 r
r
2 0
0 0
0
1 0
4 5
0
1 1
3 2
1
, 3 )
( ,
2 )
(A R B
显然，R 故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
. 2 1 3
2
1 3
0
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
解 对增广矩阵 B 进行初等变换
2 1 3
2 1
1
1 3
1 1
1
0 1
1 1
1
B
2 1 2
1 0
0
1 4
2 0
0
0 1
1 1
1
~
. 0 0
0 0
0
2 1 2
1 0
0
2 1 1
0 1
1
~
A R B 2,
由于R 故方程组有解，且有
2 1 2
2 1
4 3
4 2
1
x x
x x
x
4 2
4
4 2
3
4 2
2
4 2
1
0
2 1 2
0
0
2 1
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
. 0
2 1
0 2 1
1 2 0 0
0 0 1 1
4 2
4 3 2 1
x x
x x x x
. , 4
2 任意
其中x x 所以方程组的通解为
例４
求出它的一切解．
在有解的情况下，
是
有解的充要条件 证明方程组
.
5 0
4 3
2 1
5 1
5
4 5
4
3 4
3
2 3
2
1 2
1
a a
a a
a
a x
x
a x
x
a x
x
a x
x
a x
x
解证 对增广矩阵 B 进行初等变换，
方程组的增广矩阵为
5 4 3 2 1
1 0
0 0
1
1 1
0 0
0
0 1
1 0
0
0 0
1 1
0
0 0
0 1
1
a a a a a B
5
1 4 3 2 1
0 0
0 0
0
1 1
0 0
0
0 1
1 0
0
0 0
1 1
0
0 0
0 1
1
~
i
ai
a a a
a
0
5
1
i
ai
B R A
R
. 0
5
1
i
ai
是 方程组有解的充要条件
由于原方程组等价于方程组
4 5
4
3 4
3
2 3
2
1 2
1
a x
x
a x
x
a x
x
a x
x
由此得通解：
5 4
4
5 4
3 3
5 4
3 2
2
5 4
3 2
1 1
x a
x
x a
a x
x a
a a
x
x a
a a
a x
x5为任意实数.
例５ 设有线性方程组
2 3
2 1
3 2
1
3 2
1 1
x x
x
x x
x
x x
x
?
?
,有解 有无穷多个解 取何值时
问 解
1 2
1
1 1
1 1
1
B
1 1
1
1 1
1 1
~
2
作初等行变换，
对增广矩阵 B (A,b)
2 2
2 2
1 1
1 0
1 1
0
1 1
~
3 2
2
2 2
1 2
0 0
1 1
0
1 1
~
2 2
1 1
2 1
0 0
1 1
1 0
1 1
1 当 1时,
0 0
0 0
0 0
0 0
1 1
1 1
~ B
A R B 3,方程组有无穷多解.
R
其通解为
3 3
2 2
3 2
1 1
x x
x x
x x
x
x2, x3为任意实数.
2 当 1时,
2 2
1 2
0 0
1 1
0
1 1
~
B
这时又分两种情形：
3, :
, 2
)
1 时 R A R B 方程组有唯一解
2 . , 1
2 , 1
2
1 2
3 2
1
x x
x
A R B ,故方程组无解.
R
, 2 )
2 时
3 0
0 0
6 3
3 0
4 2
1 1
~ B
A R B n
R
A R B n
R Ax b有无穷多解 . 非齐次线性方程组 Ax b
齐次线性方程组 Ax 0
A n
R Ax 0只有零解;
A n
R Ax 0有非零解.
三、小结三、小结
有唯一解; b
Ax
思考题思考题
. ,
?
?
? ,
,
12 10
5
, 3 15
3
, 3 6
3
, 1 3
2
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
求出一般解 况下
情 在方程组有无穷多解的 有无穷多解
有唯一解 方程组无解
取何值时 当
讨论线性方程组
t p
x t x
x x
x p x
x x
x x
x x
x x
x x
思考题解答 思考题解答
t B p
12 10
5 1
3 15
1 3
3 1
6 3
1
1 3
2 1
解 1
1 9
12 6
0
0 6
6 4
0
2 2
4 2
0
1 3
2 1
1
~
t p
5 3
0 0
0
4 2
2 0
0
1 1
2 1
0
1 3
2 1
1
~
t p
; ,
4 )
( )
( , 2 )
1
( 当p 时 R A R B 方程组有唯一解
1 0
0 0
0
2 1
0 0
0
1 1
2 1
0
1 3
2 1
1
5 3
0 0
0
4 2
0 0
0
1 1
2 1
0
1 3
2 1
1
~
~
t t
B
有 时
当 2 , )
2
( p
; ,
4 )
( 3
) ( ,
1时 方程组无解
当t R A R B
0 0
0 0
0
2 1
0 0
0
3 0
2 1
0
8 0
0 0
1
0 0
0 0
0
2 1
0 0
0
1 1
2 1
0
1 3
2 1
1
~
~
B 且
. ,
3 )
( )
( ,
1时 方程组有无穷多解
当t R A R B
组为 与原方程组同解的方程
).
( 2
0 3
8
0 1
2 0
4 3 2 1
R k
k x
x x x
, 2
, 3 2
, 8
4
3 2
1
x
x x
x
故原方程组的通解为
