0110 高毅甲乙 3-3 面積與二階行列式

(1)

－ 1 －

0110 高毅甲乙 3-3 面積與二階行列式

姓名座號

一、單選題 (6 題每題 5 分共 30 分)

（）1.若聯立方程式 (2 1) 1 0 3 (4 1) 6 3

ax a y

x a y a

   

    

 有無限多組解﹐則 a 

(1)1 (2)2 (3)3

4 (4)1 或3 4﹒

【課本類題】

解答 1

解析 ∵ 有無限多組解 ∴  2 1 1 3 4 1 6 3

a a

  

 

交叉相乘  3(2a  1)a  3  (2a  1)(a  1)  0

 1

a 2﹐a  1（因為三個比例皆要符合  代回檢查）

 1

a 2不合 ∴ a  1 故選(1)﹒（）2.a

R﹐方程組 6 ( 2) 7 17 0 ( 5) 2 8 24 0

x a y a

a x y a

    

     

 有無限多解﹐在所有解(x﹐y)

中 4x² + y²的最小值為﹖(1) 24 (2) 32 (3) 40 (4) 64 (5) 128﹒【龍騰自命題】

解答 2

解析方程組有無限多解

 6 5 a = 2

2 a

 = 7 17 8 24

a a

 

 

( 5)( 2) 12

( 2)(8 24) 2( 7 17)

a a

a a a

   

      





2 2

3 2 0

4 3 7 0

a a

   



  

  ( 1)( 2) 0

(4 7)( 1) 0

a a

  

   

 ﹐∴a = 1﹐

此時﹐方程組為 6 3 24 0

4 2 16 0 x y

x y

  

   

 ﹐其解為

2 8 x t y t

 

  

 ﹐t  ﹐

∴4x² + y² = 4t² + (2t + 8)² = 8(t + 2)² + 32﹐所以最小值= 32﹒

（）3.設a b 35

c d   ﹐則下列敘述何者為真﹖ (1)a c 35 b d 

(2) a b 35

c d

 

 (3) 1

5 7

1 5

a b

c d

  (4)

1

5 7

1 5

a b a

c d c



 



(5)

1

5 7

1 5

a a b

c c d



 



﹒

【課本類題】

解答 5

解析 (1)╳﹕行列互換其值不變

(2)╳﹕ a b 35

ad bc

c d

    

 (3)╳﹕原式 1

25ad bc

 

(4)╳﹕

1

5 35

1 5 ( 1)

5

a b a

a b c d

c d c



  



 

(5)○﹕原式

1

5 1 7

1 5

5

a b

a b c d

c d

   

故選(5)﹒

（）4.x﹐y 之聯立方程式 ¹ ¹ ¹

2 2 2

a x b y c a x b y c

 

  

 恰一組解(x , y)  (2 ,  3)﹐

則 ¹ ¹ ¹

2 2 2

3 2 6

b x a y c b x a y c

 

  

 之解為 (1) 1 1

( , )

3 2 (2)(2 ,  3) (3)(  3 ,  6) (4)(  6 ,  6) (5)(12 ,  18)﹒

【龍騰自命題】

解答 4

解析

1 1

2 2

1 1

2 2

x 2

c b c b

x a b

a b

  

 ﹐

1 1

2 2

1 1

2 2

y 3

a c a c

y a b

a b

   

 ﹐

1 1 1

2 2 2

3 2 6

b x a y c b x a y c

 

  



1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

6 2

6 2 6 2

2 ( 3) 6

3 2

3 2 3 2

x

c a a c

x b a a b

b a a b

  

 

       

 

  

﹐

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

3 6

3 ( 6)

3 6

( 3) 2 6

3 2

3 2 3 2

y

b c c b

y b a a b

b a a b

  

       

 

  

﹐

∴ (x , y)  (  6 ,  6)﹒故選(4)﹒

[另解]

3b1x  2a1y  6c1  a1(  2y)  b1(3x)  6c1﹐

1 1 1

2 3

( ) ( )

6 6

y x

a  b c

  ﹐

2 2

6

 y   y   6﹐3 6 3

x    x   6﹐

∴ (x , y)  (  6 ,  6)﹒故選(4)﹒

（）5.設 a b 5

c d   ﹐則3 2 4

3 2 4

a b b

c d d



 的值為 (1)  120 (2)  60 (3)30 (4)60 (5)120﹒

解答 2

解析

3 2 4 3 4 2 4

3 4 12 ( 5) 60

3 2 4 3 4 2 4

a b b a b b b a b

c d d c d d d c d

 

         

 

(2)

－ 2 －故選(2)﹒

（）6.△ABC 之三頂點為 A (2 ,  3)﹐B (3 , 1)﹐C (  4 , 3)﹐則△

ABC 的面積為 (1)9 (2)12 (3)14 (4)15 (5)18﹒【龍騰自命題】

解答 4

解析 AB(1, 4)﹐AC ( 6,6)﹐

△ABC 面積 1 1 4 1

| | | 6 24 | 15 6 6

2 2

   

 故選(4)﹒

二、多選題 (4 題每題 5 分共 20 分)

（）1.關於二階行列式﹐選出正確的選項﹕ (1) 23 45 23 67 67 89  45 89

(2)3 3 3 3 3

a b a b

c d  c d (3)a b c d 0

c d  a b  (4)3 5 3 5 0

a a

c c 

(5) 10

10

a b a b b

c d c d d

 



【課本例習題】

解答 1345

解析 (1)行列互調﹐其值相等﹒

(2)3 3

3 3 3

3 3

a b a b a b

c d   c d  c d ﹒

(3)a b c d a b a b 0 c d  a b  c d  c d  ﹒ (4)因為兩行成比例﹐所以其值為 0﹒

(5) 10 10 10

10 10 10

a b b a b b b a b

c d d c d d d c d

  

 

   ﹒

故(1)(3)(4)(5)為正確選項﹒

（）2.下列何者選項恆正確﹖ (1) a b b a c d  d c

(2) 99 99

a b a b

c d  c a d b

  (3)a kc b kd b ka a

c d d kc c

  

  

(4)a kc b kd e ka f kb a b

c d a b e c f d

   

  

  (5)若 0 



 180﹐且sin cos cos sin 1

 

^ ^﹐則



 45﹒

【新突破講義】

解答 234

解析 (1)╳﹕ a b b a c d  d c (2)○﹕

99 99

a b a b

c a d b  c d

 

(3)○﹕a kc b kd a b

c d c d

 

 ﹔

b ka a b a a b

d kc c d c c d

    



(4)○﹕

a kc b kd e ka f kb a b e f a b a b

c d a b c d a b c d e f

   

    

 

a b a b

c e d f e c f d

  

   

(5)╳﹕ sin cos cos sin 1

 

^ ^{ sin}²



 cos²



 1  cos²



 sin²



  1  cos2



  1  2



 180 



 90

故選(2)(3)(4)﹒

（）3.二元一次方程組 ¹ ¹ ¹

2 2 2

a x b y c a x b y c

 

  

 ﹐令 ¹ ¹

2 2

a b a b

  ﹐

1 1

2 2

x

c b c b

  ﹐ ¹ ¹

2 2

y

a c a c

  ﹒則下列哪些選項表示方程組

有解﹖ (1)  0 (2)  0 (3)  0 且x  0 (4)x  y

 0 (5)  x  y  0﹒

【新突破講義】

解答 145

解析方程組有解  恰有一解或無限多解 (1)恰有一解    0

(2)無限多解    x  y  0 故選(1)(4)(5)﹒

（）4.方程組 ¹ ¹ ¹

2 2 2

0 0 a x b y c a x b y c

  

   

 ﹐判斷下列命題何者正確﹖ (1)

若 ¹ ¹

2 2

a b 0

a b  ﹐則方程組必有解 (2)若 c1 = c2 = 0﹐則方程組必有

解 (3)若 ¹ ¹

2 2

a b 0

a b  ﹐則方程組必有無限多解 (4)若

1 1

2 2

a b 0

a b  且 c1 = c2 = 0﹐則方程組必有無限多解 (5)若

1 1

2 2

a b 0

a b  且 c1  0﹐c2  0﹐則方程組無解﹒

解答 124

解析 ∵

 















2 2

2

1 1

1

c y b x a

c y b x

a



 



 







 



 

2 2

1 1 2

2 1 1

2 2

1 1 2

2 1 1

c a

c y a

b a

b c

b x c

b a

﹒

(1)當

2 2

1 1

b a

b

a

 0 方程組恰有一解﹒ (2)當 c1 = c2 = 0 時

 ¹ ¹

2 2

0 0 a x b y a x b y

 

  

 必有一解(0,0)﹒

(3)

－ 3 － (3)當

2 2

1 1

b a

b

a

= 0 時

2 2

1 1

b c



﹐

2 2

1 1

c a



有一不為 0﹐

則無解﹒

(4)當

2 2

1 1

b a

b

a

= 0 且 c1 = c2 = 0 時

2 2

1 1

b c



與

2 2

1 1

c a



均為 0﹐∴無限多解﹒

(5)當

2 2

1 1

b a

b

a

= 0 且 c1﹐c2均不為 0 時

2 2

1 1

b c



與

2 2

1 1

c a



是否為 0﹐無法確定﹒

三、填充題 (10 題每題 5 分共 50 分)

1.設 x﹐y﹐z 皆為實數﹐且 xyz  0﹐若3 2 3 5

4 5 6

x z  yz  x y z﹐求

(2x  y  z)²  8(2x  y  z)  5 的最小值____________﹒

解答  21

解析

3 2 3

4 5

3 2 5

4 6

x z y z

x z x y z

 

 

   

 



 5 4 2 0

2 8 0

x y z

  

   

  x：y：z

 2：3：1﹐

令 x  2t﹐y  3t﹐z  t（t  0）﹐代入

(2x  y  z)²  8(2x  y  z)  5  4t²  16t  5  4(t  2)²  21﹐

最小值為  21﹒

2.

2 4

3 2 1

5 8

3 2 7

x y x y

  

  



  

  



之解(x, y) =____________﹒

解答 (1,2) 解析令 1

3xy = A﹐ 1

2xy= B﹐則 2 4 1

5 8 7

A B

 

  

 ﹐∴ A = 1﹐B =1 4﹐

得 3 1

2 4

x y x y

  

  



 x = 1﹐y = 2﹐即所求(x, y)  (1,2)﹒

3.坐標平面上有一個平行四邊形 ABCD﹐其中點 A 的坐標為(2,1)﹐點 B 的坐標為(8,2)﹐點 C 在第一象限且知其 x 坐標為 12﹒若平行四邊形 ABCD 的面積等於 38 平方單位﹐則點 D 的坐標為____________﹒

【99 學測】

解答 (6,8)

解析 AB(6,1)﹐AC(10,k1)﹐

平行四邊形面積 6 1

| | 38 | 6 16 | 38 9

10 1 k k

 k      



或 11

k  3 （不合）﹐

AC中點即為BD中點﹐故

14 10 8 2

( , ) ( , ) ( , ) (6,8)

2 2 2 2

x y

  x y

   ﹒

x y

O

A(2,1) B(8,2) C(12,k) D(x, y)

4.聯立方程式 2 5 3 4

x y kx x y ky

 

  

 中﹐

(1)k  6 時之解(x , y)  ____________﹒

(2)若除了 x  0﹐y  0 外還有其他解時﹐k  ____________﹒

(3)若有 x  0﹐y  0 之解時﹐k  ____________﹒

【課本類題】

解答 (1)(0 , 0);(2)7 或  1;(3)7

解析 (1)k  6﹐原式  4 5 0

3 2 0

x y

 

  

 ﹐其解(x , y)  (0 , 0)﹒

(2)原式  (2 ) 5 0 3 (4 ) 0

k x y

x k y

  

   



2 5 2

(2 )(4 ) 15 6 7 ( 7)( 1)

3 4

k k k k k k k

k

            



  0﹐即 k  7 或 k   1﹒

(3)k  7 代入得 5 5 0

3 3 0

x y

 

  

 有 x  0﹐y  0 之解﹒

5.甲﹑乙兩人同解聯立方程式 2 3

7 x ay bx y

 

  

 ﹐若甲看錯 a 得解(x , y)為(2 ,  1)﹐乙看錯 b 得解(x , y)為(1 ,  1)﹐則﹕

(1)數對(a , b)  ____________﹔(2)正確解(x , y)為____________﹒

解答 (1)(1 , 4);(2) 5 1 ( , )

3 3

解析 (1) 2 3 7 x ay bx y

 

  



(2 ,  1)代入式﹕2b  1  7  b  4﹐

(1 ,  1)代入式﹕2  a  3  a  1﹐

∴ (a , b)  (1 , 4)﹒

(2)解 2 3

4 7

x y x y

  

  

  5

x3﹐ 1 y3﹐

∴ 正確的解為 5 1 ( , )

3 3 ﹒

6.利用克拉瑪公式解 2 3 4 0

3 4 5 0

x y

  

   

 ﹐得(x , y)  ____________﹒

(4)

－ 4 －解答 1 22

( , ) 17 17



解析 2 3 4

3 4 5

x y

  

  



2 3

8 9 17 3 4

      ﹐ 4 3

16 15 1 5 4

x

 

       ﹐

2 4

10 ( 12) 22 3 5

y

       ﹐

1 17 x x

  

 ﹐ 22

17 y y

 

 ﹐

∴ 1 22

( , ) ( , ) 17 17

x y   ﹒

7.聯立方程式 3 2 9

4 5 3

x y a

 

   

 的解滿足方程式 5x  4y  4a﹐則 (1)a  ____________﹔(2)解(x , y)  ____________﹒

解答 (1)2;(2)(4 ,  3) 解析 3 2 9

4 5 3

x y a

 

   



  2  ﹕11x  19a  6  19 6 11 11

x a …﹐

  3    4﹕11y   21a  9  21 9 11 11

y a …﹐

代入 5x  4y  4a 中﹐

得95 30 84 36

11a1111a114a﹐a  6  4a  a  2﹐

∴ 得 x  4﹐y   3﹐

∴ (x , y)  (4 ,  3)﹒

[另解]

解 3 2 9

5 4 4

x y a

 

  



  2  ﹕11x  22a  x  2a﹐代入﹐得 3 y 2a﹐ x﹐y 之值代入 4x  y  5a  3﹐ 3

8 5 3

a2a a  a  2﹐

x  4﹐y   3﹐∴ (x , y)  (4 ,  3)﹒

8.設 a b c d

  ﹐若 3 2 3 2 3

2 3 2 3 6 2 21

a c b d c d

a c b d a b

 

 

    ﹐求 

____________﹒

解答 3

解析原式 

3 2 3 2 3 2 3 2

6 21

2 2 3 3

a c b d a c b d c d

a b c d a b

   

  

 

 2 2 3 3

6 21

2 2 3 3

c d a b a b

a b  c d  c d 

  

4a b 9a b 6a b 21 c d  c d  c d   7  21    3﹒

9.已知 6 3

2 5 3

x y xy

 

  

 ﹐求聯立方程式的解(x , y)  ____________﹒

解答 9 18 ( , )

4 7 或(0 , 0)

解析 (1)x  0﹐y  0 代入原式成立﹐∴ (0 , 0)為一解﹐

(2)x  0﹐y  0 

6 3 1 2 5

3 y x

y x

  



  



    3﹕18

x  8  9 x 4﹐

  5    3﹕36

y 14  18 y 7 ﹐

∴ 9 18

( , ) ( , )

x y  4 7 或(0 , 0)﹒

10.設



﹐



為方程組 2 2 5 5 0 x x x

 

 之二根﹐則

 

 

^

 ____________﹒

解答 189

解析 2 2 5 5 0 x x x

 

  10x  (x  5)(x  2)  0  x²  13x  10 

0﹐∴



+



= 13﹐

 

= 10﹐

 

 

 =



² 



² = (







)²  2

 

= 13²  2  (  10) = 189﹒

0110 高毅甲乙 3-3 面積與二階行列式