1218 高毅甲 3-2 向量的內積 姓名 座號 一、單選題 (3 題 每題 10 分 共 30 分)

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1218 高毅甲 3-2 向量的內積 姓名 座號

一、單選題 (3 題 每題 10 分 共 30 分)

（ ）1.設一直線L 過兩點(3 ,  2)﹐(  3 , 4)﹐則 原點至L 之距離為 (1)¹

2 (2) ²

2 (3) ³ 2 (4)1 (5)2﹒

【課本類題】

解答 2

解析 ^{4 ( 2)} 1

L 3 3 m  

  

 

L﹕y  2  (  1)(x  3)



0 0 1 1 2

( , ) | |

2 2 2

d O L  

  

故選(2)﹒

（ ）2.設 a ﹐ b 之夾角為 3



求| a 2 b | (1)2 5 (2) 26 (3)2 7 (4) 43 (5)28﹒

【課本類題】

解答 3 解析 利用

2 2 2 1

| 2 | | | 4 | | | | cos 4 | | 4 4 2 3 4 9 28

3 2

a _ b _ a _ a _ b _



∴| a 2 b |2 7 故選(3)﹒

（ ）3.△ABC 內接於圓心為 O 之單位圓﹒若

3 0

OAOB OC ﹐則

BAC 之度數為何﹖

(1)30 (2)45 (3)60 (4)75 (5)90﹒

【107 學測】

解答 4

解析 因為OAOB 3OC 0 ﹐所以

3

OB OC OA﹒

由|OB 3OC|² | OA|²



得 ³

OB OC   2 ﹒因此

cos 3

| || | 2 OB OC BOC

OB OC

     ﹐

即

BOC  150﹒又因為圓周角為圓心角的一半﹐

所以 ¹ 75

BAC 2 BOC

    ﹒故選(4)﹒

A

B C

O

二、多選題 (2 題 每題 10 分 共 20 分)

（ ）1. a ﹑ b ﹑ c 表三個非零向量﹐下列各敘述何

者恆成立﹖ (1)3 a2 b 3b 2 a

(2)| a  b | | a || b | (3)若

2(a  b )2 a  c ﹐則 c  2 b (4)若

a  b  a  c ﹐則 b  c

(5)| a  b |²| a |² | b |²﹒

【龍騰自命題】

解答 23

解析 (1)╳﹕不一定相等 (2)○﹕如圖

b

a

b

a b

(3)○﹕2( a  b )2 a  c ﹐ 2 a2 b 2 a  c



(5)╳﹕ a ﹑ b 反向則不合 故選(2)(3)﹒

（ ）2.已知直線L﹕6x  9y  4  0﹐則下列哪些選 項可為直線L 的法向量﹖ (1) n₁ (6,9)

(2)n₂ (2,3) (3)n₃ (4, 6) (4)n₄ (6, 9)

－ 2 － (5)n₅  ( 2,3)﹒

【龍騰自命題】

解答 123

解析 6x

 9y  4  0 

由於法向量不唯一﹐只要與 n (6,9)平行的向量 均可﹒

故選(1)(2)(3)﹒

三、填充題 (5 題 每題 10 分 共 50 分)

1.設點A(

 2,2)﹑B(4,8)為坐標平面上兩點﹐且點 C 在二次

y2x 的圖形上變動﹒當C 點的 x 坐標為 (1)____________時﹐內積AB AC 有最小值 (2)____________﹒

【101 學測】

解答 (1)  1;(2)  3 解析 令C 點坐標為(2t,2t²)

2 2 2

(6, 6) (2 2, 2 2) 6(2 2) 6(2 2) 12( ) AB AC   t t   t  t   t t

1 2

12( ) 3

t 2

  

當 ¹

t 2時﹐AB AC 有最小值  3

∴ C 點 x 坐標為  1 時﹐AB AC 的最小值為  3 2.平行四邊形ABCD 中﹐AB2﹐AD3﹐則

AC BD ____________﹒

【92 中山女中期中考】

解答 5 解析

2 2

( ) ( ) | | | | 9 4 5

AC BD  AB BC  BC CD  BC  AB   

﹒

A B

C D

2 3

3.設△ABC 中﹐AB5﹐BC7﹐CA8﹐x﹑yR﹐若E 為 外心且AEm ABn AC﹐求數對(m,n)  ____________﹒

【98 高雄中學期中考】

解答 (^{2 11}, ) 15 24

解析 設AB﹐BC﹐CA中點為R﹐Q﹐P 則

( )

AE AB  ARRE AB 1

2AB AB RE AB

   

1 2

| | 2 AB



同理 ¹| |² AE AC 2 AC 又由餘弦定理知

| || | cos AB AC  AB AC BAC

2 2 2

| | | | | |

2 20 AB  AC  BC

 

以上所有代入

∴ | |^{2 25} 25 20

AE AB m AB n AB AC  2  m n

| |2 32 20 64 AE AC m AB AC n AC   m n

－ 3 －

10 8 5 2 11

( , ) ( , )

5 16 8 15 24

m n m n m n

 

  

  

 ﹒

A P C

Q R

B

E

4.設直線L 過點 P(2,3)且與兩條直線 L¹﹕3x + 4y  7 = 0﹐

L²﹕3x + 4y + 8 = 0﹐分別交於 A﹐B 兩點﹐若AB3 2﹐ 則L 之方程式為____________﹒

【鳳山高中期中考】

解答 x  7y + 19 = 0 或 7x + y  17 = 0 解析 ( ,_{1 2}) ^{| 8 ( 7) |} 3

d L L   9 16 

 ﹐設L 與 L¹之銳夾角為





3 2 2



令L﹕y  3 = m(x  2)﹐∴mx

 y + 3  2m = 0



∴ 2

| 3 4 | 1

cos 1 9 16 2

m m



   ﹐∴

2 | 3 m 4 | 5 m21﹐

平方

 2(9m

 24m + 16) = 25(m

 (7m  1)(m + 7) = 0﹐∴

m7或7



L：y 7 x ﹐即x  7y + 19 = 0﹐

或 y  3 = 7(x  2)﹐即 7x + y  17 = 0﹒

5.△ABC 中﹐若AB AC 5﹐BC CA  1﹐CB BA  3﹐試求

(1)|BA|____________﹔(2)△ABC 之面積  ___________﹒

【93 成功高中期中考】

解答 (1)2 2;(2) ²³ 2

解析 (1)AB BC CA   0



( ) 0

AB AB BC CA   AB



|AB|2 AB BC AB CA   0



∴ |AB| 82 2﹒

(2)AC AB BC CA(   )AC 0 ﹐

∴ 5 1 |  AC|²0



ABC ¹ | | |² |² ( )^{2 1} 8 6 5^{2 23}

2 AB AC AB AC 2 2

      

﹒