⇀ 空間直線方程式 2 - 2

2-2

空間直線方程式 2 - 2

重點一　直線的方程式

例題 1 （直線的參數式與對稱比例式）

1 設直線 L 通過（1，2，3），且直線 L 之方向向量為 v

=（1，−1，2），試寫出直線 L 之對稱比例式。（6 分）

2 設 A（0，1，2），B（1，2，3），試寫出直線 AB 之參數式。（6 分）

解：

−1 = z − 32 2 ∵ A^⇀B =（1，1，1）為直線 AB 之方向向量 ∴直線 AB 之參數式為

x = 0 + t y = 1 + t z = 2 + t

，t 為實數

例題 2

求通過點 P（3，4，5）且平行於直線 L： x + 2

1 = y − 1

−2 = z + 3

3 之直線參數式。（ 6 分）

解：

∵ L' // L 且 L 之方向向量為（1，−2，3）

∴ L' 之方向向量亦可取為（1，−2，3）

故所求為

x = 3 + t y = 4 − 2t z = 5 + 3t

，t 為實數

2-2

例題 3

1 將直線 L： x − y − 2z = 5

x + 2y + z = −1 以直線參數式表示。（7 分）

2 過點（ 1，0，2）且與直線 L： x + y + z = 1

2x − y + 3z = 2 平行的直線方程式為　　　　。

（以對稱比例式表示） （ 7 分）

解：

由2 − 1得 3y = −6 − 3t ⇨ y = −2 − t 代入1得 x = 3 + t ∴直線 L 的參數式為

x = 3 + t y = −2 − t z = t

，t 為實數

2 直線 L： x + y + z = 1 2x − y + 3z = 2 其方向向量為

（

1 1 3 2 ，

1 1

2 −1

）

∴過點（1，0，2）且與直線 L 平行的直線方程式為 x − 1

4 = y−1 = z − 2−3

重點二　直線與平面的關係 例題 4

平面 E：3x − 2y + z = 0，試分別討論下列三直線與平面 E 的關係：（15 分）

L

： x − 2

2 = y − 2

−1 = z − 3

−3 ， L

： x − 2

2 = y + 1

2 = z − 3

−2 ， L

： x − 3

2 = y − 4

5 = z + 1 4 解：

1 L1：

x = 2 + 2t y = 2 − t z = 3 − 3t

，t 為實數，代入 E：3x − 2y + z = 0

得 3（2 + 2t）− 2（2 − t）+（3 − 3t）= 0 ⇨ 5t + 5 = 0 ⇨ t = −1 ⇨ 直線 L1 與平面 E 恰有一交點為（0，3，6）

2 L2：

x = 2 + 2t y = −1 + 2t z = 3 − 2t

，t 為實數，代入 E：3x − 2y + z = 0

得 3（2 + 2t）− 2（−1 + 2t）+（3 − 2t）= 0 ⇨ 0t + 11 = 0 ⇨ t 無解 ⇨ 直線 L² 與平面 E 平行

3 L3：

x = 3 + 2t y = 4 + 5t z = −1 + 4t

，t 為實數，代入 E：3x − 2y + z = 0

得 3（3 + 2t）− 2（4 + 5t）+（−1 + 4t）= 0 ⇨ 0t = 0 ⇨ t 為任意實數

2-2 例題 5

已知平面 E 包含點 P（−1，3，0）與直線 L： x − 1 2 = y

−1 = z + 3

3 ，試求平面 E 的方 程式為　　　　。（ 7 分）

解：

L： x − 12 = y−1 = z + 33 的方向向量為 v^⇀ =（2，−1，3）

⇀Q

P × v^⇀ =（−2，3，3）×（2，−1，3）

　　　 =

（

−2 3 2 −1

）

　　　 =（12，12，−4）= 4 ×（3，3，−1）

取平面 E 的法向量 n^⇀ =（3，3，−1）

故方程式為 3（x + 1）+ 3（y − 3）−（z − 0）= 0 即 3x + 3y − z = 6

例題 6

試求 P（1，−1，5）對平面 E：x + 2y + 2z = 18 的對稱點坐標為　　　　。（8 分）

解：

因為 H 在 E 上，故（1 + t）+ 2（−1 + 2t）+ 2（5 + 2t）= 18 整理得 9t = 9，解得 t = 1 ⇨ H（2，1，7）

設 P 對平面 E 的對稱點為 Q（x，y，z）

H 為 P 與 Q 之中點 ⇨

（

）

解得 x = 3，y = 3，z = 9 因此對稱點坐標為（3，3，9）

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重點三　兩直線的關係 例題 7

試判斷下列兩直線的關係：

1 L

： x − 2

−1 = y

2 = z − 5

−2 與 L

： x + 1

2 = y − 1

1 = z − 2

1 。（ 5 分）

2 L

： x − 3

1 = y − 1

2 = z + 1

1 與 L

： x − 2 1 = y

1 = z − 1

1 。（ 5 分）

解：

L1：

x = 2 − t y = 0 + 2t z = 5 − 2t

，t 為實數，L2：

x = −1 + 2s y = 1 + s z = 2 + s

，s 為實數

解

2 − t = −1 + 2s ………1 2t = 1 + s ………2 5 − 2t = 2 + s………3

由1、2解得 t = 1，s = 1，代回3亦成立 故兩直線交於一點

2 將 L1，L2 寫成參數式

L1：

x = 3 + t y = 1 + 2t z = −1 + t

，t 為實數，L2：

x = 2 + s y = 0 + s z = 1 + s

，s 為實數

解

3 + t = 2 + s………1 1 + 2t = s ………2

−1 + t = 1 + s ………3

由1、2解得 t = 0，s = 1，代回3得 −1 + 0 ≠ 1 + 1，不合 表示沒有一組 s，t 使得兩直線有共同交點

又此兩直線方向向量不平行，故兩直線歪斜

◎重點四　點到直線的距離 例題 8

點 P（1，2，0）到直線 L： x − 2

1 = y + 2

2 = z − 10

−2 的距離為　　　　。（ 9 分）

解：

⇀P

Q =（t + 1，2t − 4，−2t + 10）

又 L 之方向向量 l^⇀ =（1，2，−2）

∵ P^⇀Q⊥l^⇀　∴ P^⇀Q．l^⇀ = 0

（t + 1）+ 2（2t − 4）− 2（− 2t + 10）= 0 ⇨ t = 3 因此 P^⇀Q =（4，2，4）

點 P 到直線 L 的距離為 PQ = │P^⇀Q│=

√

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◎重點五　兩平行線的距離 例題 9

兩平行線 L

： x − 3 1 = y

−1 = z + 2

−2 ， L

： x − 9

2 = y + 2

−2 = z + 1

−4 ，則兩平行線 L

與 L

的距離為　　　　。（ 9 分）

解：

設由 P 點作直線 L2 的垂線，令垂足點 Q 則 Q 點坐標為（2t + 9，−2t − 2，−4t − 1）

因 P^⇀Q =（2t + 6，−2t − 2，−4t + 1）與 直線 L2 的方向向量（2，−2，−4）垂直

因此（2t + 6，−2t − 2，−4t + 1）．（2，−2，−4）= 0 整理得 24t + 12 = 0，解得 t = − 12

所以 P^⇀Q =（5，−1，3）

故直線 L1 與 L2 的距離為 PQ =│P^⇀Q│=

√

◎重點六　兩歪斜線的距離 例題 10

兩直線 L

： x − 5

3 = y + 7

−6 = z − 1

−2 ， L

： x − 1 3 = y

2 = z + 5

2 ，若 P ∈ L

， Q ∈ L

， 且 PQ 為 L

， L

的公垂線段，則：

1 L

與 L

間的距離為　　　　。（6 分）

2 公垂線 L 的對稱比例式為　　　　。（4 分）

解：

由 P^⇀Q⊥L^⇀1 得（−3t1 + 3t2 − 4，6t¹ + 2t2 + 7，2t¹ + 2t2 − 6）．（3，−6，−2）= 0 整理得 −49t1 − 7t2 − 42 = 0 ⇨ 7t¹ + t2 = −6

由 P^⇀Q⊥L^⇀2 得（−3t1 + 3t2 − 4，6t¹ + 2t2 + 7，2t¹ + 2t2 − 6）．（3，2，2）= 0 整理得 7t1 + 17t2 − 10 = 0

解聯立 7t1 + t2 = −6

7t1 + 17t2 = 10，得 t1 = −1，t2 = 1，代回 P，Q 所以 P（2，−1，3），Q（4，2，−3）

L1 與 L2 間的距離為 PQ =

√

2 P^⇀Q =（2，3，−6），為公垂線 L 的一個方向向量，且公垂線 L 通過 P（2，−1，3）

所以公垂線 L 的對稱比例式為 x − 22 = y + 1

3 = z − 3−6