第二節 概念理解歷程的分析與討論
「理解」係對於事物意義的領悟、認識過程或結果的過程（陳碧祥，1998） ， 郭為藩（2003）主張，學習的過程不是將知識由外直接灌注到學習的的腦海中，
而是必須經過個體的「思考」 、 「反芻」作用，才得以達到概念理解的程度。本 節為分析《統計學》課後輔導教學活動中，成人學習者在先備條件、語義組織、
思維路徑與概念形成的學習與理解情況，與「鷹架教學」策略應用的情形。
壹•概念理解歷程分析
一、學習者「先備條件」的分析與應用
「先備條件」是指學習者必須具備與所學知識相關的知識。T01 與 T03 都 認為： 「 《統計學》 『先備條件』應該是具備一般國中、高中數學的基本概念就可 以了，如果忘記，學習者應該自行尋找資源，不論是找參考書或是請教其他同 學」 【interview-920528-T01,p.1;17】 【interview-930116-T03,p.3】 。T02 也 主張，成人教育不能像國中、高中講的很詳細，應該是說讓她們自己去找資料，
之後的問題我們用「提示」的。教學者的立場一致，學習者應該要有一般國中、
高中數學的基本觀念，如果忘記，自己應該主動尋求資源，補足《統計學》概 念「先備條件」的不足。
雖說成人學習者應主動尋找學習資源，主動補足自己缺漏的數學基本觀 念，但成人學習者因為多重社會角色的扮演，要實際回到國中、高中的數理學 習資源有限，時間上也不允許，參與課輔教學活動的成人學習者只能藉由「教 科書」或「教學節目」等資源，加強課前預習與課後複習， 「勤能補拙」係少數 成人學習者（S10）突破學習障礙的方法之一【學習者「先備條件」訪談意見參 閱附錄十二，表 12-1】。
此外， 「先備條件」的檢視本身就是一件很困難的工作，教學者在第一階段
四次課輔教學活動中，並未實施「先備條件」的檢視，一方面由於成人學習者
會對質疑其條件的問題感到恐懼，在教與學雙方尚未熟識，學習者尚未培養對
「統計」的興趣前，任何形式的檢視都可能增加學習者負擔；再方面，由於教 學進度應配合空大期中考試成就測驗的評量，以符合學習者參與課輔教學的目 的。本研究既以瞭解學習者「先備條件」的情況，初始即以成人學習者為考量，
減少「先備條件」的檢視，以降低學習過程的焦慮或不安。以下就教學者在《統 計學》概念理解歷程中， 「先備條件」檢視的教學情境、鷹架教學策略的應用與 教學實施成效，列舉分析說明如下：
（一） 學習者「先備條件」的檢視與鷹架教學策略的應用
為了解學習者的「先備條件」 ，主要是以「教學者鷹架」為主，逐漸轉移至
「同儕鷹架」 ，其具體策略包括「提問」 、 「提示」 、 「指引」 、 「練習」 ，及輔以「教 學工具」的「直接教學」 ，重點如下：
1. 教學者希望藉由「提問」 ，蒐集學習者對於新概念理解的程度，作為該 主題切入與重點講述的參考
教學者會在每一次的教學活動，實施新主題教學前或教學時，給予學習者 先備知識與條件的測試，測試的方式大多以「提問」及考古題隨堂考試為主。
以 「 樣 本 的 不 偏 與 最 小 變 異 」（ 第 七 章 ） 先 備 條 件 的 檢 視 工 作 為 例
【Class-920423,pp.6-7】 ，前測時機是在新概念講解之前實施，教學者希望藉由「提 問」，蒐集學習者對於新概念理解的程度，作為該章主題切入與重點講述的參 考。由於這個主題在「抽樣分配」與往後「估計檢定」有它的重要性，屬於基 礎觀念，同時它與前面「機率」 、 「常態分配」等的學習脈絡息息相關，算是「承 先啟後」的關鍵，教學者檢視的目的在於瞭解學習者對於「抽樣分配」的理解 程度。
鷹架教學 情境
鷹架教學 策略之應用
鷹架教學 實施成效 T02：…有幾個問題還沒教之前，我想
聽你們的瞭解，就你現在的觀念不 管是對或錯，甚麼叫樣本的不偏 性？甚麼叫最小的變異性？…有標 準答案，但是沒有一定的說法…
S06：我覺得樣本的不偏性應該是這 樣，跟眾數的概念一樣，出現最多 的觀察值範圍之內，應該是最不會
提問
指引
學習者回饋
開放性問題，降低學習者 疑慮
S06 以既有的舊觀念（常識
性概念）回應
偏的，
T02：你的不偏就是集中在那邊？
S06：對對對，就跟眾數一樣，
T02：那甚麼叫做最小變異性？最小變 異性就是…彼此之間的差距越小越 好，…就是我們標準差的觀念，標 準差越大是不是整個就不準了？所 以越小越好，那你覺得呢？
S06：標準差的變異？
T02：變異數其實就是標準差，…變異 性就變異性，為甚麼最小？為甚麼 不是最大？不是很清楚是不是？有 沒有人？
S11：就是估計值越接近母體的標準 差，…差異到越小，扣掉裡面的他 最接近的就是標準差，那不偏性就 是說出來的母體跟他原來的母體概 念是一樣的。
T02：對對對，這（位）同學已經講 的很接近標準答案了，非常接近 了。
澄清 提問 提示
學習者回饋 指引
提問 S11 回饋
鼓勵與讚美
T02 協助以圖形解釋
提示、指引標準差「由上 而下」的觀念，引導學習 者思考
S06 顯然無法將舊觀念聯 結，教學者再度指引，刺 激學習者思考，再提問 S11 未看書，直接講出自己 的概念，表現始終就是代 表有預習過，具有一定程 度的先備條件
【Class-920423,pp.6-7】
2. 課前預習可以建立學習者一定程度的「先備條件」，「提問」過程中，
教學者會視學習者的反應，直接給予答案，或輔以「提示」、 「指引」
策略的應用，引導學習者思考，並降低學習者在檢視過程中的窘境或 不安
課前預習在《統計學》科目「先備條件」檢視的過程中具有重要意義，沒 有預習，加上沒有足夠的先備基礎，學習者要憑一般的「常識」概念回答，很 難切中問題的核心；「先備條件」檢視的初始過程中，當學習者無法回應時，
T02 會立刻給予答案，他在課後回憶說： 「一方面是礙於時間的關係，一方面是 他 真 的 不 會 、 又 緊 張 ， 如 果 你 一 直 「 指 引 」 的 話 ， 他 還 是 … 想 不 出 來 」
【interview-920423-T02】 。過程中「盡可能」不讓學習者產生負面的感覺。
從上述「樣本的不偏與最小變異」的教學情境來看，成人學習者（S06）對 於「提問」會緊張、會手足無措，特別是題目與生活事例或經驗無關，S06 在
母體
x
µ 最小變異數
T(x)前面六章概念並未完全熟悉，第七章又未預習的情形下， 「勉強」以既有常識性 的概念回應，雖經 T02 以「圖示」提示或指引，試圖引導學習者思考，但 S06 仍無法將已教過之「標準差」概念連結起來。課後 S06 在訪談時表示： 「我怕我 答不出來，因為前面那個變異數跟不偏性，我有一點點印象，覺得比較學術，
那整個我是在模糊當中，我怕我講的不好」 【interview-920423-S06,p.1】 。S11 的回應係根據教科書而來，課前預習可以建立學習者一定程度的「先備條件」。
當學習者熟悉教室情境後，教學者會在「提問」後，輔以「提示」 、 「指引」
策略的應用，引導學習者思考，並降低或化解學習者在「提問」過程中的尷尬 或不適應。
3. 鼓勵學習者上台「練習」 ，運用舊概念融入新知識，並以例題或習題進 行演算，必要時輔以「提示」、 「指引」策略的應用，有助於刺激有能 力的學習者思考，對於學習能力較差的學習者，也能夠有效將舊概念 連結到新知識的基礎上，並給予鼓勵
在將舊概念連結到新知識的「先備條件」檢視過程中，教學者採取「直接 教學」與「示範」策略的應用，並無法刺激學習者思考，對於「先備條件」不 足的學習者，只能被動的接受資訊，不斷的抄寫筆記；對於有基礎或認真的學 習者，則會選擇性的接收資訊，抄寫她們認為重要的內容。若教學者能夠鼓勵 學習者上台「練習」【Class-920507,pp.10-11】，運用舊概念融入新知識，並以例 題或習題進行演算，必要時輔以「提示」 、 「指引」策略的應用，雖然教學進度 緩慢，卻有助於刺激有能力的學習者思考，對於學習能力稍差的學習者，也能 夠有效將舊概念連結到新知識的基礎上【Class-920402,p.2】【Class-920507,p.16】
【Class-920514,p.25】。教學過程中，對於成人學習者的「讚美與鼓勵」是不可 少的，它不但有刺激學習的動力，並且能夠加強學習者進步的原動力。
4. 「直接教學」若能輔以教學工具（例如圖示、表格、彙總等）的使用，
有助於刺激學習者思考，並產生「先備條件」的連結
教學者在講解抽樣分配的性質，試圖回顧「離散隨機變數」二項分配、指
數分配、 Poisson 等期望值與標準差的公式，以期解釋「樣本的不偏與最小變異」
基礎上，但部分學習者（S01、S04）「先備條件」不足，專心抄錄筆記；有一些 基礎的學習者（S10、S11、S13），則能夠理解教學者說明的意義，也顯示出學 習者投入程度的不同，影響「先備條件」的差異。
鷹架教學 情境
鷹架教學 策略之應用
鷹架教學 實施成效 T02：我們那時候不是有看到好幾個
分配，…不是有請各未將各個分 配的 E(a)值要去背起來，它的 Variance 好像也是…有請你們
背，有 Poisson 是不是有請你們
背，那這個也是從這裡來的…
直接教學 S01、S04、S12 專心抄筆 記，S10、S11 與 S13 時而 點頭、時而抄錄教學內容
【Class-920430,p.8】
然而，在「直接教學」策略中，若輔以圖示方式，說明點估與區間估計的 差別，複習教科書表 8.1 臨界值正負三個標準差的概念，這種工具的使用有助 於刺激學習者思考統計的「先備條件」 。
鷹架教學 情境
鷹架教學 策略之應用
鷹架教學 實施成效 T02：…其實你去想也知道嘛，…其實
就是 x 加減一個東西嘛，…一定跟標準 差有關係，對不對？…我們以前 是 不是學過，在三個標準差之內的 機 率就佔了 99%，…對不對？就是這個意 思。
直接教學 圖 示 （ 工 具 使 用）
刺激學習者思考
【Class-920514,p.12】
針對「抽樣分配」、 「估計檢定」的相關概念，由於概念間環環相扣，為了 讓學習者能夠前後連貫，由舊概念連結到新知識，課輔教學活動使用較多的方 式仍以「由上而下」進行，教學者會「適時」地以舊概念應用到新概念的觀念 基礎上，例如教學者彙總： 「一個好的估計數是不偏，而且是最小變異，就是一 個好的估計」 【Class-920507,p.21】 。
（二） 鷹架教學策略實施成效
1. 六位學習者參與的動機不同，但是課輔初始具備的「先備條件」卻是 有限的，隨著努力程度的不同，逐漸產生個別差異
第一次上課，教學者即以自我介紹的方式，瞭解學習者參與或修習《統計
2
zα
−
2
zα 2
α
2
1－α α
學》課程的目的，S01 與 S04 都希望修得學分，雖然 S04 對數字很有興趣（喜 歡錢） ，但是對於數理卻很畏懼；S10 對於研讀「統計」缺乏自信，對教學者會 有頗高的期望【Class-920326,pp.15-17】；S11 有自身的規劃，希望多接觸、多吸 收、多改變，因此也就更加要求自己【interview-920402】；S12 是六位學習者中 唯一曾經修過《統計學》課程的學習者（八十七學年度下學期） ，但是挫敗的學 習經驗，使她下定決心再一次接受挑戰【interview-920605,p.6】 ；S13 則是在自行 研習過程中發現困難，必須尋求外力資源解決，而主動參與課輔教學活動
【email-920402】 。六位學習者參與的動機不同，但是在「先備條件」的基礎上，
卻可能不足，她們選擇參與課後輔導教學的目的就在於透過老師的講解，讓「統 計」的概念能夠更清楚、更了解，有不懂的地方也可以有人發問。
彙總成人學習者在《統計學》課程先備條件的多寡【學習者「先備條件」
訪談意見參閱附錄十二，表 12-1】 。少部分的學習者（S01、S08）曾經修過《統 計學》相關課程，但都是很久很久以前的事，或是學習過程中遭遇障礙，到現 在老早就「忘光了」 ，S08 提到：「第一次老師叫我們講的時候，…其實我都忘 了 ， … 我 也 忘 記 以 前 是 怎 麼 修 過 的 ， 我 真 的 忘 的 很 徹 底 」
【interview-920514,p.2】 。大部分學習者「基礎程度」相當（都沒有學過） ， 但是努力程度確有相當大的差別。S10、S11 不但課前預習、課後也複習，收穫 比 較 多 ， S10 認 為 ：「 我 有 （ 事 先 ） 看 ， 這 樣 的 話 比 較 會 有 感 覺 」
【Interview-920521,p.1】。S11 同意 S10 的看法：「…像我上次就沒有看，就很吃 力 ， … 幾 乎 都 要事 先看 ， 它 根 本 不 等你 ，（ 上 課 ） 會 就 會、 不會 就 不 會 」
【Interview-920507,p.2】 。S12、S13 都肯定預習的重要性，「 （看過之後）就 知道老師要上的東西是什麼啊！（在平時預習和複習）我覺得幫助很大」
【Interview-920605-S12,p.1;p.3】 。 「事前備課，在討論的時候或是聽課的時 候，有充分地投入，這樣的收穫當然會加倍的獲得」 【Interview-920528,p.1;p.3】。
S04 是 心 有 餘 力 不 足 ， 基 礎 不 夠 穩 固 ， 越 到 後 面 的 概 念 越 無 法 消 化
【Interview-920514-S04,p.1】【Interview-920521,pp.2-3】；至於 S01，或許學習動機
不是十分強烈，或是工作忙碌，不但沒有預習，就連課後的複習也往往力不從
心【Interview-920514,p.2】。
2. 教學者會視學習者個人投入的程度， 「適度」的檢視先備條件的多寡，
課前預習與課後複習有助於「統計」觀念基礎的建立，增進進階概念 的理解
第五章離散隨機變數、第六章連續隨機變數開始就有許多公式、定理與演 算步驟的出現，也就是 T01 所稱的「模型」 ；到了第二階段進入真正的統計，學 習者的用功與投入程度就會有明顯的差異，有事前預習或課後複習的同學，他
（她）們會自己捕捉先前教過的觀念、定理或基礎公式，沒有時間投入的學習 者，在教學活動的表現就會比較「木訥」 ，顯示出「先備條件」的不足，無法跟 上進度。也因此，T02 會在第二階段的課輔教學活動，由於學習者「先備條件」
不一，教學者會視學習者個人課前預習與課後複習的程度，適度的「提問」學 習者「先備條件」的多寡，或試圖連結舊觀念到新的知識基礎上。
由於「統計」概念環環相扣，課前預習與課後的複習也可以考量出學習者 下一個觀念先備條件的多寡。習題 7.2 的「提問」時機是在定義、定理（或公 式）講解完畢後進行【Class-920507,pp.2-3】 ，希望學習者能夠「回顧」前一週講 述的公式，學習者依複習與否產生不同的反應，S10、S11、S12 與 S13 有複習 的習慣，也因此能夠「跟隨」教學者的思路，了解 T02 的解題情況；S01、S04 不停的抄寫白板上有關習題 7.2 的解題步驟，根本無暇思考或回顧相關的公式，
更無法顧及理解的過程。
3. 「同儕鷹架」互惠式教學的進行， 「先備條件」已成為課輔教學活動實 施前的必要步驟
第三階段起以「同儕鷹架」互惠式教學進行課輔教學活動，學習者必須課 前預習與課後複習， 「先備條件」已成為課輔教學活動實施前的必要步驟，部分 成人學習者因為無法承受「自學」的壓力，或是自行尋找學習資源，選擇中輟
（ 詳 如 第 三 章 第 二 節 說 明 ）。《 統 計 學 》 其 實 你 前 面 不 懂 就 真 的 不 懂
【interview-920521-S11,p.2】 ，課前的預習會使整個教學活動的實施會比較「有感 覺」【interview-920521-S10,p.1】，學習者能夠將過去學到的東西做一個充分的連 結【interview-920528-S13,p.3】 ，幫助會很大【interview-920605-S12,p.3】 。S04 認為：
「…要充分準備才能夠上台」 【interview-920521,pp.2-3】。
二、學習者「語義組織」的分析與應用
《統計學》課後輔導教學進行過程中，T01 就一直強調： 「學習統計，我感 覺還是語文問題，你別說我們都是用中文，其實我們都不懂題意…」
【interview-920528,p.3】 。初始，很難體會這句話的意涵，經過幾次的課輔教 學活動，從教科書上的定義、定理，或是例題、習題的文字敘述，觀察教室師 生的互動，教學者與學習者「常常」在題意的解釋與理解上，遭遇到挫折， 「耗 費」了相當長的時間進行理解。
學習者的課後訪談中，幾乎是所有學習者（S04、S10、S11、S13）在《統 計學》課輔教學的學習歷程中，都會有有關「語義」的困擾，在分析題意時，
不了解題目的意思，甚至誤會了題目的真正意涵，不但浪費了寶貴的教學時間，
在 教 學 效 果 上 也 打 了 相 當 大 的 折 扣 【 Email-920409-S04,p.2 ； Interview-920528-S10,p.3；Interview-920528-S11,p.5；Interview-920409-S13,pp.1-2】
【學習者「語義組織」訪談意見請參閱附錄十二，表 12-2】。
教學者在第十次課輔中所強調題意理解的重要性：「…前面你觀念都懂的 話，後面只是小變化，…大部分問題出在你題目看不懂…應用問題是在你要看 得懂題目，不是難在你要如何計算」 【Class-920528,p.22】 。可見「語義組織」
在解題過程中所扮演的角色。
從以上教學者與學習者對「統計」文字的敘述或題目的意義所產生的困 擾，幾乎出現在每一次的課後輔助教學活動中，包括對定義文字敘述的冗長，
無法掌握文句脈絡的精髓，並以自己的語言加以表達；或是對於教科書例題或 習題的文字敘述，無法分辨條件關係，甚或誤解題意，形成錯誤的解題過程。
以下就教學者在《統計學》概念理解歷程中，「語義組織」解析的教學情境、
鷹架策略的應用與教學實施成效，列舉分析說明如下：
（一）學習者「語義組織」解析與鷹架教學策略的應用
為使學習者了解「統計」的「語義組織」 ，教學過程中，主要以「教學者
鷹架」為主，另以「同儕鷹架」策略為輔，其具體策略包括輔以「示範」 、 「澄
清」 、 「回饋」與「教學工具使用」的「討論」策略，及分享「類比或譬喻」的
「直接教學」 ，教學者建議加強「練習」 ，以熟悉「統計」問題的呈現方式等。
1. 例題或習題的演算過程，首重問題的轉譯，陳述句間的連接詞會造成 問題轉譯過程中的混淆概念，多做題目─「練習」 ，以熟悉問題呈現的 形式
首先以「關係語句」加以說明，中文字有許多連接詞，當兩個以上的字詞 藉由連接詞串接在一起就產生新的意義，常常造成語意理解上的混淆。以第四 章「機率」教學條件機率補充教材範例七為例： 「 『女生且修會計』與『我隨便 找出一個是女生，可是我發現她修會計』的機率，一個是交集，一個是條件機 率，這兩者的意義是不一樣的」 【Class-920402-T02,P.18】。從題目本身來看，都 是「女生」 、 「會計」 ，但是脈絡的前後意義卻不相同，前者係「交集」的概念，
後者則是「條件機率」的觀念，由於學習者對於機率中加法原理、乘法原理的 基本概念還不是十分清楚，題意上所顯示的脈絡意義在區辨上就產生困擾： 「老 師，你是不是再講解一下，為什麼女生修會計的機率是會計又是女生的機 率？…那如果說相反過來的話修會計的女生…」 【Class-920402-S13,P.18】 。 邁阿密商學院院長蒐集了有關該學院大學生的資訊如下：
性別 會計 財政 行銷 管理 合計
男生 170 120 160 150 600 女生 110 100 70 120 400 合計 280 220 230 270 1000
問題
假設隨機選出一學生，該名學生是女生且主修會計學的機率是多少？
已知該學生是女生，她主修會計學的機率是多少？
重述問題已知條件 重述問題解題目標 男女生人數及學生總數
男女生修會計、財政、行銷、管理之人 數
女生且主修會計學的機率是多少？
已知該學生是女生，她主修會計學的 機率是多少？
【Class-920402 補充教材】
《統計學》例題或習題的演算過程，首重問題的轉譯，學習者（或教學者）
應從冗長的文字敘述中，重述問題的已知條件，再列出解題目標，針對字裡行 間關係語詞、前後意義的影響，必須要有清楚的概念，教學者建議多做題目，
熟悉問題呈現的形式，有助於問題轉譯過程中，對題意的理解，T02 以自身經 驗，建議學習者看到題目後，先傻住、再沉澱，以「思考」題意間的脈絡關係
【Class-920430-T02,p.16】。
2. 解題過程中，呈現出師生「討論」互動的情況，教學者首先在「示範」
的過程中， 「釐清」一些觀念，學習者也會在「回饋」的過程中，以「常 識性」的觀念測試自己的理解程度
解題過程中，呈現出師生「討論」互動的情況，教學者首先在「示範」的 過程中， 「釐清」一些觀念，學習者也會在「回饋」的過程中，以「常識性」的 觀念測試自己的理解程度（S04、S13） ，然而關係語句的前後脈絡不同，意義的 產生也會不同，包括教學者也無法給予立即而正確的回應。
鷹架教學 情境
鷹架教學 策略之應用
鷹架教學 實施成效 T02：你隨便抽出一個人她是女生…你
又發覺她是修會計，這跟她是女生 且她修會計是不一樣的道理喔！…
P (會計|女生)，…我隨便找出一個 是女生可是我發現她修會計機率，
這意思我不知道你能不能把它釐 清，一個是交集，一個是條件機率 喔！…是在抽出的人當中是女生，
她修很多科目，我現在又要知道她 修會計的機率…
S04：所以這種情況下它的比例會比較 小…
T02：…你是說它的比例還是它的機 率…
S04：就是說這個比 0.1 小…
S13：老師你是不是再講解一下，為什 麼女生修會計的機率是會計又是女 生的機率？…那如果說相反過來的 話修會計的女生…
示範
S04 回饋
澄清
學習者提問
T02「示範」補充教材範 例七，教學者試圖區辨交 集與條件機率的概念，由 於題意乍聽之下條件相 似，學習者對於前後脈絡 的意義無法區辨
學習者「常識性」的「回 饋」，顯然不是十分理解 題意關係語句的脈絡
學 習 者 反 向 思 考 「 提
問」，教學者思考，顯然
無法立即抓住題意的文
辭脈絡與關係語句
T02：修會計，在修會計當中是女生…
（思考中）
S13：是女生。
T02：那就要轉過來，變成這邊是會 計，這邊是女生，等於說我從所 有女生當中…
T02 回饋 討論
思考也會混淆，在語義上 的繞來繞去，愈轉愈亂 學習者主動協助介入討 論
【Class-920402,PP.18-19】
3. 教學者配合「教學工具」的使用（表格），重述問題已知條件，並列明 解題目標；教學者「示範」解題過程中遭遇到困擾，學習者會主動提出 個人常識性經驗，形成教室中「討論」的教學情境
學習者（S11）超越教學進度，提出對於「貝氏定理」習題解題過程的疑問，
在缺乏事前準備的情況下，教學者會以唸題目、分析題意的初始解題步驟著手，
以「示範」的策略瞭解問題的已知條件與解題目標。T02 的解釋是： 「應用問題 題目就是太長了，看到後面，前面又忘記內容是什麼，…其實應用問題它講到 的比較不會難，只是你要去分析就比較麻煩，而且有些敘述性的東西，…它要 解釋老半天…」 【Class-920402,p.21】 。因此，重述問題的已知條件與解題目標 有其必要性。
問題
習題 4.28：已知某大學應屆畢業生有意願考研究所的比率是 0.2，且知應屆畢業 生男女人數的比是 4:6，而應屆畢業之女學生當中，又有意願考研究所的比 率是 0.15。今從該大學應屆畢業生隨機抽出一人，問該學生是男生且有意願 考研究所的機率是多少？ 【資料來源：蘇國樑，2003a，p.115】
重述問題已知條件 重述問題解題目標 1. 有意願考研究所 0.2
2. 男女 4:6
3. 女生，有意願 0.15
男生，有意願考研究所的機率？
教學者認為以「自言自語」的方式唸題目、分析題意，有助於個人思考，
並期望以「放聲思考」的方式，希望學習者理解「思維路徑」
【interview-920409,p.5；interview-920423,p.1】 ；教學者再以「樹狀圖」 （圖示工具
使用）解釋「貝氏定理」的基本意涵，以期釐清題意，但是受到問題關係語句
的影響， 「已知…有意願，且知…，又有意願…」 ，使得問題的前後脈絡、意義 始終無法以「樹狀圖」合理呈現。
實施的結果，學習者似乎無法「體會」 ，反而會對於教學者的「自我中心語 言」 ，主動提供協助，根據自己的理解與常識性經驗，提出對於解題過程的意見，
形成教室中由教學者「示範」到師生、同儕「討論」的教學情境。
鷹架教學 情境
鷹架教學 策略之應用
鷹架教學 實施成效 S11：老師，我覺得這一題它的條件已經有給了
一個應屆畢業生女學生當中，這個就是條件 機率…
T02：…其實它已經給了我們一個條件機率，所 以這不一定是貝氏定理，…在男生中且有意 願考研究所的機率，它抽出的男生而且有考 研究所，其實跟貝氏感覺上，有點像條件機 率，比較不像貝氏，…
S04：它說有意願考的是那個部分… (學生討論 中)
T02：是考跟不考。
S04：0.85 跟 0.15。
T02：好，那我們來看這樣的思考對不對，在考 的裡面而且是女生要考的，所以有點是而且 的意思，它現在的題目好像是有點反過 來，…換句話說，這個 0.15 就是整個事 件，…可是題目不是這樣，題目是女生要 考，剛好跟它顛倒過來。
S04：這是男生然後要考。
T02：…我只知道男生跟女生的比例是 4 比 6，
換句話說，在考的不考的當中是 4 比 6，…
男生而且要考的，0.2。是不是剛好就是…
S（？） ：0.03。
T02：跟我們的是不是一樣，我考試跟男女是彼 此獨立。
T02：對不對，所以其實題目很簡單，也不必用 貝氏，也不需要用條件機率，就是要畫圖而 已，…來注意看，…應該是這樣處理才對，
這裡沒用到應屆畢業之女生當中有意願考 研究所之比例是 0.15，…那我現在反觀，
提供解釋
回饋
「 自 我 中 心 語言」
討論
回饋
自 我 中 心 語 言
回饋
討論
澄清
工具使用
示範
S11 由題意中引出 另一種思維
T02 在「貝氏定理」
不 得 其 解 的 情 況 下，以「條件機率」
思考，嘗試透過題 意，找出所有關鍵 詞和關係式，並與 學 習 者 一 再 「 推 敲」 ，教室呈現師生
「討論」的情境，
學習者會就自己的 理解提出「回饋」 ， 雙方共同思考解題 的過程
學習者亦被帶入教 學 者 解 題 的 思 維 中，教學者「自言 自語」 ，再度遭遇瓶 頸， 「有點是而且的 意思」T02 另起爐 灶，重新思考，但 還是停留在語義上 推敲
有點興奮，演算結
果還是不對
T02 試圖以圖示協
助解題，但仍不得
男生應該我先前畫的是對的，…（停頓，思 考許久）我看這個好了，我們下次來解這個 問題，我們回去想一下，因為現在臨時也浪 費大家太多時間。
停頓
其門而入，決定暫 時放棄，留待下週 分解
【Class-920402,pp.24-26】
4. 當「直接教學」無法使學習者理解時，輔以「類比譬喻」或「教學工 具」的使用，扮演學理與實務間的橋樑，有助於成人學習者理解或釐 清重要概念的意義
定義 4.8 與定義 4.9 的教學過程中，T02 以自己的邏輯思維，藉由投影片「直 接教學」 ，由於並未依照教科書內容順序，學習者十分認真的抄錄投影片內容或 講述內容，由於涉及到兩個關鍵性的概念，教學者會對學習者的「提問」給予 適時、適切的「澄清」 ，並運用「類比」分享方式連結生活事例，由於學習者中 文字義認知理解上的差距，對於生活事例的連結仍舊無法產生具體的思維意 義，學習者的不解，主要在字義的混淆，與前後脈絡文句的意義上，許多數學 符號，即使配合圖示，沒有空間概念也不易進入相關教學情境。
鷹架教學 情境
鷹架教學 策略之應用
鷹架教學 實施成效 T02：…互斥跟獨立不一樣喔，常有人
會搞在一起，…連大學生都搞不 清楚。我跟他不相關應該就是獨 立嘛，可是不一定喔，互斥不代 表獨立，因為互斥代表我做了這 件事，就代表你一定不會來做這 件事，獨立的話是你做你的我做 我的，所以互斥跟獨立不一樣。
S10：老師你剛才講獨立跟互斥，那有 沒有說獨立並不一定互斥，但是 互斥他一定獨立對不對？
T02：不一定喔。…反而互斥是有相 關的，獨立是不相關的，因為互 斥是我做的這件事我就保證你 不會來做，可是獨立是我今天來 到這裡，我不保證你一定不會 來，因為你是自由的個體，行為 跟我是沒有關係的，那互斥是我 來，我就保證你不會來，因為你
直接教學
S10 提問
T02 澄清
直接教學
以生活事例類比互斥與獨 立的意義
S10 會以個人的先備條件 思考，對於互斥與獨立之 間的關係試圖提出個人理 解
教學者澄清，但仍陷入字
義的口頭比較上，亦即教
學者完全從學理的角度解
釋，忽略統計的特殊性
跟我是死對頭，所以是不一樣 的。反而獨立是比較自由的，互 斥比較狹隘。…
【Class-920402,pp.8-11】
從定義 4.8 與定義 4.9 的教學過程，在關鍵概念的解釋比較上，以「直接教 學」的方式並無法使學習者很快進入理解的狀態。S10：「老師，你剛才講獨立 跟 互 斥 ， 那 有 沒 有 說 獨 立 並 不 一 定 互 斥 ， 但 是 互 斥 他 一 定 獨 立 對 不 對 」
【Class-920402,p.8】？學習者希望就兩者的相關性進行思考，然而，數理的 專業知識與一般常識性的觀念還是有落差，教學者在缺乏圖示與表列的情況 下，可能容易造成學習者觀念的混淆與困擾。若能輔以表格說明，有助於學習 者自行比較「互斥」 、 「獨立」在概念意義上的區別， 「教學工具使用」有其重要 性。
互斥 獨立
教科書
若兩個事件 A 與 B 之間沒有交集
─A∩B 內沒有任何簡單事件─
稱事件 A 與事件 B 互斥，記作 A
∩B=φ
若假設事件 B 發生與否並不會影響 事件 A 發生的機率，則稱事件 A 與 事件 B 相互獨立 P （A│B）= P （A）
教學者
互斥是有相關的，我做的這件事 我就保證你不會來做，我來，我 就保證你不會來，因為你跟我是 死對頭，互斥比較狹隘。
互斥就是不可能，A 發生 B 就不 會發生，B 發生 A 就不會發生，
所以他們的交集是 0，數學叫做 空集合，這是一個例子。
獨立是不相關的，我今天來到這裡，
我不保證你一定不會來，因為你是自 由的個體，行為跟我是沒有關係的，
獨立是比較自由的。
…獨立在統計跟數學的定義就是…
Ａ和Ｂ的交集，他的機率會等於Ａ的 機率乘以Ｂ的機率，就是獨立。
【Class-920402,pp.8-11】
資料來源：出自蘇國樑（2003a，pp.104-106）
5. 複雜而多元的概念學習，採「直接教學」的策略並不適合成人學習者，
學習者只能藉由「提問」釐清自己的觀念
T02 以「直接教學」的方式說明教科書表 8.2，由於表格的繪製與教科書顛
倒，導致學習者的思維脈絡與教學者無法重疊，因此，以「直接教學」講述相
關概念時，應該以學習者能夠參考（如教科書）或理解的脈絡為主；其次，學
習者會以「直觀」的方式解釋包括虛無、對立，真、不真，拒絕、接受等個別 的涵義，但是四個象限彼此間的關係，卻無法以統計的特殊字義相連結，學習 者只能藉由「提問」釐清自己的觀念，教學者在無法針對型I與型II誤差提出更 合理化的解釋時，T02 試圖再以「直接教學」的策略，就「檢定力」的概念活 化 對 「 型 I 與 型 II 誤 差 」 的 解 釋 ， 學 習 者 更 是 將 所 有 概 念 混 淆
【Class-920521,pp.30-31】 ，S11 對於教科書有關「型II誤差計算」的解說反應是：
「我不懂啦！中間看不懂」【Class-920521,p.15】。S04 也認為有看沒有懂
【Class-920521,p.15】。因此，複雜而多元的概念教學，如教科書§8.4「型II誤差 的計算」 ，課本描述冗長，未加標題條列，學習者對於文字與脈絡的理解感到挫 折。
6. 《統計學》觀念有其特殊性，學習者在以「直觀」的方式進行理解時，
教學者應立即給予「回饋」或「澄清」
成人學習者會以「直觀」的方式解題【Class-920402,pp.8-11】，係由於經驗 使然，但是「統計」的概念並不會如此單純，題目背後隱含的意義才是學習者 需要掌握的要點，也才能理解「統計」思維的意義。因此，教學者面對學習者 以「直觀」的方式解釋題目，會是一個正常現象，但應適時給予「回饋」 ，並輔 以正確的解題觀念，理解題目的前後脈絡，才有助於題目或文字敘述「語義組 織」的理解。
型I誤差與型II誤差概念的理解十分重要，屬於估計檢定的基礎，教科書表 8.2 是對假設檢定下可能的四個結果提出說明，虛無假設（H
0）與對立假設（H
a） 在決策（樣本實驗的結果）與實際情況的處理情形，當實際情況虛無假設為真，
樣本實驗結果卻接受對立假設，則會犯下型I誤差；當實際情況對立假設為真，
樣本實驗結果卻接受虛無假設，則會犯下型II誤差；如果實際情況與決策情況 相符，代表判斷正確。然而歷經三次的課輔教學活動，合計超過三十分鐘的討 論過程中，學習者初始即陷入四個象限脈絡思維的比較，對於虛無與對立假設，
決策與實際情況的語義推論上【Class-920521,pp.30-31】。
假設檢定的決策與結果
決策/實際狀況 H
0為真 H
a為真
H
0為真 決策正確 型II誤差 H
a為真 型I誤差 決策正確
資料來源：出自蘇國樑（2003a，p.262）
在教科書表 8.2 的討論過程中，學習者首先對於「虛無假設」與「對立假 設」的字義就無法分辨，從題意上首先決定「對立假設」 ，再反推「虛無假設」，
但 T02 似乎以先建立「虛無架設」，再定義「對立假設」 ，T01 與 T02 教學上有 明顯的不同；其次，就虛無與對立的字義而言，虛無代表空幻、不存在的東西，
對立相對於虛無，似乎是可以理解的觀念，但教學者並未修正一般學習者以「直 觀」的角度所切入的思考方式，以至於學習者深陷其中、不明其意；教學者未 能在後續解釋的過程中，引述適當的類比觀念，或舉實例說明，導致學習者在 字裡行間百思不得其解；最後，教學者在學習者尚未理解型I與型II誤差時，加 入了「檢定力」的觀念，學習者更對於α與β的互為因果性，觀念混淆。在往 後 T02 還花了相當長的時間〈第十次與第十一次課輔教學〉補述型I誤差與型II 誤差的觀念。S13 認為： 「有些題目看樣子還可以去感覺，但是有些題目有時候 就不知道怎麼去下手」 。因此，她強調（題目）整個架構出來，一定要先理解，
T02 也建議學習者看到題目後要做整理的工作【Class-920528,p.17】 。
7. 當「先備條件」不足時，成人學習者會以「常識性」的概念解釋問題，
教學者應立即給予「澄清」 ，過多的「討論」可能只會耗費更多教學的 時間，無助於學習者正確的思考
當學習者「先備條件」不足，成人學習者常以「常識性」的概念，主動提 出自己的想法或觀念，試圖為題意提出解釋，在意見錯綜複雜的情況下，對「統 計」觀念的解題不但沒有幫助，反而會混淆概念，教學者應適時澄清，過多的
「討論」可能只會耗費更多教學的時間，無助於學習者正確的思考。
「貝氏定理」習題 4.25 的解題過程中，教學者事前備課並未觸及，以至於
在理解題意中，耗費了頗多時間【Class-920409,pp.8-11】。
問題
習題 4.25：某項人體血清檢驗，如其結果為陽性，則其罹病率達 90%，如其結果 為陰性，則其未罹病率達 99%。今有一組人員，其中有 5%曾經罹病，自此群 中任取一人，進行檢驗，顯示結果為陽性，求該人未罹病的機率。
【蘇國樑，2003a，p,115】
重述問題已知條件 重述問題解題目標 1. 陽性中，罹病率 0.9
2. 陰性中，未罹病率 0.99
從曾經罹病的 0.05 中，陽性反應的機率
醫學上通常定義「陽性」反應代表有病的機率較高， 「陰性」反應代表可能 沒病，但是運用到其他學科領域，學習者若對上述的醫學概念「先備條件」認 知不足，會以自己的常識性觀念加以解釋，或以自身對語義的理解加以說明，
因為個人的生長環境、教育程度、職業背景、先備知識的差異，造成學習者「先 備條件」上的落差。
對於第四章習題 4.25，教室教學活動中，教學者與學習者對於陽性反應、
陰性反應、有病、無病、罹病與未罹病等語義觀念的「討論」 ，T02 於課後訪談 時提到：
我不是很清楚它的題意，我一看到這個問題，立刻知道（直觀）是用 貝氏定理，絕對不會錯的，可是它的題意，…所以在思考方面就產生 了問題，…到底是陰性就代表有感染，我覺得它應該說清楚才對，應 該 說 「 檢 定 前 」、「 檢 定 後 」 就 很 清 楚 了 ， 主 要 是 題 意 啦
【interview-920409-T02,p.2】！
然而，S13 卻強調： 「成年人經歷各方面，理解力較高，剛開始會傻住不曉 得甚麼東西，再慢慢就會想說學到甚麼東西可以拿出來用」
【Interview-920528-S13,p.5】 。換言之，初始的不適應是正常現象，等到練習、
熟練之後，就能夠適應文字的敘述方式，克服解題的困擾。因此，教學者對於 學習者錯誤的「常識性」概念，應給予適時、適切的「澄清」 ，或者是直接給予 明確的定義： 「…在醫學上，陽性就是得病，這樣跟他說就可以了」
【interview-920528-T01,p.6】 。T01 主張，當學習者他的舊經驗所構成的知 識，跟系統化的知識連接不起來的時候，就直接告訴他答案，不需要拐彎抹角，
浪費教學的時間。
（二） 鷹架教學策略實施成效
1. 教學者與學習者事前的備課，可避免語義推敲過程中，忽略關係語句 的相關屬性，概念、定義的理解，有助於解題活動中分析題意的脈絡 關係
學習者「先備條件」不足，在對「統計」概念還是懵懂無知的情況下，對 於教科書「統計」概念文字的敘述冗長，又無條列式標題，會產生語義組織上 的困擾，學習者無法掌握脈落重點；此外，對於教科書的習題，當語義模糊或 與例題無法對應時，在不求甚解的情況下，學習者就無「思考路徑」可循，造 成解題過程的障礙【Class-920521,pp.30-31】。
因此，無論教學者與學習者，事前的備課都是相當重要的，畢竟在眾人面 前思考題意，與課前預習思考題意，感受到的壓力不同，特別是針對教學者而 言，題意釐清，自然就可以避免解題過程中，關係語句相關屬性的遺漏，或細 目轉變的錯誤【Class-920402,pp.24-26】。
此外， 《統計學》解題活動實施前，學習者對於概念、定義應該要有概括的 認識，瞭解定義、公式使用的條件、時機，以便在分析題意時，找出已知條件 與未知條件，再就解題目標套入相關公式，如果概念、定義不瞭解，解題過程 中， 「套公式」 ，不經思考過程的狀況就會出現，對「統計」概念的理解是沒有 幫助的【Class-920402,pp.8-11】。
2. 《統計學》本來就是一種邏輯思維的程序，解題過程中，由唸題目、
分析題意，鼓勵學習者主動參與，課堂「討論」有助於促進學習者思 考，透過思考以釐清題意
《統計學》應用題，題目冗長，教學者建議學習者將題目唸出來，並鼓勵 學習者以自己的意思進行表達，這種「放聲思考」的方式除了有助於教學者或 有能力同儕，針對學習者錯誤的認知給予糾正的機會，並且使學習者透過思考 的過程，釐清題意。
習題 4.25 或 4.28 解題的過程，雖然「耗」去許多教學時間，影響課輔教學
進度，但是教學者（T02）對於這種「討論」卻持正面肯定的意見：「我是覺得 題目本身…讓大家去做一個討論，最後才把結果呈現出來，老師主要站在旁邊 提 示 … 一 個 方 向 ， 讓 學 生 自 己 去 想 ， … 大 家 表 現 的 還 不 錯 」
【interview-920402-T02,p.1】 。但是，學習者對於 T02 的專業素養卻產生某種 程度的懷疑－解不出來，T02 在研究者委婉轉述後並不以為意，他認為： 「這應 該是很正常的，這種東西並不是說你完全不會的人來接觸還是不會，它是可以 思考的，它是一個方向而已，就算沒有先前的基礎，還是可以來做分析」
【interview-920409-T02,p.3】 。T02 認為， 「統計」本來就是一種思維的程序，
他鼓勵學習者參與思考的過程，提出自己的意見，在數理課程中，解題解不出 來並不是一件丟臉的事，特別是對教學者而言。
鷹架教學 情境
鷹架教學 策略之應用
鷹架教學 實施成效 T02：…好，我們來思考這個樹形圖，
這樣合不合理，如果其結果為陽 性，則患病率達 90%，跟我知道 他已經生病，他是檢查出陽性，
這 樣 子 有 一 樣 嗎 ？ 有 點 倒 過 來，題目告訴你說，他的結果是 陽性，檢查出陽性應該是有病，
可是儀器可能是對是錯，…你以 這個想法來想，他本身病患…去 檢查有病 90%，檢查出沒病有 10%，這樣子有沒有一樣 S13 ： 這 樣子 好像 是說 有 病的 人 裡
面，檢查出陽性是這樣…
T02：對啊，好像是不太一樣，所以 我說這個樹狀圖好像有點問題
直接教學
討論
自我中心語言 0.05 病
1 . 0
9 . 0 陰性 陽性
0.95 無病
99 . 0
01 . 0 陰性 陽性
「樹狀」圖示有助釐清題 意
學習者以「常識性」概念 回應協助
教學者仍陷入語義解釋的 渾沌之中
【Class-920409,p.10】
三、「思維路徑」的分析與應用
蘇國樑（2003b）強調：「學習統計的重點在學習統計思維（p.49）。」T02 也認為：「統計思維其實就是思考的一種方法，利用數學的方法把思考的方式 解釋出來而已」 【Class-920402,p.20】 。
然而，成人學習者普遍畏懼數理，對於教學者所謂「思維」無法深刻體會，
S04 表示： 「那種思考的模式我害怕它跑出來，這也是我在學習數理的盲點和困 擾」 【interview-920605,pp.3-4】 。 「思維」一般係由問題所引起，在學習過程 中，當教學者或學習者遇到困難，或發生矛盾時，「思維」就開始進行，隨者 問題的不斷展開，「思維」就不斷深入，當問題解決，思維的活動也就告一段 落。因此， 「思維」的具體過程，實際上就是不斷發現問題、解決問題的過程。
S04 畏懼「問題」 、畏懼「思維」 、畏懼「統計」 ，可見一般【學習者「思維路徑」
訪談意見參見附錄十二，表 12-3】。
在第三次課輔教學活動中，師生對於習題 4.28 有關題意、解題的方式（條 件機率或貝氏定理）有相當長時間的「討論」 ，學習者在下課時提到： 「我們不 懂老師的『思考路徑』」【perspective-920409,p.3】。解題首先就是要了解、
分析題意，進而架構出層次，導入公式、算出答案，因此它重視的是概念的邏 輯、分析與理解的過程，這也就是學習者所提的「思考路徑」 。
空大學生大部分都是二十歲以上、步入社會的成年人，在生理、心理的發 展都已經成熟的情況下，解題過程中，到底老師是怎麼想的？思維可不可能學 的會？思維的路徑有沒有可能藉由師生或同儕的互動趨於一致？學習者甚至 能夠透過「思維」的教導而達到「潛移默化」的效果，這是本研究關心的重要 議題，也是學習過程中發現的有趣現象。以下就教學者在《統計學》概念理解 歷程中， 「思維路徑」引導的教學情境、鷹架教學策略的應用與教學實施成效，
列舉分析說明如下：
（一） 學習者「思維路徑」引導與鷹架教學策略的應用
為了解學習者的「思維路徑」，主要是以「教學者鷹架」為主，其具體策 略包括「示範」 、 「提問」 ，輔以「提示」 、 「指引」策略的應用， 「同儕鷹架」策 略中， 「教學工具的使用」有助於解題步驟的內化與驗證解題目標， 「練習」 、 「澄 清」與「回饋」策略的應用，視學習者理解情況彈性運用。
1. 「示範」解題過程中，將題目分解成部分，將過程分解成階段，配合
圖示「教學工具的使用」 ，以解說意義，有助於學習者將解題的步驟「內
化」成為概念知識
問題
一組大小為 n=10 的隨機樣本來自變異數 σ
2 =4的常態母體。求 x 值，使得 a. ) 0 . 01
4 ( 9
2
≤ x =
P s
b.P（ s2≦ X ）=0.90
重述問題已知條件 重述問題解題目標 n=10； σ
2 =4a. ) 0 . 01 4
( 9
2
≤ x =
P s
b.P（ s2≦ X ）=0.90
求 x 值
T02 在例題 7.11 的解題過程中，首先將題目分解成部分，包括重述問題的 已知條件，確認解題的目標；並將過程分解成階段，由唸題目、分析題意，將 數值帶入公式，經過標準化的過程、查表，配合圖示解說意義，一系列解題的 過程，試圖使學習者將解題的步驟「內化」成為概念，經過反覆的練習後成為 知識。
鷹架教學 情境
鷹架教學 策略之應用
鷹架教學 實施成效 T02：…例題 7.11，…它說給你一個樣
本大小 n=10，然後隨機樣本變異數
2 =4
σ 的常態母體要求 x…（思考）
我們來看這一個，相對的，它 s
2是在 之前就已經算出來，是在定理 7.3，他 現在想要求什麼？他要求一個 x 值使 得 ) 0 . 01
4 ( 9
2
≤ x =
P s
它 其 實 裡 面 是 由 normal 去組成的東西，對不對，這個 東西我們是可以算出來的，他經過這 個轉換會變成一個 Chi-square ，這蠻 重要的觀念…
T02：…經過這個轉型後我變成一個 Chi-square 會 大 於 ， 一 樣 嘛 ， 是 (n-1)，3，…這邊是不是跟著變了，
我就可以利用查這個表…
T02：…把 x 做一個移向就可以把 x 找 出 來 ， 就 會 等 於 這 一 個
526 . 6 ) 6837 . 14 9)(
(4 =
=
x
， 這 就 是 答
案，就是說這一個位置…
示範
提示
指引
示範
演算
工具使用
例題解題過程 1.唸題目
2.釐清題意，引用定理 7.3 公式
數值帶入公式
3.轉化的概念（標準化的 過程）
4.查表
5.解題完成 6.配合圖示說明
0 2 9 , 10 .
4 0
9x=
χ
【Class-920507,pp.8-9】
2. 有能力同儕應用圖表「教學工具的使用」 ，解釋定理、公式的意義，具 系統化思維功能
第三階段「同儕鷹架」互惠式教學策略中，由學習者輪流擔任教學者，S10 提供適切的「工具─表格」 ，應用教科書表 9.6「變異數分析公式表」，以習題 9.29 的實例數值，解釋各個欄位之間的相關，方法帶入算式簡潔易懂，幫助學 習者思考「一因子變異數分析」中複雜的觀念，從變異源經過處理與誤差的程 序後，自由度、平方和與均方和之間的關係，F 值大小的計算；許多學習者縱 然不太了解「單因子變異數分析」的定義，但是對於 S10 以表格形式彙總的 ANOVA table 印象深刻，如果以歷年考古題的題型來看，ANOVA table 可以說是 重點，學習者努力的抄寫，顯然都聽進去了【perspective-920605】。
變異源 自由度 平方和 均方和 F 處理 6（p-1） 16.9 3.886（SST） 3.4083 誤差 4.35（n-p） 28.3 0.80857（SSE） （MSE）
總和 41（n-1） 45
資料來源：蘇國樑（2003a，p.344）
鷹架教學 情境
鷹架教學 策略之應用
鷹架教學 實施成效 S10：因為這個比較簡單，也比較好
記憶，我想這個東西比較好記…
平方和除以自由度為均方和…
自由度的總和係處理差距與誤 差差距…處理均方和乘以誤差 均方和等於 F 值…簡潔易懂「這 個算法比較簡單一點」…
教學工具使用 提供解釋
S10 將公式化繁為簡，並參 考教科書以表格呈現，簡 潔易懂
S10 再以「同儕語言」 ，並 以 實 例 數 值 代 入 公 式 演 算，學習者印象深刻
【Class-920605,p.19】
3. 「圖示」的概念由生活經驗出發，容易望文生義，有助於學習者多重
感官學習，並培養學習者「系統化」思維
系統化是與比較、分類、抽象、概括、具體化等思維方法密切聯繫的。為 了瞭解數字的特性與結構，第一次課輔教學第一個圖示的概念是「枝葉圖」 。枝 葉顧名思義就是枝幹與樹葉，可以就資料中的觀察值或數值的特性列表，將枝 幹的數值由小至大寫成一直行，再將樹葉填入對應的枝幹，以看出資料集的內 在關係，並可以保留數值資料的原始面貌。由於枝幹的概念由生活經驗出發，
容易望文生義，而且圖示的結果清晰可見，有助於學習者多重感官學習與「系 統化」的思維方法，能夠引起學習者興趣，並引發師生互動。
鷹架教學 情境
鷹架教學 策略之應用
鷹架教學 實施成效 T02：…說真的，枝葉真的不難劃，…
它有什麼特性？這才是重點。第 一個你可以知道說它大部分的數 字是集中在那邊。第二個特性 呢？所有資料的原始全部都被我 保留。
S05：老師，如果是一樣的呢？
T02：一樣就排列。比如說 82、82。
S05：那如果..（？）
T02：就是 69 後面再一個 9。只是說如 果不一樣的小的要把它排在左邊。
S05：還是要把它排在…（？）
T02：對，因為它主要可以看出集中 在那邊。它的特性就是說，你看 到這個圖，你還是可以知道它的 原始資料，這就是枝葉圖的很大 的優點。
直接教學 提示
學習者提問 引 發 一 對 一 鷹 架
【枝葉圖】
枝 葉 5 2 6 9
6 0 5 5 5 6 8 9 9 7 1 1 2 2 4 5 5 7 7 8..
8 0 0 1 2 2 2 4 5 8 9 0 2 4 5 5 6 7 9 10 1 5 5 6
11 1 3 7 12
13 2 5 5
學習者能夠一目了然，代 表已經融入了教學內容，
並能提出相關問題，產生 一對一鷹架。
【Class-920326,p.9】
4. 「示範」解題過程中，成人學習者的個別「提問」 ，引發「一對一鷹架」
T02 運用「圖示」 ，說明「枝葉圖」的意義與功能，學習者能以日常生活的
概念聯想到「枝」 、 「葉」的特性，應用在「統計」數字呈現的意義，藉由教科
書的例題，瞭解「枝葉圖」的呈現形式；由於學習者並未直接參與「練習」 ，S05
的個別「提問」 ，引發「一對一的鷹架」 ，教學者能夠針對學習者的問題給予個
別的回應【Class-920326,p.9】。
5. 「示範」解題過程中，輔以「提示」、「指引」教學策略的應用，有課 前預習的學習者會比較「有感覺」
在以「分析」思維解題的過程中，T02 的「示範」，輔以「提示」 、 「指引」
與「工具使用」 （圖示）教學策略的應用，以加深學習者印象，並將解題步驟內 化成為知識。例題的「示範」過程中，學習者有教科書對照，比較容易進入狀 況，對於有預習的學習者而言，也會比較「有感覺」 【interview-920521-S10,p.1】；
但是，對於沒有課前預習，或是習題的演算，部分學習者就只能專心抄錄，過 程中沒有經過「思考」的過程，S04 感概的說： 「對當下還不是很清楚，…我需 要時間…去思考， 『慢慢來』就比較能改變態度」 【interview-920514,pp.1-2】 。
6. 「示範」解題過程中，教學者採「提問」方式引發教室互動，演算時 刺激學習者回饋，最後藉由「教學工具使用（圖示） 」驗證解題目標 為了避免「示範」過程中，教學者的「直接教學」 ，無法反應出學習者的「思 維」是否與教學者同步，T02 採「提問」方式引發教室互動，學習者對於演算 的過程，能夠產生「回饋」 ，最後 T02 再回到「圖示」驗證解題目標，使得解題 過程更加完整。整體而言，教學者以標準化的過程為先備條件，訓練學習者反 向思維，強調問題理解與融會貫通的重要性。
鷹架教學 情境
鷹架教學 策略之應用
鷹架教學 實施成效 T02： （習題）6.9…這個比較難了一
點，…我大概說一下，它說全體 畢業生起薪的最高 5%之內，其最 低起薪應該是多少？
平均數標準差他告訴你了，…他 告訴你說高於起薪內分配最高的 5%，…
假設分配一定是這樣子，高的人 比較少低的人也比較少，然後大 部分都集中在中間，…
那他現在意思就是說你要先找 到…這個 z 啊，…它本來的平均 是多少？
S04：36000。
練習
提示
示範
工具使用 提 問 已 引 起 互 動
習題 6.9
唸題目（佈題）
解釋並釐清題意
配合圖示說明題意
解題過程
0 34%
0.17
0.17
T02：36000 換句話說，假設他原來是 x，x 減掉 36000 再除以他的標準 差是多少？2000 塊，這個才是 z 分數
（公式
2000 36000= −
= x− x
z
σ
µ ） ，
所以如果我去查表，反查，我剛 才是從找 z 然後再查出機率，現 在我要從機率反查出來…這一個 x 才是我真正要的答案，要還原回 去…0.05 我應該查什麼？
S11：0.5 減掉 0.05。
T02：對，沒錯 0.5 減掉 0.05，才是我 要查的，…0.495 大概在哪邊？
Ss：(大家紛紛回答)
S04 回饋 示範
提示
提問 S11 回饋 肯定
教學工具使用 回饋
) (
645 . 1 2000 )
36000 (
2000 645
. 1 . 36000
) 645 . 1 ( 2000 :
36000
x P P x x
x z
− >
×
−
−
利用圖示說明機率的面積 反查表的過程
先有標準化的概念才能談 反標準化的概念
圖示的運用映證解題目標
【Class-920416,pp.8-10】
7. 學習者上台「練習」前，T02 會就題意先行「提示」或「指引」 ，以確 認解題的路徑；學習者上台「練習」時，會以直觀的方式推估「數值」 ， 省略公式的步驟，也能得到答案
第四次課輔教學活動中，教學者（T02）針對部分習題，要求學習者上台「練 習」 ，做為即將舉行「期中考」前的總複習。上台「練習」前，T02 會就題意先 行「提示」 ，以確認解題的路徑，若學習者無適當回應時，再給予「指引」 ，以 刺激學習者思考。
鷹架教學 情境
鷹架教學 策略之應用
鷹架教學 實施成效 T02： （習題 5.16）這是甚麼分配，看
一下題目，銷售員在每個禮拜要 跟四個客戶接洽，結果不是成交 就是不買，應該是甚麼？只有兩 種選擇所以是二項式，… P 就是 成功，成交機率 0.2，不買就是 0.8，客戶之間都是獨立的，你 把 它 機 率 分 配 寫 出 來 就 可 以 了…
練習 提問 提示
指引
唸題目 釐清題意
將條件帶入數值 交由學習者 S04 練習
【Class-920416,p.25】
0 34%
0.17
0.17
習題 4.28 當教學者與學習者因「關係語句」在轉譯過程中，忽略重要數值 而未自知，以至於陷入解題的困境，S04 以直觀的思維路徑推估「數值」─學 生人數，反推回去相關的比例，一般我們稱之為「驗算」反推的過程，也能得 到答案，雖然沒有「標準化」的演算程序，但是能以數值的合理性推估，也是 成人學習者遇到問題瓶頸不得已的應變方式。
鷹架教學 情境
鷹架教學 策略之應用
鷹架教學 實施成效 S04：我是把它推斷說男生有 400 個
人，然後女生是 600 個，但是 0.15 是全部女生要考的應屆 90 個人，
那 90 個人，這裡面是 0.15，…應 屆 1000 乘以 0.2 乘以 200，那 200 減掉這個，這就是男生全部的部 分。
T02：對。
S04：但是我代公式就不知道怎麼去 代。但是就等於除以 1000…
T02：對，其實沒錯。
練習
肯定 回饋
S04 坦承使用「數字推斷」
的 方 式 ， 過 程 雖 然 有 問 題，但答案是正確的 直接以數值代入「推出」
或「比較」出答案，在數 理課程的選擇題評量中，
或許有些人有這經驗 S04 真正的問題在於不懂 公式，也不願去思考
【Class-920402,p.27】
8. 公式的推導過程以「澄清」、「示範」的方式進行，有助於統計觀念的 理解；將新知識和舊知識以公式推導的方式進行比較，以釐清彼此間 的脈絡關係，以分類方式區辨相關公式，有助於學習者的理解與記憶 成年人「畏懼」數學，對於數學符號的推演更是避之唯恐不及，T02 觀察 到大多數學習者在公式推演的過程中，所顯示的不安與渾沌，T02 強調： 「我覺 得我講出來反而會增加它們的恐懼，…公式導出來的過程…很複雜，而且是要 用積分的，還不是很簡單的積分」 【interview-920416-T02,p.4】 。因此，使用 的教學策略更有其重要性與必要性。
由於公式的產生係許多符號所構成的意義，理解符號所產生的意義將有助
於記憶，在期望值與變異數公式的講解過程中，教學者首先以「澄清」的方式
區辨 x 與
x觀念的差異，再以「示範」的形式演練公式的推導過程，當下或許
了解，但是擔心出了教室就忘記了， 「專心抄錄」成為公式推導過程的重要現象。
T02 建議要以簡單的式子呈現思考的過程： 「我覺得自己用想的一下子就寫出答 案，問題是你要把過程寫出來讓大家去解，我不能直接（解題） ，…沒有把思考 的過程寫下來」 【interview-920402-T02,p.5】 。從 S13 的受訪意見中了解： 「公 式 很 多 ， 老 師 將 … 公 式 予 以 分 解 ， 以 利 記 憶 ， 對 我 們 幫 助 很 大 」
【Email-920416-S13,p.1】 。
在學習者 S13 主動上台演練習題 7.2 後，T02 除了給予肯定外，並就 E （ x ） 、
)( x
E
、 V （ x ）與
V(x)等期望值與變異數公式進行彙總，將四個公式彼此間的相 關，以推導的方式進行比較，屬於舊概念與新知識間的比較，以釐清彼此間的 脈絡關係，促進學習者理解。
鷹架教學 情境
鷹架教學 策略之應用
鷹架教學 實施成效 T02：…上次是不是背 E(x)？可是現在
是
x喔，是不一樣的，可是你看 E(x)跟
x竟然都是 n、p 耶，所以 換句話說 E(x)本身也是 n、p 的一 個估計量，…也是不偏的嘛，…
變異數
x的話其實就是等於我們 剛才有講過了是 ( )
2n
σ ，哪這個σ 的話就是 npq，…根號平方之 後，…剩下 n，消掉之後剩下 pq，
所以換句話說，變異數
x就是 p
×q，這個 q 就是 1.7 的意思喔，
q 就是這個成功這個就是不成功 的機率，…你如果覺得 v 這個地 方還不是很熟的話，用這樣子也 可以…它每一個上面都是變成加 了 n 個嘛。
T02：…那我知道σ
2就是剛好 npq，其 實都是一樣的，…我順便把這個 證明都用出來，這個是因為剛才 我們已經說 σ 其實是
xn
1
嘛！
計算式
E(x)=µ
=np2
2
( )
) ( )
(
x nV
= σx = σ pq
npq =n
=
