6-1-2多項式函數的極限與導數-極限概念

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(1)選修數學(I)1-2 多項式函數的極限與導數-極限概念【定義】 1. 函數的極限：設 f : D  R 是一實函數，a 是一固定的實數，若有一實數 l ，當變數 x  D 與 a 夠接近且 x  a 時，就會使 f (x) 與 l 的差 | f ( x)  l | 足夠小，則稱 f (x) 在 x  a 的極限為 l ，記作 lim f ( x)  l 。 xa. 註：在上述定義中，「 x 與 a 夠接近」或「 x 趨近 a 」是指 x 可以從任一方向( x  a 或 x  a ）趨近 a ，且不論定數 a 是否落在定義域 D 中， a 的兩側皆有點 x  D 且與 a 非常接近。. 平均速度：若有一質點在數線上作直線運動，已知時刻為 x 時的坐標是 p(x)，即質點位置是時刻 x 的函數，則從時刻 x0 開始，經過 x 的時間，其中 x  0 ，此質 p( x0  x)  p( x0 ) 點在這段時間內的平均速度為。 x 3. 瞬時速度：若有一質點在數線上作直線運動，已知時刻為 x 時的坐標是 p(x)，即質點位置是時刻 x 的函數，則從時刻 x0 開始，經過 x 的時間，其中 x  0 ，此質 p( x0  x)  p( x0 ) 點在這段時間內的瞬時速度為 lim 。 x  0 x 【性質】 1. 函數極限的基本性質：若實函數 f (x) 與 g (x) 在 x  a 的極限 lim f ( x), lim g ( x) 都存在，則 2.. xa. xa. (1) lim( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x) 。 xa. xa. xa. (2) lim( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x) 。 xa. xa. xa. (3) lim( f ( x) g ( x))  (lim f ( x))(lim g ( x)) 。 xa. xa. xa. (4) 當 lim g ( x)  0 時，則 lim f ( x)  x a. xa. g ( x). lim f ( x) xa. 。. lim g ( x) xa. (5) 若 lim f ( x)  l 且 l  0 ，則 lim f ( x)  l 。 xa. x a. 註：利用數學歸納法可得：對每一正整數 n ， lim x n  a n 。 xa. 3.

(2) 【應用】 1.. sin x 1。 x 0 x. 設 x 的單位是弧度，試證： lim 證明：作圖如下，. 其中 AC 是單位圓，在 A 點的切線，而 AOB  x ，當 0  x . . 時， 2 由圖形知道：  OAB 的面積  扇形 OAB 的面積   OAC 的面積， 1 1 1 故 sin x  x  tan x 。 2 2 2 1 x 1 上式各項皆除以 sin x ，可得 1  ，  2 sin x cos x sin x 取倒數得 cos x   1 ……(＊) x   sin( x) 當   x  0 時， 0   x  ，由不等式(＊)知 cos( x)  1 ， 2 2 x  sin x sin x 即 cos x   1 ，亦即 cos x  1。 x x   因此，在開區間 ( , ) 中，每一個不等於 0 的變數 x ，恆滿足不等式(＊)； 2 2 又 lim cos x  lim1  1 ， x 0. x 0. 故可由夾擠定理推得 lim x 0. sin x 1。 x. 4.

(3) 【思考】有些函數的圖形連接不斷，但有些函數的圖形是有間斷而無法一筆畫成。直觀而言，若函數 f (x) 的圖形在定義域內的某一點 a 接連不斷，則當 x 趨近 a 時， f (x) 就必須趨近於定值 f (a) 。這個直觀的看法提供我們採用以下嚴謹的極限概念，來說明函數在某一點連續的意義。【定義】 1. 函數在某一點連續：設 f : D  R 是一實函數，且 a D ，若存在開區間 I 使 aI  D ，且 lim f ( x)  f (a) ，則稱函數 f (x) 在點 a 連續。 xa. 註：當 f (x) 是一多項式函數時， f (x) 是 R 上的連續函數，因此，對每一實數 a ， lim f ( x)  f (a) 。 xa. 【例題】不連續的類型： 1. 缺洞：極限 lim f ( x) 存在，但極限值不等於 f (a) 。 x a. 2.. 斷裂：極限 lim f ( x) 存在，但 f (a) 沒有定義。 x a. 5.

(4) 3.. 跳躍：極限 lim f ( x) 不存在。 xc. (1) 函數 f (x) 的圖形在 x  a 處跳躍(如圖(a))。 (2) 函數 f (x) 的圖形在 x  a 處有鉛直漸近線(如圖(b))。 (3) 函數 f (x) 在 x 趨近 a 時的左極限或右極限不存在(如圖(c),(d))。. 【例題】不連續的例子： 1. 斷裂： f ( x)  1, x  0 。  x2 1 ,x 1  2. 缺洞： f ( x)   x  1 。  1, x  1  3. 跳躍： f ( x)  [ x] 。【問題】 1. 函數的極限討論的範圍是屬於小範圍還是大範圍？ 2. 函數 f (x) 在 x  a 點有無定義是否或影響極限的存在？ 3. 若極限趨近無限大  時，則此時極限是否存在？ x 4. 設 f ( x)  , x  0 ，試求 f (x) 在 x  0 的極限？ | x| 5. 設 f ( x) | x | ，試求 f (x) 在 x  0 的極限？ 1, x  Q 6. 設 f ( x)   ，試求 f (x) 在 x  0 的極限？ 0 , x  Q  1  1, x  , n  N 7. 設 f ( x)   ，求 lim f ( x) 的極限？ n x0  x, 其它 (解：不存在). 6.

(5) 【定義】 1. 左極限：只考慮變數 x 自點 a 的左方(即 x 比 a 小)趨近 a ，此時所得的極限稱為函數 f (x) 在 x  a 的左極限，記作 lim f ( x) 。 xa. 2.. 右極限：只考慮變數 x 自點 a 的右方(即 x 比 a 大)趨近 a ，此時所得的極限稱為函數 f (x) 在 x  a 的右極限，記作 lim f ( x) 。 xa. 3.. 左端點連續：對於一實函數 f : [a, b]  R ，當右極限 lim f ( x )  f ( a ) 時，稱 f (x) 在左端點 xa. 4.. a 連續。右端點連續：對於一實函數 f : [a, b]  R ，當左極限 lim f ( x)  f (b) 時，稱 f (x) 在右端點 x b. b 連續。 5. 連續函數：當函數 f (x) 在定義域 D 中每一點都連續時，我們就稱 f (x) 是 D 上的連續函數。【方法】 1. 極限存在：極限 lim f ( x) 存在的充要條件是 xa. 左極限 lim f ( x) 及右極限 lim f ( x) 都存在，且 lim f ( x)  lim f ( x) 。 xa. 2.. xa. x a. 連續：函數 f (x) 在點 c 連續的充要條件是 lim f ( x)  lim f ( x)  f (c) 。 xc. xc. 7. x a.

(6) 【定義】 1. 有理函數：函數 f ( x) . p( x) ，其中 p( x), q( x) 都是多項式函數時，稱 f (x) 為有理函數。 q( x). 【討論】. p ( x) 為一有理函數時，其中 p( x), q( x) 都是多項式函數，極限 lim f ( x) 有 x a q ( x) 以下三種情形： 1. 分母 q(a)  0 ： lim p( x) p(a) 利用極限的運算性質可得 lim f ( x)  xa   f (a) ， xa lim q( x) q(a) 當 f ( x) . xa. 2.. p ( x) 由此可知有理函數 f ( x)  在其定義域 {c  R | q(c)  0} 上是連續的。 q ( x) 分母 q(a)  0 ，分子 p(a)  0 ：此時 f (x) 在 x  a 沒有定義，也不連續，而極限 lim f ( x) 也不存在。 x a. 3.. 分母 q(a)  0 ，分子 p(a)  0 ：由因式定理，存在多項式 q1 ( x) 及 p1 ( x) 使 q( x)  ( x  a)q1 ( x) 及 p( x)  ( x  a) p1 ( x) ， lim( x  a) p1 ( x) p (a )  1 於是，由 x  a 可得 lim f ( x)  xa ， xa lim( x  a)q1 ( x) q1 (a ) x a. 這時只要再依據此三種情況繼續處理有理函數. p1 (a ) 之極限即可。 q1 (a ). 註：事實上多項式 q1 ( x) 及 p1 ( x) 的次數分別比原來的多項式 q(x) 及 p(x) 之次數各降低一次，因此，上面的過程只要操作有限次後，即可判別出極限是否存在，若存在，也可以同時求出極限值。. 8.

(7) 【定理】 1. 夾擠定理：若函數 f ( x), g ( x), h( x) 滿足以下兩個條件： (1) 存在一包含 a 的開區間 I ，使得 I 中異於 a 的每一個數 x ，恆有 f ( x)  g ( x)  h( x) 。 (2) 若 lim f ( x)  lim h( x)  l 。 xa. xa. 則 lim g ( x)  l 。 xa. 證明：設 lim f ( x)  lim h( x)  ， x a. x a. 由題設可知，當 0  | x  a |  r 時， f ( x)   g ( x)   h( x)  ， (1) 若 g ( x)   0 ，則 | g ( x)  |  | h( x)  | 。 (2) 若 g ( x)   0 ，則 | g ( x)  |  | f ( x)  | 。因此， | g ( x)  |  max{| h( x)  | ， | f ( x)  |} 。設任意正數  ，由極限的定義可知， (3) 存在 1  0 ，使 0  | x  a |  1 時， | f ( x)  |   。 (4) 存在  2  0 ，使 0  | x  a |   2 時， | h( x)  |   。我們取   min{1 ,  2 , r} ，則當 0  | x  a |   時，由(1) , (2)及(3) , (4)，可知 | g ( x)  |  max{| f ( x)  | ， | h( x)  |}   ，所以， lim g ( x)  。 x a. 【性質】 1. 極限為 0 的充要條件：設 f (x) 為一實函數，則 lim f ( x)  0 的充要條件是 lim | f ( x) | 0 。 x a. x a. 註：利用不等式  | f ( x) | f ( x) | f ( x) | 及夾擠定理可證明。【定義】 1. 函數在  的極限：設 f (x) 是一實函數，當變數 x 足夠大時， f (x) 與某一實數 l 的差 | f ( x)  l | 就會足夠小，則稱 x 趨近  時， f (x) 的極限為 l ，記為 lim f ( x)  l 。 x . 2.. 函數在   的極限：設 f (x) 是一實函數，當變數 x  0 且 | x | 足夠大時， f (x) 與某一實數 l 的差 | f ( x)  l | 就會足夠小，則稱 x 趨近   時， f (x) 的極限為 l ，記為 lim f ( x)  l 。 x  . 註：極限基本性質對於在  與   的極限問題也是適用的。. 9.

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