6-1-1極限的概念-數列的極限

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(1)6-1-1 極限的概念-數列的極限【問題】圓周率：圓周長與直徑的比值恆為一定值稱圓周率圓周長：半徑為 r 之圓其周長為 2π ，圓周角為 2π 弧度，現考慮圓內接正 n 邊形 A1 A2 " An ， π π 其邊長 a n = 2r sin ，周長 l n = na n = 2nr sin ， n n π 則圓周長為 lim 2nr sin = 2πr 。 n→∞ n 圓面積： 1 1 又圓內接正 n 邊形的面積為 S 2 n = (2n)( a n r ) = l n r ， 4 2 π 故圓周長為 lim l n = lim na n = lim 2nr sin = 2πr ， n →∞ n →∞ n →∞ n 1 圓面積為 lim S 2 n = lr = π × r 2 。 n →∞ 2. O. π n. A1. A2. 【定義】數列的極限： 1. 收斂數列：數列 < an > ，當 n 逐漸增大時，對應的項 an 會與某一個固定的數 α 趨近，且 an 與 α 之距離 | an − α | 可以任意的小，向這樣的數列就叫做收斂數列，其中稱 α 為 an 的極限，記作 lim an = α 。 n →∞. 2.. 發散數列：數列 < an > ，當 n 逐漸增大時，對應的項 an 不會與某一個固定的數 α 趨近，像這樣的數列就叫做發散數列。(如跳動數列、趨近無窮大、不趨近定值等等).

(2) 【問題】對於 lim an = α 之意義，何者正確? n →∞. 1. 當 n 足夠大時，則 an 足夠靠近 α 。 2. 當 n 足夠大時，則 | an − α | 足夠靠近 0 。 3. 對任意給定 ε > 0 ，可以找到足夠大的 n ，使得 | a n − α |< ε 。 4. lim(a n − α ) = 0 。 n→∞. 5.. lim | a n − α |= 0 。 n →∞. 6. an 足夠靠近 α ，則 n 足夠大。 7. 當 | a n − α |→ 0 時，則 n → ∞ 。 8. 可找到 n0 ，使得當 n ≥ n0 時，則 | a n − α |→ 0 。 9. ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N , ∋ n ≥ n0 ⇒| a n − α |< ε 。【性質】 1. 收斂數列只有一個極限值。 (證明) 設數列 < an > 收斂到兩相異值 α 與 β |α − β | > 0, ∃n1 ∈ N , ∋ n ≥ n1 ⇒| a n − α |< ε 則 given ε = 2 |α − β | > 0, ∃n2 ∈ N , ∋ n ≥ n2 ⇒| a n − β |< ε 且ε = 2 ⇒ 取 n0 = max{n1 , n2 } ⇒ n ≥ n0 ⇒| α − β |≤| α − a n | + | a n − β |< 2ε =| α − β | 矛盾故α = β 2. 收斂數列是有界數列。 (證明) 設 < a n >→ α 則 given ε = 1 > 0, ∃n0 ∈ N , ∋ n ≥ n0 ⇒| a n − α |< ε = 1 ⇒ | a n | − | α |≤| a n − α |< 1 ⇒ | a n |< 1+ | α |, ∀n ≥ n0 取 M = max{| a1 |, | a 2 |," , | a n0 −1 |,1+ | α |} 得 | a n |≤ M , ∀n ∈ N 即數列 < an > 為有界數列 3. 若 < a n >→ α 收斂，則 <| a n |> 收斂，且 lim | a n | = | lim a n | = | α | 。 n→∞. (證明) ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N , ∋ n ≥ n0 ⇒| a n − α |< ε ⇒|| a n | − | α ||≤| a n − α |< ε 故 lim | a n | = | α | = | lim a n | n→∞. n →∞. n→∞.

(3) 【定義】 1. lim a n = ∞ n→∞. 2.. ⇔ 若 n 足夠大，則 a n 足夠大 ⇔ ∀N > 0, ∃n0 ∈ N , ∋ n ≥ n0 ⇒ a n > N lim a n = −∞ n→∞. ⇔ 若 n 足夠大，則 a n 足夠大 ⇔ ∀N > 0, ∃n0 ∈ N , ∋ n ≥ n0 ⇒ a n < − N 【性質】 1. 常數數列：若 an = c ，則 lim an = c 。 n→∞. 2.. 調和數列(數列倒數成等差)： 1 若 an = ，則 lim an = 0 。 n →∞ n 3. 等比數列： ⎧0, 當 | r |< 1 ⎪ a , 當r = 1 ⎪ n −1 若 an = ar ，則 lim a n = ⎨ n→∞ ⎪不存在, 當 | r |> 1 ⎪⎩不存在, 當r = −1 1 1 4. 設 p > 0 ，數列 < p > 收斂到 0 ，即 lim p = 0 。 n→∞ n n 【性質】數列的四則運算：設數列 < an > 與 < bn > 都是收斂數列，且 lim an = a, lim bn = b ， c 為常數，則 n →∞. 1. 2. 3.. n →∞. lim (an + bn ) = a + b 。. n →∞. lim (can ) = ca 。. n →∞. lim (anbn ) = ab 。. n →∞. an a ) = ，且 bn ≠ 0, b ≠ 0 。 bn b 註：此性質就說明了當兩數列個別極限都存在時，則極限可以拆開個別計算。證明： 1. 當 n → ∞ 時， | a n − a |→ 0, | bn − b |→ 0 所以當 n → ∞ 時， | (a n + bn ) − (a + b) | = | (a n − a ) + (bn − b) | ≤ | a n − a | + | bn − b |→ 0 2. 當 n → ∞ 時， | a n − a |→ 0 所以當 n → ∞ 時， | ca n − ca |=| c(a n − a) |=| c || a n − a |→ 0 3. 當 n → ∞ 時， | a n − a |→ 0, | bn − b |→ 0 又 < an > 收斂，故 < an > 有界(即 | a n |≤ M , ∀n ∈ N ) 所以當 n → ∞ 時， | a n bn − ab | = | a n (bn − b) + b(a n − a) | ≤ | a n || bn − b | + | b || a n − a |→ 0 4.. lim (. n →∞.

(4) 當 n → ∞ 時， | a n − a |→ 0, | bn − b |→ 0 又 < an > 收斂，故 < an > 有界(即 | a n |≤ M , ∀n ∈ N ) 又 < bn > 收斂， |b| 1 3 ⇒ | b |≤| bn |≤ | b | 故當 n ≥ n0 ， | bn − b |≤ 2 2 2 所以當 n → ∞ 時， a a b − abn | a (b − bn ) + bn (a n − a ) | a | n − | =| n |= n bn b bn b bn b | a || b − b | + | bn || a n − a | | a n || bn − b | + | bn || a n − a | ≤ →0 ≤ n n 1 2 | bn || b | |b | 2 【問題】 1. 若 lim(a n + bn ) 存在，則 lim an = a, lim bn = b 存在？ 4.. n→∞. n →∞. n →∞. 2.. 若 lim(a n bn ) 存在，則 lim an = a, lim bn = b 存在？. 3.. 若 lim(. 4.. n →∞. n →∞. n →∞. an ) 存在，則 lim an = a, lim bn = b 存在？ n→∞ n →∞ n→∞ b n 試證： lim a n = 0 之充要條件為 lim | a n |= 0 。 n→∞. n→∞. 【性質】設 f ( x), g ( x) 都是 x 的多項式，則. f ( x) >→ 0 。 g ( x) f ( x) f ( x)的領導係數 >→ 2. 當 deg f ( x) = deg g ( x) 時， < 。 g ( x) g ( x)的領導係數 f ( x) 3. 當 deg f ( x) > deg g ( x) 時， < > 發散。 g ( x) 【性質】 1. 實數系的完備性公設： (1)數列遞增且有上界必會收斂到最小上界(l.u.b.,least upper bound) sup{a n | n ∈ N } (supremum)。 (2)數列遞減且有下界必會收斂到最大的下界(g.l.b.,greatest lower bound) inf{a n | n ∈ N } (infimum)。 (證明) 設 < a n > 為遞增數列且有上界令最小上界為 c = sup{a n | n ∈ N } 則 ∀ε > 0, c − ε 不是 < a n > 的上界 1.. 當 deg f ( x) < deg g ( x) 時， <. ⇒ ∃n0 ∈ N ∋ c − ε < a n0 又 < a n > 為遞增數列 ⇒ c − ε < a n0 ≤ a n < c + ε , ∀n ≥ n0 即 | a n − c | < ε , ∀n ≥ n0 ，得 lim a n = c n→∞. 2.. 非負的收斂數列收斂到非負值：若 < a n >→ α 且 a n ≥ 0, ∀n ∈ N ⇒ lim a n ≥ lim 0 ，即 α ≥ 0 。 n →∞. n→∞.

(5) 3.. (證明) 用反證法，設 α < 0 |α | |α | given ε = > 0, ∃n0 ∈ N , ∋ n ≥ n0 ⇒| a n − α |< ε = 2 2 |α | ⇒ an − α < 2 |α | ⇒ an < α + <0 2 矛盾故α ≥ 0 兩收斂數列 < a n >, < bn > ：若 < a n >→ α , < bn >→ β 且 a n ≤ bn , ∀n ∈ N ⇒ lim a n ≤ lim bn ，即 α ≤ β 。 n →∞. n →∞. (證明) < a n >, < bn > 收斂 ⇒< bn − a n > 收斂又 bn − a n ≥ 0 ⇒ lim(bn − a n ) ≥ 0 n →∞. ⇒ lim bn − lim a n ≥ 0 n →∞. n →∞. ⇒ lim bn ≥ lim a n n →∞. n →∞. ⇒ β ≥α 4. 有上界的收斂數列：若 < a n >→ α 且 a n ≤ k , ∀n ∈ N ，則 lim a n ≤ k ，即 α ≤ k 。 n→∞. 5.. 有下界的收斂數列：若 < a n >→ α 且 a n ≥ k , ∀n ∈ N ，則 lim a n ≥ k ，即 α ≥ k 。. 6.. 夾擠原理：給定一個數列 < x n > ，如果存在兩個數列 < an > 與 < bn > 滿足： ∀n ∈ N , a n ≤ x n ≤ bn 。 lim a n = α = lim bn 。. n→∞. n→∞. n →∞. 則數列 < x n > 也是收斂數列，且 lim x n = α 。 n→∞. 證明： (方法一) ∀n ∈ N , a n ≤ x n ≤ bn ⇒ 0 ≤ x n − a n ≤ bn − a n ⇒ lim 0 ≤ lim( x n − a n ) ≤ lim(bn − a n ) n →∞. n →∞. n→∞. ⇒ 0 ≤ lim( x n − a n ) ≤ lim bn − lim a n = 0 n →∞. n →∞. n →∞. ⇒ lim( x n − a n ) = 0 n →∞. 又 lim x n = lim( x n − a n ) + lim a n = 0 + α = α n→∞. (方法二). n→∞. n →∞.

(6) an. cn. L. bn. an. L. cn. bn. 因 lim a n = α = lim bn n→∞. n →∞. 則 ∀ε > 0, ∃n1 ∈ N , ∋ n ≥ n1 ⇒| a n − α |<. ε 2. 且 ∀ε > 0, ∃n2 ∈ N , ∋ n ≥ n2 ⇒| bn − α |< 取 n0 = max(n1 , n2 ). ⇒ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N , ∋ n ≥ n0 ⇒| a n − α |< 又 | c n − α |≤| a n − α | + | bn − α |. ε 2. ε 2. 且 | bn − α |<. ε 2. ⇒ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N , ∋ n ≥ n0 ⇒| c n − α |≤| a n − α | + | bn − α |<. ε 2. +. ε 2. =ε. 【例題】 1.. 設 a1 = 2 , a n +1 = 2 + a n (n ∈ N ) ，試證明數列 < an > 是收斂數列，並求其極限值。 (證明) (1)當 n = 1 時， a1 = 2 ≤ 2 + 2 = 2 + a1 = a 2 成立。設 n = k 時， a k ≤ a k +1 成立則 n = k + 1 時， a k +1 = 2 + a k ≤ 2 + a k +1 = a k + 2 故由數學歸納法知 < an > 是遞增數列。 (2)當 n = 1 時， a1 = 2 ≤ 2 成立。設 n = k 時， a k ≤ 2 成立則 n = k + 1 時， a k +1 = 2 + a k ≤ 2 + 2 = 2 故由數學歸納法知 < a n 有上界 2 。 (3)由(1)(2)及實數系的完備性知 < an > 是收斂數列。 (4)設 < an > 的極限值為 a 又 a n +1 = 2 + a n 則 lim a n +1 = lim 2 + a n = 2 + lim a n n→∞. n→∞. n →∞. ⇒ a = 2 + a ⇒ a − a − 2 = 0 ⇒ a = 2,−1 (負不合) 2. 2.. 設 b1 = 2 , bn +1 = 2bn (n ∈ N ) ，試證明數列 < bn > 是收斂數列。. 1 n , bn = (n ∈ N ) ，試討論 < an > 與 < bn > 的大小關係與收斂與否。 n n 2 1 1 1 1 ，試利用夾幾原理證明數 4. 設 a n = + + +" + 2 2 2 2 n +1 n +2 n +3 n +n 列 < an > 收斂，並求它的極限。 3.. 設 an =.

(7) n n n n + 2 + 2 +" + 2 ，求 lim a n 之值。(答： 1 ) n →∞ n +1 n + 2 n + 3 n +n 1 6. 求 lim x sin 之值。(答： 0 ) x →0 x 1 7. (1)證明： n 2 ≤ 1 + , ∀n ∈ N 。 n n (2)求 lim 2 之值。(答： 1 ) 5.. 設 an =. 2. n→∞. (1)證明： n 2 ≤ 2 n , ∀n ∈ N , n ≥ 4 。 (註：利用數學歸納法) n (2)求 lim n 之值。(答： 0 ) n→∞ 2 9. (1)證明： k ≤ k (k + 2) ≤ k + 1 。. 8.. (2)證明：. n n(n + 1) n(n + 3) ≤ ∑ k (k + 2) ≤ 2 2 k =1 n. (3)求 lim n→∞. ∑ k ( k +2). k =1. n. 2. 1 之值。(答： ) 2. 【例題】 c 1. lim k = 0 ，其中 c 為常數， k 為固定正整數。 n→∞ n (證明) k個 c 1 1 1 lim k = c lim lim " lim = 0 。 n→∞ n n →∞ n n →∞ n n→∞ n n 1 2. 證明：若 a n = ∑ 時，則 < a n > 收斂。 k = 0 k! (證明) (1) < a n > 為遞增數列。 n. 1 1 1 1 1 < 1 + 1 + + 2 + " + n −1 = 3 − n −1 < 3 2 2 2 2 k = 0 k! 故 < a n > 有界。由實數系的完備性得 < a n > 收斂。 (2)因 a n = ∑. n. 3.. 1 時，則 < a n > 收斂。 2 k =1 k. 證明：若 a n = ∑. (證明) (1) < a n > 為遞增數列。 n. 1 1 1 1 = 2 + 2 +"+ 2 2 1 2 n k =1 k 1 1 1 + + +"+ 1× 2 2 × 3 (n − 1) × n 1 1 1 1 1 1 1 + ( − ) + ( − ) +" + ( − ) = 2− ≤ 2 1 2 2 3 n n −1 n. (2)因 a n = ∑. 1 12 1 = 2 1. ≤.

(8) 故 < a n > 有界。由實數系的完備性得 < a n > 收斂。 n. 1 證明：若 a n = ∑ 時，則 < a n > 發散。 k =1 k (證明) n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 an = ∑ = + + ( + ) + ( + + + ) + " 1 2 3 4 5 6 7 8 k =1 k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ≥ + + ( + ) + ( + + + ) + " = + + " + + " (此值可以任意大) 1 2 4 4 8 8 8 8 1 2 2 故 < a n > 發散。【定義】無窮級數的和： 1. 先求前 n 項的和 S n. 4.. ∞. 2.. 若 < a n > 收斂於 S ，則 ∑ a k = S ，稱收斂級數； k =1. 若 < a n > 是發散，則級數的和不存在，稱發散級數。【問題】 ∞. 1.. 若數列 < a n > 收斂且其極限值為 0 ，則級數 ∑ a k 收斂？ k =1. ∞. 2.. 試證：若級數 ∑ a k 收斂，則數列 < a n > 收斂，並且其極限值為 0 。 k =1. ∞. 3.. 若數列 < a n > 收斂，則級數 ∑ a k 收斂？ k =1. ∞. 4.. 試證：若級數 ∑ a k 收斂，則數列 < a n > 收斂。 k =1. 5.. 設 a1 = 2 , a n +1 = 2 + a n (n ∈ N ) ，試求 < an > 的收斂值。. 【例題】設數列 < a n > 的每一項 a n ≥ 0 ，且 lim a n = a (a ≥ 0) ，試證： n→∞. 1.. lim a n = a (a ≥ 0) 。. 2.. lim 3 a n = 3 a (a ≥ 0) 。. n→∞ n→∞. 證明： 1. 當 n → ∞ 時， | a n − a |→ 0 所以當 n → ∞ 時， | a n − a |=| 2.. an − a an + a. 當 n → ∞ 時， | a n − a |→ 0 所以當 n → ∞ 時， an − a | 3 a n − 3 a |=| |= 2 3 an + 3 an 3 a + 3 a. |=. | an − a | an + a. ≤. | an − a | 3. an + 3 an 3 a + 3 a 2. 1 a. ≤. | a n − a |→ 0. 1 3. a2. | a n − a |→ 0.

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